Mechanika Płynów

Wykład nr 15

„Przepływ cieczy przez

długie kanały.”



Potrzeby techniczne sprawiają konieczność
uproszczonych metod obliczeń, w których
stosuje się prosty model przepływu, a wszystkie
założone zjawiska uwzględnia się wprowadzając
korekty empiryczne. Modelem dla przepływu
cieczy i gazu w kanałach jest przepływ
jednowymiarowy ustalony. Do obliczeń stosuje
się równanie z przepływu idealnych, najczęściej
w postaci równania Bernoull’ego:

str

2

2

2

1

1

2

1

z

z

p

g

2

v

z

p

g

2

v

















(15.1)



z

str

– straty mocy w przepływach

rzeczywistych oblicza się ze wzoru :

g

2

v

d

l

z

2

str



















Czasami z

str

wyraża się poprzez ciśnienie :









p

z

str

(15.2)

(15.3)



Równania te są typowymi przedstawicielami
równań mechaniki płynów zwanej hydrauliką.
Powszechnie stosowana w obliczeniach rurociągów
i najstarszym działaniem mech. płynów.



Takie techniczne układy jak: dysze, dyfuzory
zalicza się do działu hydrauliki i stosuje się
uproszczone metody obliczeń.

W obliczeniach kanałów i
długich przewodów stosuje się :

1.

obliczanie strumienia masy lub objętości
przy znanej różnicy ciśnień, lub obliczenie
potrzebnej różnicy ciśnień dla danego
strumienia masy.

dt

dm

m





















m

f

p

2.

obliczanie średnicy kanału dla danego
strumienia lub objętości dla różnej różnicy
ciśnień.



















p

,

m

f

d

(15.4)

(15.5)

METODA OBLICZEŃ PRZEPŁYWU
CIECZY W DŁUGICH KANAŁACH



Wiemy, że dla cieczy lepkiej rozkład prędkości
obiega od wartości średniej. W tej sytuacji jako
prędkość przepływu jednowymiarowego przyjmuje
się jako prędkość przepływu prędkość średnią.

Rys.1



Należy rozważyć jaki błąd się popełnia przy

przepływie przez kanały opartych o
równanie Bernulli’ego.



Rzeczywista energia płynu przepływającego

przez dany przekrój kanału w jednostce
czasu czyli rzeczywisty strumień energii
rzeczywistej w postaci różniczkowej.

2

2

v

V

d

2

1

v

m

d

2

1

E

d













(15.6)



Elementarny strumień objętości o

przekroju kołowym obliczamy na
podstawie poniższego rysunku :

v

*

dr

*

r

2

V

d







sr

2

o

sr

r

0

v

r

v

*

rdr

2

V

o













Rys.2

(15.7)

(15.8)



V

d

0

0

r

2

d 



Gdybyśmy założyli prędkość zależną od

promienia r czyli v(r) to wydatek objętości:









0

r

0

dr

))

r

(

v

(

r

2

V

15.7 → 15.6

3

rdrv

2

2

1

E

d

















o

r

0

3

dr

rv

E



Gdy strumień energii kinetycznej

odniesiemy do prędkości średniej v

sr

sr

2

sr

v

V

d

2

1

v

m

2

1

E













2

v

r

'

E

2

sr

2







(15.9)

(15.10)

(15.11)

(15.12)

(15.13)



Gdzie można wyliczyć :

(strumień objętościowy)



Zatem :

sr

v

*

A

V 



A – przekrój rury

A

V

v

sr







Uwzględniając zależność (15.6) można

napisać :

2

o

r

0

2

0

r

0

sr

sr

r

rdr

)

r

(

v

2

r

rdr

v

2

v

o

o













(15.14)

(15.15)

(15.16)



V



Podstawiając v

sr

do wzoru (15.10)

otrzymujemy że :



Otrzymano dwa wyrażenia: jedno (15.8)

dla rzeczywistego rozkładu prędkości i
strumień energii dla przyjętego rozkładu
prędkości v

sr

.





4

o

3

r

0

r

rdr

)

r

(

v

4

'

E

0









(15.17)



E



'

E



Iloraz tych strumieni energii jest

nazywany współczynnikiem Coriolisa :









'

E

E



 



3

r

0

3

r

0

2

0

3

r

0

3

r

0

4

0

0

0

0

rdr

)

r

(

v

v

rdr

4

r

rdr

)

r

(

v

4

v

rdr

r

d

















(15.18)

(15.19)



Stosunek rzeczywistego strumienia energii
kinetycznej do strumienia energii
kinetycznej wynikającej z obliczeń prędkości
średniej vśr nosi nazwę wsp. Coriolisa i dla
przekroju kołowego wynosi zgodnie z wzorem
(15.16) widzimy, że jest zawsze większa od
jedności.



Dla ruchu laminarnego

=2



Dla ruchu turbulentnego

=1.1

(15.20)







E



'

E





W przypadku obliczeń pożądane jest
uwzględnienie tego współczynnika, gdyż
rzeczywista energia kinetyczna wyrażona
poprzez prędkość średnią v

sr

wynosi :

2

v

*

E

2

sr

rz







Praktycznie współczynnik jest
uwzględniony tylko wtedy gdy wartość
energii kinetycznej jest porównywalny z
wartością strat podczas przepływu. W
długich kanałach nie mogą być pomijane
opory przepływu i stosując równanie
bilansu Bernulli’ego piszemy jego postać
pół-empiryczną jak to podano wzorami
(15.1).

str

2

2

2

1

1

2

1

z

z

p

g

2

v

z

p

g

2

v

















(15.21)

(15.22)





Kanał pojedynczy: najprostszym przykładem

przepływu długi kanał o stałym przekroju (często

kołowym) ciecz wypływa z zbiornika przez

poziomy kanał o Ø=d i dł.=l, na swobodnej

powierzchni cieczy ciśnienia pa. Zakłada się w

obliczeniach, że w powierzchnia zbiornika A

1

jest

znacznie większa od przekroju A

4

wobec czego

V

1

w zbiorniku przyjmujemy równe 0. Schemat

można przedstawić następująco:

Rys.
3



Równanie przyjmuje

postać:



Otrzymujemy wyrażenie, że poziomu w

zbiorniku cieczy :

str

2

2

2

1

1

2

1

z

z

p

g

2

v

z

p

g

2

v

0



















str

2
4

1

z

g

2

v

z





g

2

v

d

l

z

2
4

str







Uwzględniając wsp. Coriolisa

g

2

v

d

l

g

2

v

z

2
4

2
4

1









(15.23)

(15.24)

(15.25)

(15.26)





Odnośnie współczynnika są różne reguły

wyznaczania tego współczynnika, który jest
funkcją najczęściej liczby Reynolds’a
względnie można go uzyskać na podstawie
odpowiednich wykresów, które można
znaleźć w podręcznikach hydrauliki
dotyczących obliczeń kanałów: np. wzór

4

Re

16

,

0





(15.27)

Przepływy laminarne i
turbulencyjne

– współczynnik strat - liczba Blasiusa



Prawo Hagena-Poiseuille’a

4

d

*

l

p

*

128

Q









(15.28)



(strata energii) po przekształceniu:

g

2

v

*

d

l

*

Re

64

r

p

h

śr









v

d

v

Re

śr



d

l

g

2

v

R

h

2

e

str



(15.29)

(15.30)

(15.31)

Współczynnik strat na tarcie



dla ruchu laminarnego



dla ruchu turbulentnego określa się

doświadczalnie wg wzoru Blausiusa



ogólny wzór laminarnego

Re

64





4

Re

316

,

0





Re

64

Re

1

K

bn

n





















(15.32)

(15.33)

(15.34)





Istnieje pewna krytyczna wartość poniżej

której ruch kształtuje się jako laminarny a powyżej

turbulentny.





vd

Re

Laminarny Re

kr1

Laminarny lub Turbulentny Re

kr2

Turbulentny

Re

kr1

= 2340

Re

kr2

= 50

000



Współczynnik strat dla ruchu laminarnego są

2 razy mniejsze (dla przepływu laminarnego
lub turbulentnego) – przyjmuje się wyższe.

Szorstkość:



Wzór Nikuraduse’a



Przy każdej szorstkości ustala się wartość

współczynnika strat wg tabeli lub z wykresu (rys.4 ).



Wzór Misesa



k - liczba (wymiar długości charakterystycznej).

2

174

s

v

lg

2

1



















Re

2

2

,

7

r

k

4

0096

,

0









(15.35)

(15.36)



Rys.4

Obliczanie wydajności pomp.



Jeżeli na drodze przepływu strugi znajduje

się źródło energii, to w tym miejscu
następuje przyrost lub ubytek energii cieczy.
Znajduje to odbicie w równaniu Bernoulliego.

z

str

2

2

2
2

1

1

2

1

H

h

z

p

g

2

v

z

p

g

2

v





















Hz – wys. hydrauliczna źródła energii

Rys.5

(15.37)



W praktyce przyjmujemy że przy długich

rurociągach straty lokalne są małe w
stosunku do strat wzdłuż przewodu i można
ja zaniedbać. Cała energia strumienia zużyta
zostaje na pokonanie tarcia.

str

z

p

v

z

h

h

h

h

H















z

H

Q

N 



d

l

g

2

v

~

h

2

str





l

d

h

g

2

v

str





v

4

d

Q

4





(15.38)

(15.39)

(15.40)

(15.41)

(15.42)



Przyjmując w przybliżeniu obliczamy v

I

,



następnie

v

d

v

Re

I





oraz z wzoru Blausiasa

4

Re

316

,

0







następnie II przybliżenie, czyli dla v

II

liczymy

ze wzoru (15.43) Re i wyznaczamy ze

wzoru (15.44).

(15.43)

(15.44)





Przewody rozgałęzione



H – efektywna różnica ciśnień

2

2

2
2

2

1

1

2

1

1

2

str

1

str

AB

d

l

g

2

v

d

l

g

2

v

h

h

H













3

3

2
3

3

1

1

2

1

1

3

str

1

str

AC

d

l

g

2

v

d

l

g

2

v

h

h

H













2
3

3

2
2

2

2

1

1

3

1

d

v

d

v

d

v

Q

Q

Q











Rys.6

(15.45)

(15.47)

(15.46)

Dzię
Wyszukiwarka