1

DZIAŁANIA NA LICZBACH

DZIAŁANIA NA LICZBACH

PRZYBLIŻONYCH,

PRZYBLIŻONYCH,

SZACOWANIE BŁĘDÓW W

SZACOWANIE BŁĘDÓW W

POMIARACH POŚREDNICH

POMIARACH POŚREDNICH

Jan Gajewski,

Zakład

Biometrii

2

ZAOKRĄGLANIE LICZB

ZAOKRĄGLANIE LICZB

Liczby zaokrągla się według prostej zasady

Liczby zaokrągla się według prostej zasady

zilustrowanej przykładami:

zilustrowanej przykładami:

1,234

1,234





1,23,

1,23,

1,236

1,236





1,24.

1,24.

Jeżeli zaokrąglana liczba kończy się na
“...5”, to gdy końcówka “...5” poprzedzona
jest cyfrą parzystą liczbę zaokrąglamy w dół,
jeżeli nieparzystą - w górę; tak jak w
poniższych przykładach:

1,235

1,235





1,24,

1,24,

1,225

1,225





1,22.

1,22.

3

ZAOKRĄGLANIE LICZB C.D.

ZAOKRĄGLANIE LICZB C.D.

Zaokrąglać można również liczby, które

Zaokrąglać można również liczby, które

zapisane są bez części ułamkowych (bez

zapisane są bez części ułamkowych (bez

przecinka) - na przykład:

przecinka) - na przykład:

(do dziesiątek)

(do dziesiątek)

1246

1246





1250,

1250,

(do setek)

(do setek)

1246

1246





1200

1200

, itd.

, itd.

4

PROSTE DZIAŁANIA NA

PROSTE DZIAŁANIA NA

LICZBACH PRZYBLIŻONYCH

LICZBACH PRZYBLIŻONYCH

Dodawanie i odejmowanie

Dodawanie i odejmowanie

Wynik dodawania (odejmowania)

Wynik dodawania (odejmowania)

zaokrąglamy do tej pozycji dziesiętnej, do

zaokrąglamy do tej pozycji dziesiętnej, do

której zaokrąglony jest najmniej dokładny

której zaokrąglony jest najmniej dokładny

składnik - na przykład:

składnik - na przykład:

1,23+1,345 = 2,575

1,23+1,345 = 2,575





2,58

2,58

, ponieważ

, ponieważ

składnik 1,23 wyrażony jest z dokładnością

składnik 1,23 wyrażony jest z dokładnością

do części setnych.

do części setnych.

1,856 - 0,75 = 1,106

1,856 - 0,75 = 1,106





1,11

1,11

, ponieważ

, ponieważ

odjemnik 0,75 wyrażony jest z dokładnością

odjemnik 0,75 wyrażony jest z dokładnością

do części setnych.

do części setnych.

5

PRZYKŁAD

PRZYKŁAD

Proste zadanie

Proste zadanie

: stado osłów

: stado osłów

liczyło ok. 350 osobników. Jeden

liczyło ok. 350 osobników. Jeden

osioł wpadł pod tramwaj. Ile

osioł wpadł pod tramwaj. Ile

osobników liczy teraz stado osłów?

osobników liczy teraz stado osłów?

350-1 = 349

350-1 = 349





350

350

, ponieważ

, ponieważ

liczebność stada oszacowana była

liczebność stada oszacowana była

z dokładnością do dziesiątek.

z dokładnością do dziesiątek.

6

PROSTE DZIAŁANIA NA

PROSTE DZIAŁANIA NA

LICZBACH PRZYBLIŻONYCH

LICZBACH PRZYBLIŻONYCH

C.D.

C.D.

Mnożenie, dzielenie, potęgowanie

Mnożenie, dzielenie, potęgowanie

Wyniki powyższych działań przedstawiamy za

Wyniki powyższych działań przedstawiamy za

pomocą tylu cyfr znaczących, do ilu

pomocą tylu cyfr znaczących, do ilu

zaokrąglony był najmniej dokładny czynnik - na

zaokrąglony był najmniej dokładny czynnik - na

przykład:

przykład:

7,23*6,1 = 44,103

7,23*6,1 = 44,103





44

44

, ponieważ czynnik

, ponieważ czynnik

6,1 przedstawiony był za pomocą 2 cyfr

6,1 przedstawiony był za pomocą 2 cyfr

znaczących.

znaczących.

3,5555/3,55 = 1,001549(...)

3,5555/3,55 = 1,001549(...)





1,00

1,00

2,34

2,34

2

2

= 5,4756

= 5,4756





5,48.

5,48.

7

PRZYKŁAD

PRZYKŁAD

Proste zadanie

Proste zadanie

: Zmierzono

: Zmierzono

wymiary pokoju. Długość wynosiła a

wymiary pokoju. Długość wynosiła a

= 3,22 m, a szerokość b = 4,55 m.

= 3,22 m, a szerokość b = 4,55 m.

Jaka jest powierzchnia pokoju?

Jaka jest powierzchnia pokoju?

S = a • b,

S = a • b,

S = 3,22 • 4,55 = 14,651

S = 3,22 • 4,55 = 14,651





14,7

14,7

m

m

2

2

.

.

Powierzchnia pokoju wynosi 14,7 m

Powierzchnia pokoju wynosi 14,7 m

2

2

.

.

8

ZŁOŻONE DZIAŁANIA NA

ZŁOŻONE DZIAŁANIA NA

LICZBACH PRZYBLIŻONYCH

LICZBACH PRZYBLIŻONYCH

Z zasady zaokrąglamy dopiero wynik ostateczny,

Z zasady zaokrąglamy dopiero wynik ostateczny,

ale robimy to w sposób wynikający z zasad

ale robimy to w sposób wynikający z zasad

zaokrąglania poszczególnych prostych działań - na

zaokrąglania poszczególnych prostych działań - na

przykład:

przykład:

4,22+1,1/3,22 = 4,22+0,3416(...) = 4,5616(...)

4,22+1,1/3,22 = 4,22+0,3416(...) = 4,5616(...)





4,56

4,56

.

.

W wyniku dzielenia 1,1/3,22 mamy tylko dwa

W wyniku dzielenia 1,1/3,22 mamy tylko dwa

miejsca znaczące, a więc w 0,3416(...) są to cyfry

miejsca znaczące, a więc w 0,3416(...) są to cyfry

do setnych włącznie. Skoro liczba 4,22 jest

do setnych włącznie. Skoro liczba 4,22 jest

również przedstawiona z dokładnością do setnych,

również przedstawiona z dokładnością do setnych,

sumę 4,22+0,34161(...) należy przedstawić z taką

sumę 4,22+0,34161(...) należy przedstawić z taką

właśnie dokładnością.

właśnie dokładnością.

9

POMIAR

POMIAR

• Pomiar, pomiar fizyczny,

czynności doświadczalne służące
ustaleniu wartości wielkości fizycznych.

• Pomiary mogą być bezpośrednie lub

pośrednie (wynik otrzymuje się na podstawie
bezpośredniego pomiaru innych wielkości, a
szukaną wartość otrzymuje się w wyniku
obliczeń)

10

SZACOWANIE BŁĘDÓW

SZACOWANIE BŁĘDÓW

Błędem bezwzględnym

Błędem bezwzględnym

nazywamy

nazywamy

różnicę między wartością zmierzoną

różnicę między wartością zmierzoną

lub obliczoną, a wartością rzeczywistą :

lub obliczoną, a wartością rzeczywistą :

D = X

D = X

zmierzone

zmierzone

- X

- X

rzeczywiste,

rzeczywiste,

Błędem względnym

Błędem względnym

nazywamy

nazywamy

stosunek błędu bezwzględnego do

stosunek błędu bezwzględnego do

wartości rzeczywistej:

wartości rzeczywistej:

d = D/X

d = D/X

rzeczywiste

rzeczywiste

.

.

11

BŁĄD PRZY POMIARZE

BŁĄD PRZY POMIARZE

POŚREDNIM

POŚREDNIM

0

20

40

60

80

100

120

0

2

4

6

8

10

12

X

Y

x

x

y

y

0

20

40

60

80

100

120

0

2

4

6

8

10

12

X

Y

x

x

y

y

12

BŁĄD POMIARU

BŁĄD POMIARU

POŚREDNIEGO

POŚREDNIEGO

•

Jeżeli wartość Y związana jest

Jeżeli wartość Y związana jest

zależnością funkcyjną z wartością

zależnością funkcyjną z wartością

X, którą można zmierzyć to:

X, którą można zmierzyć to:

•

Y = f(X);

Y = f(X);





Y = |f’(X)|

Y = |f’(X)|





X.

X.

13

PRZYKŁAD

PRZYKŁAD

Jaki błąd popełniamy obliczając pole okręgu,
którego promień wynosi r=32,0 cm, a błąd
pomiaru promienia r=0,1 cm?

S = 

• r

• r

2

2

,

,

więc

więc

S = 3,142 • 32,0

S = 3,142 • 32,0

2

2

= 3217,4

= 3217,4





3220 cm.

3220 cm.

S’ = 2

S’ = 2





r

r





S = |2

S = |2





r|•0,1 = 2 • 3,142 • 32,0 • 0,1 =

r|•0,1 = 2 • 3,142 • 32,0 • 0,1 =

= 20,109

= 20,109





30 cm

30 cm

2

2

.

.

BŁĄD ZAOKRĄGLAMY W GÓRĘ!

14

PRZYPADEK DWÓCH

PRZYPADEK DWÓCH

ZMIENNYCH

ZMIENNYCH

Z = Z(x,y),
znane x i y,

szukane Z.

Z =

|

| Z’

x

|

|

•

•





x + | Z’

x + | Z’

y

y

| •

| •





y.

y.

15

PRZYKŁAD

PRZYKŁAD

Kolarz jechał z prędkością v=11,2 m/s (błąd
pomiaru prędkości wynosił v=0,1 m/s)

przez t=120 s (błąd pomiaru czasu wynosił
t=1 s). Jaką drogę przejechał kolarz?

S = v

• t = 11,2 • 120 = 1344

• t = 11,2 • 120 = 1344





1340 m,

1340 m,

S’

S’

v

v

= t, S’

= t, S’

t

t

= v.

= v.





S = | S’

S = | S’

v

v

|

|





v + | S’

v + | S’

t

t

|

|





t = t

t = t





v + v

v + v





t,

t,





S = 120•0,1 + 11,2•1 = 12+11,2 =

S = 120•0,1 + 11,2•1 = 12+11,2 =

23,2

23,2





30 m.

30 m.