„Matematyk zrobi to

lepiej. ”

Hugo Steinhaus

Długość łuku.

Jeśli umiesz obliczyć długość okręgu czy
obwód koła nie powinno sprawić Ci trudności
obliczenie długości łuku.

OZNACZENIA.

Przyjmujemy
następujące
oznaczenia:
r – długość
promienia

d

– długość

średnicy

l

– długość okręgu

(obwód koła)
O – środek okręgu
(koła)

Ważne:

d = 2r

LICZBA π.

Przypomnijmy (dokładne informacje
znajdziesz w lekcji „Koło. Okrąg. Liczba π”):

l – długość okręgu
Najczęściej stosowane przybliżenia:

π ≈ 3,14

ŁUK.

Łukiem nazywamy część okręgu

ograniczoną dwoma punkami.

Dwa punkty okręgu wyznaczają dwa różne

łuki.

ABC

- łuk

CDA

- łuk

KĄT ŚRODKOWY.

Kątem środkowym nazywamy kąt o wierzchołku

w środku okręgu (koła) i ramionach zawierających

promienie okręgu (koła).

α – kąt
środkowy

DŁUGOŚĆ ŁUKU.

Przyjrzyj się poniższym rysunkom. Długość
narysowanych okręgów wynosi 4π (l = 4π).
Potrafisz określić długość zaznaczonych
kolorem łuków?

DŁUGOŚĆ ŁUKU.

Oto prawidłowe odpowiedzi (długość łuku
oznaczyliśmy literą ł):

ł = 2π

Ponieważ

ł = 0,5 ∙ l

ł = π

Ponieważ

ł = 0,25 ∙ l

ł = 3π

Ponieważ

ł = 0,75 ∙ l

Skąd się wzięły te ułamki? Po pierwsze widać jaką
częścią całego okręgu jest zaznaczony łuk, a po
drugie…

DŁUGOŚĆ ŁUKU.

Ten łuk oparty jest na kącie
środkowym o mierze 180°. Cały
okrąg to 360°. A więc:

Ten łuk oparty jest na kącie
środkowym o mierze 90°. A więc:

DŁUGOŚĆ ŁUKU.

Znając wzór na obliczenie długości okręgu

l

o promieniu

r

, jesteśmy wstanie obliczyć

długość dowolnego łuku

ł

dla którego

znamy miarę kąta środkowego

α

na którym

jest oparty ten łuk.

ł – długość łuku
r – promień okręgu (koła)
α – miara kąta środkowego na którym oparty jest
łuk

DŁUGOŚĆ ŁUKU.

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 1.
Kąt o wierzchołku w środku okręgu o
promieniu 10 ma miarę 40°. Oblicz długość
łuku ł wyznaczonego przez ten kąt.

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 2.
Jaki promień ma okrąg, w którym kąt o
wierzchołku w środku okręgu i mierze 45°
jest oparty na łuku o długości 4π?

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 1.
Dłuższa wskazówka zegarka ma długość 2
cm. Oblicz jaką drogę przebywa koniec tej
wskazówki w ciągu 45 minut.
Dłuższa wskazówka to wskazówka minutowa.
W ciągu 45 minut przebywa trzy czwarte
długości okręgu.

A więc w ciągu 45 minut
wskazówka pokonuje drogę
równą 3π cm, czyli w przybliżeniu 3 ∙ 3,14 cm
= 9,42 cm

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 2.
Przyjmując, że bok jednej kratki ma długość

1 oblicz długość linii z rysunku.

Narysowana linia składa się z

łuków.

Można rozpatrywać każdy łuk

osobno, wszystkie są ćwiartkami
okręgu o promieniu 2 i 1.

Ale jeśli przyjrzymy się uważniej

zauważymy, że z tych ćwiartek
da się ułożyć 2 całe okręgi.

PRZYKŁADOWE

ZADANIA.

ZADANIE 2 – ciąg dalszy.

Na rysunku obok

kwadracikami

zaznaczono części

składające się

na poszczególne okręgi.
Ponieważ wzór na długość

okręgu wygląda tak: l =

2πr, więc

długość linii możemy

obliczyć

tak:
l = 2π ∙ 2 + 2π ∙ 1 = 6π