ROZWI
ZANIA DO ZADAC
POWTÓRZENIOWYCH
1.1.
a) b) c)
1.2.
a) b) c)
1.3.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
2.1.
a) 40% z x jest równe 6, a więc
dzielimy obie strony równania przez 0,4
b) 1,5% z x jest równe 135, a więc
1,5% z x jest równe 135, a więc
dzielimy obie strony równania przez 0,015
c) 250% z x jest równe 1250, a więc
250% z x jest równe 1250, a więc
dzielimy obie strony równania przez 2,5
2.2
x  procent, o jaki Michał ma więcej płyt od Madka
obie strony równania dzielimy przez 0,7
Michał ma o 50% więcej płyt od Madka.
y  procent, o jaki Maciek ma mniej płyt od Michała
obie strony równania dzielimy przez -1,05
Maciek ma o 33 % mniej płyt od Michała.
2.3.
x-cena pralki
dzielimy obie strony równania przez 1,08
Cena pralki bez podatku VAT to 1300zł.
2.4.
x-cena początkowa pewnego towaru
obniżka o 20%:
podwyżka nowej ceny o 20%:
0,96x-cena koocowa pewnego towaru
Cena początkowa jest różna od ceny koocowej, cena koocowa jest niższa od początkowej.
2.5.
x-liczba studentów na pewnym kierunku
- liczba kobiet studiujących na pewnym kierunku
 liczba kobiet udzielających się czynnie w samorządzie (jest równa 12 zgodnie z treścią
zadania), a więc
dzielimy obie strony równania przez 0,02
Na tym kierunku studiuje 600 studentów.
2.6.
30% 40% x%
 + =
4l 6l 10l
dzielimy obie strony równania przez 0,1
%
Powstały roztwór ma 36%.
2.7.
P1 y P2
1,5y
X
0,5x
Pole prostokąta zmniejszy się o 25%.
2.8.
a)
b)
c)
2.9.
masa brutto = tara + masa netto
skoro masa brutto to 100%, a tara to 4 %, to masa netto to 100%-4 % ceny brutto
100%-4 %=95 %
Obliczamy 95 % z liczby 27. Aby to zrobid, musimy 95 % zamienid na ułamek
95 %=95
Mnożymy 27 (masę towaru brutto) przez powstały ułamek
Masa netto tego towaru wynosi 25,83kg.
2.10.
x-cena samochodu przed podwyżką
dzielimy obie strony równania przez 1,08
Samochód przed podwyżką kosztował 36000zł.
3.1.
a) = = 9
b) =
a) = = = 2
3.2.
= = = 2 -
Odp: 2 -
3.3.
Liczymy korzystając ze wzoru: (a  b) (a + b) =
-3  12 - = -3  12 - = -3  12 - = -3  12 - = = -3  12 + =
-3  12 + 3 + 6 = -6
Odp: -6
3.4.
+ = + = = = = 2  1 = 1
Odp: 1
3.5.
Oznaczamy a = .
Mamy wtedy:
- ) /
9 - (2 - 2 + 7)
9 - (9 - )
1
W takim razie a = 1 lub a = - 1. W obu przypadkach jest to liczba całkowita.
Zauważmy, że - < 0, więc a < 0 .
Z tego wynika, że a = - 1 i jest liczbą całkowitą, co było do uzasadnienia.
3.6.
a = = = = - LICZBA NIEWYMIERNA
b = = = =5 -L.WYMIERNA Odp:
Liczba a = jest niewymierna, a liczba b = 5 jest liczbą wymierną.
3.7.
u = = =
=
= - + -3 + =
Odp:
3.8.
a) = = = =
b) = = = =
c) = = = =
3.9.
Korzystamy ze wzoru: ( - ) = ( -b) ( +ab+ )
- Zauważmy, że (3- )[ 3 ]= - = 20
- Mnożąc licznik i mianownik danej liczby przez 3 otrzymujemy:
= =
3.10.
9 = = = = B
Co było do udowodnienia.
4.1.
a) , więc
b)
c) , więc
d) , więc
e) , więc
f)
g)
h)
i)
j)
4.2.
a)
b)
c)
4.3.
a)
b)
c)
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
4.8.
4.9.
2 1 4 2 1 2
ć� ��ć� ��
3 3
��
��7 -� 63 ���� +� 73 ��63 +� 63 �� = (ze wzoru skróconego mnożenia)
����7 ��
Ł� ł�Ł� ł�
4.10.
5.1.
Funkcja liniowa f(x)=ax + b jest rosnąca, gdy współczynnik kierunkowy a jest większy od 0.
2m+2> 0
2m > -2
m > -1
Odp. Ta funkcja jest rosnąca dla m>-1.
5.2.
Aby wykresy tych funkcji były prostopadłe to iloczyn współczynników kierunkowych musi wynosid: -1
A więc:
n(2+n)=-1
n2+2n+1=0
(n+1)2=0
n=-1
Odp: Wykresy tych funkcji będą prostopadłe dla n=-1.
5.3.
Należy rozwiązad układ równao:
5.4.
a)
8x-2y+4=0
-2y=-8x-4
Dzielimy obie strony równania przez (-2)
y=4x+2
b)
2x + y-1=0
y=-2x+1
Mnożymy obie strony równania przez 3
y=-6x+3
c)
3x-5y=0
-5y=-3x
Dzielimy obie storny równania przez (-5)
y= x
5.5.
f(2)=3
f(-3)=-17
3=a
-17=a
Odejmujemy stronami równania
3-(-17)=2a-(-3a)
20=5a
5a=20
a=4
3=4
3=8+b
b=-5
Wzór szukanej funkcji liniowej to y=4x-5.
5.6.
a)
Współrzędne punktu, w którym wykres przecina OY podstawiamy do wzoru
7=-3b+4
3b=4-7
3b=-3
Dzielimy obie strony równania przez 3
b=-1
b)
Skoro miejsce zerowe funkcji to liczba 8, to wykres funkcji przecina OX w punkcie (8,0).
Współrzędne punktu, w którym wykres przecina OX podstawiamy do wzoru
0=2 8-3b+4
0=16-3b+4
3b=20
Dzielimy obie strony równania przez 3
5.7.
a)
Współrzędne punktów podstawiamy pod wzór ogólny funkcji y=ax+b
-7=3a+b
-1=a+b
Równania odejmujemy stronami
-7+1=2a
-6=2a
Dzielimy obie strony równania przez 2
a=-3
Wyznaczamy b z drugiego równania
b=-1-a
Podstawiamy obliczone a do wzoru
b=-1+3
b=-2
y=-3a-2
b)
Współrzędne punktów podstawiamy pod wzór ogólny funkcji y=ax+b
2=9a+b
-6=3a+b
Równania odejmujemy stronami
2-(-6)=12a
8=12a
Dzielimy obie strony równania przez 12
a=
Wyznaczamy b z drugiego równania
b=-6+3a
Podstawiamy obliczone a do wzoru
b=-6++
b=-6
b=-4
y= x-4
5.8.
Nie istnieje taka funkcja. Funkcja stała jest równoległa do OX, a więc funkcja prostopadał do niej byłaby
równoległa do OY, a to oznacza, że przyjmowała by różne wartości dla tego samego argumentu, a więc nie
spełniała by podstawowego warunku funkcji.
5.9.
Ponieważ funkcja f i g są równoległe, to mają ten sam współczynnik kierunkowy a=0,125, a więc
g(x)=0,125x+b
Podstawiamy współrzędne punktu A do tego wzoru
20=0,125
20=2+b
b=18
Odpowiedz
: g(x)=0,125x+18
5.10.
f(x)>0
x-6>0
x>6
Dzielimy obie strony nierówności przez
x>8
Odpowiedz
: Funkcja przyjmuje wartości ujemne dla x>8.
6.1.
x(x-3)=
-3x= +4x+4
 -3x- -4x-4=0
-7x=4
x=
6.2.
=
założenia: 3-x`"0 i x`"0
x`"3
15x=7(3-x)
15x=21-7x
22x=21
x=
6.3.
-2(x+6)>4(3+2x)
-2x-12>12+8x
-10x>24
x< -2,4
x T (-";-2,4)
6.4.
3(2-x) d" - (6x-21)
6-3x d" -4x+14
x d" 8
x T (-";8)
6.5.
0,1x-0,2y=0,7
0,1x=0,7+0,2y |: (0,1)
x=7+2y
-2(7+2y)+4y=-14
-14-4y+4y=-14
-14=-14
Układ ma nieskooczenie wiele rozwiązao
6.6.
| *3
m+n=15 => m=15-n
podstaw do 2 równania
3(45-2n)=120-2n
-4n=-15
n=
6.7.
2 -50=0
2 =50 | :2
"
(" x=-5
6.8.
6
_*=169-4*5*6=49
"_*=7
= =
6.9.
6 +4x+ =0
_*=16-4*6* =0
x=
6.10.
6 -5x+2=0
_*=25-4*6*2=-23
Równanie nie ma rozwiązao
6.11.
-5
_* =25-4*4=9
_*
= =
=2 (" =-2 (" =1 (" =-1
7.1.
sprzecznośd
7.2.
�
7.3
�
�
�
7.4.
�
�
7.5.
�
�
7.6.
�
�
Podana nierównośd spełniają dwie liczby: -1 i 0.
7.7.
a) sprzecznośd (wartośd bezwzględna nie może byd ujemna)
b)
�
c)
�
�
tożsamośd sprzecznośd
Jednak całe równanie nie jest sprzeczne ze względu na tożsamośd.
7.8.
�
�
� sprzecznośd
�
� sprz.
�
Sprz.
7.9
(za pomocą siatki znaków)
(miejsca zerowe f. liniowych)
- - - 0 +
- 0 + + +
Znaki wynikają z przebiegu funkcji liniowych (należy narysowad pomocniczo wykresy tych funkcji i zobaczyd jaki
znak mają wartości przed i po miejscu zerowym). Miejsca zerowe dołączamy do przedziału  z plusem . Wtedy
tam gdzie są minusy zmieniamy znaki w wartości bezwzględnej, a tam gdzie są plusy nie zmieniamy nic.
Następnie musimy sprawdzid czy otrzymany x należy do przedziału.
1)
2)
3)
Odp.:
7.10.
- - - 0 +
- 0 + + +
1)
wyznaczamy częśd wspólną z przedziałem
2)
cz. wspólna
3)
cz. wsp.
Na koniec wyznaczamy sumę wszystkich przedziałów:
8.1.
8.2.
Postad kanoniczna funkcji kwadratowej to:
gdzie
a
obliczamy "
zatem
b
obliczmy "
c
8.3.
postad ogólna
A więc obliczamy deltę ze wzoru
brak miejsc zerowych
teraz (p,q- wierzchołki) ze wzoru:
8.4.
a) b)
X1= x1=
X2= x2=
8.5.
=
8.6.
8.7.
Wartośd największa jest w wierzchołku paraboli (ramiona wykresu zwrócone są do dołu), zatem liczymy yw.
sprawdzamy czy xw należy do tego przedziału:
Widzimy, że xw nie należy do przedziału <3,5>, więc musimy sprawdzid kooce tego
przedziału.
wartośd największa
wartośd najmniejsza
8.8.
a)
b)
8.9.
Załóżmy, że supermarket sprzedaje jabłka w cenie 300 - x groszy za kilogram.
Wtedy sprzedaje ich 400 + 10*x kg dziennie (jest tak, bo gdy obnizamy cene o 10 groszy, to sprzedaz wzrasta o
100kg, czyli o 10*x)
Koszt jednego kg jabłek to 140 groszy.
Zarobek supermarketu z jednego kg to: 300-x-140 = 160 - x
Pytamy, dla jakiego x zysk dzienny będzie największy:
Zysk dzienny
c = 64000
Jest to funkcja kwadratowa o ujemnym wspolczynniku a, zatem jej ramiona sa skierowane w dół. Wartośd
maksymalną przyjmuje w punkcie: -b/(2a), czyli:
Czyli największe zyski supermarket osiągnie, gdy x=60, czyli cena jednego kg jabłek wynosi
8.10.
x - ilośd dziewcząt
15-x - ilośd chłopców
9.1.
1 1 2 4x3 8x7
-� -� -� -�
1-� x 1+� x 1-� x2 1+� x4 1+� x8
a)
1 1 2 4 8 16
+� +� +� +� +�
1-� x 1+� x 1+� x2 1+� x4 1+� x8 1+� x16
b)
1 1 1 1 1
+� +� +� +� =�
x(�x +�1)� (�x +�1)�(�x +� 2)� (�x +� 2)�(�x +� 3)� (�x +� 3)�(�x +� 4)� (�x +� 4)�(x +� 5)
c)
x x2 +� x -�1 x2 -� x -�1 2x3
d ) +� +� -� =�
x2 -�1 x3 -� x2 +� x -�1 x3 +� x2 +� x +�1 x4 -�1
x x2 +� x -�1 x2 -� x -�1 2x3
+� +� -� =�
(x +�1)(x -�1) x2 (x -�1)(x +�1) x2 (x -�1)(x +�1) x2 (x -�1)(x +�1)
x x2 +� x -�1 x2 -� x -�1 2x3
+� +� -� =�
(x +�1)(x -�1) +�1) (x2 +�1)(x +�1) x2 (x -�1)(x +�1)
x(�x2 +�1)�+� (�x2 +� x -�1)�(�x -�1)�-� (�x2 -� x -�1)�(�x -�1)�-� 2x3
=�
(�x2 +�1)�(�x +�1)�(�x -�1)�
x3 +� x +� x +� x3 +� x2 +� x -�1+� x3 -� x2 -� x -� x2 +� x +�1-� 2x3
=�
(�x2 +�1)�(�x +�1)�(�x -�1)�
x(x2 +�1) x
=�
(x2 +�1)(x +�1)(x -�1) (x +�1)(x -�1)
9.2.
a)
3x2 Ł� x3 -� 4x
3x2 Ł� x3 -� 4x 3x2 Ł� -�x3 +� 4x
x3 -� 3x2 -� 4x Ł� 0 x3 +� 3x2 -� 4x Ł� 0
x(x +�1)(x -� 4) ł� 0 x(x +� 4)(x -�1) ł� 0
b)
x2 Ł� 6x -� x3
x2 Ł� 6x -� x3 x2 Ł� -�6x +� x3
x3 +� x2 -� 6x Ł� 0 x3 -� x2 -� 6x ł� 0
x(x -� 2)(x +� 3) Ł� 0 x(x -� 3)(x +� 2) ł� 0
c)
x4 -� 3x2 Ł� x2 -� 3
x4 -� 3x2 Ł� x2 -� 3 x4 -� 3x2 Ł� 3 -� x2
(x -� 3)(x +� 3) (x +�1)(x -�1) Ł� 0 (x -� 3)(x +� 3)(x2 +�1) Ł� 0
d)
x3 +� 2x2 <� 9x +�18
zał.
9x +�18 >� 0
9x >� -�18
x >� -�2
x3 +� 2x2 <� 9x +�18 -� x3 -� 2x2 <� 9x +�18
x3 +� 2x2 -� 9x -�18 <� 0 x3 +� 2x2 +� 9x +�18 >� 0
x2 (x +� 2) -� 9(x +� 2) <� 0 x2 (x +� 2) +� 9(x +� 2) >� 0
(x -� 3)(x +� 3)(x +� 2) <� 0 (x2 +� 9)(x +� 2) >� 0
9.3.
a)
2
(�x2 -� 5x +� 7)� -� (�x -� 2)�(�x -� 3)� =� 1
2
(�x2 -� 5x +� 7)� -�1 =� (�x -� 2)�(�x -� 3)�
(�x2 -� 5x +� 7 -�1)�(�x2 -� 5x +� 7 +�1)�=� (�x -� 2)�(�x -� 3)�
(�x2 -� 5x +� 6)�(�x2 -� 5x +� 8)�=� (�x -� 2)�(�x -� 3)�
(x -� 2)(x -� 3)(�x2 -� 5x +� 8)�=� (�x -� 2)�(�x -� 3)�
(x -� 2)(x -� 3)(�x2 -� 5x +� 7)�=� 0
x =� 2 �� x =� 3
b)
(�x +�1)�(�x2 +� 2)�+� (�x +� 2)�(�x2 +�1)�=� 2
2x3 +� 3x2 +� 3x +� 2 =� 0
3x(x +�1) +� 2(x +�1)(x2 -� x +�1) =� 0
(x +�1)(3x +� 2x2 -� 2x +� 2) =� 0
x =� -�1�� (2x2 +� x +� 2) =� 0[�rów.sprzeczne]�
c)
x4 -�1 =� 0
(x2 +�1)(x +�1)(x -�1) =� 0
x =� -�1�� x =� 1
d)
2
x4 -�(�3x2 +� 2)� =� 0
(x2 -� 3x2 -� 2)(x2 +� 3x2 +� 2) =� 0
(-�2x2 -� 2)(4x2 +� 2) =� 0
-� 2(x2 +�1)(2x2 +�1)2 =� 0[�rów.sprzeczne]�
9.4.
a)
(�x -� 3)�(�2x2 +� x +� 5)�
2x3 +� x2 +� 5x -� 6x2 -�15 =�
2x3 -� 5x2 +� 2x -�15
b)
(�x2 -� 2x +� 3)�(�x3 -� x2 +� 6x +�1)�=�
x5 -� x4 +� 6x3 +� x2 -� 2x4 +� 2x3 -�122 x -� 2x +� 3x3 -� 3x2 +�18x +� 3 =�
x5 -� x4 -� 2x +� 6x3 +� 2x3 +� 3x3 +� x2 -�12x2 -� 3x2 -� 2x +�18x +� 3 =�
x5 -� 3x4 +�11x3 -�14x2 +�16x +� 3
c)
(�x3 +� x +� 2)�(�3x2 -� x +� 4)�
3x5 -� x4 +� 4x3 -� 3x3 +� x2 -� 4x +� 6x2 -� 2x -� 8 =�
3x5 -� x4 +� x3 +� 7x2 -� 6x +� 8
d)
(�x2 -� 8)�(�x2 +� 8x +� 8)�=�
x4 +� 8x3 +� 8x2 -� 8x2 -� 64x -� 64 =�
x4 +� 8x3 -� 64x -� 64 =�
x4 +� 8x3 -� 64(x -�1) =�
x4 +� 8(x3 -� 8[x -�1])
9.5.
(�x4 -� 3x3 +� 3x2 -� 4x +� 3)�: (�x -�1)�
x4 -� 3x3
4x3 +� 3x2
4x3 -� 4x2
��
���7x2 -� 4x
��
���7x2 -� 7x
�� �� +� 3
��� ���3x
�� �� +� 3
��� ���3x
�� ��
��� ���0
9.6.
a)
(�2 -� x)�(�3x +�1)�(�2x -� 3)� >� 0
1 3
-� (6x -� 2)(x +� )(x -� ) >� 0
3 2
b)
(�2x +� 3)�(�2x +�1)�(�x -�1)� <� 0
3 1
4(x +� )(x +� )(x -�1) <� 0
2 2
c)
(�x +� 5)�(�x +�1)�(�1-� 2x)�(�x -� 3)� >� 0
1
-� 2(�x +� 5)�(�x +�1)�(x -� )(�x -� 3)� >� 0
2
d)
(�2x -� 4)�(�x -�1)�(�5 -� x)�(�6 +� x)�<� 0
-� 2(x -� 2)(x -�1)(x -� 5)(x +� 6) <� 0
9.7.
W (x) =� 2x4 -� 3x3 +� ax2 -� a2 x +� 2
W (x) =� (x -�1) �� Q(x) +� 3
W (1) =� 3
W (1) =� 2 -� 3 +� a +� a2 +� 2
a2 +� a +�1-� 3 >� 0
a2 +� a -� 2 >� 0
D� =� 1+� 8 =� 9
D� =� 3
-�1+� 3
a1 =� =� 1
2
-�1-� 3
a2 =� =� -�2
2
odp.
a �� (-�Ą�,-�2) �� (1,+�Ą�)
9.8.
1
W (x) =� x4 -� 2x3 -� ax2 +� a2 x +�1
4
W (x) =� (x -� 2) �� Q(x) +� 4
W (2) =� 4
W (2) =� 16 -�16 -� a +� 2a2 +�1
2a2 -� a -� 3 =� 0
D� =� 1+� 24 =� 25
D� =� 5
1-� 5
a1 =� =� -�1
4
1+� 5
a2 =� =� 1,5
4
odp.
1
a �� (-�1,1 )
2
9.9.
W(x) =� x3 -� 2x2 -� x -� 3
a) W(0) =� 0 -� 0 -� 0 -� 3 =� (-�3)
b) W(1) =� 1-� 2 -�1-� 3 =� (-�5)
c) W(2) =� 23 -� 2�� 22 -� 2 -� 3 =� 8 -� 8 -� 5 =� (-�5)
3 2
d) W( 2) =� 2 -� 2 2 -� 2 -� 3 =� 23 -� 2 �� 2 -� 2 -� 3 =� 2 2 -� 2 -� 7 =� 2(2 -�1) -� 7 =� ( 2 -� 7)
3 2
e) W(-� 2) =� -� 2 -� 2(�-� 2)� -�(�-� 2)�-� 3 =� -�2 2 +� 4 +� 2 -� 3 =� (�-� 2 -� 7)�
10.1.
a1 =-7
a2=a1+r
-4=-7+r
r=3
an = a1+ (n-1)r
a50 = -7 +(50-1)3=140
10.2.
Wyrazy te można zapisad jako 5k+1, gdzie k jest liczbą naturalną
a1=1
a2=6
a3=11
S100= * 100=24850
10.3.
Z własności ciągu arytmetycznego x= y=2x
Z własności ciągu geometrycznego y2=12x
y2=12x
y=2x
4x2-12x=0
"=b2-4ac
"=144-4*4*0=144
1) x1= =0
y1= 2x=0
(0,0,12) ciąg nie jest geometryczny!
2) x2=3
y2=6
(3,6,12) ciąg jest geometryczny
10.4.
a7=1
a11-9
a11=a7+4r
9=1+4r
r=2
a8=a7+r=3
Ciąg(a7,a8,a11) ma postad (1,3,9)
q= = 3 ciąg jest geometryczny
10.5.
2x=28+y
2y=x+52
2x-y=26
x-2y=-5x
x=36 y=44
10.6.
a1=S1=2*12+1=3
a1+a2 =S2=2*22+2=10
a2= S2- a1 =7
r= a2- a1 =7-3=4
a100=3+99*4
S50= *50(7+399)=10150
10.7.
długości boków to a,b,c ad"bd"c
P= =24
Z definicji ciągu 2b=a+c
Z twierdzenia Pitagorasa a2+b2=c2
=24
a2+b2=c2
2b=a+c
b2=(c-a)(c+a)
b2=(c-a)2b
=c-a
a= b
2
=24
b=4
a=3
c=5
10.8.
przypadek 1: n jest parzysta, n+1 nieparzysta, więc
an =1+
an+1=1-
an > an +1
przypadek 2: n jest nieparzysta, n+1 parzysta, wiec
an =1-
an+1=1+
an Odp: ciąg ten nie jest ani rosnący ani malejący.
10.9.
a1=1
r=3
x=an+1+(n-1)3=3n-2
Sn= *n=117
3n2-n-234=0
"= b2-4ac=1+2808=2809
n1= = -
n2= =9
x=3n-2=25
10.10
ciąg jest geometryczny, więc
a1+a1*q4=51
a1*q+a1q5=102
a1 (1+q4)=51
a1 q(1+q4)=102
a1 (1+24)=51
q=2
a1 =3
q=2
3*
2n -1=1023
2n =1024
n=10
11.1.
a) f(-2)=3*(-2)-6
f(-2)=-12
f(0)=3*0-6
f(0)=-6
f(1)=3*1-6
f(1)=-3
b) 12=3x-6
18=3x /:3
x=6
c) 0=3x-6
3x=6 /:3
x=2
d) 3x-6>5
3x>11 /:3
11
x>
3
11
x��( ,+ Ą� )
3
e) 3x-6 ł� 0
3x ł� 6 /:3
x ł� 2
x��<2, + Ą� )
11.2.
a) D: x��R
2
0= x-2
3
2
x=2 /*3
3
2x=6 /:2
x=3 ��D
funkcja posada jedno miejsce zerowe dla x=3
b) D: x-1 ł� 0
 x ł� 1
x��<1,+ Ą� )
0= x -�1
0=x-1
x=1 ��D
funkcja posiada miejsce zerowe dla x=1
c) D: x2-9 ą� 0
x2 ą� 9
x ą� 3 Ł� x ą� -3
x��R-{-3,3}
0=(x-1)(x+3)
x-1=0 �� x+3=0
x=1 �� x=-3
1��D -3��D
funkcja ma jedno miejsce zerowe dla x=1
d) D: x2-4 ą� 0
x2 ą� 4
x ą� 2 Ł� x ą� -2
x��R-{-2,2}
1
0= x2+x+1
4
1
0=( x+1)2
2
1
0= x+1
2
1
x=-1 /*2
2
x=-2 ��D
funkcja posiada jedno miejsce zerowe dla x=-2
11.3.
Dwie funkcje f i g są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe dziedziny i dla tych samych argumentów
przyjmują równe wartości.
a) Df : x2-4 ą� 0
x2 ą� 4
x ą� 2 Ł� x ą� -2
x��R-{-2,2}
Dg : x+2 ą� 0
x ą� -2
x��R-{-2}
podane funkcje nie są równe, ponieważ mają różne dziedziny (Df Dg)
ą�
b) Df : x3-9x ą� 0
x(x2-9) ą� 0
x(x-3)(x+3) ą� 0
x ą� 0 Ł� x ą� 3 Ł� x ą� -3
x��R-{-3,0,3}
Dg : x4 -�3x3 -�9x2 +� 27x ą� 0
x(x3-3x2-9x+27) ą� 0
x[(x3-3x2)-(9x-27)] ą� 0
x[x2(x-3)-9(x-3)] ą� 0
x(x-3)(x2-9) ą� 0
x(x-3)(x-3)(x+3) ą� 0
x ą� 0 Ł� x ą� 3 Ł� x ą� -3
x��R-{-3,0,3}
x
f(x)= /* (x-3)
x3 -� 9x
x(x -� 3)
f(x)=
(x3 -� 9x)(x -� 3)
x2 -� 3x
f(x)= = g(x)
x4 -� 3x3 -� 9x2 +� 27x
podane funkcje są równe, ponieważ mają równe dziedziny (x��R-{-3,0,3}) oraz f(x)=g(x) dla każdego x��D
c) Df : x-2 ą� 0
x ą� 2
x��R-{2}
Dg : x��R
podane funkcje nie są równe, ponieważ mają różne dziedziny (Df Dg)
ą�
d) Df : 3x+5 ł� 0 Ł� x-7 ł� 0
3x ł� -5 / :3 Ł� xł� 7
5
xł� - Ł� xł� 7
3
x��<7,+ Ą� )
Dg : (3x+5)(x-7)ł� 0
5
x= �� x=7
3
5
x��(- Ą� , > �� <7,+ Ą� )
3
podane funkcje nie są równe, ponieważ mają różne dziedziny (Df Dg)
ą�
11.4.
D: x��<-4,4>
Z wykresu widzimy, że funkcja ta:
�� rośnie w przedziałach <- 4; - 2) oraz <- 1;2)
�� maleje w przedziałach < - 2; - 1) oraz <2;4)
11.6.
a) funkcja nie jest ani parzysta ani nieparzysta
b)funkcja jest parzysta
c) funkcja nie jest ani parzysta ani nieparzysta
11.7.
a) największa wartośd ymax=3
najmniejsza wartośd ymin=-5
b) funkcja nie osiąga wartości największej
najmniejsza wartośd ymin=-2
c) największa wartośd ymax=4
funkcja nie osiąga wartości najmniejszej
11.8.
a) x��<-4,-1) �� <3,4> - funkcja rosnąca
x��<-1,3) - funkcja malejąca
b) x��<-2,-1) - funkcja malejąca
x��<-1,2) - funkcja stała
x��<2,+ Ą� ) - funkcja rosnąca
c) x��(- Ą� ,1) - funkcja rosnąca
x��<1, + Ą� ) - funkcja stała
11.9.
Funkcja jest różnowartościowa, jeżeli nie ma takich dwóch liczb, dla których wartośd funkcji wynosi tyle samo.
a) nie
b) nie
c) nie
11.10.
1. D=R
2. Zwf=(- Ą� ,2>
3. f(x)=0 �� x��{-1,3}
4. x��(- Ą� ,2) - funkcja rosnąca
x��<2,+ Ą� ) - funkcja malejąca
5. funkcja nie jest różnowartościowa
6. funkcja nie jest parzysta ani nieparzysta
7. f(x)>0 �� x�� (-1,3)
f(x)<0 �� x�� (- Ą� ,-1) �� (3,+ Ą� )
8. fmax(1)=2
funkcja nie ma wartości najmniejszej
13.1.
a)
; D: x�R
Trójmian nie ma pierwiastków
Odp. X=3
b)
, D: x�R/{0}
Odp.
c)
Odp. �
d)
; D: x�R/{-2,1}
" ;
Odp.
13.2.
a)
; D: x�R/{7}
Zamieniam iloraz na iloczyn
 -6 4 7 x
Odp. x� [(- ) (4,7)]
b)
; x
( ) czynnik dodatni, czyli
3 x
Odp. x�R
c)
; D: x�R/
Zamieniam iloraz na iloczyn
- 2 0 3
Odp. x�
d)
; D: x�R/{-7,10}
�
Zamieniam iloraz na iloczyn
-7 0 1 10
Odp. x� *( ) ]
13.3.
a)
; D: xR/{0}
v = [0,1]
X  asymptota pionowa
Y  asymptota pozioma
b)
; D:x�R/{4}
v = [4,2]
X  asymptota pionowa
Y  asymptota pozioma
14.1.
Y
1
1
X
�� D=R
�� ZW=(-4,+")
�� Miejsce zerowe: x=1
�� Miejsce przecięcia z osią OY: (0,-2)
�� Funkcja jest różnowartościowa
�� Funkcja jest rosnąca dla x�R
14.2.
14.3.
14.4.
14.5.
14.6.
14.7.
p- dzielniki współczynnika przy najwyższej potędze
q- dzielniki współczynnika przy potędze zerowej
Schemat Hornera (do tabeli należy przepisad wszystkie współczynniki wielomianu, pierwszy przepisad do dwóch
kolejnych wierszy natomiast do następnych należy dodad wynik z poprzedniego pomnożony przez 2)
2 1 -2 -3 4 4
+ 1 2 0 -6 -4
1 0 -3 -2 =
Schemat Hornera
-1 1 0 -3 -2
1 -1 1 2
1 -1 -2 =
14.8.
14.9.
Dokonujemy podstawienia: , gdzie
Powstał układ równao:
Po uwzględnieniu założeo otrzymujemy:
14.10
Jeśli to funkcja jest parzysta
Jeśli to funkcja jest nieparzysta
funkcja f(x) jest parzysta
funkcja f(x) nie jest nieparzysta
15.1.
a)
b) , , ,
c) ,
, , ,
d)
,
15.2.
Ze wzoru mamy ,
więc
15.3.
a) , więc wykres funkcji g otrzymamy, odbijając wykres funkcji f względem osi OY.
b) , więc , gdzie . Zatem wykres funkcji h otrzymamy
w następujący sposób: odbijamy wykres funkcji f względem osi OY, a otrzymany wykres przesuwamy o
wektor [2,0].
c) , więc . Zatem wykres funkcji k otrzymamy, odbijając wykres
funkcji f względem osi OX.
d) Dziedziną funkcji f jest zbiór R\{0}. Zauważmy, że funkcja l dla przeciwnych argumentów przyjmuje tę samą
wartośd, więc jej wykres jest symetryczny względem osi OY. Zatem wystarczy naszkicowad wykres funkcji l
dla (wtedy ), a wykres dla otrzymamy odbijając względem osi OY
naszkicowany wykres funkcji l dla .
15.4.
Funkcja logarytmiczna jest malejąca wtedy i tylko wtedy, gdy .
.
15.5.
.
Zatem wzór funkcji f możemy zapisad w postaci . Wprowadzając zmienną
pomocniczą , otrzymujemy funkcję kwadratową , gdzie . Zbiory wartości funkcji
f i g są równe. Zbiorem wartości funkcji g jest przedział , gdzie jest rzędną wierzchołka paraboli
będącej wykresem funkcji g. , , więc zbiorem wartości funkcji g, a zarazem funkcji f, jest
przedział .
15.6.
Dziedzina funkcji g: .
.
Wykres funkcji otrzymamy, przesuwając wykres funkcji o wektor [1;-
2].
15.7.
.
15.8.
, , ,
, ,
.
15.9
a)
b)
15.10
jest najmniejszą liczbą, a największą.