1

Synteza dwójników liniowych

Twierdzenie Brune’a - Raisbeck’a:

Funkcja F(s) jest immitancją dwójnika wtedy i tylko
wtedy kiedy jest funkcją wymierną, rzeczywistą
dodatnią (WRD):

gdzie współczynniki a

l

 0 oraz b

m

 0

 

 

 

s

B

s

A

m

m

m

l

l

l

b

s

b

......

s

b

s

a

s

a

......

s

a

s

s

F





























0

1

1

1

0

1

1

1

2

Synteza dwójników liniowych

Własności funkcji WRD:

1) Wszystkie współczynniki a

l

oraz b

m

są nieujemne

( lub niedodatnie).

2) Suma funkcji WRD jest typu WRD.

3) Iloczyn funkcji WRD przez stałą dodatnią jest typu
WRD.

4) Odwrotność funkcji WRD jest typu WRD.

5) Funkcja WRD nie ma zer ani biegunów dla Re(s) >
0.

6) Zera i bieguny funkcji WRD leżące na osi liczb
urojonych są pojedyncze (pochodne w zerach i residua
w biegunach są dodatnie).

7) Różnica stopni licznika i mianownika

1



 m

l

3

Synteza dwójników liniowych

Funkcja F(s) jest funkcją rzeczywistą
dodatnią jeżeli:

1) ImF(s) = 0 dla Ims = 0

2) Re F(s)  0 dla Re s  0

Testy na
WRD

Czy funkcja

jest typu WRD ???

 

2

3

4

2

1









s

s

s

s

F

4

Synteza dwójników liniowych

1) Test biegunowy

Funkcja jest WRD jeżeli:

a) nie ma biegunów dla Re s > 0,

b) bieguny na osi urojonych są pojedyncze o
dodatnich

residuach lub ich nie ma w ogóle,

c) Re F(j)  0





5

Synteza dwójników liniowych

 

2

3

4

2

1









s

s

s

s

F

Warunek a) jest spełniony - funkcja ma tylko jeden
bigun dla s = -2.

Warunek b) też jest spełniony - nie ma biegunów na
osi urojonych.

Warunek c) też jest spełniony ponieważ

 















































0

4

6

2

2

3

4

2

2

2

1

j

j

Re

j

F

Re

6

Synteza dwójników liniowych

1) Test zerowy

Funkcja jest WRD jeżeli:

a) nie ma zer dla Re s > 0,

b) zera na osi urojonych są pojedyncze o
dodatnich

wartościach pochodnych lub ich nie ma w
ogóle,

c) Re F(j)  0





7

Synteza dwójników liniowych

 

2

3

4

2

1









s

s

s

s

F

Warunek a) jest spełniony - funkcja ma zera dla s = -1
oraz s = -3.

Warunek b) też jest spełniony - nie ma zer na osi
urojonych.

Warunek c) też jest spełniony ponieważ

 















































0

4

6

2

2

3

4

2

2

2

1

j

j

Re

j

F

Re

8

Synteza dwójników liniowych

 

2

3

4

2

1









s

s

s

s

F

Funkcja F

1

(s) przeszła

pomyślnie testy na WRD i
może stanowić immitancję
dwójnika.

Funkcję F

1

(t) można przedstawić jako impedancję:

 

2

3

4

2

1









s

s

s

s

Z

 

2

3

2

1









s

s

s

s

Z

 

6

4

1

2

1

1

1









s

s

s

Z

Z

Y

9

 

s

s

s

Z

4

6

1

2

1

1

1









Synteza dwójników liniowych

Z

1

(s

)

10

Synteza dwójników liniowych

 

2

3

4

2

1









s

s

s

s

F

Funkcja F

1

(s) może stanowić

zarówno impedancję dwójnika
jak i admitancję.

Funkcję F

1

(t) można przedstawić jako admitancję:

 

2

3

4

2

1









s

s

s

s

Y

 

2

3

2

1









s

s

s

s

Y

 

6

4

1

2

1

1

1









s

s

s

Y

Y

Z

11

 

6

4

1

2

1

1

1









s

s

s

Y

Synteza dwójników liniowych

Y

1

(s

)

12

Synteza dwójników liniowych

 

5

7

3

2

2







s

s

s

F

Czy funkcja F

2

(s) może

stanowić immitancję
dwójnika ?

Czy funkcja F

2

(s) jest funkcją

WRD ?

Funkcja F

2

(s) nie jest funkcją

WRD ponieważ

2

2

0









 m

l

13

Synteza dwójników liniowych

 

7

3

3



 s

s

F

Czy funkcja F

3

(s) może

stanowić immitancję
dwójnika ?

Czy funkcja F

3

(s) jest funkcją

WRD ?

Stosujemy test zerowy:

Warunek a) jest spełniony - funkcja ma zero dla s = -
7/3 .

Warunek b) też jest spełniony - nie ma zer na osi
urojonych.

Warunek c) też jest spełniony ponieważ

 











0

1

3

j

F

Re

14

Synteza dwójników liniowych

Realizacja dwójnika o
impedancji lub admitancji
opisanej funkcją F

3

(s) jest

oczywista:

 

7

3

3



 s

s

F

Y

3

(s

)

Z

3

(s

)

15

Synteza dwójników liniowych

 

1

2

4







s

s

s

s

F

Czy funkcja F

4

(s) może

stanowić immitancję
dwójnika ?

Czy funkcja F

4

(s) jest funkcją

WRD ?

Stosujemy test biegunowy:

Warunek a) jest spełniony - funkcja ma bieguny dla:

Warunek b) też jest spełniony - bieguny nie są czysto
urojone.

Warunek c) też jest spełniony ponieważ

 







































0

1

1

2

2

2

2

2

4

j

j

Re

j

F

Re

2

3

1

2

1

j

s

,







0



s

Re

16

Synteza dwójników liniowych

 

 

1

2

4

4









s

s

s

s

F

s

Z

Realizacja
impedancji według
funkcji F

4

(s):

Re
s

Im s

-
1/2

2

3

2

3







 

s

s

s

s

s

s

s

s

s

Z

1

1

1

1

1

1

2

2

4



















Z

4

(s

)

17

Synteza dwójników liniowych

Twierdzenie Botta - Duffina:

Każda funkcja WRD może być wykorzystana jako
impedancja lub admitancja do zrealizowania
dwójnika z elementów R, L, C.
Twierdzenie o funkcji reaktancyjnej:

Każda funkcja F(s) klasy WRD może być funkcją
reaktancyjną, jeżeli Re F(s) = 0 dla Re s = 0.

Twierdzenie o dwójniku reaktancyjnym:

Każda funkcja F(s) może być immitancją dwójnika
reaktancyjnego jeżeli jest funkcją reaktancyjną.

18

Synteza dwójników liniowych

Twierdzenie o funkcji reaktancyjnej (Fostera):

Funkcja F(s) jest wtedy funkcją reaktancyjną, kiedy
można ją przedstawić w postaci kanonicznej
Fostera.

 























N

s

s

k

s

k

s

k

s

F

1

2

2

2

2

0

Przy następujących ograniczeniach:

,

N

,

k

,

k

0

0

0

0









N

,.....,

dla

,

,

k

1

0

0

2

2















19

Synteza dwójników liniowych

Współczynniki Fostera można wyznaczyć z
zależności:

 

s

s

F

lim

k

s 







 

s

F

s

s

lim

k

s

2

2

2

2

2

2

2



















 

s

sF

lim

k

s 0

0





20

Synteza dwójników liniowych

 

 















N

s

Z

sC

sL

s

Z

1

0

0

1

 































2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

L

C

s

s

C

L

C

s

s

L

sC

sL

s

Z

21

Synteza dwójników liniowych

Podstawiając
:

0

L

k 



0

0

1

C

k 







2

2

1

C

k











2

2

2

2

1

C

L

Otrzymamy wzór
Fostera:

 























N

s

s

k

s

k

s

k

s

Z

1

2

2

2

2

0

22

Synteza dwójników liniowych

 

 















N

s

Y

sL

sC

s

Y

1

0

0

1

 































2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

L

C

s

s

L

L

C

s

s

C

sL

sC

s

Y

23

Synteza dwójników liniowych

Podstawiając
:

0

C

'

k 



0

0

1

L

'

k 







2

2

1

L

'

k











2

2

2

2

1

C

L

Otrzymamy wzór
Fostera:

 























N

s

s

'

k

s

'

k

s

'

k

s

Y

1

2

2

2

2

0

24

Synteza dwójników liniowych

Twierdzenie o postaci normalnej funkcji
reaktancyjnej:

Funkcja F(s) jest wtedy i tylko wtedy funkcją
reaktancyjną, kiedy można ją przedstawić w postaci
normalnej.

 





 







 



2

2

2

2

4

2

2

2

2

2

1

2

2

2

3

2

2

1

2

N

N

s

....

s

s

s

.....

s

s

s

H

s

F





























Przy następujących ograniczeniach:

........

,

H

3

2

1

0

0















25

Synteza dwójników liniowych

Wnioski wynikające z poznanych twierdzeń:

1) Wszystkie zera i bieguny funkcji reaktancyjnej leżą
na osi liczb urojonych i wzajemnie się przeplatają.

2) W punktach s = 0 i s =  funkcja reaktancyjna ma

zero albo biegun.

3) Różnica pomiędzy stopniem licznika i mianownika

4) Liczba zer i biegunów jest jednakowa
(uwzględniając s = ).
5) Jeżeli F(s) jest funkcją reaktancyjną to jest nią także
1 / F(s) oraz kF(s) dla k > 0.

6) Suma skończona funkcji reaktancyjnych jest funkcją
reaktancyjną.

1



 m

l

26

Synteza dwójników liniowych

Przykład:

 

1

2

5





s

s

s

F

Zera: s

1

= 0 oraz s

3

= , bieguny s

2

= j oraz s

4

=

-j

Re
s

Im s

-
1





1

0

 

0

1

1

2



















s

lim

s

s

F

lim

k

s

s

 

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2





















s

s

lim

s

F

s

s

lim

k

 

0

1

2

2

0

0

0













s

s

lim

s

sF

lim

k

s

s

1

2





27

 

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

















C

s

F

s

s

lim

k

s

Synteza dwójników liniowych

F

C

1

2



2

2

2

2

1

C

L





Ponieważ

H

L

1

2



Sprawdzam
y:

 

1

2

5





s

s

s

Z

 

H

L

F

C

sL

sC

sL

sC

s

Z

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

5









28

Synteza dwójników liniowych

 

3

4

8

6

2

4

3

5

6











s

s

s

s

s

s

F

Zera: , bieguny:

2

2

0

j

,

j

,











,

j

,

j

3

Dwójnik o impedancji Z

6

(s) można zrealizować

bezpośrednio z szeregowej postaci kanonicznej
Fostera:

 























N

s

s

k

s

k

s

k

s

Z

1

2

2

2

2

0

29

Synteza dwójników liniowych

 

3

4

8

6

2

4

3

5

6











s

s

s

s

s

s

F

Re
s

Im s

-
1




1

0

 

1











s

s

F

lim

k

s

 

0

0

0







s

sF

lim

k

s

Zera: , bieguny:

2

2

0

j

,

j

,











,

j

,

j

3







Tyle elementów ile
biegunów

30

Synteza dwójników liniowych

 

3

4

8

6

2

4

3

5

6











s

s

s

s

s

s

Z

Zera: , bieguny:

2

2

0

j

,

j

,











,

j

,

j

3

 

s

s

s

s

s

s

Y

8

6

3

4

3

5

2

4

6











Dla
admitancji

 























N

s

s

'

k

s

'

k

s

'

k

s

Y

1

2

2

2

2

0

Zera impedancji stanowią teraz bieguny
admitancji i odwrotnie.

31

Synteza dwójników liniowych

 

s

s

s

s

s

s

Y

8

6

3

4

3

5

2

4

6











Zera: , bieguny:

2

2

0

j

,

j

,











,

j

,

j

3

32

 

0











s

s

F

lim

k

s

 

1

0

0







s

sF

lim

k

s

Tyle elementów ile
biegunów admitancji
lub zer impedancji

Synteza dwójników liniowych

 

s

s

s

s

s

s

Y

8

6

3

4

3

5

2

4

6











Realizacja dwójnika według biegunów admitancji
jest zatem równoważna realizacji według zer
impedancji.

33

Synteza dwójników liniowych

Pierwsza postać kanoniczna - drabinkowa
Cauera.

Funkcję Z(s) przedstawić można jako ułamek
łańcuchowy o postaci:

gdzie:

 

.........

s

k

s

k

s

k

s

k

s

Z











4

3

2

1

1

1

1

;

k

,

k

i

0

0

1





34

Synteza dwójników liniowych

 

.........

s

k

s

k

s

k

s

k

s

Z











4

3

2

1

1

1

1

Pierwsza postać kanoniczna - drabinkowa
Cauera.

35

Synteza dwójników liniowych

Druga postać kanoniczna - drabinkowa Cauera.

Licznik i mianownik funkcji Z(s) najpierw dzielimy
przez s

n

(gdzie n - maksymalny stopień licznika lub

mianownika), podstawiamy q = 1/s a następnie
tworzymy ułamek łańcuchowy:

gdzie:

 

.........

q

'

k

q

'

k

q

'

k

q

'

k

q

Z











4

3

2

1

1

1

1

;

'

k

,

'

k

i

0

0

1





 

 

 

 

 

 

q

Z

q

B

q

A

s

B

s

A

s

Z







1

1

36

Synteza dwójników liniowych

Druga postać kanoniczna - drabinkowa Cauera.

 

.........

q

'

k

q

'

k

q

'

k

q

'

k

q

Z











4

3

2

1

1

1

1

37

Synteza dwójników liniowych RC i RL

Funkcja F(s) jest klasy Z

RC

jeżeli funkcja sF(s

2

)

jest funkcją reaktancyjną.

Funkcja F(s) jest klasy Y

RC

jeżeli funkcja

(1/s)F(s

2

) jest funkcją reaktancyjną.

Impedancje dwójników zbudowanych z
elementów RC oraz admitancje dwójników
zbudowanych z elementów RL są funkcjami
klasy Z

RC

.

Każdą funkcję klasy Z

RC

można zrealizować jako

impedancję dwójnika zbudowanego z elementów
RC i jako admitancję dwójnika zbudowanego z
elementów RL.

38

Synteza dwójników liniowych RC i RL

Admitancje dwójników zbudowanych z
elementów RC oraz impedancje dwójników
zbudowanych z elementów RL są funkcjami
klasy Y

RC

.

Każdą funkcję klasy Y

RC

można zrealizować jako

admitancję dwójnika zbudowanego z elementów
RC i jako impedancję dwójnika zbudowanego z
elementów RL.

Funkcja F(s) jest wtedy i tylko wtedy funkcją
klasy Z

RC

kiedy :

 





 







 



N

N

N

s

....

s

s

s

.....

s

s

s

H

s

k

s

k

k

s

F

2

4

2

1

2

3

1

1

2

2

0



















































........

,

k

,

N

,

k

,

k

,

H

3

2

1

2

0

0

0

0

0

0

0



























39

Synteza dwójników liniowych RC i RL

Funkcja F(s) jest wtedy i tylko wtedy funkcją
klasy Y

RC

kiedy :

 





 







 



N

N

N

s

....

s

s

s

.....

s

s

H

s

sk

k

sk

s

F

2

4

2

1

2

3

1

1

2

2

0



















































........

,

k

,

N

,

k

,

k

,

H

3

2

1

2

0

0

0

0

0

0

0



























Wszystkie zera i bieguny immitancji dwójników
RC i RL leżą na niedodatniej półosi liczb
rzeczywistych, są pojedyncze i wzajemnie się
przeplatają.

40

Synteza dwójników liniowych RC i RL

Właściwości funkcji klasy Z

RC

:

1) W ciągu zer i biegunów licząc od s = 0, pierwszy
jest biegun (dla s=0 lub 

2

<0), ostatnie jest zero

(skończone lub dla s = ).
2) l - m = 0 lub l - m = -1.

3) Residua w biegunach dodatnie, wartości
pochodnych w zerach ujemne.

4) Iloczyn funkcji Z

RC

przez stałą dodatnią oraz suma

funkcji klasy Z

RC

są klasy Z

RC

.

41

Synteza dwójników liniowych RC i RL

Właściwości funkcji klasy Y

RC

:

1) W ciągu zer i biegunów licząc od s = 0, pierwsze
jest zero (dla s=0 lub 

2

<0), ostatni jest biegun

(skończony lub dla s = ).
2) l - m = 0 lub l - m = 1.

3) Residua w biegunach ujemne, wartości pochodnych
w zerach dodatnie.

4) Iloczyn funkcji Y

RC

przez stałą dodatnią oraz suma

funkcji klasy Y

RC

są klasy Y

RC

.

42

Związki między funkcjami Z

RC

a funkcjami Y

RC

:

1) Jeżeli F(s)  Z

RC

to 1/ F(s)  Y

RC

jest funkcją reaktancyjną

zatem jest funkcją reaktancyjną

1) Jeżeli F(s)  Z

RC

to s F(s)  Y

RC

jest funkcją reaktancyjną

zatem jest funkcją reaktancyjną

Synteza dwójników liniowych RC i RL

 

 

2

s

sF

Z

s

F

RC





 

 

RC

Y

s

F

/

s

sF

/



 1

1

2

 

 

2

s

sF

Z

s

F

RC





 

 





 

RC

Y

s

sF

s

F

s

s

/





2

2

1