Ćwiczenia z przedmiotu Technika Analogowa MateriaÅ‚y pomocnicze © C. StefaÅ„ski
WskazowkiDoRozwiazywaniaPrzykladTypowychProblemZzakresuMaterialuIKoloZTechnAnalogDlaGrupEiT8-10.doc 1/12
Wskazówki do rozwiązywania wybranych problemów z zakresu materiału
pierwszego kolokwium z Techniki Analogowej
Treść Pr.1.
Znalez
ć parametry zastępczego z
ródła Thevenina obwodu dla sieci na prawo od zacisków , .
Następnie korzystając ze znalezionego obwodu zastępczego wyznaczyć prąd i napięcie na R1.
1
R2
U
J R1 gmU R0
2
RozwiÄ…zanie Pr.1.
Twierdzenie Thevenina lub twierdzenie o zastępczym z
ródle napięciowym:
Dowolny liniowy dwójnik rezystancyjny (z wyjątkiem dwójnika będącego idealnym z
ródłem prądowym) możemy
zastąpić równoważnym rzeczywistym z
ródłem napięciowym o sile elektromotorycznej ETh i oporze wewnętrznym
RTh, przy czym:
- siła elektromotoryczna ETh jest równa napięciu na rozwartych zaciskach dwójnika,
- opór wewnętrzny RTh jest równy oporowi zastępczemu dwójnika bezz
ródłowego (otrzymanego w wyniku
 wyzerowania w rozważanym dwójniku wszystkich z
ródeł niezależnych - to jest zastąpienia niezależnych
z
ródeł napięciowych zwarciami i wszystkich niezależnych z
ródeł prądowych rozwarciami).
RTh
Liniowy dwójnik
ETh
rezystancyjny
U12
R12
Korzystamy z twierdzenia Thevenina:
1) ETh=U12=Erz  napięcie na rozwartych zaciskach -
2) RTh=R12 =Rz  opór zastępczy widziany z zacisków - przy wyzerowanych z
ródłach niezależnych
ad 1. Z uwagi na to, że w układzie nie występuje żadne
1
R2
wymuszenie (pobudzenie) to napięcie widziane z zacisków 1-2
wynosi U12 = 0V. Czyli:
Erz = 0V U
gmU R0
I R2 I0
1
ad 2.
U
'
gmU U0 R0 U
2
U
Rz =
'
I
.
W dalszej części skupimy się na wyznaczeniu napięcia
2
U tak aby uzależnić je od prądu I .
Z napięciowego prawa Kirchhoffa otrzymujemy:
U =U+U0 , gdzie U0=R0I0 oraz U=R2I
Z prÄ…dowego prawa Kirchhoffa otrzymujemy:
I0=gmU+I
Ćwiczenia z przedmiotu Technika Analogowa MateriaÅ‚y pomocnicze © C. StefaÅ„ski
WskazowkiDoRozwiazywaniaPrzykladTypowychProblemZzakresuMaterialuIKoloZTechnAnalogDlaGrupEiT8-10.doc 2/12
a ponieważ
U=R2I to I0=(gmR2+1)I
Po podstawieniu do wzoru na U mamy:
U = R2I + R0(gmR2+1)I
Ostatecznie
' '
R2I + R0 (gmR2 +1)I
Rz = = R2 + R0 (gmR2 +1) [&!]
'
I
Stosując przekształcenie równoważne z
ródła prądowego na
napięciowe1 oraz znając parametry obwodu zastępczego układ
Iz 1
dany w zadaniu możemy sprowadzić do postaci
przedstawionej obok.
Wówczas
E1=JR1
Rz
E1 JR1
Iz = =
R1
Rz + R1 R0(gmR2 + 1) + R2 + R1
Prąd Iz przepływa co prawda przez rezystor R1 , ale w
obwodzie po ostatniej modyfikacji, więc nie jest on szukanym
2
prądem I1 (przeanalizuj dokładniej, dlaczego nie jest). Jednak
spadek napięcia U12 w obwodach przed i po modyfikacji jest nie zmieniony (dlaczego?). Jest to jednocześnie
spadek napięcia na rezystorze R1 w układzie przed modyfikacją. Zatem
(gmR2 +1)R0 + R2
UR1= U12=-IzR1+JR1= JR1 .
(gmR2 +1)R0 + R1 + R2
Poszukiwany prąd I1 wyniesie więc (patrz na obwód przed modyfikacjami):
U12 (gmR2 +1)R0 + R2
I1 = = J .
R1 (gmR2 +1)R0 + R1 + R2
1
Przekształcenie to nie zmienia sytuacji (prądów i napięć) tylko w dwójniku obciążającym z
ródło (tu w oporniku Rz).
Ćwiczenia z przedmiotu Technika Analogowa MateriaÅ‚y pomocnicze © C. StefaÅ„ski
WskazowkiDoRozwiazywaniaPrzykladTypowychProblemZzakresuMaterialuIKoloZTechnAnalogDlaGrupEiT8-10.doc 3/12
Treść Pr.2
Jak należy dobrać wartości k1 i k2, aby napięcie uo wyniosło: uo = - (5E1+2E2). Komentować
obliczenia.
R
R/k1
R/k2 10[k&!]
uo
E1
E2
100[&!]
RozwiÄ…zanie Pr. 2
Symbol graficzny i związki definicyjne idealnego wzmacniacz operacyjnego przedstawiono na rysunku poniżej
i+
Równania definicyjne1:
i + = i - =0
io
ui = 0
ui
Komentarz:
uo
io dowolne,
uo dowolne
i -
Rysunek: Symbol graficzny i zwiÄ…zki definicyjne idealnego wzmacniacza operacyjnego
W schemacie zadania możemy wyróżnić strukturę zwaną wzmacniaczem odwracającym.
is R2
i-
iwe R1
ui
uwe
i+
uwy
R3
Rysunek. Wzmacniacz odwracajÄ…cy.
1
Z przedstawionych powyżej równań definicyjnych wynika, że idealny wzmacniacz operacyjny charakteryzuje się:
" nieskończenie dużym wzmocnieniem napięciowym,
" nieskończenie dużą impedancją wejściową,
" zerową impedancją wyjściową,
" nieskończenie szerokim pasmem przenoszonych częstotliwości,
" nieskończenie dużym zakresem dynamicznym sygnału.
Ćwiczenia z przedmiotu Technika Analogowa MateriaÅ‚y pomocnicze © C. StefaÅ„ski
WskazowkiDoRozwiazywaniaPrzykladTypowychProblemZzakresuMaterialuIKoloZTechnAnalogDlaGrupEiT8-10.doc 4/12
Dla wzmacniacza odwracającego (rysunek powyżej), jak wynika z równań definicyjnych wzmacniacza
idealnego (i+=i-=0, ui=0) prąd płynący przez rezystor R1 (iwe) równa się prądowi płynącemu przez rezystor R2 (is).
Zatem
uwe - ui ui - uwy
=
R1 R2
Zauważamy, że z definicji wzmacniacza idealnego mamy ui=0.
Zatem
uwy R2
Kuf = = -
uwe R1
czyli wzmocnienie układu zależy tylko od stosunku rezystancji występujących w obwodzie sprzężenia
zwrotnego. Znak minus oznacza, że napięcie wyjściowe ma polaryzację przeciwną w stosunku do napięcia
wejściowego.
Wyprowadzone powyżej wzory wykorzystamy bezpośrednio w naszym zadaniu, ale najpierw korzystając z
twierdzenia Thevenina wyznaczmy parametry poniższego podobwodu analizowanego obwodu.
A
R R
k1 k2
E1 E2
B
1) Ez=UAB  napięcie na rozwartych zaciskach A-B
i
A
R R
k2
k1 U1 U2
R
UAB U = Å" i + E2
AB
k2
E1 E2
E1 - E2 (E1 - E2 )k1k2
i = =
R k1 + R k2 R(k1 + k2 )
B
(E1
R - E2 )k1k2 (E1 - E2 )k1
U = Å" + E2 = + E2
AB
k2 R(k1 + k2 ) k1 + k2
(E1 - E2)Å" k1 E1k1 + E2k2
Ez = + E2 =
k1 + k2 k1 + k2
Ćwiczenia z przedmiotu Technika Analogowa MateriaÅ‚y pomocnicze © C. StefaÅ„ski
WskazowkiDoRozwiazywaniaPrzykladTypowychProblemZzakresuMaterialuIKoloZTechnAnalogDlaGrupEiT8-10.doc 5/12
2) Rz=RAB  opór widziany z zacisków A-B przy zwartych z
ródłach E1 i E2
A
R R
Å"
k1 k2
R R
RAB = R k1 || R k2 = =
k1 k2
R R
+
RAB
k1 k2
R2 k1k2 R
= Å" =
k1k2 R(k1 + k2 ) k1 + k2
B
R
Rz =
k1 + k2
Ostatecznie obwód zastępczy jest następujący
E1k1 + E2k2 R
Ez = , Rz =
k1 + k2 k1 + k2
R
i
Rz i-
i=u1 /Rz
-uwy
A
Rz
uwe=Ez
uwy
i+
Ez
100
B
Teraz w oparciu o wyżej przedstawiony układ i układ wzmacniacza odwracającego możemy rozwiązać nasze
zadanie.
R
uwy = -i Å" R = -uwe
Rz
uwy R
Kuf = = -
uwe Rz
Ćwiczenia z przedmiotu Technika Analogowa MateriaÅ‚y pomocnicze © C. StefaÅ„ski
WskazowkiDoRozwiazywaniaPrzykladTypowychProblemZzakresuMaterialuIKoloZTechnAnalogDlaGrupEiT8-10.doc 6/12
uwe Ez E1k1 + E2k2
i = = =
Rz Rz R
uwy = -i Å" R = -(E1k1 + E2k2)
Z warunków zadania: uwy = uo= -[5E1+2E2]
5E1+2E2 = k1E1+k2E2 Ò! k1=5, k2=2
Ò!
Ò!
Ò!
Sprawdzenie
uwy - + 2E2)
5E1 + 2E2 1 (5E1
Ez = = (5E1 + 2E2) Kuf = = = -7
5 + 2 7 uwe 1 + 2E2)
(5E1
7
R R R
Rz = = Kuf = - = -7
5 + 2 7 Rz
Oznacza to, że sygnał wejściowy pojawiający się na wejściu wzmacniacza odwracającego zostanie
wzmocniony 7 razy, a znak minus oznacza zmianę polaryzacji sygnału1.
Zadanie można rozwiązać znacznie prościej, korzystając z zasady superpozycji (zaleca się Czytelnikowi
spróbować tej drogi).
1
Dodatkowo (ponad wymagania treści zadania) zauważymy, że tak naprawdę zamiast wzmacniacza idealnego wystąpi wzmacniacz
rzeczywisty. Dla wzmacniacza rzeczywistego chcielibyśmy stworzyć warunki dla przepływu identycznych prądów polaryzacji płynących w
obwodach wejść  minus i  plus . Dlatego powinno, przy oznaczeniach z rysunku wzmacniacza odwracającego, zachodzić R3=R1||R2. Stąd
możemy również wyznaczyć wartość rezystora R:
R2 7 R
100&! = Rz|| R = = Ò! R = 800&!
8R 7 8
Ćwiczenia z przedmiotu Technika Analogowa MateriaÅ‚y pomocnicze © C. StefaÅ„ski
WskazowkiDoRozwiazywaniaPrzykladTypowychProblemZzakresuMaterialuIKoloZTechnAnalogDlaGrupEiT8-10.doc 7/12
Treść Pr. 3
Korzystając z zasady superpozycji wyznaczyć prąd w obwodzie jak na rysunku
i=?
J
R
E
R
R
R
RozwiÄ…zanie Pr. 3
Zasada superpozycji:
W układzie liniowym, w którym działa n pobudzeń, prąd i (napięcie u) dowolnego dwójnika jest sumą
prądów i(k) (napięć u(k)) wywołanych w tym dwójniku działaniem każdego z pobudzeń z osobna1, tzn.:
n n
(k ) (k )
i = , u = .
"i "u
k =1 k=1
Zasada superpozycji obowiązuje tylko dla obwodów liniowych. Dlatego też liniowość obwodu często
definiuje siÄ™ poprzez zasadÄ™ superpozycji.
Część obliczeniowa rozwiązania
Dla ułatwienia przekształcania obwodu przerysujemy go dodając numerację węzłów.
i=?
i=?
2
1
R
J
E
R
R
R
3
0
W omawianym obwodzie zasadę superpozycji można wykorzystać zastępując raz
i1=?
2
i2=? 1
2
1
R
0
2R 0 1
J
E
R
R
R
R
R
R
3
0
3
0
z
ródło napięciowe zwarciem, raz z
ródło prądowe rozwarciem.
Po przerysowaniu sytuacje te upraszczają się do pokazanych na poniżych rysunkach, na których
wszystkie rezystory mają opór równy R, a z
ródła SEM i SPM jak w treści zadania.
0 2
0 1
2
1 3
3
1
z osobna, tzn. bez działania pozostałych z
ródeł niezależnych (pozostałe z
ródła niezależne są  wygaszone , czyli pozostałe niezależne
z
ródła napięciowe zastąpione zwarciami, a pozostałe niezależne z
ródła prądowe zastąpione rozwarciami).
Ćwiczenia z przedmiotu Technika Analogowa MateriaÅ‚y pomocnicze © C. StefaÅ„ski
WskazowkiDoRozwiazywaniaPrzykladTypowychProblemZzakresuMaterialuIKoloZTechnAnalogDlaGrupEiT8-10.doc 8/12
Szukany prąd i=i1+i2. Prądy i1 oraz i2 można wyznaczyć wprost ze schematów obwodów korzystając ze
wzorów na dzielniki prądowe.
Dla przypomnienia, wzór na dzielnik prądowy, przy oznaczeniach jak na rysunku obok, ma postać:
i
R2
R1 R2
i1 = i .
R1 + R2
i1 i2
Stąd i na podstawie wcześniejszych rysunków możemy napisać, że
R - E 1 3 E 1 E
i1 = " = - = -
2R + R R + 2R || R 3 5 R 5 R
oraz
R 2
i2 = J = J .
R || R + 2R 5
Na mocy zasady superpozycji możemy napisać, że
1 E 2
i = i1 + i2 = - + J
5 R 5
Ćwiczenia z przedmiotu Technika Analogowa MateriaÅ‚y pomocnicze © C. StefaÅ„ski
WskazowkiDoRozwiazywaniaPrzykladTypowychProblemZzakresuMaterialuIKoloZTechnAnalogDlaGrupEiT8-10.doc 9/12
Treść Pr. 5
Znalez
ć prąd płynący przez nieliniowy opornik w sieci z poniższego rysunku. (Objaśnić korzyści, jakie mogą płynąć ze stosowania
zastępczych obwodów Thevenina, bądz
Nortona.)
E
R2=8 &!
i iR R1 µÅ"u
R1=2 &!
J = =
(1- µ)R2
u
uR
R2
²Å" i
J
= 0,9 A
E=3,6 V
² =1 A/A
iR = Ä… Å" uR Å"uR
µ=0,5 V/V
Ä…=3. (4 . 3,62)-1
Wskazówka do Pr. 5
Z punktu widzenia zacisków pogrubionych część liniową obwodu można zastąpić następującym z
ródłem
Nortona: JN=1 A, GN = 1/RT = (3,6 &!)-1. W efekcie należy rozwiązać następujący obwód, w którym u=uR i i=iR.
JN=1 A
i
iR
² =1 A/A
J N RT =3,6 &! u
uR µ=0,5 V/V
Ä…=3. (4 . 3,62)-1
iR = Ä… Å" uR Å"uR
Rozwiązanie można znalez
ć zarówno graficznie, jak i analitycznie. Uwzględnienie faktu, że u=uR i i=iR oraz, że
i=1-u/3,6 i iR=(3/(4. 3,62)-1). |uR|.uR prowadzi do wyniku u=2,4 V, i= 1/3 A.
i [A]
i=1-u/3,6
i=Ä…|u|u
1
1/3
3,6
u [V]
2,4
Ćwiczenia z przedmiotu Technika Analogowa MateriaÅ‚y pomocnicze © C. StefaÅ„ski
WskazowkiDoRozwiazywaniaPrzykladTypowychProblemZzakresuMaterialuIKoloZTechnAnalogDlaGrupEiT8-10.doc 10/12
Treść Pr.6
Stosując podejście oczkowe lub węzłowe wyznaczyć napięcie na z
ródle J i prąd płynący przez z
ródło E.
Uzasadnić dokonany przez Ciebie wybór podejścia.
u2
i5 R
R i4
R
J
E
R
R
i4 R
(-1/R)u2 i5R
Wskazówki do Pr. 6.
Inspekcja obwodu sugeruje, by przed analizą zasadniczą połączenie szeregowe z
ródła J z oporem R zastąpić
przez R; wtedy trzeba np. wyznaczyć i5, a przy znanym i5 łatwo wyznaczymy napięcie na J w obwodzie
niezmodyfikowanym.
Aby zastosować metodę węzłową można zamienić trzy z
ródła napięciowe na prądowe (zamiana nie
powinna być problemem; ZNSP zamieniamy na ZPSN).
Aby zastosować metodę oczkową można zamienić ZPSN na ZNSP. W tym celu korzystnie jest w oczku
środkowym dołączyć cykl identycznych ZPSN tak, aby istniejące ZPSN i dołączone doń równolegle odwrotnie
zorientowane ZPSN eliminowały się. Pozostałe dołączone w tej procedurze trzy ZPSN łatwo zamieniają się na
ZNSP.
W wyniku analizy, oczywiście niezależnie od metody, uzyskujemy uJ=JR i iE=-E/(3R), o ile prądy i napięcia
na z
ródłach strzałkowane były przeciwnie.
Ćwiczenia z przedmiotu Technika Analogowa MateriaÅ‚y pomocnicze © C. StefaÅ„ski
WskazowkiDoRozwiazywaniaPrzykladTypowychProblemZzakresuMaterialuIKoloZTechnAnalogDlaGrupEiT8-10.doc 11/12
Treść Pr.8
Obliczyć stosunek napięć uo/ui (wzmocnienie napięciowe).
(Wymienić ograniczenia metod oczkowej i węzłowej analizy sieci. Czy te metody można stosować do obwodów zawierających idealne
wzmacniacze operacyjne. Przedyskutować problem na przykładzie obwodu narysowanego poniżej.)
10 &!
2&!
-
2V
ui
+
uo
10&!
Wskazówki do Pr. 8
Można stosować metodę węzłową lub oczkową do obwodów zawierających idealne wzmacniacze operacyjne, o
ile wzmacniacz operacyjny przedstawi się jako ZNSN, jak pokazano na poniższym rysunku.
-
-
ui
ui uo
uo
+
K ui, K "
+
Oczywiście zamianę ZNSN na odpowiednie do metody analizy z
ródło sterowane (ZPSN lub ZNSP) należy
wykonać (czasem któraś z zamian jest łatwiejsza, inna trudniejsza).Następnie należy przeprowadzić analizę,
zachowując K jako symbol. Dopiero w wynikach przechodzimy z K do nieskończoności.
Znane są modyfikacje metody węzłowej, nie wymagające zamiany modelu idealnego wzmacniacza
operacyjnego i przejścia granicznego w wynikach.
Ćwiczenia z przedmiotu Technika Analogowa MateriaÅ‚y pomocnicze © C. StefaÅ„ski
WskazowkiDoRozwiazywaniaPrzykladTypowychProblemZzakresuMaterialuIKoloZTechnAnalogDlaGrupEiT8-10.doc 12/12
Treść Pr. 10
Dana jest sieć złożona z 5 rezystorów, 3 z
ródeł niezależnych, 2 wzmacniaczy operacyjnych, 7 z
ródeł
sterowanych. Elementy te połączone są w sześciu węzłach. Ile niezależnych równań Kirchhoffa a) prądowych,
b) napięciowych, c) łącznie prądowych i napięciowych trzeba napisać, aby skonstruować niezależne równania
opisujące tę sieć? Odpowiedz
uzasadnić.
RozwiÄ…zanie Pr. 10
Niezależnych prądowych równań Kirchhoffa jest zawsze n-1, gdzie n oznacza liczbę węzłów. W tym
przypadku będzie ich zatem 5. Niezależnych równań napięciowych jest zawsze e-n+1, gdzie przez e oznaczamy
liczbę dwójników występujących w sieci, w której wszystkie urządzenia przedstawiono ich modelami
dwójnikowymi (dla wzmacniacza operacyjnego i z
ródła sterowanego po dwa dwójniki). W tym przypadku
mamy 21 (bo e=5+3+4+14=26) równań napięciowych, czyli łącznie 26 równań niezależnych z praw
Kirchhoffa.
Aby otrzymać kompletny układ równań należałoby jeszcze wziąć pod uwagę definicyjne równania
poszczególnych elementów sieci. Będzie ich : 5 - dla rezystorów, 3 - dla z
ródeł niezależnych, 2 razy 2  dla
wzmacniaczy i 7 razy 2 - dla z
ródeł sterowanych.