Matematyka ubezpieczeniowa
Kierunek: Matematyka
Wykład 2
2012/2013 semestr letni
2. Elementy matematyki finansowej
Definicja 2.1
Dopisywanie odsetek do kapitału nazywa się kapitalizacją odsetek.
Czas, po którym odsetki są dopisywane do kapitału, nazywamy
okresem kapitalizacji lub okresem konwersji.
Kapitalizację dzielimy na:
prostą, czyli uwzględniającą procent prosty  podstawą do
obliczania odsetek jest tylko kapitał początkowy, a odsetki nie
podlegają oprocentowaniu,
złożoną, czyli uwzględniającą procent składany  podstawą
obliczania odsetek jest kapitał początkowy i nagromadzone
odsetki.
Naliczanie odsetek może być dokonywane w sposób:
ciągły
dyskretny (skokowy).
2
Podział kapitalizacji ze względu na moment dopisywania odsetek do
kapitału:
kapitalizację z dołu  odsetki są dopisywane do kapitału na
końcu okresu kapitalizacji,
kapitalizację z góry lub kapitalizację w zaliczce  odsetki są
dopisywane do kapitału na początku okresu kapitalizacji.
Definicja 2.2
Okresem bazowym nazywamy okres, po jakim dolicza się odsetki.
Definicja 2.3
Stopę procentową możemy rozumieć jako pewien iloraz:
opłata za użytkowanie danego kapitału
w przyjętej jednostce czasu
stopa procentowa
=
wartość kapitału początkowego
W powyższym wzorze licznik nazywany jest również odsetkami.
3
Akumulacja i dyskontowanie
Załóżmy, że inwestujemy kwotę tzn. kapitał początkowy, która
K ,
0
K < K
wzrasta do (zdarza się, że -wtedy wzrost jest ujemny).
K
1 0
1
Definicja 2.4
r
Stopą zwrotu z inwestycji nazywamy wielkość opisującą stosunek
K ,
odsetek do wartości początkowej kapitału określoną
0
wzorem:
K
1
r = -1.
(D 2.4 a)
K
0
Przekształcając powyższy wzór:
(D 2.4 b)
K = K (1+ r ).
1 0
Definicja 2.5
Liczbę nazywamy czynnikiem akumulującym.
1+ r
4
Definicja 2.6
Stopy zwrotu realizowane w różnych podmiotach gospodarczych są
i .
podstawą określania efektywnej stopy procentowej Ponieważ
w ciągu roku obserwujemy zróżnicowanie realizacji stóp zwrotu
dla poszczególnych podmiotów, więc dla uroszczenia procedury
obliczeniowej oraz uporządkowania dalszych rozważań,
i
efektywną stopę procentową określamy jako stopę zwrotu
dominującą na przestrzeni kilku okresów.
n
Niech oznacza sumę końcową po okresach bazowych.
K
n
Wówczas otrzymamy równania dla kapitalizacji
prostej
(D 2.6 a)
K = K (1+ ni )
n 0
złożonej
(D 2.6 b)
K = K (1+ i )n .
n 0
Bieżącymi odsetkami nazywamy kwotę która przyrosła w n  tym
i ,
n
okresie:
i = K - K = iK
n n n -1 n -1.
5
K
Z wzoru (D 2.4 b) mamy
1
K = ,
0
(D 2.6 c)
1+ i
tzn. na podstawie wartości kapitału w przyszłości można też obliczyć
jego wartość teraz
niejszą.
Definicja 2.7
1
Wielkość
v = ,
1 + i
(D 2.7 a)
nazywamy czynnikiem dyskontującym lub mnożnikiem wartości
obecnej.
Wzór (D 2.6 c) można zapisać następująco:
(D 2.7 b)
K = K v = K (1 - d ).
0 1 1
Efektywną stopą dyskontową d nazywamy liczbę z powyższego wzoru.
i
(D 2.7 c)
d = 1 - v = = iv .
1 + i
Jest to miara odsetek pobieranych z góry.
6
Definicja 2.7  c.d.
Natomiast jeśli dokonujemy kapitalizacji k razy w ciągu danego
okresu, wówczas stopa procentowa w okresie bazowym wynosi
r
i = .
k
Otrzymujemy zatem następujące wzory dla kapitalizacji po n pełnych
okresach bazowych:
dla procentu stałego:
r
K = K (1+ n ) (D 2.7 d)
n 0
k
dla procentu składanego:
r
K = K (1+ )n .
(D 2.7 e)
n 0
k
Niech t będzie dowolną liczbą dodatnią. Załóżmy, że początkowy
kapitał po czasie t przyjmuje wartość
K
0
K = K (1+ i )t .
(D 2.7 f)
t 0
Odsetki są tu naliczane w sposób ciągły.
7
Nominalne stopy oprocentowania i dyskonta.
Intensywność oprocentowania.
Definicja 2.8
Nominalna stopa procentowa (NSP) jest wielkością wyrażoną wzorem
1
(m )
m
(D 2.8 a)
i = m ((1+ i ) -1),
gdy kapitalizacja odbywa się m  krotnie w ciągu roku.
Nominalna roczna stopa procentowa jest to stopa procentowa z jaką
bank kapitalizuje odsetki. Jest wyrażona w skali rocznej.
Jeżeli mamy do czynienia z oprocentowaniem składanym, przy czym
kapitalizacja odsetek odbywa się m razy w ciągu roku (m jest
liczbą całkowitą), to zależność między nominalną stopą
(m )
i ,
procentową a równoważną jej stopą procentową można
wyrazić następująco
m
(m )
ć �
i
�
(D 2.8 b)
�1+ m � = 1+ i .
�
Ł ł
8
Definicja 2.8  c.d.
Zatem z poprzedniego wzoru efektywna stopa procentowa wyraża się
wzorem
m
(m )
ć �
i
�
i =
�1+ m � -1.
�
(D 2.8 c)
Ł ł
Zdefiniujmy analogicznie nominalną stopę dyskontową obliczaną m
razy w ciągu roku.
Definicja 2.9
Nominalna stopa dyskontowa jest to wielkość wyrażona wzorem
1
(m )
m
d = m (1- (1- d ) ). (D 2.9 a)
Po przekształceniu
m
(m )
ć �
d
�
(D 2.9 b)
�1- m � = 1- d .
�
Ł ł
9
Definicja 2.10
Dla kapitalizacji ciągłej, tzn. takiej, że odsetki są kapitalizowane ciągle
przez cały rok (m  razy w roku, przy czym mamy
m � Ą)
�
m
m
�
�ć � � ł
�
�
1+ i = limć1+ = lim 1+ = exp(� ), (D 2.10)
ę ś
� � � �
m �Ą m �Ą
m
Ł ł
ę
�Ł m ł ś
�
gdzie
� -
nominalna stopa procentowa w kapitalizacji ciągłej,
i -
efektywna roczna stopa procentowa.
Definicja 2.11
Liczbę
� = ln(1+ i ) (D 2.11 a)
nazywamy intensywnością oprocentowania lub nominalną stopą
procentową. Zatem
i = exp(� ) -1.
10
Definicja 2.11- c.d.
Nasz początkowy kapitał wzrośnie po czasie t do wartości
K
0
[t m ]+1
�
ć1+ �
(D 2.11 b)
K (m ) = K .
� �
0
m
Ł ł
W chwili t nasz kapitał wynosi więc:
(D 2.11 c)
t
K = K (1+ i ) = K exp(� t ),
t 0 0
tzn. kapitalizacja odsetek następuje w sposób ciągły.
Przykład 2.1
W banku roczna stopa procentowa wynosi 2,8 %. Oblicz jaka będzie
wartość kapitału, gdy kapitał początkowy wynosi 1 700 zł, po
czterech latach przy kapitalizacji ciągłej.
Rozwiązanie:
11
Definicja 2.12
Wartość przyszłą pieniądza obliczamy z następującego wzoru:
[t m ]
(m )
ć �
i
(D 2.12)
�
K = K
n 0
�1+ m � ,
�
Ł ł
gdzie:
m
- jest liczbą okresów kapitalizacji w ciągu roku,
n
- jest okresem inwestycji (czasem użytkowania kapitału),
n
- k uzupełniamy w zależności od okresu inwestycji, np. jeżeli n
t =
k
jest podane w miesiącach to k=12,
[t m ]- liczba okresów kapitalizacji;
( m )
i
- jest nominalną stopą procentową, obliczaną na podstawie
wzoru (D 2.8 a)
K
- oznacza zainwestowany kapitał początkowy.
0
12
Definicja 2.13
Wartość obecną pieniądza obliczamy z następującego wzoru:
[t m ]
(m )
ć �
d
(D 2.13)
�
K = K
o n
�1- m � ,
�
Ł ł
gdzie:
m
- jest liczbą okresów kapitalizacji w ciągu roku,
n
- jest okresem inwestycji (czasem użytkowania kapitału),
n
- k uzupełniamy w zależności od okresu inwestycji, np. jeżeli n
t =
k
jest podane w miesiącach to k=12,
[t m ]- liczba okresów kapitalizacji;
( m )
- jest nominalną stopą dyskontową, obliczaną na podstawie
d
wzoru (D 2.9 a)
K - oznacza wartość przyszłą kapitału.
n
13