1

DZIAŁANIA NA LICZBACH 

DZIAŁANIA NA LICZBACH 

PRZYBLIŻONYCH, 

PRZYBLIŻONYCH, 

SZACOWANIE BŁĘDÓW W 

SZACOWANIE BŁĘDÓW W 

POMIARACH POŚREDNICH

POMIARACH POŚREDNICH

Jan Gajewski,

Zakład 

Biometrii

2

ZAOKRĄGLANIE LICZB

ZAOKRĄGLANIE LICZB

 

Liczby zaokrągla się według prostej zasady 

Liczby zaokrągla się według prostej zasady 

zilustrowanej przykładami:

zilustrowanej przykładami:

                              

                              

1,234

1,234





1,23,

1,23,

                              1,236

                              1,236





1,24.

1,24.

 Jeżeli zaokrąglana liczba kończy się na 
“...5”, to gdy końcówka “...5” poprzedzona 
jest cyfrą parzystą liczbę zaokrąglamy w dół, 
jeżeli nieparzystą - w górę; tak jak w 
poniższych przykładach:
                              

1,235

1,235





1,24,

1,24,

                              1,225

                              1,225





1,22.

1,22.

3

ZAOKRĄGLANIE LICZB C.D.

ZAOKRĄGLANIE LICZB C.D.

 

Zaokrąglać można również liczby, które 

Zaokrąglać można również liczby, które 

zapisane są bez części ułamkowych (bez 

zapisane są bez części ułamkowych (bez 

przecinka) - na przykład: 

przecinka) - na przykład: 

 

(do dziesiątek) 

(do dziesiątek) 

1246

1246





1250,

1250,

 

(do setek) 

(do setek) 

1246

1246





1200

1200

, itd.

, itd.

4

PROSTE DZIAŁANIA NA 

PROSTE DZIAŁANIA NA 

LICZBACH PRZYBLIŻONYCH

LICZBACH PRZYBLIŻONYCH

 

Dodawanie i odejmowanie

Dodawanie i odejmowanie

Wynik dodawania (odejmowania) 

Wynik dodawania (odejmowania) 

zaokrąglamy do tej pozycji dziesiętnej, do 

zaokrąglamy do tej pozycji dziesiętnej, do 

której zaokrąglony jest najmniej dokładny 

której zaokrąglony jest najmniej dokładny 

składnik - na przykład:

składnik - na przykład:

 

1,23+1,345 = 2,575 

1,23+1,345 = 2,575 





 2,58

 2,58

, ponieważ 

, ponieważ 

składnik 1,23 wyrażony jest z dokładnością 

składnik 1,23 wyrażony jest z dokładnością 

do części setnych.

do części setnych.

 

1,856 - 0,75 = 1,106 

1,856 - 0,75 = 1,106 





 1,11

 1,11

, ponieważ 

, ponieważ 

odjemnik 0,75 wyrażony jest z dokładnością 

odjemnik 0,75 wyrażony jest z dokładnością 

do części setnych.

do części setnych.

5

PRZYKŁAD

PRZYKŁAD

 

Proste zadanie

Proste zadanie

: stado osłów 

: stado osłów 

liczyło ok. 350 osobników. Jeden 

liczyło ok. 350 osobników. Jeden 

osioł wpadł pod tramwaj. Ile 

osioł wpadł pod tramwaj. Ile 

osobników liczy teraz stado osłów?

osobników liczy teraz stado osłów?

 

350-1 = 349 

350-1 = 349 





 350

 350

, ponieważ 

, ponieważ 

liczebność stada oszacowana była 

liczebność stada oszacowana była 

z dokładnością do dziesiątek.

z dokładnością do dziesiątek.

6

PROSTE DZIAŁANIA NA 

PROSTE DZIAŁANIA NA 

LICZBACH PRZYBLIŻONYCH 

LICZBACH PRZYBLIŻONYCH 

C.D.

C.D.

 

Mnożenie, dzielenie, potęgowanie

Mnożenie, dzielenie, potęgowanie

 

 

Wyniki powyższych działań przedstawiamy za 

Wyniki powyższych działań przedstawiamy za 

pomocą tylu cyfr znaczących, do ilu 

pomocą tylu cyfr znaczących, do ilu 

zaokrąglony był najmniej dokładny czynnik - na 

zaokrąglony był najmniej dokładny czynnik - na 

przykład:

przykład:

 

7,23*6,1 = 44,103 

7,23*6,1 = 44,103 





 44

 44

, ponieważ czynnik 

, ponieważ czynnik 

6,1 przedstawiony był za pomocą 2 cyfr 

6,1 przedstawiony był za pomocą 2 cyfr 

znaczących.

znaczących.

 

3,5555/3,55 = 1,001549(...) 

3,5555/3,55 = 1,001549(...) 





 1,00

 1,00

 

2,34

2,34

2

2

 = 5,4756 

 = 5,4756 





 5,48.

 5,48.

7

PRZYKŁAD

PRZYKŁAD

 

Proste zadanie

Proste zadanie

: Zmierzono 

: Zmierzono 

wymiary pokoju. Długość wynosiła a 

wymiary pokoju. Długość wynosiła a 

= 3,22 m, a szerokość b = 4,55 m. 

= 3,22 m, a szerokość b = 4,55 m. 

Jaka jest powierzchnia pokoju?

Jaka jest powierzchnia pokoju?

 

S = a • b,

S = a • b,

 

S = 3,22 • 4,55 = 14,651 

S = 3,22 • 4,55 = 14,651 





 14,7 

 14,7 

m

m

2

2

. 

. 

 

Powierzchnia pokoju wynosi 14,7 m

Powierzchnia pokoju wynosi 14,7 m

2

2

.

.

8

ZŁOŻONE DZIAŁANIA NA 

ZŁOŻONE DZIAŁANIA NA 

LICZBACH PRZYBLIŻONYCH

LICZBACH PRZYBLIŻONYCH

 

Z zasady zaokrąglamy dopiero wynik ostateczny, 

Z zasady zaokrąglamy dopiero wynik ostateczny, 

ale robimy to w sposób wynikający z zasad 

ale robimy to w sposób wynikający z zasad 

zaokrąglania poszczególnych prostych działań - na 

zaokrąglania poszczególnych prostych działań - na 

przykład:

przykład:

 

4,22+1,1/3,22 = 4,22+0,3416(...) = 4,5616(...) 

4,22+1,1/3,22 = 4,22+0,3416(...) = 4,5616(...) 





 4,56

 4,56

.

.

 

W wyniku dzielenia 1,1/3,22 mamy tylko dwa 

W wyniku dzielenia 1,1/3,22 mamy tylko dwa 

miejsca znaczące, a więc w 0,3416(...) są to cyfry 

miejsca znaczące, a więc w 0,3416(...) są to cyfry 

do setnych włącznie. Skoro liczba 4,22 jest 

do setnych włącznie. Skoro liczba 4,22 jest 

również przedstawiona z dokładnością do setnych, 

również przedstawiona z dokładnością do setnych, 

sumę 4,22+0,34161(...) należy przedstawić z taką 

sumę 4,22+0,34161(...) należy przedstawić z taką 

właśnie dokładnością.

właśnie dokładnością.

9

POMIAR

POMIAR

• Pomiar, pomiar fizyczny, 

czynności doświadczalne służące 
ustaleniu wartości wielkości fizycznych. 

• Pomiary mogą być bezpośrednie lub  

pośrednie (wynik otrzymuje się na podstawie 
bezpośredniego pomiaru innych wielkości, a 
szukaną wartość otrzymuje się w wyniku 
obliczeń)

10

SZACOWANIE BŁĘDÓW

SZACOWANIE BŁĘDÓW

 

 

 

Błędem bezwzględnym

Błędem bezwzględnym

 nazywamy 

 nazywamy 

różnicę między wartością zmierzoną 

różnicę między wartością zmierzoną 

lub obliczoną, a wartością rzeczywistą :

lub obliczoną, a wartością rzeczywistą :

D = X

D = X

zmierzone

zmierzone

 - X

 - X

rzeczywiste,

rzeczywiste,

 

Błędem względnym

Błędem względnym

 nazywamy 

 nazywamy 

stosunek błędu bezwzględnego do 

stosunek błędu bezwzględnego do 

wartości rzeczywistej:

wartości rzeczywistej:

d = D/X

d = D/X

rzeczywiste

rzeczywiste

.

.

11

BŁĄD PRZY POMIARZE 

BŁĄD PRZY POMIARZE 

POŚREDNIM

POŚREDNIM

0

20

40

60

80

100

120

0

2

4

6

8

10

12

X

Y

x

x

y

y

0

20

40

60

80

100

120

0

2

4

6

8

10

12

X

Y

x

x

y

y

12

BŁĄD POMIARU 

BŁĄD POMIARU 

POŚREDNIEGO

POŚREDNIEGO

•

Jeżeli wartość Y związana jest 

Jeżeli wartość Y związana jest 

zależnością funkcyjną z wartością 

zależnością funkcyjną z wartością 

X, którą można zmierzyć to:

X, którą można zmierzyć to:

•

Y = f(X); 

Y = f(X); 





Y = |f’(X)|

Y = |f’(X)|





X.

X.

13

PRZYKŁAD

PRZYKŁAD

Jaki błąd popełniamy obliczając pole okręgu, 
którego promień wynosi r=32,0 cm, a błąd 
pomiaru promienia r=0,1 cm?

S =  

• r

• r

2

2

, 

, 

więc

więc

S = 3,142 • 32,0

S = 3,142 • 32,0

2

2

 = 3217,4 

 = 3217,4 





 3220 cm.

 3220 cm.

S’ = 2

S’ = 2





r

r





S = |2

S = |2





r|•0,1 = 2 • 3,142 • 32,0 • 0,1 = 

r|•0,1 = 2 • 3,142 • 32,0 • 0,1 = 

      

      

= 20,109 

= 20,109 





 30 cm

 30 cm

2

2

.

.

BŁĄD ZAOKRĄGLAMY W GÓRĘ!

14

PRZYPADEK DWÓCH 

PRZYPADEK DWÓCH 

ZMIENNYCH

ZMIENNYCH

Z = Z(x,y),
znane x i y,

szukane Z.

 Z = 

|

| Z’

x 

|

| 

•

•





x + | Z’

x + | Z’

y 

y 

| • 

| • 





y.

y.

15

PRZYKŁAD

PRZYKŁAD

Kolarz jechał z prędkością v=11,2 m/s (błąd 
pomiaru prędkości wynosił v=0,1 m/s) 

przez t=120 s (błąd pomiaru czasu wynosił 
t=1 s). Jaką drogę przejechał kolarz?

S = v 

• t = 11,2 • 120 = 1344 

• t = 11,2 • 120 = 1344 





 1340 m,

 1340 m,

S’

S’

v

v

 = t,              S’

 = t,              S’

t

t

 = v.

 = v.





S = | S’

S = | S’

v

v

 | 

 | 





v + | S’

v + | S’

t 

t 

| 

| 





t = t

t = t





v + v

v + v





t,

t,





S = 120•0,1 + 11,2•1 = 12+11,2 = 

S = 120•0,1 + 11,2•1 = 12+11,2 = 

23,2 

23,2 





 30 m.

 30 m.