Matematyka ubezpieczeniowa
Kierunek: Matematyka
Wykład 5
2012/2013 semestr letni
Kalkulacja jednorazowej składki netto dla ubezpieczenia płatnego w momencie śmierci ubezpieczonego.
6.1 Terminowe ubezpieczenie na wypadek śmierci.
W ramach tego ubezpieczenia zakład ubezpieczeń wypłaca określoną sumę osobie
uposażonej w momencie śmierci ubezpieczonego, jeżeli śmierć nastąpi w ciągu
okresu ubezpieczenia. Jeżeli ubezpieczony przeżyje okres ubezpieczenia, wówczas
żadne świadczenie nie jest wypłacane.
1
A1
A
�
x : n
�
x : n
jednorazowa składka netto przy sumie ubezpieczenia 1 zł, wieku
ubezpieczonego x i okresie ubezpieczenia n oraz płatności natychmiastowej
po śmierci ubezpieczonego
Wartość przyszłego świadczenia:
1, t Ł n
�
b = .
�
t
(W 6.1a)
0 , t > n
�
Wartość obecna przyszłego świadczenia:
t
�
v , t Ł n
Z = z = .
�
t
(W 6.1b)
0 , t > n
�
Jednorazowa składka dla tego typu ubezpieczenia:
+Ą n
t
(W 6.1c)
A1 = E (Z ) = z g (t )dt = v p � dt .
t t x x + t
� �
�
x : n
0 0
2
Kalkulacja jednorazowej składki netto dla ubezpieczenia płatnego w momencie śmierci ubezpieczonego.
6.2 Ubezpieczenie na całe życie.
W ramach tego ubezpieczenia zakład ubezpieczeń wypłaca określoną sumę osobie
uposażonej w momencie śmierci ubezpieczonego, niezależnie od tego, kiedy ta
śmierć nastąpi.
A
x
jednorazowa składka netto przy sumie ubezpieczenia 1 zł dla osoby
ubezpieczonej w wieku x w ubezpieczeniu na całe życie.
Wartość przyszłego świadczenia:
b = 1, t ł 0 .
(W 6.2a)
t
Wartość obecna przyszłego świadczenia:
t
(W 6.2b)
Z = z = v , t ł 0 .
t
Jednorazowa składka dla tego typu ubezpieczenia:
+Ą +Ą
t
A = E (Z ) = z g (t )dt = v p � dt .
(W 6.2c)
x t t x x + t
� �
0 0
3
Kalkulacja jednorazowej składki netto dla ubezpieczenia płatnego w momencie śmierci ubezpieczonego.
6.3 Czyste ubezpieczenie na dożycie.
W ramach tego ubezpieczenia zakład ubezpieczeń wypłaca świadczenie tylko tym
osobą, które przeżyły okres ubezpieczenia.
A 1 jednorazowa składka netto dla osoby, która w wieku x lat wykupiła n-letnie
�
x : n
ubezpieczenie na dożycie o sumie ubezpieczenia 1 zł.
Wartość przyszłego świadczenia:
0 , t Ł n
�
b = . (W 6.3a)
�
t
1 , t > n
�
Wartość obecna przyszłego świadczenia:
0 , t Ł n
�
Z = z = .
�
t
t
(W 6.3b)
v , t > n
�
Niepewnym czynnikiem jest to, czy nastąpi wypłata świadczenia. Możemy
wprowadzić zmienną losową Y o zero - jedynkowym rozkładzie, która
będzie pokazywała, czy osoba ubezpieczona dożyje x+n lat:
1, gdy ubezpieczony dożyje x +n lat
�
Y =
�0, w pozostałych przypadkach (W 6.3c)
�
Jednorazowa składka dla tego typu ubezpieczenia:
n n
A = E (Z ) = E (Y )v = v p .
(W 6.3d)
1 n x
�
x : n
4
Kalkulacja jednorazowej składki netto dla ubezpieczenia płatnego w momencie śmierci ubezpieczonego.
6.4 Ubezpieczenie na wypadek śmierci i dożycie (mieszane).
W ramach tego ubezpieczenia zakład ubezpieczeń wypłaca świadczenie zarówno w razie
śmierci osoby ubezpieczonej w okresie ubezpieczenia, jak i w sytuacji, gdy osoba
ubezpieczona przeżyje okres ubezpieczenia.
A
�
jednorazowa składka netto dla osoby, która w wieku x lat wykupiła polisę,
x : n
która gwarantuje wypłatę 1 zł zarówno w sytuacji, gdy osoba ta umrze w
ciągu n lat, jak również w przypadku dożycia tej osoby wieku x + n lat.
Wartość przyszłego świadczenia:
b = 1 , t ł 0 .
(W 6.4a)
t
Ubezpieczenie to może być traktowane jako połączenie terminowego
ubezpieczenia na wypadek śmierci i czystego na dożycie, czyli zmienna
losowa to suma odpowiednich zmiennych losowych.
Wartość obecna przyszłego świadczenia:
t
t
(W 6.4b)
0 , t Ł n �
� � v , t Ł n
v , t Ł n
�
Z = z = Z + Z = + = .
� � �
t 1 2
n
n
0 , t > n v , t > n �
v , t > n
� �
�
Jednorazowa składka dla tego typu ubezpieczenia:
A = E ( Z ) = E ( Z ) + E ( Z ),
�
1 2 (W 6.4c)
x : n
A = A1 + A
�
1
x : n
� �
x : n x : n
5
Kalkulacja jednorazowej składki netto dla ubezpieczenia płatnego w momencie śmierci ubezpieczonego.
6.5 Ubezpieczenie na całe życie odroczone o m lat.
W ramach tego ubezpieczenia zakład ubezpieczeń wypłaca świadczenie, gdy śmierć
ubezpieczonego nastąpi nie wcześniej niż m lat od momentu wykupu polisy.
A
x jednorazowa składka netto dla osoby, która w wieku x lat wykupiła
m
polisę, gwarantującą wypłatę 1 zł, gdy śmierć tej osoby nastąpi nie
wcześniej niż m lat od momentu zawarcia ubezpieczenia.
Wartość przyszłego świadczenia:
0 , t Ł m
�
(W 6.5a)
b = .
�
t
1 , t > m
�
Wartość obecna przyszłego świadczenia:
0 , t Ł m (W 6.5b)
�
Z = z = .
�
t
t
v , t > m
�
Jednorazowa składka dla tego typu ubezpieczenia:
+Ą +Ą
(W 6.5c)
t
A = E (Z ) = z g (t )dt = v p � dt .
x t t x x + t
m
� �
m m
6
Kalkulacja jednorazowej składki netto dla ubezpieczenia płatnego w momencie śmierci ubezpieczonego.
6.6 Ubezpieczenie na dożycie odroczone o m lat.
W ramach tego ubezpieczenia zakład ubezpieczeń wypłaca świadczenie zarówno w razie
śmierci osoby ubezpieczonej, jeżeli śmierć nastąpi w ciągu n + m lat od momentu
zawarcia ubezpieczenia, ale nie wcześniej niż przed upływem m lat, jak i w sytuacji,
gdy osoba ubezpieczona przeżyje n + m lat od momentu wykupu polisy.
A
x
m n
jednorazowa składka dla osoby, która w wieku x lat wykupiła n - letnie
ubezpieczenie na dożycie o sumie ubezpieczenia 1 zł, odroczone o m lat.
Wartość przyszłego świadczenia:
0 , n + m < t � t Ł m ,
�
b =
� (W 6.6a)
t
1 , m < t Ł n + m .
�
Wartość obecna przyszłego świadczenia:
0 , n + m < t � t Ł m ,
�
(W 6.6b)
Z = z =
�
t
t
v , m < t Ł n + m .
�
Jednorazowa składka dla tego typu ubezpieczenia:
n +m n +m
t
(W 6.6c)
A = E (Z ) = z g (t )dt =
x t t x x +t
m n
� �v p � dt .
m m
7
Kalkulacja jednorazowej składki netto dla ubezpieczenia płatnego w momencie śmierci ubezpieczonego.
6.7 Ubezpieczenie na całe życie o rosnącej sumie ubezpieczenia.
W ramach tego ubezpieczenia zakład ubezpieczeń gwarantuje wypłatę 1 zł w sytuacji,
gdy zgon nastąpi w ciągu pierwszego roku trwania ubezpieczenia, 2 zł, gdy
ubezpieczony umrze w ciągu drugiego roku od zawarcia umowy ubezpieczenia itd.
( )
I A
x
jednorazowa składka netto dla osoby, która w wieku x wykupiła
polisę z zwiększającą się o 1 zł sumą ubezpieczenia na początku każdego
nowego roku.
Wartość przyszłego świadczenia:
b = [t + 1], t ł 0 . (W 6.7a)
t
Wartość obecna przyszłego świadczenia:
t
(W 6.7b)
Z = z = [t + 1] v , t ł 0 .
t
Jednorazowa składka dla tego typu ubezpieczenia:
+Ą +Ą
(W 6.7c)
t
( )
I A = E (Z ) = z g (t )dt =
x t t x x + t
� �[t + 1]v p � dt .
0 0
8
Kalkulacja jednorazowej składki netto dla ubezpieczenia płatnego w momencie śmierci ubezpieczonego.
6.8 Ubezpieczenie na całe życie o rosnącej m razy w roku sumie
ubezpieczenia.
Ubezpieczenie to jest podobne do 6.7, z tym że suma ubezpieczenia w tym przypadku
zwiększa się m razy w roku. Oznacza to, że gdy osoba ubezpieczona umrze w ciągu
pierwszej m tej części roku, osoba uposażona otrzyma 1/m zł, jeżeli zgon nastąpi w
drugiej m tej części roku, wówczas świadczenie wynosi 2/m zł itd.
( m )
(I A )
jednorazowa składka netto dla osoby, która w wieku x wykupiła
x
polisę o rosnącej m  razy w roku sumie ubezpieczenia.
Wartość przyszłego świadczenia:
[tm + 1]
b = , t ł 0 .
(W 6.8a)
t
m
Wartość obecna przyszłego świadczenia:
[tm + 1]
t
(W 6.8b)
Z = z =
v , t ł 0 .
t
m
Jednorazowa składka dla tego typu ubezpieczenia:
+Ą +Ą
[tm + 1]
( m ) t
(I A ) = E (Z ) = z g (t )dt = v p � dt .
(W 6.8c)
x t t x x + t
� �
m
0 0
9
Kalkulacja jednorazowej składki netto dla ubezpieczenia płatnego w momencie śmierci ubezpieczonego.
6.9 Ubezpieczenie na całe życie o rosnącej w sposób ciągły sumie
ubezpieczenia.
Ubezpieczenie to jest analogiczne do ubezpieczenia na całe życie z tym, że suma
ubezpieczenia zwiększa się liniowo w każdym momencie trwania ubezpieczenia.
( )
I A
x
jednorazowa składka netto dla osoby, która w wieku x wykupiła
polisę na całe życie z rosnącą w sposób ciągły sumą ubezpieczenia.
Wartość przyszłego świadczenia:
(W 6.9a)
b = t , t ł 0 .
t
Wartość obecna przyszłego świadczenia:
t (W 6.9b)
Z = z = t v , t ł 0 .
t
Jednorazowa składka dla tego typu ubezpieczenia:
+Ą +Ą
(W 6.9c)
t
( )
I A = E (Z ) = z g (t )dt = tv p � dt .
x t t x x + t
� �
0 0
10
Kalkulacja jednorazowej składki netto dla ubezpieczenia płatnego w momencie śmierci ubezpieczonego.
6.10 Terminowe ubezpieczenie na wypadek śmierci o malejącej sumie
ubezpieczenia.
W ramach tego ubezpieczenia zakład ubezpieczeń gwarantuje wypłatę osobie
uposażonej n zł w momencie śmierci osoby ubezpieczonej w ciągu pierwszego roku
trwania polisy, n  1 zł w ciągu drugiego roku itd. aż do ostatniego n  tego roku
trwania ubezpieczenia, kiedy to świadczenie będzie wynosiło 1 zł.
( )
D A
1
�
jednorazowa składka netto dla osoby, która w wieku x wykupiła
x : n
polisę terminowego ubezpieczenia na wypadek śmierci o malejącej sumie
ubezpieczenia.
Wartość przyszłego świadczenia:
n
� - [ t ], t Ł n ,
(W 6.10a)
b =
�
t
0 ,
t > n .
�
Wartość obecna przyszłego świadczenia:
t
�
v ( n - [ t ]), t Ł n , (W 6.10b)
Z = z =
�
t
0 , t > n .
�
Jednorazowa składka dla tego typu ubezpieczenia:
+Ą +Ą
t
(W 6.10c)
( ) = E (Z ) = z g (t )dt =
D A
1 t t x x +t
� �(n -[t ])v p � dt .
�
11
x : n
0 0