Ogólny schemat budowy modelu ekonometrycznego

Krok I

Określenie celu badań modelowych

Krok II

Specyfikacja elementów systemu i jego otoczenia

Krok III

Specyfikacja zmiennych wraz z gromadzeniem danych

Krok IV

Wybór klasy modelu

Krok V

Estymacja parametrów strukturalnych

Krok VI

Weryfikacja modelu

Krok VII

Wnioskowanie na podstawie modelu

Schemat procedury weryfikacji modelu ekonometrycznego otrzymanego metodą najmniejszych kwadratów (ciągle wersja wstępna)

y = f (x1,x2,...,xk, ε) = ao + a1 x1 +...+ ak xk+εi

gdzie:

y - zmienna objaśniana,

xi - zmienna objaśniająca,

ε - składnik losowy,

Etap I

Badanie dopuszczalności modelu ze względu na wartości współczynników zmienności (V) oraz zbieżności (
):

,

gdzie:
- błąd standardowy reszt,
- wartość średnia zmiennej Y.

,

gdzie:
- kwadrat reszt (
,
- obserwacje zmiennej objaśnianej,
- wartości zmiennej objaśnianej z modelu). Możliwe jest przedstawienie alternatywne za pomocą współczynnika determinacji:
.

W sposób arbitralny ustala się wartość graniczną
(jest to zazwyczaj wielkość około 10%), oraz około 60% dla R².

Badanie koincydencji

Etap II

Badanie istotności układu współczynników (w oparciu o statystykę F-Snedecora)

Istotność układu współczynników regresji.

Stawiamy hipotezę:

przeciwko hipotezie alternatywnej

.

Hipotezę tę weryfikujemy w oparciu o statystykę

Statystyka F, przy prawdziwości hipotezy zerowej ma rozkład F-Snedecora o (k) stopniach. licznika i (n-k-1) stopniach mianownika.

Etap III

Dla każdego parametru równania regresji (j=0,1,...,k) stawiana jest hipoteza
przeciwko hipotezie alternatywnej
.

Hipotezę weryfikujemy w oparciu o statystykę

,

Statystyka ta przy prawdziwości hipotezy zerowej ma rozkład t-Studenta o (n-k-1) stopniach swobody.

Jeżeli dla jakiejś zmiennej objaśniającej j przyjmowana jest hipoteza zerowa, to daną zmienną objaśniającą usuwamy z modelu.

Wyeliminowanie jakiejkolwiek zmiennej objaśniającej wymaga powtórnego formułowania modelu i powtórzenia etapu I.

Brak eliminacji jakiejkolwiek zmiennej objaśniającej pozwala na przejście do etapu II.

Etap IV Badanie normalności reszt

Zweryfikuj hipotezę, że reszty mają rozkład normalny o wartości oczekiwanej równej 0. Wybór testu zależy od wielkości próby (ilości obserwacji)

Etap V

Badanie autokorelacji składnika losowego.

Stawiana jest hipoteza zerowa
wobec hipotezy alternatywnej
, gdzie
jest współczynnikiem autokorelacji (współzależnością korelacyjną składników losowych
oraz
,
, najczęściej stosowana jest wartość
):

Ponieważ wartości składników losowych nie są bezpośrednio obserwowalne to zamiast nich stosuje się obserwacje reszt
i oblicza wartość statystyki Durbina-Watsona:

Tablice testu Durbina-Watsona (patrz np. Cz. Domański Testy statystyczne, PWE 1990) podają wartości krytyczne
oraz
dla wybranych wartości liczby obserwacji n oraz liczby szacowanych parametrów k.

Hipotezę H₀ odrzucamy jeżeli zachodzi nierówność
, co oznacza istnienie istotnej dodatniej autokorelacji. Zachodzenie nierówności
nie daje podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej (zachodzenie nierówności
nie pozwala na rozstrzygnięcie tej kwestii).

Jeżeli występuje korelacja ujemna (
) to w miejsce statystyki d stosujemy statystykę
i postępujemy dalej jak ze statystyką d.

Jeżeli stwierdzono autokorelację składnika losowego to można:

• wprowadzić do modelu nowe zmienne objaśniające lub zmienić jego postać, albo

• próbować wyeliminować autokorelację poprzez tzw. przekształcenie Cochrana-Orcutta.

Przekształcenie Cochrana-Orcutta polega na przejściu od modelu
,
, do modelu
,
, przy czym:

, dla
,

dla
,

gdzie
oznacza wartość współczynnika korelacji pomiędzy resztami modelu dla
.

Jeżeli nie nastąpiło odrzucenie hipotezy zerowej o braku autokorelacji składnika losowego to przechodzimy do następnego etapu.

Etap VI

Badanie symetrii składnika losowego.

Niech m oznacza liczbę odchyleń in plus (lub zamiennie in minus) pomiędzy wartościami obserwowanymi Y a wyliczonymi w modelu (teoretycznymi)
. Hipoteza dotycząca symetrii składnika losowego przedstawia się następująco:

H₀: (frakcja reszt dodatnich = ½), przeciwko hipotezie alternatywnej: H₁: (frakcja reszt dodatnich <> ½),

Weryfikujemy ją testem istotności:

,

który dla
ma rozkład studenta o n-1 stopniach swobody, natomiast dla n > 30 ma rozkład normalny.

Jeżeli hipoteza zerowa jest odrzucana to należy zmodyfikować model (np. nowa postać analityczna).

Jeżeli hipoteza zerowa nie jest odrzucana to przechodzimy do następnego etapu.

Etap VII

Badanie losowości reszt modelu.

O losowości składnika losowego
sądzimy na podstawie reszt e_i , stawiając hipotezę zerową
jest czysto losowy, wobec hipotezy alternatywnej
nie jest czysto losowy.

Weryfikujemy tę hipotezę np. testem serii zliczając ilość serii K tych samych znaków reszt w modelu. Wartość K konfrontujemy z wartością krytyczną
z tablic testu serii:

lub
.

Jeżeli
to hipotezę o losowości składnika losowego odrzucamy i musimy model zmodyfikować.

Jeśli hipoteza o losowości składnika losowego jest prawdziwa to przechodzimy do następnego etapu.

Etap VIII

Badanie stacjonarności składnika losowego.

O stacjonarności składnika losowego
sądzimy na podstawie reszt e_i , stawiając hipotezę zerową
jest stacjonarny, wobec hipotezy alternatywnej
nie jest stacjonarny.

Zatem, szacujemy wartość zależności stochastycznej między
a t (
) poprzez współczynnik korelacji r między t a e_t:

Hipotezę zerowa weryfikujemy testem t-Studenta o n-2 stopniach swobody:

.

Odrzucenie hipotezy zerowej wymaga zmodyfikowania modelu.

Etap IX

Badanie homoscedastyczności.

Równość wariancji w podpróbach homogenicznych ze względu na wariancję składnika losowego można przeprowadzić w oparciu o test Goldfelda-Quandta:

Dla podprób o najmniejszej i największej wariancji (o liczebnościach odpowiednio
,
) budujemy równania regresji,a następnie stawiamy hipotezę zerową:

przy kontrhipotezie:

Hipotezę weryfikujemy w oparciu o statystykę:

gdzie:

-wariancja reszt modelu regresji dla podpróby o najmniejszej wariancji,

-wariancja reszt modelu regresji dla podpróby o największej wariancji.

Przy prawdziwości hipotezy zerowej statystyka F ma rozkład F-Snedecora o (
) stopniach swobody licznika i o (
) stopniach swobody mianownika.

Etap X

Analiza wpływów

Etap XI

Prognoza i jej ocena.

---