Matematyka ubezpieczeniowa
Kierunek: Matematyka
Wykład 6
2012/2013 semestr letni
7.0 Kalkulacja jednorazowej składki netto dla ubezpieczenia
płatnego na końcu roku, w którym nastąpiła śmierć ubezpieczonego
Założenia:
wypłacana na końcu roku, w którym nastąpiła śmierć ubezpieczonego suma
ubezpieczenia wynosi 1zł;
ubezpieczenie jest zawierane w momencie, gdy ubezpieczony jest w wieku
x lat;
techniczna stopa procentowa jest wielkością deterministyczną;
modele służące do kalkulacji składki są modelami dyskretnymi.
Oznaczenia:
k liczba lat, które pozostały do przeżycia osobie w wieku x
i
techniczna stopa oprocentowania
b
k + 1 kwota przyszłego świadczenia
k + 1
v
czynnik dyskontujÄ…cy
z
k + 1
obecna wartość świadczenia
2
Dyskretna zmienna losowa K(x) będzie reprezentowała liczbę pełnych lat
pozostałych do przeżycia osobie w wieku x lat.
Zauważmy, że wypłata świadczenia zależna jest tylko od zmiennej k . Ponadto
konsekwencją płatności na koniec roku, jest przesunięcie o jeden.
Aktualna wartość przyszłego świadczenia jest zmienną losową Z określoną
wzorem:
k +1
Z = z = b v (W 7.0 a)
k +1 k +1
Jednorazowa składka netto obliczana jest jako wartość oczekiwana zmiennej
losowej Z, czyli E(Z):
Ä„
E (Z ) = E ( z ) = z Pr[ K ( x ) = k ], (W 7.0 a)
k +1 å k +1
k = 0
gdzie Pr [ K(x) = k]  funkcja prawdopodobieństwa K(x) oraz
Pr[ K ( x ) = k ]= p ×q .
k x x + k
3
7.1 Terminowe ubezpieczenie na wypadek śmierci.
1
A A1
Ø
x : n
Ø
jednorazowa składka netto dla osoby, która w wieku x
x : n
lat wykupiła terminowe ubezpieczenie na wypadek śmierci.
Wartość przyszłego świadczenia:
1, k = 0 ,1, & , n - 1
ì
b =
í
k + 1
(W 7.1a)
0 , k = n , n + 1, &
î
Wartość obecna przyszłego świadczenia:
k + 1
ì
v , k = 0 ,1, & , n - 1
(W 7.1b)
Z = z =
í
k + 1
0 , k = n , n + 1, &
î
Jednorazowa składka dla tego typu ubezpieczenia:
n
k +1
(W 7.1c)
A1 = E (Z ) = v p ×q .
å k x x + k
Ø
x : n k = 0
4
7.2 Ubezpieczenie na całe życie.
A
x
jednorazowa składka netto dla osoby, która w wieku x lat wykupiła
ubezpieczeniu na całe życie.
Wartość przyszłego świadczenia:
b = 1, k = 0 ,1, &
(W 7.2a)
k + 1
Wartość obecna przyszłego świadczenia:
k + 1
Z = z = v , k = 0 ,1, &
k + 1
(W 7.2b)
Jednorazowa składka dla tego typu ubezpieczenia:
Ä„
k +1
A = E (Z ) = v p ×q .
(W 7.2c)
x å k x x + k
k = 0
5
7.3 Ubezpieczenie na wypadek śmierci i dożycie (mieszane).
A
Ø
jednorazowa składka netto dla osoby, która w wieku x lat wykupiła
x : n
ubezpieczenie mieszane.
Wartość przyszłego świadczenia:
b = 1 , k = 0 ,1 , &
k + 1 (W 7.3a)
Wartość obecna przyszłego świadczenia:
k + 1
ì
v , k = 0 ,1, & , n - 1,
ï
(W 7.3b)
Z = z =
í
k + 1
n
ï
v , k = n , n + 1, &
î
Jednorazowa składka dla tego typu ubezpieczenia:
A = E (Z )
Ø
x : n
n -1
k +1 n (W 7.3c)
= A1 + A = v p ×q + v ×n p .
1 å k x x + k x
Ø Ø
x : n x : n k = 0
6
7.4 Ubezpieczenie na całe życie odroczone o m lat.
A
x
m
jednorazowa składka netto dla osoby, która w wieku x lat wykupiła
polisę na całe życie odroczoną o m lat.
Wartość przyszłego świadczenia:
1 , k = m , m + 1 , &
ì
(W 7.4a)
b =
í
k + 1
0 , k = 0 ,1 , & , m - 1
î
Wartość obecna przyszłego świadczenia:
k + 1
ì
v , k = m , m + 1, &
Z = z = .
í (W 7.4b)
k + 1
0 , k = 0 ,1, & , m - 1
î
Jednorazowa składka dla tego typu ubezpieczenia:
Ä„
k +1
A = E (Z ) = v p ×q .
(W 7.4c)
x å k x x + k
m
k = m
7
7.5 Ubezpieczenie na dożycie odroczone o m lat.
A
x
m n
jednorazowa składka dla osoby, która w wieku x lat wykupiła n -
letnie ubezpieczenie na dożycie o sumie ubezpieczenia 1 zł, odroczone o m
lat.
Wartość przyszłego świadczenia:
0 , k = 0 ,1, & , m - 1 Ú k = m + n , &
ì
b = (W 7.5a)
í
k + 1
î1, k = m , m + 1, & , m + n - 1
Wartość obecna przyszłego świadczenia:
0 , k = 0 ,1, & , m - 1 Ú k = m + n , &
ì
Z = z =
í
k + 1
k + 1
v , k = m , m + 1, & , m + n - 1
(W 7.5b)
î
Jednorazowa składka dla tego typu ubezpieczenia:
(W 7.5c)
m +n -1
k +1
A = E (Z ) = v p ×q
x å k x x +k
m n
k =m
8
7.6 Ubezpieczenie na całe życie o rosnącej co roku sumie
ubezpieczenia.
(I A )
x
jednorazowa składka netto dla osoby, która w wieku x wykupiła polisę
z zwiększającą się o 1 zł sumą ubezpieczenia na początku każdego
nowego roku.
Wartość przyszłego świadczenia:
(W 7.6a)
b = k + 1, k = 0 ,1, &
k + 1
Wartość obecna przyszłego świadczenia:
(W 7.6b)
k + 1
Z = z = ( k + 1) v , k = 0 ,1, &
k + 1
Jednorazowa składka dla tego typu ubezpieczenia:
Ä„
k +1
(I A ) = E (Z ) = (k + 1)v p ×q .
å
x k x x + k (W 7.6c)
k = 0
9
7.7 Terminowe ubezpieczenie na wypadek śmierci o rosnącej rocznie
sumie ubezpieczenia.
(I A )1 (I A )1
Ø
x : n
Ø
jednorazowa składka netto dla osoby, która w
x : n
wieku x wykupiła polisę terminowego ubezpieczenia na wypadek śmierci z
zwiększającą się o 1 zł sumą ubezpieczenia na początku każdego nowego
roku.
Wartość przyszłego świadczenia:
k + 1, k = 0 ,1, & , n - 1
ì
b =
í
k + 1
(W 7.7a)
0 , k = n , n + 1, &
î
Wartość obecna przyszłego świadczenia:
k +1
ì
( k + 1)v , k = 0 ,1,& , n - 1
Z = z =
í
k +1
(W 7.7b)
0, k = n , n + 1,&
î
Jednorazowa składka dla tego typu ubezpieczenia:
n -1
k +1
p ×q .
(I A )1 = E (Z ) =
(W 7.7c)
å(k +1)v k x x +k
Ø
x : n k =0
10
7.8 Terminowe ubezpieczenie na wypadek śmierci o malejącej
sumie ubezpieczenia.
(D A )
1
Ø
x : n
jednorazowa składka netto dla osoby, która w wieku x wykupiła
polisę terminowego ubezpieczenia na wypadek śmierci o malejącej sumie
ubezpieczenia.
Wartość przyszłego świadczenia:
n
ì - k , k = 0 ,1 , & , n - 1
b =
í
k + 1
(W 7.8a)
0 , k = n , n + 1 , &
î
Wartość obecna przyszłego świadczenia:
k + 1
ì - k ) v , k = 0 ,1 , & , n - 1
( n
Z = z =
í
k + 1 (W 7.8b)
0 , k = n , n + 1 , &
î
Jednorazowa składka dla tego typu ubezpieczenia:
n -1
k +1
(W 7.8c)
(D A ) = E (Z ) = p ×q .
1 å(n - k )v k x x +k
Ø
x : n k =0
11
8 Zastosowanie liczb komutacyjnych do wyznaczania jednorazowej
składki netto.
Terminowe ubezpieczenie na wypadek śmierci.
M - M
x x + n
A1 = .
(W 8a)
Ø
D
x : n
x
Ubezpieczenie na całe życie.
M
x
(W 8b)
A = .
x
D
x
Czyste ubezpieczenie na dożycie.
D (W 8c)
x + n
A = .
1
Ø
D
x : n
x
Ubezpieczenie mieszane.
M - M + D
x x + n x + n
A = A1 + A = . (W 8d)
Ø
1
x : n
Ø Ø
D
x : n x : n
x
12
8 Zastosowanie liczb komutacyjnych do wyznaczania jednorazowej składki
netto.
Ubezpieczenie na całe życie odroczone o m lat.
M
x + m
A =
(W 8e)
x
m
D
x
Ubezpieczenie na dożycie odroczone o m lat.
M - M
x +m x +m +n
(W 8f)
A =
x
m n
D
x
Ubezpieczenie na całe życie o rosnącej sumie ubezpieczenia.
R
x
(I A ) =
(W 8g)
x
D
x
Terminowe ubezpieczenie na wypadek śmierci o malejącej sumie
ubezpieczenia.
R - R - nM
x x +n x +n
(I A )1 =
(W 8h)
Ø
D
x : n
x
13