„Matematyk zrobi to 

lepiej. ”

Hugo Steinhaus

Długość łuku.

Jeśli umiesz obliczyć długość okręgu czy 
obwód koła nie powinno sprawić Ci trudności 
obliczenie długości łuku.

OZNACZENIA.

Przyjmujemy 
następujące 
oznaczenia:
r – długość 
promienia

d

 – długość 

średnicy

l

 – długość okręgu 

(obwód koła)
O – środek okręgu 
(koła)

Ważne:

d = 2r

LICZBA π.

Przypomnijmy (dokładne informacje 
znajdziesz w lekcji „Koło. Okrąg. Liczba π”):

l – długość okręgu
Najczęściej stosowane przybliżenia:

   π ≈ 3,14

ŁUK.

Łukiem nazywamy część okręgu 

ograniczoną dwoma punkami. 

Dwa punkty okręgu wyznaczają dwa różne 

łuki.

ABC 

- łuk

CDA 

- łuk

KĄT ŚRODKOWY.

Kątem środkowym nazywamy kąt o wierzchołku 

w środku okręgu (koła) i ramionach zawierających 

promienie okręgu (koła).

α – kąt 
środkowy

DŁUGOŚĆ ŁUKU.

Przyjrzyj się poniższym rysunkom. Długość 
narysowanych okręgów wynosi 4π (l = 4π). 
Potrafisz określić długość zaznaczonych 
kolorem łuków? 

DŁUGOŚĆ ŁUKU.

Oto prawidłowe odpowiedzi (długość łuku 
oznaczyliśmy literą ł):

ł = 2π

Ponieważ

ł = 0,5 ∙ l

ł = π

Ponieważ

ł = 0,25 ∙ l

ł = 3π

Ponieważ

ł = 0,75 ∙ l

Skąd się wzięły te ułamki? Po pierwsze widać jaką 
częścią całego okręgu jest zaznaczony łuk, a po 
drugie…

DŁUGOŚĆ ŁUKU.

Ten łuk oparty jest na kącie 
środkowym o mierze 180°. Cały 
okrąg to 360°. A więc:

Ten łuk oparty jest na kącie 
środkowym o mierze 90°. A więc:

DŁUGOŚĆ ŁUKU.

Znając  wzór na obliczenie długości okręgu 

l

  o  promieniu 

r

,  jesteśmy  wstanie  obliczyć 

długość  dowolnego  łuku 

ł

  dla  którego 

znamy miarę kąta środkowego 

α

 na którym 

jest oparty ten łuk.

ł – długość łuku
r – promień okręgu (koła)
α – miara kąta środkowego na którym oparty jest 
łuk

DŁUGOŚĆ ŁUKU.

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 1.
Kąt o wierzchołku w środku okręgu o 
promieniu 10 ma miarę 40°. Oblicz długość 
łuku ł wyznaczonego przez ten kąt.

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 2.
Jaki promień ma okrąg, w którym kąt o 
wierzchołku w środku okręgu i mierze 45° 
jest oparty na łuku o długości 4π?

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 1.
 Dłuższa wskazówka zegarka ma długość 2 
cm. Oblicz jaką drogę przebywa koniec tej 
wskazówki w ciągu 45 minut.
Dłuższa wskazówka to wskazówka minutowa. 
W ciągu 45 minut przebywa trzy czwarte 
długości okręgu.

A więc w ciągu 45 minut 
wskazówka pokonuje drogę 
równą 3π cm, czyli w przybliżeniu 3 ∙ 3,14 cm 
= 9,42 cm

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 2.
Przyjmując, że bok jednej kratki ma długość 

1 oblicz długość linii z rysunku.

Narysowana linia składa się z

łuków.

Można rozpatrywać każdy łuk

osobno, wszystkie są ćwiartkami
okręgu o promieniu 2 i 1.

Ale jeśli przyjrzymy się uważniej

zauważymy, że z tych ćwiartek 
da się ułożyć 2 całe okręgi.

PRZYKŁADOWE 

ZADANIA.

ZADANIE 2 – ciąg dalszy.

Na rysunku obok 

kwadracikami 

zaznaczono części 

składające się

na poszczególne okręgi.
Ponieważ wzór na długość 

okręgu wygląda tak: l = 

2πr, więc 

długość linii możemy 

obliczyć 

tak:
l = 2π ∙ 2 + 2π ∙ 1 = 6π