Konstrukcje stalowe

Zagadnienia

Model materiału sprężysto-idealnie

plastycznego

Fazy wytężenia bisymetrycznego przekroju

zginanego

Moment zginający w przekroju częściowo

uplastycznionym

Nośność obliczeniowa przekrojów krępych
Przykład obliczeniowy (plastyczna rezerwa

nośności przekroju)

Plastyczna rezerwa konstrukcji

Nośność obliczeniowa przekrojów krępych

Konstrukcje stalowe

Model materiału sprężysto-idealnie plastycznego

R

e

– granica plastyczności,

f

y

– nominalna wartość granicy

plastyczności,
E – moduł Younga.

Konstrukcje stalowe

Fazy wytężenia bisymetrycznego przekroju

zginanego

Belka o krępym przekroju

bisymetrycznym, wykonana

z materiału sprężysto-idealnie

plastycznego

Konstrukcje stalowe

Fazy wytężenia bisymetrycznego przekroju

zginanego

e,max

M

M

a



)

0

)

M

M

M

b

e,max





0

)

M

M

c



– maksymalna wartość momentu
zginającego w zakresie
odkształceń sprężystych

e,max

M

0

M

– moment graniczny

Konstrukcje stalowe

Moment zginający w przekroju częściowo

uplastycznionym

z

z

f

z

z

u

y

u







z

f

h/

z

z

y

u

sign

2









Funkcje rozkładu
naprężenia

– obszar sprężysty rdzeń
sprężysty
– obszar
uplastyczniony

Moment zginający przy odkształceniach sprężysto-
plastycznych

y

p

y

e

y

h

z

z

u

y

h

ep

f

S

W

z

z

z

b

z

z

z

b

z

f

z

z

z

b

M

u

u

)

2

(

d

)

(

2

d

)

(

2

d

)

(

2

2

/

0

2

2

/

0



































Konstrukcje stalowe

Nośność obliczeniowa przekrojów krępych

y

el

W

,

– wskaźnik
wytrzymałości całego
przekroju

y

S

– moment statyczny
połowy przekroju

2

/

h

z

u



Maksymalny moment sprężysty
znajdziemy zakładając

y

p

y

e

y

ep

f

S

W

M

)

2

(





y

y

el

e,max

f

W

M

,



0



u

z

Moment graniczny
otrzymujemy dla

y

y

f

S

M

2

0



e

y

W

– wskaźnik wytrzymałości rdzenia
sprężystego

p

y

S

– moment statyczny jednej części obszaru
uplastycznionego

Konstrukcje stalowe

Nośność obliczeniowa przekrojów krępych

Nośność obliczeniowa przekrojów klasy 1 i 2 (EN 1993-1-
1:2005+AC:2006)

0

,

,

/

M

y

y

pl

Rd

pl

f

W

M





y

y

pl

S

W

2

,



– plastyczny wskaźnik
wytrzymałości przekroju

(wskaźnik oporu plastycznego)

Nośność obliczeniowa
przekrojów klasy 3

0

,

,

/

M

y

y

el

Rd

el

f

W

M





Konstrukcje stalowe

Przykład obliczeniowy

Cechy geometryczne przekroju
 szerokość pasów

b

f

=

200 mm,
 grubość pasów

t

f

= 20 mm,

 grubość środnika

t

w

=

10 mm,
 wysokość środnika

r =

600 mm.

Dla belki wykonanej ze stali S235 i o

przekroju jak na rysunku określić:
 maksymalny moment sprężysty,
 moment sprężysto-plastyczny przy
założeniu pełnego uplastycznienia
pasów przekroju,
 moment graniczny.

Konstrukcje stalowe

Przykład obliczeniowy

Klasyfikacja przekroju (tablica 5.2 w EN 1993-

1-1:2005+AC:2006)

środn

ik

mm

600





w

w

h

c

0

,

72

0

,

1

72

72

0

,

60

10

/

600

/















w

w

t

c

mm

0

,

95

)

10

200

(

5

,

0

)

(

5

,

0















w

f

f

t

b

c

0

,

9

0

,

1

9

9

75

,

4

20

/

95

/















f

f

t

c

pasy

– klasa

1.

– klasa

1.

Przekrój niewrażliwy na miejscową utratę stateczności,

posiada rezerwę plastycznej nośności.

Parametr

mechaniczny

0

,

1

235

/

235

/

235







y

f



Konstrukcje stalowe

Przykład obliczeniowy

Moment bezwładności przekroju

względem osi y-y

4

3

2

3

cm

94907

12

60

0

,

1

0

,

31

0

,

2

0

,

20

12

0

,

2

0

,

20

2

































y

J

Wskaźnik wytrzymałości przekroju

względem osi y-y

3

,

cm

2966

32

94907





y

el

W

Wskaźnik wytrzymałości środnika

(rdzeń sprężysty)

3

2

cm

00

6

6

60

0

,

1







e

y

W

Konstrukcje stalowe

Przykład obliczeniowy

Moment statyczny pasa (część

uplastyczniona)

3

cm

1240

0

,

31

0

,

20

0

,

2









p

y

S

Moment statyczny połowy przekroju

3

cm

690

1

0

.

15

0

,

30

0

,

1

0

,

31

0

,

20

0

,

2















y

S

Wskaźnik oporu plastycznego

3

,

cm

3380

1690

2

2









y

y

pl

S

W

Konstrukcje stalowe

Przykład obliczeniowy

Maksymalny moment sprężysty

kNm

697

kNcm

69701

5

,

23

2966

,











y

y

el

e,max

f

W

M

Moment sprężysto-plastyczny

(uplastycznione pasy)

Moment graniczny (pełne

uplastycznienie przekroju)

kNm

724

kNcm

72380

5

,

23

)

1240

2

600

(

)

2

(



















y

p

y

e

y

ep

f

S

W

M

kNm

794

kNcm

79430

5

,

23

3380

,

0











y

y

pl

f

W

M

Rezerwa plastyczna

%

14

%

100

697

697

794

%

100

0















e,max

e,max

pl

M

M

M

R

Konstrukcje stalowe

Plastyczna rezerwa konstrukcji

Plastyczna redystrybucja momentów
zginających

Konstrukcje stalowe

Obciążenie graniczne belki

Warunki równowagi momentów w przegubach plastycznych

.

2

1

:

,

2

1

:

2

2

ql

l

R

M

B

qx

x

R

M

C

A

B

c

C

A

C









Warunki plastyczności

0

0

,

M

M

M

M

B

C







Równanie sił

0)

(

0















C

C

A

C

A

C

V

qx

R

V

R

qx

Konstrukcje stalowe

Obciążenie graniczne belki

Podstawiając reakcję i warunki plastyczności do pierwszego
równania momentów, otrzymujemy

2

0

2

0

2

2

1

C

C

x

M

q

qx

M







Po wykorzystaniu tego wyniku w drugim równaniu momentów
będzie:

0

2

1

2

1

2

2







ql

l

qx

qx

C

C

Jest to równanie kwadratowe, z którego wyznaczamy
pierwiastek leżący w obszarze belki. Ostatecznie obciążenie
graniczne wynosi

l

x

C

)

1

2

(





2

0

2

0

2

0

)

2

2

3

(

2

)

1

2

(

2

l

M

l

M

q









Konstrukcje stalowe

Obciążenie graniczne belki

Dla danych z poprzedniego przykładu obliczymy
nośność sprężystą belki
o rozpiętości 10 m.

kN/m

8

,

55

10

697

8

8

2

2

,

,









l

M

q

max

e

max

e

Nośność graniczna

kN/m

6

,

92

10

794

)

2

2

3

(

2

)

2

2

3

(

2

2

2

0

0















l

M

q

Rezerwa plastyczna konstrukcji

%

66

%

100

8

,

55

8

,

55

6

,

92

%

100

0















e,max

e,max

pl

q

q

q

R

Konstrukcje stalowe

W wykładzie omówiono następujące zagadnienia

Model materiału sprężysto-idealnie

plastycznego

Fazy wytężenia bisymetrycznego przekroju

zginanego

Moment zginający w przekroju częściowo

uplastycznionym

Nośność obliczeniowa przekrojów krępych
Przykład obliczeniowy (plastyczna rezerwa

nośności przekroju)

Plastyczna rezerwa konstrukcji

Koniec