„Księga natury pisana jest w

matematycznym języku.”

Galileusz

DŁUGOŚĆ OKRĘGU.

Wyobraź sobie, że trzymasz w rękach okrąg
wykonany np. z drutu. Jeśli rozetniemy ten
okrąg i wyprostujemy, otrzymany drut będzie
miał taką samą długość jak okrąg. Kiedy
chcemy zmierzyć obwód okrągłego
przedmiotu, np. słoika, najłatwiej to zrobić
przy pomocy sznurka – opasamy nim słoik,
zaznaczamy miejsce spotkania dwóch końców
a następnie prostujemy i mierzymy np. linijką.
Obwód koła i długość okręgu to analogiczne
pojęcia.

OZNACZENIA.

Przyjmujemy
następujące
oznaczenia:
r – długość
promienia

d

– długość

średnicy

l

– długość okręgu

(obwód koła)
O – środek okręgu
(koła)

Ważne:

d = 2r

LICZBA π.

Przypomnijmy (dokładne informacje
znajdziesz w lekcji „Koło. Okrąg. Liczba π”):

Najczęściej stosowane przybliżenia:

π ≈ 3,14

DŁUGOŚĆ OKRĘGU.

Skoro

łatwo więc wyznaczyć wzór na obliczenie
długości okręgu - l

l = πd

DŁUGOŚĆ OKRĘGU.

Pamiętając o związku między długością
średnicy a długością promienia: d = 2r , wzór
na długość okręgu możemy zapisać tak:

l = 2πr

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 1.
Podaj długość okręgu o promieniu 3,14.
r = 3,14
l = 2πr
l = 2π ∙ 3,14 = 6,28π

PRZYKŁAD 2.
Podaj długość okręgu o średnicy 4,2.
d = 4,2
l = πd
l = π ∙ 4,2
l = 4,2π

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 3.
Podaj długość promienia koła o obwodzie
0,8π.
l = 0,8π
l = 2πr /: 2π

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 4.
Podaj przybliżoną długość okręgu o
promieniu 10 km.
r = 10 km
l = 2πr
π ≈ 3,14
l ≈ 2 ∙ 3,14 ∙ 10 km
l ≈ 62,8 km

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 5.
Podaj przybliżoną długość okręgu o
średnicy 5 m.
d = 5 m
l = πd
π ≈ 3,14
l ≈ 3,14 ∙ 5 m
l ≈ 15,7 m

UWAGA

Przybliżenie π stosujemy tylko kiedy
wymaga tego zadanie. W pozostałych

przypadkach podajemy wartość dokładną

– stosując symbol π.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 1.
Każda z 4 osób ma rozpiętość ramion równą 140
cm. Czy zdołają objąć pień drzewa o średnicy 180
cm?
Obliczamy najpierw obwód drzewa:
d = 180 cm
π ≈ 3,14
l = πd
l ≈ 3,14 ∙ 180 cm = 565,2 cm.
4 osoby o danej rozpiętości ramion mogą objąć
drzewo o obwodzie 4 ∙ 140 cm = 560 cm. Jak
widać z obliczeń to mniej niż obwód danego
drzewa.

PRZYKŁADOWE

ZADANIA.

ZADANIE 2.
Tomek wybrał się do wesołego miasteczka i
wsiadł na karuzelę. W ciągu minuty karuzela
obraca się 5 razy. Tomek siedzi na krzesełku
w odległości 5 m od środka karuzeli. Jaką
drogę pokonuje chłopiec w ciągu 10 minut?
Najpierw obliczymy jaką drogę pokonuje
krzesełko w czasie 1 obrotu.
r = 5 m
l = 2πr
l = 2π ∙ 5 m = 10π m

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 2 – ciąg dalszy.
W takim razie w ciągu minuty karuzela
pokonuje drogę:
5 ∙ 10π m = 50π m,
a więc w ciągu 10 minut:
10 ∙ 50π m = 500π m.
W przybliżeniu (wstawiając π ≈ 3,14) jest to:
500 ∙ 3,14 m = 1570 m = 1,57 km

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 3.
Koło skutera ma średnicę 40 cm. Ile pełnych
obrotów wykona to koło na drodze 100 m?
W ciągu jednego pełnego obrotu koło
pokonuje drogę równą swemu obwodowi.
d = 40 cm
l = πd
l = π ∙ 40 cm = 40π cm
l ≈ 40 ∙ 3,14 cm = 125, 6 cm = 1,256 m
Aby obliczyć ile pełnych obrotów wykona to
koło na danej drodze wystarczy podzielić tę
drogę przez obwód koła.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 3 – ciąg dalszy.
100 m : 1,256 m = 79,61 …
W takim razie na drodze 100 m koło o

średnicy 40 cm wykona 79 pełnych
obrotów (zaokrąglamy w dół, gdyż chodzi
nam jedynie o pełne obroty na danej
drodze).

PRZYKŁADOWE

ZADANIA.

ZADANIE 4.
Ania jedzie na rowerze z tak ustawioną

przerzutką, że jeden pełny obrót pedałów
powoduje trzy obroty każdego koła roweru.
Koła te mają średnicę 70 cm. Ile pełnych
obrotów pedałami musi wykonać Ania, aby
przejechać 1 kilometr? W obliczeniach
przyjmij .

Zadanie jest podobne do poprzedniego.

Najpierw obliczymy „długość kół” roweru.

d = 70 cm

PRZYKŁADOWE

ZADANIA.

ZADANIE 4 – ciąg dalszy.

Jeden obrót pedałów powoduje trzy obroty kół,

więc aby dowiedzieć się jaką drogę pokonuje
Ania po jednym obrocie napędu musimy nasz
wynik pomnożyć przez 3.

220 cm ∙ 3 = 660 cm
660 cm = 6,6 m
1 km = 1000 m

PRZYKŁADOWE

ZADANIA.

ZADANIE 4 – ciąg dalszy.
Zamiana jednostek była niezbędna do

przeprowadzenia dalszych obliczeń (możemy

działać jedynie na wielkościach wyrażonych w

tych samych jednostkach). Aby obliczyć ilość

obrotów pedałów na drodze 1 km, dzielimy tę

drogę przez obwód koła roweru x3 (tyle obrotów

przypada na jeden obrót pedałów).

1000 m : 6,6 m = 151,(51)
Pytanie brzmiało tak: „ Ile pełnych obrotów

pedałami musi wykonać Ania, aby przejechać 1

kilometr? „ a więc wynik musimy zaokrąglić w

górę, gdyż chodzi nam o pełne obroty pedałów

potrzebne to pokonania danej trasy – potrzeba

ich 152 (151 nie wystarczy do przejechania 1

km.