[G] Konstrukcja modelu ekonometrycznego (15), Konstrukcja modelu ekonometrycznego


Konstrukcja modelu ekonometrycznego

  1. Ogólny model ekonometryczny z wieloma zmiennymi

Zmienną objaśnianą Y jest ilość dzieci przebywających w żłobkach w tys. osób, która w 10-ciu kolejnych latach przedstawiała się następująco:

t

Y

1990

137,5

1991

121,8

1992

100,4

1993

96,1

1994

81,7

1995

69,3

1996

66,2

1997

64,9

1998

61,6

1999

58,3

Zmiennymi objaśniającymi są:

Z1- liczba dzieci w wieku od 0 do 3 lat w tys. osób

Z2- zatrudnienie ogółem w 100 tys. osób

Z3- rodzice samotnie wychowujący dzieci w tys. osób

Z4- przeciętne wynagrodzenie miesięczne w zł

Z5- liczba zachorowań wśród dorosłych na 10 tys. osób

Wartości zmiennych objaśniających są następujące:

t

Z1

Z2

Z3

Z4

Z5

Y

1990

1823,4

164,847

1396

465,8

2192,5

137,5

1991

1762,8

163,482

1402

471,2

2201,3

121,8

1992

1669,7

161,243

1458

487,6

2212,1

100,4

1993

1523,2

159,876

1493

498,9

2243,2

96,1

1994

1498,7

156,835

1554

511,4

2289,8

81,7

1995

1441,6

154,857

1580

560,6

2304,4

69,3

1996

1392,4

159,348

1621

721,3

2342,7

66,2

1997

1358,2

162,945

1698

877,3

2368,3

64,9

1998

1282,0

162,671

1703

1026,7

2394,2

61,6

1999

1121,8

161,342

1742

1130,2

2427,6

58,3

Otrzymałyśmy macierz Z = [Ztj] n×p

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
Z = 0x01 graphic
0x01 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic

oraz wektor Y = [yt] n×1

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
Y = 0x01 graphic

  1. Standaryzacja zmiennych

Zmienną Y oraz zmienną Zj, nazywamy zmiennymi standaryzowanymi, jeśli spełniają one warunki:

    1. 0x01 graphic
      = 0, 0x01 graphic
      = 0, j = 1,..., p;

    2. Sy = 1, Szj = 1, j = 1,..., p; gdzie:

0x01 graphic
= 0x01 graphic
0x01 graphic
, 0x01 graphic
= 0x01 graphic
0x01 graphic
, j = 1,..., p;

S0x01 graphic
= 0x01 graphic
0x01 graphic
(yt - 0x01 graphic
)2, S0x01 graphic
= 0x01 graphic
0x01 graphic
(ztj - 0x01 graphic
)2.

Standaryzacji zmiennych dokonujemy przez zastąpienie zmiennych przed standaryzacją Y i Zj zmiennymi Y(S) oraz Zj(S), gdzie Y(S) = [yt(S)] n×1, Zj(S) = [ztj(S)] n×p, przy czym

Yt(S) = 0x01 graphic
, t = 1,..., n,

Ztj(S) = 0x01 graphic
, t = 1,…, n, j = 1,…, p.

Otrzymałyśmy wystandaryzowaną macierz Zj(S) oraz wystandaryzowany wektor Y(S).

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
Zj(S) = 0x01 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
Y(S) = 0x01 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic

  1. Wyznaczanie pary korelacyjnej

Miarą podobieństwa dwóch zmiennych jest ich współczynnik korelacji, który będziemy oznaczali r(.,.) i obliczali zgodnie ze wzorem

r( Zi, Zj ) = 0x01 graphic

r( Y, Zj ) = 0x01 graphic

Współczynnik korelacji jest wielkością unormowaną

-1 ≤ r (Zi, Zj) ≤ 1

-1 ≤ r (Y, Zi) ≤ 1 i, j = 1,2,...,p,

Jego bezwzględna wartość bliska jedności świadczy o silnej współzależności dwóch zmiennych.

Jeśli przez R(p) = [rij]p×p oznaczymy macierz współczynników korelacji pomiędzy zmiennymi należącymi do zbioru A(p) = {Z1, Z2, ..., Zp}, czyli jeśli

rij = r(Zi, Zj) i, j = 1,2,...,p,

natomiast przez R0(p) = [ri]p×1 oznaczymy wektor współczynników korelacji pomiędzy zmienną objaśnianą Y, a zmiennymi należącymi do zbioru A(p), tzn.

ri = r(Y, Zi), i = 1,2,...,p;

to otrzymujemy

R(p) = 0x01 graphic
[Z(S)]T Z(S)

R0(p) = 0x01 graphic
[Z(S)]T y(S)

Macierz R(p) nazywamy macierzą korelacji, natomiast wektor R0(p) wektorem korelacji. Uporządkowaną parę (R(p), R0(p)) nazywamy parą korelacyjną.

Macierz korelacji R(p) jest macierzą symetryczną, na głównej przekątnej posiada elementy równe jeden.

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

1,000 0,272 -0,971 -0,881 -0,971

0,272 1,000 -0,168 0,184 -0,146

R = -0,971 -0,168 1,000 0,914 0,992

-0,881 0,184 0,914 1,000 0,932

-0,971 -0,146 0,992 0,932 1,000

0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0,943

0,447

R0 = -0,939

-0,750

0x08 graphic
0x08 graphic
-0,918

  1. Wybór optymalnego zbioru zmiennych objaśniających.

Dobierając zmienne objaśniające do modelu zazwyczaj wykorzystujemy współczynnik korelacji, a więc parę korelacyjną ( (R(p), R0(p) ).

Istnieje szereg metod na podstawie których można wybrać wektor zmiennych objaśniających. My wykorzystamy metodę doboru Z. Hellwiga. Aby stwierdzić, które ze zmiennych zbioru A(p) należy uwzględnić jako zmienne objaśniające modelu rozpatrujemy wszystkie możliwe podzbiory zbioru potencjalnych zmiennych objaśniających. Jeśli jest on p-elementowy to podzbiorów tych mamy 2p-1, przy tym podzbiorów j-elementowych jest (0x01 graphic
), a rodzinę podzbiorów j-elementowych oznaczamy przez B(j).

W każdej z rodzin B(j) wprowadzamy porządek leksykograficzny, zgodnie z którym element Br(j) = { Z11, Z12, ... , Z1j }, poprzedza element Bs(j) = { Zt1, Zt2, ... , Ztj }, jeśli istnieje takie 1 ≤ q ≤ j, że t1 = 11, t2 = 12, ... , tq-1 = 1q-1 oraz 1q < tq.

Przez Bi(j) oznaczymy i-ty z kolei podzbiór j-elementowy zbioru A(p).

Niech Ri(j) oznacza macierz współczynników korelacji pomiędzy zmiennymi objaśniającymi należącymi do zbioru Bi(j). Przez Ri0(j) oznaczymy wektor współczynników korelacji pomiędzy zmienną objaśnianą Y, a potencjalnymi objaśniającymi należącymi do Bi(j).

Para korelacyjna ( Ri(j), Ri0(j) ) określa model, którego zmienną objaśnianą jest Y, natomiast zmiennymi objaśniającymi są elementy zbioru Bi(j).

Dla każdego z modeli wyznaczamy liczbę Hi(j), zwaną integralną pojemnością informacyjną w sensie Z. Hellwiga, zgodnie ze wzorem

Hi(j) = 0x01 graphic
,

gdzie:

rit = r ( Y, Zit ) - czyli składowe o numerze t wektora Ri0(j),

Sit - suma wartości bezwzględnych elementów kolumny o numerze t macierzy Ri(j).

Optymalny zbiór zmiennych objaśniających wyznaczamy metodą Z. Hellwiga. Jest to taki podzbiór, dla którego liczba Hi(j), przyjmuje wartość maksymalną.

Właściwością pojemności informacyjnej H jest 0 ≤ Hi(j) ≤ 1 dla dowolnej pary korelacyjnej ( Ri(j), Ri0(j) ).

Pojemność informacyjna Hi(j) mówi nam ile informacji o zmiennej Y wnosi nam kombinacja zmiennych objaśniających Bi(j).

Zbiory jednoelementowe

B1(1) = { Z1 }

R1(1) = [ 1 ] R01(1) = [ 0,943 ]

H1(1) = 0x01 graphic
= 0,889

B2(1) = { Z2 }

R2(1) = [ 1 ] R02(1) = [ 0,447 ]

H2(1) = 0,199

B3(1) = { Z3 }

R3(1) = [ 1 ] R03(1) = [ -0,939 ]

H3(1) = 0,881

B4(1) = { Z4 }

R4(1) = [ 1 ] R04(1) = [ -0,750 ]

H4(1) = 0,562

B5(1) = { Z5 }

R5(1) = [ 1 ] R05(1) = [ -0,918 ]

H5(1) = 0,843

Zbiory dwuelementowe

B1(2) = { Z1, Z2 }

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
R1(2) = 0x01 graphic
R01(2) = 0x01 graphic

H1(2) = 0x01 graphic
0x01 graphic

B2(2) = { Z1, Z3 }

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

R2(2) = 0x01 graphic
R02(2) = 0x01 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

H2(2) = 0x01 graphic

B3(2) = { Z1, Z4 }

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

R3(2) = 0x01 graphic
R03(2) = 0x01 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

H3(2) = 0,771

B4(2) = { Z1, Z5 }

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

R4(2) = 0x01 graphic
R04(2) = 0x01 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

H4(2) = 0,879

B5(2) = { Z2, Z3 }

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

R5(2) = 0x01 graphic
R05(2) = 0x01 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

H5(2) = 0,925

B6(2) = { Z2, Z4 }

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

R6(2) = 0x01 graphic
R06(2) = 0x01 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

H6(2) = 0,643

B7(2) = { Z2, Z5 }

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

R7(2) = 0x01 graphic
R07(2) = 0x01 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

H7(2) = 0,909

B8(2) = { Z3, Z4 }

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

R8(2) = 0x01 graphic
R08(2) = 0x01 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

H8(2) = 0,754

B9(2) = { Z3, Z5 }

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
R9(2) = 0x01 graphic
R09(2) = 0x01 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

H9(2) = 0,866

B10(2) = { Z4, Z5 }

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

R10(2) = 0x01 graphic
R010(2) = 0x01 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

H10(2) = 0,727

Zbiory trzyelementowe

B1(3) = { Z1, Z2, Z3 }

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
R1(3) = 0x01 graphic
R01(3) = 0x01 graphic

H1(3) = 0x01 graphic

B2(3) = { Z1, Z2, Z4 }

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
R2(3) = 0x01 graphic
R02(3) = 0x01 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

H2(3) = 0,822

B3(3) = { Z1, Z2, Z5 }

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
R3(3) = 0x01 graphic
R03(3) = 0x01 graphic

H3(3) = 0,934

B4(3) = { Z1, Z3, Z4 }

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

R4(3) = 0x01 graphic
R04(3) = 0x01 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

H4(3) = 0,819

B5(3) = { Z1, Z3, Z5 }

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
R5(3) = 0x01 graphic
R05(3) = 0x01 graphic

0x08 graphic

H5(3) = 0,884

B6(3) = { Z1, Z4, Z5 }

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
R6(3) = 0x01 graphic
0x01 graphic
R06(3) = 0x01 graphic

H6(3) = 0,802

B7(3) = { Z2, Z3, Z4 }

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
R7(3) = 0x01 graphic
R07(3) = 0x01 graphic

H7(3) = 0,839

B8(3) = { Z2, Z3, Z5 }

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

R8(3) = 0x01 graphic
R08(3) = 0x01 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

H8(3) = 0,9558

B9(3) = { Z2, Z4, Z5 }

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

R9(3) = 0x01 graphic
R09(3) = 0x01 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

H9(3) = 0,822

B10(3) = { Z3, Z4, Z5 }

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
R10(3) = 0x01 graphic
R10(3) = 0x01 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

H10(3) = 0,788

Zbiory czteroelementowe

B1(4) = { Z1, Z2, Z3, Z4 }

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
R1(4) = 0x01 graphic
R01(4) = 0x01 graphic

H1(4) = 0x01 graphic

B2(4) = { Z1, Z2, Z3, Z5 }

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

R2(4) = 0x01 graphic
R02(4) = 0x01 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

H2(4) = 0,9549

B3(4) = { Z1, Z2, Z4, Z5 }

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
R3(4) = 0x01 graphic
R03(4) = 0x01 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

H3(4) = 0,872

B4(4) = { Z1, Z3, Z4, Z5 }

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
R4(4) = 0x01 graphic
R04(4) = 0x01 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

H4(4) = 0,827

B5(4) = { Z2, Z3, Z4, Z5 }

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
R5(4) = 0x01 graphic
R05(4) = 0x01 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

H5(4) = 0,880

Zbiory pięcioelementowe

B1(5) = { Z1, Z2, Z3, Z4, Z5 }

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
R1(5) = 0x01 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
R01(5) = 0x01 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic

H1(5) = 0x01 graphic

Metoda Z. Hellwiga wyznaczyła nam model postaci:

Y = β1Z1 + β2Z2 + β3Z3 + ξ ,

określony parą korelacyjną ( R8(3), R80(3) ), gdzie:

Y - ilość dzieci przebywająca w żłobkach

Z1 - zatrudnienie ogółem w 100 tys. osób,

Z2 - rodzice samotnie wychowujący dzieci w tys. osób

Z3 - liczba zachorowań wśród dorosłych na 10 tys. osób

przyjmują wartości

t

Z1

Z2

Z3

Y

1990

164,847

1396

2192,5

137,5

1991

163,482

1402

2201,3

121,8

1992

161,243

1458

2212,1

100,4

1993

159,876

1493

2243,2

96,1

1994

156,835

1554

2289,8

81,7

1995

154,857

1580

2304,4

69,3

1996

159,348

1621

2342,7

66,2

1997

162,945

1698

2368,3

64,9

1998

162,671

1703

2394,2

61,6

1999

161,342

1742

2427,6

58,3

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
R8(3) = 0x01 graphic
R80(3) = 0x01 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

5. Wyznaczanie regularnej pary korelacyjnej.

Regularna para korelacyjna to taka para korelacyjna, w której wektor korelacji R0 nie zawiera ujemnych składowych i elementy wektora umieszczone są w kolejności rosnącej.

By para korelacyjna naszego modelu była regularną parą korelacyjną, wektor korelacji R0 musiałby przyjąć postać:

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0,447

R0 = 0,918

0x08 graphic
0x08 graphic
0,939

a macierz korelacji R

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

1,000 0,146 0,168

R = 0,146 1,000 -0,992

0x08 graphic
0x08 graphic
0,168 -0,992 1,000

10×5

10×1

10×5

10×1



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
8 wnioskowanie na podstawie modelu ekonometrycznego prognozowanie ekonometryczne
3-Estymacja parametrów modelu regresji liniowej, # Studia #, Ekonometria
Schemat budowy modelu ekonometrycznego KYBRZMJFNH4WDSL6VDZLDWXN5SPAVPIB5YJ7BWA
EKONOMIKA BUDOWNICTWA, PROCES PROJEKTOWY, Budownictwo stalowe obejmuje zasadniczo budowle i konstruk
MP Wykład 7A Prognozowanie na podstawie modelu ekonometrycznego
Konstrukcja i estymacja modelu
3 dobór zmiennych do liniowego modelu ekonometrycznego
4 estymacja parametrów jednorównaniowego liniowego modelu ekonometrycznego
EKONOMIKA BUDOWNICTWA, PROCES BUDOWLANY, Budownictwo stalowe obejmuje zasadniczo budowle i konstrukc
Ekonometria - badania operacyjne - założenia do modelu, Różne Dokumenty, MARKETING EKONOMIA ZARZĄDZA
Opis modelu ekonometrycznego, prognozowanie ekonomiczne
Ekonomiczny sposób budowy szkieletu drewnianego, drzewa, konstrukcje drewniane, Technologia
Estymacja parametrow strukturalnych modelu, Ekonometria

więcej podobnych podstron