STAN GRANICZNY

NOŚNOŚCI

według PN-EN 1992-1-1

Zasady obliczania w stanie SGN

Umowny podział:
• M

Ed

N

Ed

-

naprężenia normalne

- zginanie,

mimośrodowe ściskanie lub rozciąganie

• V

Ed

T

Ed

-

naprężenia styczne

– ścinanie, przebicie,

skręcanie, rozwarstwienie

Wyjątki:
Płyty, tarcze – uwzględnia się też M

xy

przy obliczaniu pola

przekroju

zbrojenia w kierunku x i y

Przebicie – uwzględnia się wpływ M

Edx

i M

Edy

na naprężenia

styczne

Obliczanie przekroju

obciążonego momentem zginającym i

siłą podłużną

Wyróżniamy trzy stany obciążenia

przekroju (fazy pracy):

• Faza I – przed zarysowaniem
• Faza II – po zarysowaniu
• Faza III – zniszczenie –

stan SGN (ULS)

FAZA III – zniszczenie

Zniszczenie 

zmiażdżenie betonu w strefie

ściskanej

W zależności od stopnia zbrojenia

dochodzi
do tego:

-

pośrednio

, na skutek przyrostu odkształcenia po

uplastycznieniu rozciąganego zbrojenia,

-

bezpośrednio

, na skutek osiągnięcia granicznych

odkształceń skrajnego włókna strefy ściskanej
przekroju;
zbrojenie rozciągane nie osiąga stanu
uplastycznienia.

c

s

A

A





Mechanizmy zniszczenia przy zginaniu

Umowne zależności σ – ε

beton w strefie ściskanej zbrojenie

Zniszczenie pośrednie ρ < ρ

lim

Obserwujemy: -

wyraźny przyrost ugięcia

-

poszerzanie się i wydłużanie

rys

Obserwujemy niewielkie ugięcie i niewielkie
zarysowanie. Zbrojenie nie osiąga granicy
plastyczności.

Zniszczenie ma charakter gwałtowny!

Stan graniczny ρ = ρ

lim

d

E

f

x

s

y

cu

cu

lim













lim

c

c

lim

lim

x

k

d

f

bx

M







Wyznaczmy ρ

lim

przy następujących danych

:

5

,

3

cu





‰

MPa

400

f

y



MPa

200000

E

s



0

,

2

y





‰

d

636

,

0

d

0

,

2

5

,

3

5

,

3

x

lim







4

,

0

k

c



8

,

0





c

2

c

lim

f

bd

379

,

0

f

)

d

636

,

0

4

,

0

d

(

d

636

,

0

b

8

,

0

M











Przyjmujemy

i obliczamy

Załóżmy dodatkowo

y

c

lim

lim

,

s

f

f

bx

A





lim

lim

d

x





y

c

lim

lim

s

lim

f

f

bd

A









MPa

40

f

c



051

,

0

400

40

636

,

0

8

,

0

lim











Z warunku równowagi sił

wobec czego

Załóżmy, że zwiększamy zbrojenie o 50 %

cu

cu

s

1

x

x

d



















lim

5

,

1 





s

s

y

c

lim

c

E

f

f

bx

5

,

1

bxf









200000

0035

,

0

1

400

1

636

,

0

5

,

1



















703

,

0







c

2

f

bd

404

,

0

M

066

,

1

379

,

0

404

,

0



ξ = x/d

Obliczamy odkształcenie stali

Z warunku równowagi sił

obliczamy

ξ oraz M

Przyrost nośności nie jest adekwatny do stopnia zwiększenia
zbrojenia

!

Uwaga!

Jeżeli przekrój jest zbrojony tylko w strefie
rozciąganej,
a stopień zbrojenia

ρ ≥ ρ

lim

(x ≥ x

lim

)

to taki przekrój nie ma zdolności do
plastycznych odkształceń!

Można dozbroić strefę ściskaną tak, aby
zmniejszyć wysokość strefy ściskanej do
wielkości

x < x

lim

dzięki czemu przekrój uzyska zdolność do
plastycznych odkształceń w fazie zniszczenia

Krzywizna przekroju zginanego



















m

1

d

c

s

Krzywizna graniczna zostaje osiągnięta przy ε

c

= ε

cu

Odkształcenia graniczne zbrojenia są znacznie większe niż
odkształcenia betonu ε

cu

, więc nie decydują o κ

lim

Schematyczne zależności M – κ (moment – krzywizna)

przy różnych stopniach zbrojenia podłużnego (tylko w strefie
rozciąganej)

Przekrój prostokątny
Beton C30/37
Stal o f

yk

= 500MPa

ρ

min

– z warunku, aby po zarysowaniu zbrojenie mogło

przenieść
tę siłę, którą przed zarysowaniem przenosiła strefa
rozciągana (beton + zbrojenie)

ρ

lim

– jak poprzednio

Zmienność momentu w funkcji stopnia zbrojenia przekroju

Projektowanie

Częściowe współczynniki materiałowe

Sytuacja

obliczeniow

a

Beton



c

Stal

zbrojeniow

a



s

SGN – stała i

przejściowa

1,40 PN

1,50 EN

1,15

Wyjątkowa –

bez pożaru

1,20

1,00

Wyjątkowa –

pożar

1,00

1,00

SGU

1,00

1,00

ZAŁOŻENIA OBLICZENIOWE

-

płaskie przekroje pozostają nadal płaskie,

- odkształcenie zbrojenia z przyczepnością
jest
takie samo jak otaczającego betonu

- wytrzymałość betonu na rozciąganie pomija
się

- naprężenia ściskające w betonie ustala się
na
podstawie związku σ - ε podanego w PN-EN

- naprężenia w stali zbrojeniowej ustala się na
podstawie obliczeniowych wykresów wg PN-
EN

-

przy ocenie naprężeń w cięgnach

sprężających
uwzględnia się początkowe odkształcenie w
tych
cięgnach.

Rys. 3.3: Wykres paraboliczno–prostokątny przy ściskaniu

f

ck

≤ 50MPa

ε

c2

= 2,00‰ ε

cu2

=3,50‰ n

= 2

c2

c

n

c2

c

cd

c

ε

ε

0

jeżeli

ε

ε

-

1

-

1

f

σ

































cu2

c

c2

cd

c

ε

ε

ε

jeżeli

f

σ







PN

4

,

1

EN

5

,

1

zalecane

0

,

1

f

f

c

c

cc

c

ck

cc

cd



















Model betonu (1)

Jeżeli f

ck

≥ 50MPa

ε

c2

= 2,0 + 0,085 (f

ck

– 50)

0,53

[‰]

ε

cu2

= 2,6 + 35 [0,01 (90 – f

ck

)]

4

[‰]

n = 1,4 + 23,4 [0,01 (90 – f

ck

)]

4

Przykładowo przy f

ck

= 90MPa (C90/105)

ε

c2

= 2,6‰

ε

cu2

= 2,6‰

n = 1,4

Oznacza to, że betonom o wysokiej
wytrzymałości przypisuje się mniejszą
zdolność do odkształcania !

Model betonu (1)

Obliczeniowe charakterystyki w zależności od klasy betonu

Model betonu (1)

Rysunek 3.4: Bilinearna zależność naprężenie-
odkształcenie

f

ck

≤ 50MPa

ε

c3

= 1,75‰

ε

cu3

=3,50‰

Model betonu (2)

Jeżeli f

ck

≥ 50MPa

ε

c2

= 2,0 + 0,085 (f

ck

– 50)

0,53

[‰]

ε

cu2

= 2,6 + 35 [0,01 (90 – f

ck

)]

4

[‰]

n = 1,4 + 23,4 [0,01 (90 – f

ck

)]

4

Przykładowo przy f

ck

= 90MPa (C90/105)

ε

c2

= 2,6‰

ε

cu2

= 2,6‰

n = 1,4

Oznacza to, że betonom o wysokiej
wytrzymałości przypisuje się mniejszą
zdolność do odkształcania !

Model betonu (2)

Obliczeniowe charakterystyki w zależności od

klasy betonu

Model betonu (2)

Rysunek 3.5: Prostokątny rozkład naprężeń

50MPa

f

dla

0,8

λ

ck





MPa

90

f

50

dla

400

50)

(f

-

0,8

λ

ck

ck









MPa

50

f

dla

1,0

η

ck





MPa

90

f

50

dla

200

50

f

-

1,0

η

ck

ck









f

ck

≤ 50MPa

ε

c3

= 1,75‰

ε

cu3

=3,50‰

Model betonu (3)

Stal walcowana na gorąco

Stal walcowana

na zimno

Wykresy naprężenie-odkształcenie typowej
stali zbrojeniowej
(wartości bezwzględne pokazane są dla
naprężeń rozciągających i odkształceń)

Model stali

k = (f

t

/f

y

)

k

A Idealizowany

B Obliczeniowy

Rysunek 3.8. Idealizowany i obliczeniowy wykres б - ε
stali zbrojeniowej (dla ściskania lub rozciągania)

Ograniczenie ε

ud

obowiązuje przy wykresie z pochyloną

górną gałęzią

Wartość zalecana ε

ud

= 0,9ε

uk

Model stali
pasywnej

A Idealizowany

B Obliczeniowy

Rysunek 3.10. Idealizowany (A) i obliczeniowy (B)
wykres naprężenie –odkształcenie stali sprężającej
( przedstawiono wartości bezwzględne naprężenia
rozciągającego i odkształcenia)

f

p0,1k

/f

pk

= 0,9 ε

ud

= 0,9 ε

uk

(ε

ud

= 0,02)

Model stali
sprężającej

Rys. 6.1: Możliwe rozkłady odkształceń w
stanie
granicznym nośności

A – graniczne wydłużenie stali zbrojeniowej

B - graniczne skrócenie betonu
C – graniczne odkształcenia betonu przy
ściskaniu
osiowym

Odkztałcenia

Możemy rozważać:

- wymiarowanie

szukamy pola przekroju zbrojenia A

s1

i A

s2

, takiego,

aby E

d

≤ R

d

(M

Ed

lub M

Ed

i N

Ed

)

ograniczenia:

- możemy uwzględnić tylko dwa poziomy zbrojenia
przekroju;
- w wielu przypadkach potrzebna będzie iteracja

-

sprawdzenie nośności za pomocą krzywej

interakcji

przyjmujemy pola przekroju zbrojenia A

s1

i A

s2

(a także A

s3

, A

s4

itd.),
określamy nośność przekroju i sprawdzamy, czy E

d

≤ R

d

;

jeżeli tak nie jest, to korygujemy A

s

i ponawiamy obliczenia

korzyści:

- nie jest potrzebna iteracja
- możemy uwzględniać wiele poziomów zbrojenia
- możemy łatwo sprawdzać, czy przekrój przenosi
różne kombinacje M

Ed

i N

Ed

Tablice pomocnicze –

beton o f

ck

≤ 50 MPa

Za pomocą współczynników podanych w tabelach można
określić następujące przekrojowe wielkości:

wysokość strefy ściskanej

x=d

ramię sił wewnętrznych

z=d

wypadkową bryły naprężenia w betonie

F

c

=bdf

cd

moment tej wypadkowej względem
osi zbrojenia rozciąganego

M

cs

=

cs

bd

2

f

cd

oraz odkształcenia skrajnych włókien przekroju i
odkształcenia zbrojenia ściskanego i
rozciąganego.

W obliczeniach wykorzystuje się dwa warunki
równowagi:

- sił wewnętrznych
- momentów tych sił

TABLICE POMOCNICZE - Beton do C50/60

Wypadkowa bryły naprężenia ściskającego

















21

17

7

4

3

2

7

3

cd

c

bdf

F





d

x





Moment siły w betonie względem osi A

s1

2

cs

98

33

21

17

7

4

8

3

7

3

1

7

4

3

2

7

3

2

1

1

7

3





























































cd

2

cs

cs

f

bd

M





Ramię sił wewnętrznych















1666

693

1

cs

d

z 



Odkształcenia zbrojenia













1

5

,

3

1

s











d

/

a

5

,

3

2

2

s

Beton do C50/60, cały przekrój ściskany, x > h

Przykładow
a
krzywa
interakcji

Przekrój zbrojony
niesymetrycznie

Przykładowe
krzywe
interakcji

Przekrój zbrojony
symetrycznie

Modele betonu:

Paraboliczno
-prostokątny

Dwuliniowy

Prostokątny