Estymacja i weryfikacja modelu

Na etapie estymacji i weryfikacji modelu należy oszacować parametry modelu ekonometrycznego, a także musimy zbadać jego jakość, zbadać czy model jest statystycznie istotny, koincydentny, czy nie występuje w nim efekt katalizy itp.

1. Szacowanie parametrów modelu przed standaryzacją

Nasz model przed standaryzacją przyjmuje postać:

Y = α₀Z₀ + α₁Z₁ + α₂Z₂ + α₃Z₃ + ξ , gdzie

Z₀ = 1 dla wszystkich okresów.

Macierz Z ma obecnie postać:

Z =

Parametry strukturalne α₀, α₁, α₂, α₃ modelu szacujemy metodą najmniejszych kwadratów.

Jeżeli przez a_i oszacowanie parametru α_i, i = 0,1,...,k natomiast A = [a_i]_(k+1)×1 jest wektorem oszacowań parametrów modelu uzyskanym metodą najmniejszych kwadratów, to chcąc wyznaczyć wektor A należy rozwiązać układ równań

Z^TZA = Z^Ty

Układ ten posiada dokładnie jedno rozwiązanie

A = ( Z^TZ )^-1Z^Ty

Układ ten można rozwiązać przy pomocy wzorów Cramera, obliczając macierz odwrotną do macierzy Z^TZ, lub też wykorzystując macierz brzegową postaci

Z^TZ Z^Ty

A =

-I _k+1 0 _(k+1)×

My wykorzystamy ten trzeci sposób.

Mając daną macierz brzegową

A =

dokonujemy przekształceń elementarnych w wyniku których macierz Z^TZ przejdzie w macierz górną trójkątną z jednostkową główną przekątną, natomiast macierz (-I _k+1) w macierz zerową, wówczas w miejscu wektora 0 _(k+1)×1 mamy wektor A, który wynosi

A =

2. Szacowanie parametrów modelu po standaryzacji

Nasz model po standaryzacji przyjmuje postać:

Y = β₂Z₂ + β₃Z₃ + β₅Z₅ + ξ

Wektor B = [b_i] _k×1, będący wektorem oszacowań parametrów modelu po standaryzacji, możemy obliczyć rozwiązując następujące równanie

B = R^-1R₀,

gdzie ( R, R₀ ) jest parą korelacyjną charakteryzującą model

Y = β₂Z₂ + β₃Z₃ + β₅Z₅ + ξ

Znak oszacowania parametru stojącego przy i-tej zmiennej objaśniającej modelu przed standaryzacją musi być taki sam jak znak oszacowania parametru przy zmiennej w modelu określonym przez parę ( R, R₀ ).

Podobnie jak w poprzednim przypadku do obliczeń wykorzystamy odpowiednią macierz brzegową o postaci

R R₀

B =

-I_k 0 _k×1

Nasza macierz brzegowa wygląda następująco:

B =

Po dokonaniu odpowiednich przekształceń elementarnych uzyskałyśmy wektor

B =

3. Wyznaczanie średnich błędów oceny oszacowań parametrów strukturalnych modelu przed standaryzacją

Aby wyznaczyć średnie błędy oceny oszacowań a_i parametrów α_i, i = 0,1,...,k, które będziemy oznaczać symbolem S(a_i) posłużymy się wzorem:

S(a_i) =
, gdzie

d _i+1,i+1 , i = 0,1,...,k oznacza (i +1)-szy element diagonalny macierzy wariancji kowariancji D²(A), przy czym

D²(A) = S
(Z^TZ)^-1

natomiast S
oznacza oszacowanie wariancji składnika losowego ξ modelu i jest równe:

S
=
,

gdzie :

n-(k+1) - liczba stopni swobody

n - liczba obserwacji

k - liczba zmiennych objaśniających w modelu

U - to wektor reszt modelu, których suma składowych powinna być

równa 0

U = y - y^* ,

gdzie

y^* to wektor wartości teoretycznych zmiennej objaśnianej Y, przy czym suma składowych wektora y^* musi być równa sumie składowych wektora y. Wektor y^* możemy obliczyć z formuły

y^* = Z ⋅ A ,

gdzie

A to wektor oszacowań parametrów modelu przed standaryzacją, który dla naszego modelu wynosi

A =

y^* =
⋅
=

Stąd ustalamy wektor reszt U

U = y - y^* =

Przy liczbie obserwacji n = 10 oraz liczbie zmiennych objaśniających k = 8, ustalamy liczbę stopni swobody n - ( k + 1 ) = 6.

Obliczając macierz U^TU

U^TU =
możemy wyznaczyć oszacowanie wariancji

składnika losowego modelu S²_ξ

S²_ξ =

Do wyznaczenia macierzy wariancji kowariancji D²(A) potrzebna jest nam jasna macierz ( Z^TZ )^-1, którą możemy uzyskać korzystając z macierzy blokowej o postaci

Z^TZ I

- I 0

Dokonując elementarnych przekształceń otrzymujemy macierz:

( Z^TZ )^-1 =

Macierz wariancji kowariancji D²(A) wygląda następująco:

D²(A) = S²_ξ ⋅ ( Z^TZ )^-1 =

Uzyskałyśmy następujące wyniki:

S(a₀) =
= 231,358

S(a₁) =
= 0,615

S(a₂) =
= 0,118

S(a₃) =
= 0,176

Średni błąd oszacowania parametru :

α₀ wynosi S(a₀) = 231,358

α₁ wynosi S(a₁) = 0,615

α₂ wynosi S(a₂) = 0,118

α₃ wynosi S(a₃) = 0,176

4. Wyznaczanie przedziałów ufności dla parametrów strukturalnych

Znając oszacowania parametrów strukturalnych modelu oraz standardowe błędy oceny tych parametrów przy założeniu, że składnik losowy ξ ma rozkład normalny możemy wyznaczyć przedziały ufności dla tych parametrów, czyli przedziały, które z przyjętym prawdopodobieństwem 1 - α zawierają wartości parametrów modelu ekonometrycznego. Dla parametru α_i przedział ten ma postać:

α_i ∈ < a_i - t_(n-(k+1)) S(a_i) ; a_i + t_(n-(k+1)) S(a_i) > ,

gdzie t_(n-(k+1)) jest odczytaną z tablicy rozkładu T-Studenta wartością krytyczną dla przyjętego poziomu istotności α oraz liczby stopni swobody n - ( k+1 ).

Przyjęłyśmy poziom istotności α = 0,2 ; przy n - ( k+1 ) = 6 stopniach swobody t_(S) = 1,44. Stąd możemy wyznaczyć przedziały ufności dla poszczególnych parametrów.

Dla parametru α₀ mamy:

-228,356 - 1,44 ⋅ 231,358 ≤ α₀ ≤ -228,356 + 1,44 ⋅ 231,358

-561,511 ≤ α₀ ≤ 104,799

Dla parametru α₁ mamy:

2,539 - 1,44 ⋅ 0,615 ≤ α₁ ≤ 2,539 + 1,44 ⋅ 0,615

1,653 ≤ α₁ ≤ 3,425

Dla parametru α₂ mamy:

-0,303 - 1,44 ⋅ 0,118 ≤ α₂ ≤ -0,303 + 1,44 ⋅ 0,118

-0,473 ≤ α₂ ≤ -0,133

Dla parametru α₃ mamy:

0,165 - 1,44 ⋅ 0,176 ≤ α₃ ≤ 0,165 + 1,44 ⋅ 0,176

-0,088 ≤ α₃ ≤ 0,418

Wyznaczone przedziały zawierają rzeczywiste wartości parametrów strukturalnych z prawdopodobieństwem 1 - α = 0,8.

5. Badanie statystycznej istotności zmiennych objaśniających modelu

W trakcie badania statystycznej istotności, weryfikujemy hipotezę zerową H_0i : α_i = 0 wobec hipotezy alternatywnej H_1i : α_i ≠ 0 i = 1,2,...,k.

Zakładając, że składnik losowy ξ ma rozkład normalny, statystyka

t_i =

ma rozkład t-Studenta o n - ( k+1 ) stopniach swobody. Jeśli t_(n-(k+1)) to wartość krytyczna odczytana z tablic rozkładu t-Studenta przy poziomie istotności α to jeśli spełniona jest nierówność

t_i ≤ t_(n-(k+1)),

wówczas nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej i zmienną Z_i uznajemy za statystycznie nieistotną, natomiast jeśli jest spełniona nierówność

t_i > t_(n-(k+1))

odrzucamy hipotezę zerową na rzecz hipotezy alternatywnej i zmienną Z_i nazywamy statystycznie istotną.

Model nazywamy statystycznie istotny jeśli wszystkie zmienne występujące w nim są statystycznie istotne. Zazwyczaj zmienne statystycznie nieistotne usuwamy z modelu i w związku z tym model staje się statystycznie istotny.

Dla naszego modelu mamy dane:

n - ( k + 1 ) = 6

α = 0,2

t _(n-(k+1)) = 1,44

Zatem możemy sprawdzić statystyczną istotność zmiennych objaśniających.

Dla zmiennej Z₁ mamy:

t₁ =
4,128 > 1,44

Zmienna Z₁ jest statystycznie istotna.

Dla zmiennej Z₂ mamy:

t₂ =
2,57 > 1,44

Zmienna Z₂ jest statystycznie istotna.

Dla zmiennej Z₃ mamy:

t₃ =
0,94 ≤ 1,44

Zmienna Z₃ jest statystycznie nieistotna.

W naszym modelu występuje jedna zmienna statystycznie nieistotna, więc model nie jest statystycznie istotny.

6. Wyznaczanie modelu uciętego i wewnętrznego.

Modelem pierwotnym jest model określony przez parę korelacyjną postaci (R(k);R₀(k)). W modelu tym zmienną objaśnianą jest zmienna Y, a zmiennymi objaśniającymi wszystkie zmienne pochodzące ze zbioru A(k)={Z₁, Z₂, ..., Z_k}.

Dla naszego modelu, modelem pierwotnym jest model o równaniu

Y=β₁Z₁ + β₂Z₂ + ξ, którego wartości zmiennych przedstawiają się następująco:

164,847 1396 2192,5 137,5

193,482 1402 2201,3 121,8

161,243 1458 2212,1 100,4

159,876 1493 2243,2 96,1

Q = 156,835 1554 2289,8 81,7

154,857 1580 2304,4 69,3

159,348 1621 2342,7 66,2

162,945 1698 2368,3 64,9

162,671 1703 2394,2 61,6

161,342 1742 2427,6 58,3

i odpowiada mu para korelacyjna

1,000 -0,168 -0,146 0,447

R = -0,168 1,000 0,992 R₀ = -0,939

-0,146 0,992 1,000 -0,918

Modelem uciętym dla modelu pierwotnego nazywamy model określony przez parę korelacyjną (R_ii, R_0i), gdzie macierz R_ii powstaje z macierzy R(k) przez usunięcie i-tego wiersza i i-tej kolumny, natomiast wektor R_0i powstaje z wektora R₀(k) przez usunięcie i-tej składowej. Model ten powstaje z modelu pierwotnego przez odrzucenie zmiennej objaśnianej Z_i w modelu pierwotnym. Model ucięty ma postać:

Y=βⁱ₁Z₁ +...+ βⁱ_i-1Z_i-1 + βⁱ_i+1Z_i+1 +...+βⁱ_kZ_k + ξ_i.

Możemy wyznaczyć trzy modele ucięte.

Model ucięty ze względu na zmienną Z₁.

1396 2192,5 137,5

1402 2201,3 121,8

1458 2212,1 100,4

1493 2243,2 96,1

Q₁ = 1554 2289,8 81,7

1580 2304,4 69,3

1621 2342,7 66,2

1698 2368,3 64,9

1703 2394,2 61,6

1742 2427,6 58,3

jest określony przez parę korelacyjną

1,000 0,992 -0,939

R₁₁= R₀₁=

0,992 1,000 -0,918

Model ucięty ze względu na zmienną Z₂

164,847 2192,5 137,5

163,482 2201,3 121,8

161,243 2212,1 100,4

159,876 2243,2 96,1

Q₂ = 156,835 2298,8 81,7

154,857 2304,4 69,3

159,348 2342,7 66,2

162,945 2368,3 64,9

162,671 2394,2 61,6

161,342 2427,6 58,3

jest określony przez parę korelacyjną

1,000 -0,146 0,447

R₂₂ = R₀₂ =

-0,146 1,000 -0,918

Model ucięty ze względu na zmienną Z₃

164,847 1396 137,5

163,482 1402 121,8

161,243 1458 100,4

159,876 1493 96,1

Q₃ = 156,835 1554 81,7

154,857 1580 69,3

159,348 1621 66,2

162,945 1698 64,9

162,671 1703 61,6

161,342 1742 58,3

jest określony przez parę korelacyjną

1,000 -0,168 0,447

R₃₃ = R₀₃ =

-0,168 1,000 -0,939

Modelem wewnętrznym dla modelu pierwotnego nazywamy model określony przez parę korelacyjną (R_ii, ρ_i), gdzie ρ_i oznacza i-tą kolumnę macierzy R(k) bez i-tego elementu. W modelu tym zmienną objaśnianą jest zmienna Z_i odrzucona z modelu pierwotnego, zaś zmiennymi objaśniającymi są te same zmienne, które występują w modelu uciętym. Model wewnętrzny dany jest wzorem:

Z_i=γⁱ₁Z₁ + ... + γⁱ_i-1Z_i-1 + γⁱ_i+1Z_i+1 + ... + γⁱ_kZ_k + η_i.

Możemy wyznaczyć trzy modele wewnętrzne.

Model wewnętrzny ze względu na zmienną Z₁.

1396 2192,5 164,847

1402 2201,3 163,482

1458 2212,1 161,243

1493 2243,2 159,876

Q₁ = 1554 2289,8 156,835

1580 2304,4 154,857

1621 2342,7 159,348

1698 2368,3 162,945

1703 2394,2 162,671

1742 2427,6 161,342

jest określony przez parę korelacyjną

1,000 0,992 -0,168

R₁₁ = ρ₁ =

0,992 1,000 -0,146

Model wewnętrzny ze względu na zmienną Z_2.

164,847 2192,5 1396

163,482 2201,3 1402

161,243 2212,1 1458

159,876 2243,2 1493

Q₂ = 156,835 2289,8 1554

154,857 2304,4 1580

159,348 2342,7 1621

162,945 2368,3 1698

162,671 2394,2 1703

161,342 2427,6 1742

jest określony przez parę korelacyjną

1,000 -0,146 -0,168

R₂₂ = ρ₂ =

-0,146 1,000 0,992

Model wewnętrzny ze względu na zmienną Z₃.

164,847 1396 2192,5

163,482 1402 2201,3

161,243 1458 2212,1

159,876 1493 2243,2

Q₃ = 15683,5 1554 2289,8

154,857 1580 2304,4

159,348 1621 2342,7

162,945 1698 2368,3

162,671 1703 2394,2

161,342 1742 2427,6

jest określony przez parę korelacyjną

1,000 -0,168 -0,146

R₃₃ = ρ₃ =

-0,168 1,000 0,992

7. Wyznaczanie współczynnika korelacji cząstkowej.

Współczynnik korelacji cząstkowej zmiennej Y ze zmienną Z_i, oznaczany symbolem r_i^*, jest współczynnikiem korelacji zwykłej pomiędzy resztami modelu uciętego oraz modelu wewnętrznego i można go wyznaczyć z następującego wzoru:

Dla wyznaczenia wartości współczynnika r_i^* można skorzystać z podwójnej macierzy brzegowej postaci:

R_ii ρ_i R_0i

Λ_I = ρ_i^T 1 r_i

R_oi^T r_i 1

Przedstawiamy jak wyglądają współczynniki korelacji cząstkowej dla naszego modelu.

r_i^* dla zmiennej Z₁.

1,000 0,992 -0,168 -0,939

0,992 1,000 -0,146 -0,918

Λ₁ =

-0,168 -0,146 1,000 0,447

-0,939 -0,918 0,447 1,000

r_i^* dla zmiennej Z₂.

1,000 -0,146 -0,168 0,447

-0,146 1,000 0,992 -0,918

Λ₂ =

-0,168 0,992 1,000 -0,939

0,447 -0,918 -0939 1,000

r_i^* dla zmiennej Z₃.

1,000 -0,168 -0,146 0,447

-0,168 1,000 0,992 -0,918

Λ₃ =

-0,146 0,992 1,000 -0,939

0,447 -0,918 -0,939 1,000

Współczynnik korelacji cząstkowej r_i^* jest wykorzystywany dla sprawdzenia statystycznej istotności modelu. Jeżeli spełniona jest nierówność

gdzie F_γ to wartość krytyczna odczytana z tablic rozkładu F-Snedecora przy ustalonym poziomie istotności γ i odpowiedniej liczbie stopni swobody, to zmienna Z_i jest statystycznie istotna, przy założeniu, że rozkład składnika losowego modelu jest normalny.

Dla naszego modelu przyjmujemy, że poziom istotności wynosi γ = 0,05 i przy n-(k+1) = 6 stopniach swobody wartość krytyczna wynosi F_γ = 5,99, więc

Sprawdzamy statystyczną istotność zmiennej Z₁.

r₁^* = 0,855

(r₁^*)² = 0,731

0,731 > 0,499,

więc zmienna Z₁ jest statystycznie istotna.

Sprawdzamy statystyczną istotność zmiennej Z₂.

r₂^* = -0,724

(r₂^*)² = 0,524

0,524 > 0,499,

więc zmienna Z₂ jest statystycznie istotna.

Sprawdzamy statystyczną istotność zmiennej Z₃.

r₃^*= 0,318

(r₃^*)² = 0,101

0,101 < 0,499,

więc zmienna Z₃ nie jest statystycznie istotna.

Na podstawie otrzymanych wyników stwierdzamy, że model nie jest statystycznie istotny, gdyż jedna zmienna Z₃ nie spełnia warunku statystycznej istotności.

8. Badanie jakości modelu

Miarami służącymi do dokonania oceny jakości modelu są współczynnik determinacji, współczynnik zbieżności oraz współczynnik natężenia efektu katalizy.

Współczynnik determinacji lub inaczej kwadrat współczynnika korelacji wielowymiarowej, oznaczamy symbolem r² , który określa jaka część zmiennej objaśnianej Y jest opisana przez model. r² przyjmuje wartości z przedziału < 0,1 >, przy czym im ta wartość większa tym model jakościowo lepszy.

Dla modelu przed standaryzacją obliczamy r² ze wzoru:

r² = 1 - ϕ²

natomiast dla modelu po standaryzacji:

r² = R₀^TR^-1R₀

Współczynnik zbieżności oznaczony symbolem ϕ², mówi nam jaka część objaśnianej Y pozostaje poza modelem. ϕ² przyjmuje wartości z przedziału < 0,1 >, przy czym wartość bliska 0 świadczy o wysokiej jakości modelu.

Dla modelu przed standaryzacją obliczamy go ze wzoru:

ϕ² =
,

gdzie:

U - wektor reszt,

P - wektor odchyleń zmiennej Y od średniej.

P =

Między współczynnikiem determinacji i współczynnikiem zbieżności zachodzi następująca zależność:

r² + ϕ² = 1

Współczynnik natężenia efektu katalizy, oznaczamy symbolem η, jest szkodliwy dla jakości modelu. Często powoduje sztuczne zawyżenie współczynnika determinacji na skutek silnego skorelowania pomiędzy zmiennymi objaśniającymi.

Jeśli:

1. r_ij < 0

2. r_ij > min (
   )

to tę zmienną z pary zmiennych ( Z_i, Z_j ), która mniejszy współczynnik korelacji ze zmienną objaśnianą Y, nazywamy zmienną katalityczną.

W punkcie 1) mamy do czynienia ze słabym katalizatorem, w punkcie 2) mówimy o mocnym katalizatorze.

Współczynnik η przyjmuje wartości z przedziału < 0,1 >, a im jest on niższy tym lepsza jakość modelu. Obliczamy go według wzoru:

η = r² - H

Istotne jest by, współczynniki przed i po standaryzacji przyjmowały wartości zbliżone do siebie.

1. Badanie jakości modelu przed standaryzacją

ϕ² =

Korzystając z wcześniejszych obliczeń wiemy, że U^TU = 184,959.

Pozostaje nam wyznaczyć P ze wzoru:

P =

=
, stąd

P =

Zatem P^TP = 6740,056

ϕ² =
= 0,027

r² = 1 - ϕ² r² = 0,973

η = r² - H

Dla naszego modelu H = 0,956 więc

η = 0,973 - 0,956 = 0,017

2. Badanie jakości modelu po standaryzacji

r² = R₀^TR^-1R₀

r² możemy wyznaczyć dokonując elementarnych przekształceń macierzy blokowej postaci

R R₀

r² =

-R₀^T 0

r² = 0,971

ϕ² = 1 - R₀^TR^-1R₀

Dla wyznaczenia ϕ² skorzystamy z macierzy blokowej postaci

R R₀

ϕ² =

R₀^T 1

ϕ² = 0,029

Sprawdzamy czy została zachowana równość

r² + ϕ² = 1

0,971 + 0,029 = 1

η = r² - H

η = 0,971 - 0,956 = 0,015

Uzyskałyśmy wyniki świadczące o wysokiej jakości modelu.

9.Badanie koincydencji modelu.

Mówimy, że zmienna objaśniająca Z_i modelu jest zmienną koincydentną jeśli spełniona jest nierówność

sign a_i=sign r_i,

czyli znak oszacowania parametru strukturalnego stojącego przy tej zmiennej jest identyczny ze znakiem jej współczynnika korelacji ze zmienną objaśnianą Y. Brak koincydentności uniemożliwia sensowną interpretację ekonomiczną uzyskanych oszacowań parametrów strukturalnych modelu.

Zmienna Z_i jest zmienną koincydentną,gdy znak oszacowania parametru α_i jest identyczny ze znakiem liczby d_i

d_i = r_i - ρ_i^TR_ii^-1R₀₁,

gdzie

r_i - i-ta składowa wektora korelacji,

ρ_i - i-ta kolumna macierzy korelacji z pominięciem i-tego elementu

w kolumnie,

R_ii - macierz powstała z macierzy korelacji po wykreśleniu i-tego wiersza i i-tej kolumny,

R_oi - wektor powstały z wektora korelacji po skreśleniu i-tej składowej wektora korelacji.

Wartość liczby d_i możemy obliczyć wykonując elementarne przekształcenia pojedynczej macierzy brzegowej postaci

R_ii R_oi

B_i=

ρ_i^T r_i

Dany model jest koincydentny, gdy wszystkie jego zmienne są koincydentne.

Koincydencja naszego modelu przedstawia się następująco.

Koincydencja zmiennej Z₁.

r₁=0,447

Przekształcamy macierz brzegową postaci

1,000 0,992 -0,939

0,992 1,000 -0,918

-0,168 -0,146 0,447

i otrzymujemy d₁=0,272. Oznacza to, że zmienna Z₁ jest koincydentna.

Koincydencja zmiennej Z₂.

r₂= -0,939

Przekształcamy macierz brzegową postaci

1,000 -0,146 0,447

-0,146 1,000 -0,918

-0,168 0,992 -0,939

i otrzymujemy d₂ = -0,021. Oznacza to, że zmienna Z₂ jest koincydentna.

Koincydencja zmiennej Z₃.

r₃= -0,918

Przekształcamy macierz brzegową postaci

1,000 -0,168 0,447

-0,168 1,000 -0,939

-0,146 0,992 -0,918

i otrzymujemy d₃ = 0,007. Oznacza to, że zmienna Z₃ nie jest koincydentna.

10. Wyznaczanie macierzy uniwersalnej i macierzy neutralnej.

Macierzą uniwersalną jest macierz

U = [u_ij]_kxk, gdzie

U_ij =

r_i, r_j - i-ta, j-ta składowa wektora korelacji.

Jeżeli macierz korelacji jest macierzą uniwersalną to model taki nie zawiera mocnych ani słabych katalizatorów, a także jest modelem koincydentnym.

Dla wektora korelacji R₀ naszego modelu macierz uniwersalna wygląda następująco:

0,447 1,000 -0,420 -0,410

R₀ = -0,939 U = -0,420 1,000 0,862

-0,918 -0,410 0,862 1,000

Macierzą neutralną jest macierz

N = [n_ij]_kxk, gdzie

N_ij =

Gdy macierz korelacji jest macierzą neutralną to model:

1. Nie zawiera mocnych ani słabych katalizatorów.

2. Nie jest modelem koincydentnym - w modelu tym koincydentna jest tylko ta zmienna objaśniająca, która ma najwyższy współczynnik korelacji ze zmienną objaśnianą.

3. Współczynnik determinacji r² jest równy kwadratowi największej składowej wektora korelacji.

Dla naszego wektora korelacji macierz neutralna wygląda następująco:

0,447 1,000 -0,476 -0,487

R₀ = -0,939 N = -0,476 1,000 0,978

-0,918 -0,487 0,978 1,000

Na podstawie wcześniejszych obliczeń i testów jakości stwierdziłyśmy, że zmienna Z₃ zarówno nie jest statystycznie istotna, jak i nie jest koincydentna, więc decydujemy się na jej usunięcie z modelu. Dzięki temu nasz model zyskuje na jakości, jest zarówno koincydentny, jak i statystycznie istotny. Obecnie nasz model przyjmuje postać:

Y=β₁Z₁ + β₂Z₂ +ξ , gdzie

Z₁ - zatrudnienie ogółem w tys. osób

Z₂ - rodzice samotnie wychowujący dzieci w tys. osób,

para korelacyjna natomiast wygląda następująco:

1,000 -0,168 0,447

R = R₀ =

-0,168 1,000 -0,939

Praca pochodzi z serwisu www.e-sciagi.pl

---