Ćwiczenia 1 i 2.
1. Znalez
ć rozwiązania ogólne równań liniowych jednorodnych:
2 2 2 - = + + = + + =
2 2 2 - = + + = + + =
2 2 2 2 2 2
2 2 2 - = + + = + + =
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a) y + y - 2 y = 0 , b) y + 2 y + 5 y = 0 , c) y + 6 y + 9 y = 0
+
+
+
2 2 2 - 2 2 2 - = + + = + + =
2 2 2 - 2 2 2 - = + + = + + =
2 2 2 2 2 2
2 2 2 - 2 2 2 - = + + = + + =
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
d) y - 4 y + 5 y - 2 y = 0 , e) y(4) + 4 y + 4 y = 0 , f) y(5) + 2 y + y = 0
+
+
+
2 2 - 2 2 2 - = - + - 2 2
2 2 - 2 2 2 - = - + - 2 2
2 2 2
2 2 - 2 2 2 - = - + - 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
g) y - 3 y + y - 3 y = 0 , h) y(5) - 3 y(4) + 3 y - y = 0 .
+ =
+ =
+ =
2. Znalez
ć rozwiązania szczególne, spełniające podane warunki początkowe:
2 2 - 2 2
2 2 - 2 2
2 2 - 2 2
2 2 2 2
a) y - 4 y + 3 y = 0, y(0) = 6, y (0) = 10 ,
+ = = =
+ = = =
+ = = =
2 2 2 - 2 2 2 2
2 2 2 - 2 2 2 2
2 2 2 - 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
b) y - 7 y + 6 y = 0, y(0) = 2, y (0) = 8, y (0) = 0 .
+ = = = =
+ = = = =
+ = = = =
3. Podać równanie ró\
niczkowe liniowe , którego rozwiązaniami szczególnymi są funkcje:
x -
-
-
a) 3, 3e , e- x ,
2 -
-
-
b) - 1, 5x, 2x , e-2 x .
-
-
-
4. Czy mo\
na podać przykład równania ró\
niczkowego liniowego o stałych
2
współczynnikach, którego rozwiązaniem ogólnym jest funkcja y(x) = c1 x + c2 x ?
= +
= +
= +
4. Znalez
ć rozwiązanie ogólne równań liniowych niejednorodnych:
x
2 2 - 2 2 2 2 - =
2 2 - 2 2 2 2 - =
2 2 - 2 2 2 2 - =
2 2 2 2 2 2
a) y - 3 y + 2 y = 2x2 - 30 , b) 2 y + y - y = 2e ,
+ = - +
+ = - +
+ = - +
2 2 - 2 2 2
2 2 - 2 2 2
2 2 - 2 2 2
2 2 2 2 2
c) y - 7 y + 6 y = sin x , d) y + y = sin x + cos x ,
+ = + = +
+ = + = +
+ = + = +
x x x
2 2 - 2 2 2 2 2 2 2
2 2 - 2 2 2 2 2 2 2
2 2 - 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
e) y - y = x + e (1 + e ), f) y + 2 y + y = xe .
= + + + + =
= + + + + =
= + + + + =
5. Znalez
ć rozwiązanie ogólne równań liniowych niejednorodnych:
1
x
2 2 - 2 2 2 2
2 2 - 2 2 2 2
2 2 - 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a) y - 2 y + y = e ln x , b) y + y = ,
+ = + =
+ = + =
+ = + =
x
e + 1
+
+
+
1
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
c) y + y = , d) y + y = tgx , e) y + y = tgx .
+ = + = + =
+ = + = + =
+ = + = + =
cos3 x
6. Znalez
ć rozwiązania szczególne, spełniające podane warunki początkowe:
2 2 - 2 - + = =
2 2 - 2 - + = =
2
2 2 - 2 - + = =
2 2 2 2
2
2
a) y - y = -2x + 2, y(0) = 1, y (0) = 1,
=
=
=
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
b) y + 4 y = sin 2x, y(0) = 0, y (0) = 0 ,
+ = = =
+ = = =
+ = = =
x
2 2 - 2 2
2 2 - 2 2
2 2 - 2 2
2 2 2 2
c) y - 2 y = e ( x2 + x - 3), y(0) = 2, y (0) = 2
= + - = =
= + - = =
= + - = =