Matematyka
ubezpieczeniowa
III rok Matematyka, Specjalność finansowa
2012/2013 semestr letni
Instytut Matematyki i Informatyki, pokój 3004
Iwona Tyrala
[e-mail]
Literatura:
1. B. Błaszczyn, T. Rolski, Podstawy matematyki ubezpieczeń na
życie, WNT, Warszawa 2004
2. Z. Kluszczyńska, W. Koczur, K. Rubel, G. Szpor, T. Szumlicz,
System ubezpieczeń społecznych: zagadnienia podstawowe,
LexisNexis, Warszawa, 2006
3. T. Michalski, K. Twardowska, B. Tylutki, Matematyka w
ubezpieczeniach, Placet, Warszawa 2005
4. M. Szczepańska, Ubezpieczenia na życie. Aspekty prawne,
Oficyna a Wolters Kluwer business, Warszawa 2008
5. T. Szumlicz, Ubezpieczenie społeczne: teoria dla praktyki, Branta,
Bydgoszcz, 2006
Zaliczenie konwersatorium:
Dwie prace pisemne (max: 2 x 9 punktów), referat w formie prezentacji (max: 9 punktów),
aktywność (max: 4 punkty).
Zaliczenie wykładu:
Punkty z konwersatorium oraz egzamin pisemny z zadań (max: 9 punktów). Razem: 40
punktów.
2
1. Ryzyko jako przedmiot ubezpieczenia.
Pojęcie ryzyka wiąże się ze zmiennością niemożliwych do
przewidzenia rezultatów (zdarzeń), które są konsekwencją:
działalności człowieka (również gospodarczej)
wpływu sił natury (warunki pogodowe, zmiany związane ze
specyfiką danych obszarów np. warunki geologiczne, sejsmiczne,
powodziowe, itp.).
Dwa elementy uwzględniane w analizie ryzyka to:
niepewność i proces ryzyka
relacja (zależność) między niepewnością, a ryzykiem.
Pewność  brak wątpliwości. Niepewność  wątpliwości w zdolności
przewidywania skutków działań.
Ryzyko jest procesem niezmiennym, obiektywnym. Niepewność zależy
w dużej części od poziomu wiedzy podmiotu, obowiązujących zasad
i warunków działania oraz istoty rozważanych działań.
3
Pierre Simon de Laplace (1749-1827) francuski matematyk, astronom,
geodeta i fizyk, jeden z twórców teorii prawdopodobieństwa.
Problem pomiaru (kwantyfikacji)
ryzyka zajmował się w latach
1810  1814 Laplace. Stosował
narzędzia rachunku
prawdopodobieństwa i statystyki
matematycznej oraz
koncentrował swoją uwagę na
zagadnieniach zwiÄ…zanych z
zastosowaniem ich w analizie
zdarzeń charakterystycznych dla
procesu ryzyka (zdarzeń
losowych  przypadkowych).
4
Za twórców Teorii Ryzyka
Ubezpieczeniowego uważa się A. H.
Willeta oraz F. H. Knighta. Nadali oni
priorytet problemom oceny ryzyka
wykorzystując rozwinięte procedury i
narzędzia matematyki oraz stosowanej
przez Laplace a statystyki i rachunku
prawdopodobieństwa.
Na początku XX wieku Willet twierdził, że
ryzyko jest czymÅ› obiektywnym,
zwiÄ…zanym z subiektywnÄ…
niepewnością. Definicja ta jest jednak
bardzo nieprecyzyjna ze względu na
wieloznaczność pojęcia niepewności.
F. H. Knight
Natomiast, Knight sformułował swoją
koncepcję niepewności mierzalnej i
niemierzalnej, gdzie pierwszą nazwał
ryzykiem a drugą niepewnością w
ścisłym tego słowa znaczeniu.
5
Teoria Ryzyka Ubezpieczeń została wyodrębniona z Ogólnej Teorii
Ryzyka ze względu na wzrastające znaczenie sektora
ubezpieczeń w rozwoju gospodarczym oraz fundamentalne
znaczenie kategorii ryzyka dla wszelkiej działalności
ubezpieczeniowej.
Dwa pojęcia często utożsamiane:
ryzyko
realizacja ryzyka (obiekt narażony na ryzyko).
1966, Komisja Senatu USA d.s. Terminologii Ubezpieczeń:
1. Ryzyko: niepewność co do zajścia określonego zdarzenia w
warunkach istnienia dwóch lub większej liczby możliwości.
2. Ryzyko: ubezpieczona osoba lub przedmiot ubezpieczenia.
Interpretacja praktyków:  Osoba, z którą podpisana jest umowa
ubezpieczeniowa postrzegana jest jako ewentualne zagrożenie
dla posiadaczy funduszy ubezpieczyciela i jest pogardliwie
nazywana ryzykiem, gdyż może się zgłosić po to, co zostało jej
przyrzeczone w umowie.
6
Żargon prowadzi do zmniejszenia populacji osób rozumiejących co to
jest ryzyko, a zwłaszcza ryzyko w ubezpieczeniach. Stosowanie
uproszczeń językowych, utożsamianie ryzyka z jego realizacją, a w
konsekwencji uproszczeń stosowanych terminów i podstawowych
pojęć językowych może się stać przyczyną powstawania błędów
merytorycznych oraz języka hermetycznego, zrozumiałego dla
wąskiego grona fachowców.
Utożsamianie ryzyka z jego realizacją wynika przede wszystkim z
praktyki, gdzie spotykamy wiele procedur odnoszÄ…cych siÄ™ do
realizacji, a określanych jako np.  zarządzanie ryzykiem ,
 zmniejszanie czy dywersyfikacja ryzyka itp. chociaż ryzyko jako
kategoria obiektywna, niezmienna od wieków nie podlega
procedurom zwanym  metodami manipulacji .
Poznanie tych procedur pozwala na sformułowanie wniosku, że
niektóre metody procedury  zarządzania ryzykiem w Teorii Ryzyka
Ubezpieczeń, określane jako  metody manipulacji ryzykiem zajmują
się działaniami związanymi ze zmianą prawdopodobieństwa
realizacji ryzyka.
7
Przykład: Błąd wynikający z utożsamiania ryzyka z jego realizacją.
Klasyczne pojmowanie ryzyka, jako zjawiska niekorzystnego,
niechcianego:
Ø Babilon  rozwiÄ…zania przeciwpowodziowe.
Ø Kupcy chiÅ„scy  transport towarów przez rzekÄ™ Jangcy.
Obiektywny charakter tego ryzyka:
nadal przewoz
nicy przez rzekę Jangcy są narażeni na zatonięcie
łodzi przewożącej towar.
Zmiany:
Ø Å‚odzie motorowe o nowoczesnej konstrukcji,
Ø prognozy meteorologiczne oraz hydrologiczne dotyczÄ…ce
poziomu wody w rzece.
Efekt:
Prawdopodobieństwo tego ryzyka jest mniejsze niż w
starożytności.
8
Analizując przykład widać, że ryzyko występowało dawniej oraz
obecnie niezależnie od podjętych środków  zapobiegania , czy
 zabezpieczania . Zmienia się jedynie intensywność
występowania (prawdopodobieństwo realizacji) poszczególnych
ryzyk. Wiąże się to ze zmianą warunków w jakich człowiek
podejmuje swe działania, a w konsekwencji naraża się na
ryzyko. Ta zmiana wynika z postępu naukowo 
technologicznego, cywilizacyjnego oraz wzrostu wymagań
dotyczących efektów tej działalności.
Człowiek w wyniku swej działalności, zwłaszcza działalności
gospodarczej tworzy nowe ryzyka. Jest to efekt wzrostu
intensywności występowania tych ryzyk, które istniały od
początku świata, wzrostu spowodowanego przez niektóre tzw.
czynniki sprawcze, które do tej pory nie były uaktywnione w
wyniku działalności człowieka.
Ryzyko  obiektywny proces w świecie działalności człowieka. Coś
co się może zdarzyć, a czego nie chcemy, czego boimy się ze
względu na przykre skutki.
9
Podział ze względu na przedmiot ubezpieczenia:
Ø Model ryzyka indywidualnego  losowa wartość
odszkodowań (ubezpieczenia osobowe); ryzyko osobowe,
które powoduje straty w dobrach osobistych, takich jak:
życie, zdrowie, starzenie się i zdolność do pracy.
Ø Model ryzyka kolektywnego  losowa wartość roszczeÅ„ oraz
losowa liczba roszczeń (ubezpieczenia majątkowe); ryzyko
majątkowe, które może spowodować różne straty wynikające
z posiadania nieruchomości i mienia ruchomego,
prowadzenia działalności gospodarczej oraz wykonywania
różnych zawodów, korzystania z różnych usług finansowych i
innych.
Podział ze względu na przedmiot kontraktu ubezpieczeniowego,
podlegajÄ…cego ochronie ubezpieczeniowej:
Ø Ryzyko czyste, które charakteryzuje siÄ™ tym, że jego
realizacja przynosi tylko stratÄ™, a brak realizacji nie przynosi
ani straty, ani zysku;
Ø Ryzyko spekulatywne, którego realizacja może mieć trzy
możliwości: stratę, zysk, brak straty i zysku.
10
Podstawowe własności, które charakteryzują ubezpieczalność ryzyka
to:
Losowość  realizacja ryzyka, czyli występowanie szkód, powinno
być wynikiem pewnych zdarzeń, które mogą zajść, ale nie muszą.
Definiowalność i mierzalność  szkody powinny być jasno i w miarę
precyzyjnie określone, czyli powinna zaistnieć łatwość stwierdzenia,
czy i kiedy dana szkoda wystąpiła oraz możliwe jest określenie jej
wartości.
Powtarzalność  powinna być zapewniona dostatecznie duża liczba
jednorodnych zdarzeń, które generują szkody i stąd duża liczba
powtórzeń danej szkody, co pozwala korzystać z prawa wielkich
liczb do prognozowania wielkości szkody.
Brak szkód katastroficznych  niepożądana jest sytuacja, w której
jedną szkodą w tym samym czasie dotkniętych mogłoby być bardzo
wiele ubezpieczonych obiektów lub ludzi.
11
Wyróżniamy również:
Ryzyko subiektywne związane z niedoskonałością człowieka, który
subiektywnie ocenia prawdopodobieństwo wystąpienia pewnych
zjawisk w przyszłości. Zatem ryzyko subiektywne jest indywidualną
oceną szansy wystąpienia określonego rezultatu, opartą na
osobistych uwarunkowaniach psychologicznych lub innych.
Ryzyko obiektywne będące absolutną formą niepewności, która jest
związana z niemożliwością przewidzenia rozwoju niektórych
zjawisk. Do ryzyka obiektywnego znakomicie odnosi siÄ™ prawo
wielkich liczb, czyli w praktyce ubezpieczeniowej pomiar tego ryzyka
jest lepszy dla dużej grupy ubezpieczeń.
W celu określenia i zdefiniowania miary ryzyka ubezpieczeniowego
wprowadzamy modelowanie.
Modle służą do zmniejszenia złożoności rozpatrywanych zjawisk w
stopniu umożliwiającym ich poznanie, ułatwiają zrozumienie zjawisk
przeszłych i przewidywanie zjawisk przyszłych.
12
W działalności ubezpieczeniowej ryzyko kojarzone jest z:
Ø roszczeniami ubezpieczonego
Ø odszkodowaniami wypÅ‚acanymi przez zakÅ‚ad ubezpieczeÅ„.
Z uwagi na stochastyczny charakter realizacji ryzyka oraz
najczęściej materialny wyraz tej realizacji utożsamiamy ryzyko w
ubezpieczeniach z parÄ…:
(zdarzenie; strata).
Zdarzenie  realizacja ryzyka.
Strata  analiza materialnego wyrazu realizacji ryzyka.
Ryzyko ubezpieczeniowe ma charakter losowy, nieznane sÄ…
ubezpieczycielowi i występują losowo zmienne opisujące ryzyko:
" wartości szkód
" liczby szkód
" momenty czasowe, w których występują szkody lub straty, tzn.
momenty w których zachodzi wypadek ubezpieczeniowy, przez
który rozumie się wypadek losowy objęty ochroną
ubezpieczniowÄ….
13
Zmienne losowe:
Ø skokowe (dyskretne)  do opisu liczby szkód; majÄ…ce charakter
skończony lub przeliczalny zbiór wartości pochodzący ze zbioru
liczb naturalnych
Ø ciÄ…gÅ‚e  obrazujÄ…ce wysokość odszkodowaÅ„; przybierajÄ…
dowolne wartości rzeczywiste z pewnego przedziału liczbowego.
Dla zmiennej losowej opisujÄ…cej ryzyko ubezpieczeniowe powinno
być spełnione założenie o skończonej wartości oczekiwanej.
Dystrybuanta, czyli funkcja zwiÄ…zana ze zmiennÄ… losowÄ…, dobrze
charakteryzuje ryzyko ubezpieczeniowe. Inne przydatne
parametry:
" wartość oczekiwana
" odchylenie standardowe
" wariancja
" współczynnik zmienności
" współczynnik skośności.
14
Rozkłady zmiennych losowych:
Ø sÄ… identyfikowane na podstawie odpowiednio licznych prób
zawierajÄ…cych dane dotyczÄ…ce realizacji danego ryzyka w
rozważanej populacji
Ø nie sÄ… staÅ‚e tzn. można zidentyfikować charakterystyczne typy dla
różnych ryzyk, ale należy pamiętać o zmianie ich parametrów w
czasie lub dla różnych populacji.
Jeżeli ryzyko jest mierzalne i w wyniku obserwacji zebrano
dostatecznie dużą liczbę danych statystycznych, to można
stosować empiryczne metody modelowania, które wykorzystują
statystykę opisową. Można wykorzystać parametry pozycyjne,
takie jak: kwantyle, a zwłaszcza medianę, dominantę, odchylenie
ćwiartkowe i inne.
Jeśli popatrzymy na ryzyko ubezpieczeniowe jako na pewien
proces zależny od czasu, to wtedy ryzyko ubezpieczeniowe
dobrze charakteryzujÄ… procesy losowe zwane stochastycznymi.
Dane statystyczne wówczas będą wartościami tego procesu
stochastycznego i będą tworzyły szeregi czasowe.
Teoria aktuarialna bazuje na teorii rachunku prawdopodobieństwa,
statystyce matematycznej i teorii procesów stochastycznych.
15