Statystyka II -1

1

Statystyka - SUM

dr hab. inż. Marek Pawełczyk

prof. WSEiA

Statystyka II -1

2

Podstawowe pojęcia kombinatoryki (1)

Niech będzie dany zbiór n różnych elementów {a

1

, a

2

, a

3

, ... , a

n

}

Permutacją bez powtórzeń nazywamy każde uporządkowanie

elementów tego zbioru, w którym każdy element występuje

tylko raz. Liczba wszystkich permutacji n-elementowego zbioru

jest równa
P

n

= n! = 1 · 2 · 3 · ... ·n

Permutacją z powtórzeniami z n-elementowego zbioru

nazywamy zbiór składający się z n uporządkowanych

elementów, wśród których pewne elementy powtarzają się

odpowiednio n

1

, n

2

, ... , n

k

razy. Liczba takich permutacji jest

równa:

Wariacją bez powtórzeń z n elementów po k (k  n) nazywamy

uporządkowany podzbiór składający się z k różnych elementów

wybranych spośród n różnych elementów.Liczba wariacji bez

powtórzeń z n elementów po k jest równa

!

!...

!

!

2

1

,

,

,

2

1

k

n

n

n

n

n

n

n

n

P

k





)

1

)...(

2

)(

1

(

)!

(

!















k

n

n

n

n

k

n

n

V

k

n

Statystyka II -1

3

Podstawowe pojęcia kombinatoryki (2)

• Wariacje różnią się między sobą bądź elementami, bądź

porządkiem. Jeśli pobieranie elementów do próby jest bez

zwracania, tzn. uwzględ-nia się porządek elementów w

próbce, to liczba V

nk

określa liczbę próbek o liczebności k,

pobranych z n-elementowej zbiorowości.

• Wariacją z powtórzeniami z n elementów po k nazywamy

uporząd-kowany podzbiór, składający się z k elementów,

różnych lub nie róż-niących się między sobą (elementy mogą

się powtarzać), wybranych spośród n różnych elementów.

Liczba wariacji z powtórzeniami z n po k jest równa:

i określa ilość k-elementowych próbek pobranych z n-

elementowej zbiorowości, jeśli pobieranie elementów do

próby jest ze zwracaniem.

• Kombinacją bez powtórzeń z n elementów po k nazywamy

podzbiór składający się z k różnych elementów wybranych

spośród n różnych elementów bez uwzględniania ich

porządku.

• Liczba kombinacji bez powtórzeń z n po k jest równa:

k

k

n

n

V 

)!

(

!

!

k

n

k

n

k

n

C

k

n



















Statystyka II -1

4

Podstawowe pojęcia kombinatoryki (3)

• Kombinacje można traktować jako nieuporządkowane k-

elementowe próbki z n-elementowej populacji, pobierane bez

zwracania elemen-tów, różniące się wyłącznie składem

elementów, a nie ich porządkiem.

• Liczba sposobów, za pomocą których zbiór n-elementowy można

podzielić na k grup, przy czym pierwsza grupa ma r

l

elementów,

druga r

2

elementów itd. oraz r

1

+r

2

+ ... +r

k

= n, jest równa:

• Wyrażenie to można również interpretować jako liczbę

możliwych spo-sobów rozmieszczenia n elementów w k

komórkach, przy czym w pierwszej jest r

1

elementów, w drugiej

r

2

i w k-tej r

k

elementów.

• Kombinacją z powtórzeniami z n elementów po k nazywamy

zbiór składający się z k elementów, różniących się między sobą

lub nie, wybranych spośród n różnych elementów, przy czym

porządek, w jakim występują elementy, jest nieistotny. Liczba

takich kombinacji wyraża się wzorem:

!

!

!

!

)

(

2

1

1

2

1

2

1

1

k

k

k

r

r

r

n

r

r

r

r

n

r

r

n

r

n







































 























































1

1

1

n

k

n

k

k

n

C

k

n

Statystyka II -1

5

Podst. pojęcia kombinatoryki (4). Algebra

zdarzeń

• Kombinacje z powtórzeniami z n- elementów można interpretować

jako k-elementowe próby pobierane ze zwracaniem z n-

elementowej populacji, przy czym kolejność elementów w próbie

jest nieistotna. Kombinacje z powtórzeniami można także

przedstawić jako rozmiesz-czenie k nierozróżnialnych elementów

w n komórkach (szufladach) w taki sposób, że w jednej szufladzie

może być kilka elementów.

• Niech E oznacza przestrzeń zdarzeń elementarnych. W

zagadnieniach praktycznych przez E rozumie się zbiór wszystkich

niepodzielnych wyników obserwacji czy doświadczenia. Przestrzeń

E może zawierać skończoną lub nieskończoną ilość elementów.

• Jesti E zawiera skończoną lub przeliczalną liczbę elementów,

to każdy podzbiór E nazywa się zdarzeniem losowym.

• Niech E zawiera n elementów, wówczas wszystkich zdarzeń

losowych jest 2", w tym C

nk

; k = 0,..., n zdarzeń k-elementowych.

• Zdarzenie losowe V, nie zawierające żadnego zdarzenia

elementarnego, nazywa się zdarzeniem niemożliwym.

• Zdarzenie losowe U zawierające wszystkie elementy przestrzeni

zdarzeń elementarnych nazywa się zdarzeniem pewnym.

Statystyka II -1

6

Algebra zdarzeń (2)

• Jeśli E zawiera nieskończoną liczbę elementów, to

zdarzeniem losowym nazywamy każdy element borelowskiego

ciala zdarzeń Z. Aby zdefiniować borelowskie ciało zdarzeń,

należy określić działania na zdarzeniach. Wszystkie działania

na zdarzeniach można definiować jak działania na zbiorach.

• Sumą zdarzeń A i B nazywamy zdarzenie A  B zawierające

wszystkie te zdarzenia elementarne, które należą do A lub B.

Sumą zdarzeń A  B jest więc zdarzenie polegające na tym, że

zajdzie przynajmniej jedno ze zdarzeń.

• Iloczynem zdarzeń A i B nazywamy zdarzenie A  B

zawierające wszystkie te zdarzenia elementarne, które należą

do A i do B. Iloczyn zdarzeń A



B polega na tym, że zajdą

równocześnie i zdarzenie A, i zdarzenie B.

• Różnicą zdarzeń A i B nazywamy zdarzenie A — B,

składające się z tych zdarzeń elementarnych, które należą do

A i nie należą do B. A więc różnica zdarzeń A — B polega na

tym, że zajdzie zdarzenie A i równocześnie nie zajdzie

zdarzenie B.

Statystyka II -1

7

Algebra zdarzeń (2)

• Zdarzeniem przeciwnym do A nazywamy zdarzenie A’ zawierające

wszystkie te zdarzenia elementarne, które nie należą do A, tzn.

A’ = E—A.

• Zdarzenie A implikuje zdarzenie B (pociąga za sobą), jeżeli A  B,

tzn. wszystkie zdarzenia elementarne należące do A należą również do

B.

• Zdarzenia A i B są równoważne, czyli A = B, jeśli A  B i B  A.
• Prawa de Morgana:

(A  B)’ = A’  B’
(A  B)’ = A’  B’

• Zdarzenia A i B wykluczają się nawzajem (wyłączają się), jeśli A  B

= V.

• Zdarzenia A i B są zdarzeniami przeciwnymi, jeśli A  B = U i A 

B = V lub inaczej: A  A’ = U, A  A’ = V.

• Zdarzenia przeciwne są szczególnym przypadkiem tzw. zupełnego

układu zdarzeń.

• Zdarzenia A

l

, A

2

,..., A

n

tworzą zupełny układ zdarzeń, jeśli A

i

 A

j

= V

dla

ij, i, j = l, ..., n oraz A

1

 A

2

 ...  A

n

= U.

Statystyka II -1

8

Diagramy Eulera

Statystyka II -1

9

Borelowskie ciało zdarzeń

• Borelowskie ciało zdarzeń Z jest to

najmniejszy zbiór podzbiorów przestrzeni E
spełniający warunki:

1° U  Z,
2° V  Z,
3° suma przeliczalnej liczby zdarzeń

należących do Z również należy do Z,

4° różnica dowolnej pary zdarzeń należących

do Z również należy do Z,

5° iloczyn przeliczalnej liczby zdarzeń

należących do Z również należy do Z.

Statystyka II -1

10

Aksjomatyczna definicja

prawdopodobieństwa(1)

• Jeśli E oznacza przestrzeń zdarzeń elementarnych, a Z

borelowskie ciało zdarzeń utworzone z podzbiorów tej

przestrzeni, to każdemu zdarzeniu losowemu AZ można

przypisać pewną miarę P(A), zwaną prawdopodobieństwem

zdarzenia A. Trójkę (E, Z, P) określa się mianem

przestrzeni (lub trójki) probabilistycznej.

• Własności, jakimi powinna się charakteryzować miara P

(A), precyzuje następujący układ pewników tworzących tzw.

aksjomatyczną definicję prawdopodobieństwa:

• 1° Każdemu zdarzeniu AZ można przypisać liczbę P(A),

zwaną prawdopodobieństwem zdarzenia A, taką, że 0 

P(A)  1.

• 2° Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego równa się

jedności, tzn. P(U) = 1.

• 3° Prawdopodobieństwo sumy skończonej lub przeliczalnej

liczby zdarzeń wykluczających się parami równa się sumie

prawdopodo-bieństw tych zdarzeń, czyli

, jeśli A

i

A

j

=V, i, j =1,2, ....

 

















i

i

i

i

A

P

A

P



Statystyka II -1

11

Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa (c.d.)

Z aksjomatycznej definicji prawdopodobieństwa

wynikają następujące

własności prawdopodobieństwa:

• Suma prawdopodobieństw zdarzenia losowego A i zdarzenia przeciw-

nego A równa się jedności. Stąd wynika, że P(A’) = 1 – P(A).

• Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego równa się zero, P(V) =

0.

• Jeśli zdarzenie A implikuje zdarzenie B, to prawdopodobieństwo

zdarzenia A jest nie większe od prawdopodobieństwa zdarzenia B, czyli

• jeśli A  B, to P(A) < P(B).
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
Jeśli przestrzeń zdarzeń elementarnych E zawiera n jednakowo

możliwych zdarzeń elementarnych, spośród których n

A

sprzyja zajściu

danego zdarzenia A, to prawdopodobieństwem P (A) zdarzenia A jest

ułamek:

Z definicji tej można korzystać wówczas, gdy przestrzeń E zawiera

skończoną liczbę zdarzeń elementarnych, czyli gdy n

A

i n są skończone.

 

n

n

A

P

A



Statystyka II -1

12

Prawdopodobieństwo

warunkowe(1)

• Niech P(A/B) oznacza prawdopodobieństwo warunkowe

zdarzenia A, obliczone przy założeniu, że nastąpiło zdarzenie

B. Jeśli P(B) > 0, to z definicji:

• Prawdopodobieństwo warunkowe P(A/B) można obliczyć

również z klasycznej definicji prawdopodobieństwa

uwzględniając, że liczba wszystkich możliwych zdarzeń zostaje

zawężona do zdarzeń sprzyjających zajściu B, wśród których

poszukuje się zdarzeń sprzyjających zajściu zdarzenia A.

• Warunkowe zdarzenie losowe A/B oznacza iloczyn AB, gdy

nową przestrzenią zdarzeń elementarnych jest E

1

= B.

• Korzystając z definicji prawdopodobieństwa warunkowego

można podać wzór na prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń:
P(AB) = P(A)·P(B/A) = P(B) P(A/B)

• Dla n zdarzeń: P(A

1

 A

2

 ...  A

n

) = P(A

1

)·P(A

2

/A

1

)·P(A

3

/A

1

A

2

)...

... P(A

n

/A

1

 A

2

A

3

 ...  A

n-1

)

)

(

)

(

)

/

(

B

P

B

A

P

B

A

P





Statystyka II -1

13

Prawdopodobieństwo

warunkowe (2)

• Zdarzenia A i B są niezależne, jeśli zajście jednego ze

zdarzeń nie ma wpływu na prawdopodobieństwo zajścia
drugiego z nich, tzn. jeśli
P(A/B) = P(A) lub P(B) = P(B/A).

• Tak więc dla zdarzeń niezależnych:

P(AB) = P(A) · P(B)

(*)

• Jeśli zdarzenia A i B są niezależne, to A’ i B’ są również

niezależne.

• Prawdopodobieństwo sumy dwóch dowolnych zdarzeń

znajdujemy korzystając z wzoru:
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB) (**)

P(A  B) obliczamy korzystając z klasycznej definicji

prawdopodo-bieństwa lub z wzoru (**), gdy zdarzenia A i B są
zależne, lub też z wzoru (*), gdy zdarzenia są niezależne.

• Jeśli zdarzenia A i B wykluczają się nawzajem, czyli A  B

= V, to:
P(A  B) = P(A) + P(B)

Statystyka II -1

14

Prawdopodobieństwo

warunkowe (3)

• Prawdopodobieństwo sumy trzech dowolnych zdarzeń

obliczamy według wzoru P(A  B  C) = P(A) + P(B) + P(C)

+

–

P(A



B) - P(B



C) - P(A



C) + P(A



B



C).

• Jeśli zdarzenia A

1

,

,

..., A

n

są niezależne, to

prawdopodobieństwo, że zajdzie przynajmniej jedno z tych
zdarzeń, oblicza się korzystając z wzoru:

• P(A

1

 A

2

 ...  A

n

) = l - P(A

1

A

2

 ... A

n

)’ =

= l – P(A

1

’)·P(A

2

’)·...·P(A

n

’)

• Przy obliczaniu prawdopodobieństwa sumy zdarzeń jest

istotne, czy są to zdarzenia wykluczające się czy też nie.

• Obliczając prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń należy

uwzględnić to, czy zdarzenia są zależne czy też niezależne.

Statystyka II -1

15

Prawdopodobieństwo całkowite

• Niech zajście zdarzenia A będzie uwarunkowane zajściem

jednego spośród n wzajemnie wykluczających się zdarzeń B

i

(i = l, 2 , ..., n), wyczerpujących całą przestrzeń zdarzeń
elementarnych E, przy czym P(B

i

) > 0, wówczas

Prawdopodobieństwa P (B

i

) noszą nazwę prawdopodobieństw

a priori i odgrywają ważną rolę w zagadnieniach dotyczących
podejmowania decyzji w warunkach niepewności.









n

i

i

i

B

A

P

B

P

A

P

1

)

/

(

)

(

)

(

Statystyka II -1

16

Wzór Bayesa (prawdopodobieństwo a

posteriori)

• Załóżmy, że zdarzenie A zrealizowało się. Odpowiedź na

pytanie, jakie będzie teraz prawdopodobieństwo każdego ze
zdarzeń B

t

, daje wzór Bayesa, określany również mianem

wzoru na prawdopodobieństwo
a posteriori, czyli prawdopodobieństwo po nastąpieniu
zdarzenia A. Wzór ten ma postać:

• Twierdzenie Bayesa określa, w jaki sposób

prawdopodobieństwa
a priori danych zdarzeń mogą i powinny być modyfikowane na
podstawie dodatkowych informacji, tak, aby powstała nowa
ocena prawdopodobieństwa zajścia tych zdarzeń w postaci
prawdopodobieństw a posteriori.















n

i

i

i

i

i

i

i

i

B

A

P

B

P

B

A

P

B

P

A

P

B

A

P

B

P

A

B

P

1

)

/

(

)

(

)

/

(

)

(

)

(

)

/

(

)

(

)

/

(