Konstrukcja modelu

Konstrukcja modelu

ekonometrycznego i estymacja

ekonometrycznego i estymacja

parametrów modelu

parametrów modelu

ekonometrycznego

ekonometrycznego

1.

1.

Wybór postaci analitycznej

Wybór postaci analitycznej

2.

2.

Estymacja - Metoda

Estymacja - Metoda

najmniejszych kwadratów

najmniejszych kwadratów

Dr Krystyna Melich-
Iwanek
Katedra Ekonometrii
[e-mail].
pl

Postać analityczna równania -

Postać analityczna równania -

FUNKCJA LINIOWA

FUNKCJA LINIOWA

yt

0

α

X

1

α

Y





FUNKCJA WYKŁADNICZA

FUNKCJA WYKŁADNICZA

0







1

α

X

1

α

0

α

Y

,

•a

o

, podobnie jak w przypadku funkcji

liniowej, interpretowany jest jako poziom
zmiennej endogenicznej Y, gdy zmienna
objaśniająca X przyjmuje wartość zero.
•a

l

nazywane jest stopą wzrostu, tzn. wzrost

wartości zmiennej objaśniającej X o
jednostkę powoduje zmianę poziomu
zmiennej objaśnianej Y o (a

l

- 1) 100%.

(większe od jedności wartości a

l

oznaczają

wzrost wartości zmiennej objaśnianej)

Inne postacie funkcji
wykładniczej

,

X

1

α

0

α

Y



e

,

X

1

α

0

α

Y



10

Funkcja jest

rosnąca

,

gdy



1



Funkcja jest

malejąca

,

gdy







FUNKCJA POTĘGOWA

FUNKCJA POTĘGOWA

1

α

0

X

α

Y 





to wartość zmiennej Y,

gdy X=1



1

to elastyczność zmiennej

Y względem zmiennej X i
oznacza w przybliżeniu
procentową zmianę Y
spowodowaną zmiana X o
1%

FUNKCJA LOGARYTMICZNA

FUNKCJA LOGARYTMICZNA

0

0











1

0

1

0

α

α

logX,

α

α

Y

,





to wartość zmiennej Y, gdy X=1

ESTYMACJA MODELI EKONOMETRYCZNYCH

ESTYMACJA MODELI EKONOMETRYCZNYCH

METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW (MNK)

METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW (MNK)

MNK – POLEGA NA ZNAJDOWANIU TAKICH
WARTOŚCI OCEN PARAMETRÓW
STRUKTURALNYCH MODELU, BY SUMA
KWADRATÓW ODCHYLEŃ ZAOBSERWOWANYCH
(EMPIRYCZNYCH) WARTOŚCI ZMIENNEJ Y

t

OD JEJ

WARTOŚCI TEORETYCZNYCH WYZNACZONYCH
PRZEZ MODEL BYŁA NAJMNIEJSZA.

 

MNK w przypadku jednej zmiennej objaśniającej,

MNK w przypadku jednej zmiennej objaśniającej,

czyli dla modelu

czyli dla modelu

y

y

t

t

=

=





1

1

X

X

t

t

+

+









+

+





t

t

.

.

y = a

1

x - a

o

x

Y

reszty

POLEGA NA ZNAJDOWANIU TAKIEJ PROSTEJ, KTÓRA

JEST NAJLEPIEJ DOPASOWANA DO WSZYSTKICH

PUNKTÓW EMPIRYCZNYCH, CZYLI MINIMALIZOWANA

SUMA KWADRATÓW RESZT (ut).

x

a

y

a

x

x

y

y

x

x

a

n

t

t

n

t

t

t





















0

2

1

1

1

,

)

(

)

)(

(

Reszta modelu :

u

t

= y

t

-y

t

*

= y

t

– a

1

x

t

- a

0

Oznaczenia - zapis skalarny

Oznaczenia - zapis skalarny

Model :

t

it

X

i

k

i

t

Y

lub

,

t

t

X

t

X

t

X

t

Y



































1

0

3

3

2

2

1

1



Model
oszacowany:

t

u

it

X

i

a

k

i

t

Y









1

Reszta
modelu:

it

X

i

a

k

i

t

y

t

y

t

y

t

u













1

*

y

t

* - wartość teoretyczna

zmiennej Y

t

ZAPIS MACIERZOWY

ZAPIS MACIERZOWY

reszt

wektor

Xa,

y

u

oszacowany

model

u,

Xa

y

model

ξ,

Xα

y













y

(n x 1)

, X

(n x k)

, 

(k x 1)

,

a

(k x 1)

,



(n x 1)

, u

(n x 1)

.

WARUNEK MNK

WARUNEK MNK

min

min

)

(

)

(

min,



















































Xa

T

X

T

a

Xa

T

y

y

T

y

Q

Xa

y

T

Xa

y

u

T

u

Q

czyli

n

t

a

t

x

a

t

x

a

t

y

Q

2

2

1

0

2

2

1

1



ZAPIS MACIERZOWY -WARUNEK KONIECZNY

ZAPIS MACIERZOWY -WARUNEK KONIECZNY

MINIMUM

MINIMUM

0

2

2









Xa

T

X

y

T

X

a

Q





a stąd

,

Xa

T

X

y

T

X



X

T

X

dodatnio
określona

Rozwiązanie układu równań

y

T

X

X

T

X

a

1





)

(

WARUNEK DOSTATECZNY MINIMUM

WARUNEK DOSTATECZNY MINIMUM

)

X

T

X

(

a

Q 2

2

2







W punkcie a=(X

T

X)

–1

X

T

y,

funkcja Q ma ekstremum minimum

Przykład- zapis skalarny

Przykład- zapis skalarny

Niech będzie dany model liniowy z dwoma

zmiennymi objaśniającymi

y

t

=



1

X

1t

+





X

2t

+







t

Po oszacowaniu model powinien mieć postać:

y

t

= a



X

1t

+ a



X

2t

+ a





u

t,

czyli

y

t

= y

t

*



u

t

gdzie:
y

t

*

- wartość teoretyczna zmiennej

endogenicznej
u

t

- reszta modelu w okresie t.

Warunek MNK

min

2

1

3

2

2

1

1

2

1

*















































n

t

a

t

x

a

t

x

a

t

y

n

t

t

y

t

y

Q

Aby wyznaczyć min funkcji Q należy ją
trzykrotnie
zróżniczkować, tj. obliczyć pochodne cząstkowe
względem a

i

a następnie

przyrównać je do zera.

Pochodne:

 

1

1

3

2

2

1

1

2

3

2

1

3

2

2

1

1

2

2

1

1

3

2

2

1

1

2

1













































































































n

t

a

t

x

a

t

x

a

t

y

a

Q

t

x

n

t

a

t

x

a

t

x

a

t

y

a

Q

t

x

n

t

a

t

x

a

t

x

a

t

y

a

Q













Po przyrównaniu pochodnych do zera i
uporządkowaniu równań
otrzymujemy tzw. układ równań normalnych

2

/

0

1

3

2

2

1

1

2

2

/

0

2

1

3

2

2

1

1

2

2

/

0

1

1

3

2

2

1

1

2



















































































































n

t

a

t

x

a

t

x

a

t

y

t

x

n

t

a

t

x

a

t

x

a

t

y

t

x

n

t

a

t

x

a

t

x

a

t

y













































































n

t

t

y

n

a

n

t

t

x

n

t

a

t

x

a

n

t

t

y

t

x

n

t

t

x

a

n

t

t

x

n

t

a

t

x

t

x

a

n

t

t

y

t

x

n

t

t

x

a

n

t

t

x

t

x

n

t

a

t

x

a

1

3

1 2

1

2

1

1

1 2

1 2

3

1

2

2

1

2

1

2

1

1 1

1 1

3

1

2

1

1

2

2

1

1





































































































































































n

t

t

y

n

t

t

y

t

x

n

t

t

y

t

x

a

a

a

n

n

t

t

x

n

t

t

x

n

t

t

x

n

t

t

x

n

t

t

x

t

x

n

t

t

x

n

t

t

x

t

x

n

t

t

x

1

1 2

1 1

3

2

1

1 2

1 1

1 2

1

2

2

1

1

2

1 1

1

2

1

1

2

1

y)

(X

a

X)

(X

T

T





y

T

X

X

T

X

a

1





)

(

Estymator
wektora
parametrów
strukturalnych
modelu

KLASYCZNE ZAŁOŻENIA MNK

KLASYCZNE ZAŁOŻENIA MNK

•Zmienne objaśniające są nielosowe i

niewspółliniowe, k<n,
•Istnieje n populacji składników

losowych, o na - dziejach E(



t

)=0

i

stałych wariancjach, o skoń-czonych

wartościach







D

2

(



t

)=const ,

t=1,2,....,n

•Realizacje zmiennych tworzą proces
czysto losowy, tzn., że następujące po
sobie realizacje składnika losowego są
nieskorelowane, czyli



t

,



s

)=0, dla ts,

•Składniki losowe są nieskorelowane

ze zmiennymi objaśniającymi

Jeżeli spełnione są klasyczne
założenia MNK to estymatory
są:

1.Nieobciążone

2.Efektywne

3.Zgodne

ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA

ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA

Szacowanie nieznanych wartości parametrów
poprzez podanie przedziałów liczbowych, o
których zakłada się, że będą zawierać
prawdziwe wartości poszukiwanych
parametrów z ustalonym z góry
prawdopodobieństwem

 

1

 -

współczynnik ufności,



Przedział ufności dla parametru



i





P{ a

i

- t



d(a

i

)

i

< a

i

+ t



d(a

i

) } =



 
 t



wartość krytyczna dla zmiennej losowej

o rozkładzie
t – Studenta dla n-k stopni swobody, przy
ustalonym poziomie istotności .