123
6. Elementy obwodów prądu sinusoidalnego
Wykład XV. WYKRESY WSKAZOWE PR
DU I NAPI
CIA SINUSOIDALNEGO.
METODA SYMBOLICZNA ROZWI
ZYWANIA OBWODÓW
Wskazy prądu i napięcia sinusoidalnego. Idea wykresu wskazowego obwodu
Przebieg sinusoidalny może być reprezentowany przez:
a) wirujący wektor i nieruchomą oś przebiegu czasowego, krócej: nieruchomą  oś czasu (rys. a),
b) nieruchomy wektor i wirującą oś przebiegu czasowego, krócej: wirującą  oś czasu (rys. b),
przy czym rzut tego wektora na tę oś wyraża wartość chwilową przebiegu.
wirujÄ…ca  oÅ› czasu
nieruchoma
a) b)
w położeniu początkowym
 oÅ› czasu
wirujÄ…ca  oÅ› czasu
Umt
w chwili t > 0
u(t)
u(t)
Um Um
u(0) u(0)
É t
É t
Èu
Èu
0 0
oÅ› zerowej fazy oÅ› zerowej fazy
poczÄ…tkowej poczÄ…tkowej
(Èu = 0) (Èu = 0)
Wektory reprezentujące przebiegi czasowe prądu i(t) i napięcia u(t) nazywa się wskazami i oznacza
podkreślonymi wielkimi literami: wskazy wirujące  jako Imt , Umt ; wskazy nieruchome  Im , Um .
Wskaz nieruchomy danej wielkości, tożsamy  jak widać  ze wskazem ruchomym tej wielkości w
chwili początkowej, nazywa się wskazem początkowym tejże wielkości.
Wartość chwilowa przebiegu sinusoidalnego jest określona jednoznacznie przez czas oraz długość i
położenie reprezentującego go wskazu początkowego. Algebraicznemu dodawaniu wartości chwi-
lowych prądów lub napięć sinusoidalnych o tej samej pulsacji odpowiada geometryczne dodawanie
ich wskazów początkowych.
Wykres przedstawiający wskazy początkowe prądów i napięć obwodu prądu sinusoidalnego o okre-
ślonej pulsacji nosi nazwę wykresu wskazowego tego obwodu. Zazwyczaj na wykresie wskazowym
nie rysuje się osi układu współrzędnych (nie zaznacza się też osi zerowej fazy początkowej).
W praktyce są używane wartości skuteczne prądów i napięć, a nie ich wartości maksymalne. Wska-
zy początkowe Im i Um  o długościach Im i Um , równych amplitudom przebiegów sinusoidalnych
i(t) i u(t)  zastępuje się dlatego wskazami I i U , o długościach 2 razy krótszych od Im i Um , czyli
równych wartościom skutecznym I i U przebiegów i(t) i u(t).  Zredukowane w taki sposób wska-
zy początkowe prądów i napięć przedstawia się na wykresach wskazowych, nazywając je po prostu
wskazami (bez dodatkowych określeń).
Przydatność wykresów wskazowych wynika z poglądowego przedstawienia związków czasowych
jako zależności geometrycznych, co na ogół ułatwia rozwiązanie obwodu.
Wykresy wskazowe i wykresy trójkątowe dwójników pasywnych
Kąt przesunięcia fazowego (przesunięcie
a) Õ > 0 b) Õ < 0
fazowe) dwójnika jest różnicą faz począt-
IB UX
U UX
kowych jego napiÄ™cia i prÄ…du: Õ =È -È .
u i
U
IB I
IG IG
Gdy Õ > 0 (X > 0; B < 0), to wskaz I opóz
-
Õ
UR Õ Èu
nia siÄ™ o kÄ…t Õ wzglÄ™dem wskazu U (rys. a);
I
Èu
gdy natomiast Õ < 0 (X < 0; B > 0), to
UR
Èi
wskaz U opóz
nia siÄ™ o kÄ…t ÷Å‚Õ÷Å‚ wzglÄ™dem Èi
(oÅ› zerowej fazy
wskazu I (rys. b). poczÄ…tkowej)
124
Wykład XV
Na przedstawionych wyżej wykresach wska-
c) d)
IG G
zowych dwójnika  o charakterze: a) induk-
I R X >0
cyjnym, b) pojemnościowym  zaznaczono
I
składowe UR i UX wskazu napięcia U (dla
IB B<0
UR UX
zastępczego dwójnika szeregowego R, X ), oraz
U U
składowe IG i IB wskazu prądu I (dla zastęp-
czego dwójnika równoległego G, B ).
Wykres z rys. a odnosi się do układów pokazanych na rys. c i d (dwójnik o charakterze indukcyj-
nym). Wykres z rys. b odnosi się do analogicznych układów z pojemnościami na miejscu induk-
cyjności, przy czym X < 0 i B > 0 .
Wskazy napięcia oraz prądu tworzą wraz ze swymi składowymi trójkąty napięcia i trójkąty prądu,
co lepiej widać, gdy te wykresy są narysowane oddzielnie, z założeniem zerowej wartości począt-
kowej, odpowiednio: kÄ…ta fazowego Èi prÄ…du I w ukÅ‚adzie R, X (trójkÄ…t napiÄ™cia); kÄ…ta fazowego Èu
napięcia U w układzie G, B (trójkąt prądu). Wykresy takie, dla dwójnika o charakterze indukcyj-
nym (Õ > 0)  jak na rys. a, pokazano niżej na rysunkach a i a .
KÄ…towi Õ i wartoÅ›ciom skutecznym
a ) a )
I, IG i IB oraz U, UR i UX odpowiada-
Èu = 0
ją składowe czynne i bierne:
U
Èi = 0
IG U
- prÄ…du Icz = IG = I Å" cosÕ
UX
i Ib = - I Å" sinÕ , Ib = I ;
Õ
Õ
B
I
IB
- napiÄ™cia Ucz = U = U Å" cosÕ
R
UR I
i Ub = U Å" sinÕ , Ub = U .
X
Dzieląc oraz mnożąc długości bo-
G
ków trójkątów napięcia i prądu,
odpowiednio, przez wartoÅ›ci sku- Õ
S
Z
B < 0
teczne prądu i napięcia, otrzymuje
X > 0 Q > 0
Õ Õ
Y
się trójkąty: impedancji, admitancji
oraz mocy  pokazane obok na ry- R P
sunku dla dwójnika o charakterze
indukcyjnym (Õ > 0).
Przeliczenie długości boków z trójkątów impedancji lub admitancji, na trójkąt mocy, wyraża się
2 2 2 2 2 2
nastÄ™pujÄ…co: P = R Å" I = G Å"U ; Q = X Å" I = -B Å"U ; S = Z Å" I = Y Å"U .
UR3
Przykład. Wykres wskazowy prądów i napięć dwój-
nika R, L, C o strukturze szeregowo-równoległej,
UL U2 = U3
wykonany przy zaÅ‚ożeniu i3 (t) = I3 2 sinÉt ,
I = I1
tj. È = 0 .
i3
Õ3 I2
I3
I = I1 C
Õ
I2 I3
U1 U
UR3 R3
U U2 = U3
R2
U1
UL L
125
6. Elementy obwodów prądu sinusoidalnego
Wykonany wykres odpowiada danym: XL = XC = R3 = 100 &!, R2 = 200 &!. Jak widać, układ o tych
danych jest dwójnikiem rezystancyjno-pojemnoÅ›ciowym (Õ < 0), ale przy mniejszej np. trzykrotnie
wartoÅ›ci reaktancji XC byÅ‚by to dwójnik rezystancyjno-indukcyjny (Õ > 0).
Uwaga. Wykres wskazowy wykonuje się w skali, tzn. przyjmuje się skale długości wskazów prądu
i wskazów napięcia (skale prądu i napięcia). Długości i fazy wskazów napięcia oraz prądu, dotyczą-
cych poszczególnych elementów idealnych lub gałęzi z nich złożonych, są ze sobą związane warto-
ściami impedancji i kąta przesunięcia fazowego.
Szkicując wykres wskazowy nie określa się dokładnie skal prądu i napięcia, trzeba jednak zacho-
wać przybliżone proporcje odpowiadające danym bądz
spodziewanym wartościom parametrów
obwodu.
Procedura obliczenia wartoÅ›ci impedancji Z i kÄ…ta fazowego Õ dwójnika (dla podanych wyżej pa-
rametrów układu):
a) impedancja, konduktancja i susceptancja gałęzi trzeciej -
R3 X
2 2 L
Z3 = R3 + X = 100 2 &!; G3 = = 0,005 S; B3 = - = -0,005 S;
L
2 2
Z3 Z3
b) konduktancja gałęzi drugiej -
1
G2 = = 0,005 S;
R2
c) konduktancja, susceptancja i admitancja gałęzi drugiej z trzecią -
2 2
G23 = G2 + G3 = 0,01 S; B23 = B3 = -0,005 S; Y23 = G23 + B23 = 0,01 1,25 S;
d) rezystancja i reaktancja gałęzi drugiej z trzecią -
G23 B23
R23 = = 80 &!; X = - = 40 &!;
23
2 2
Y23 Y23
e) rezystancja, reaktancja, impedancja i kąt fazowy dwójnika -
X
2
R = R23 = 80 &!; X = -X + X = -60 &!; Z = R2 + X = 100 &!; Õ = arc tg E" -37o .
C 23
R
Procedura obliczenia wartości skutecznych prądów i napięć gałęziowych przy założonym przebiegu
i3 (t) = 2 2 sinÉt , [i3] = A, [É] = s-1, [t] = s, tzn. wartoÅ›ciach I3 = 2 A i Èi3 = 0 (na wykresie  po-
ziome położenie wskazu I3 ):
a) impedancja i wartość skuteczna napięcia w gałęzi trzeciej -
2 2
Z3 = R3 + X = 100 2 &!; U3 = Z3 Å" I3 = 200 2 E" 283 V;
L
b) przesunięcie fazowe i faza początkowa napięcia w gałęzi trzeciej -
X
L
Õ3 = arc tg = 45o ; È = È + Õ3 = 45o ;
u3 i3
R3
c) wartość skuteczna i faza początkowa napięcia w gałęzi drugiej -
U = U3 E" 283 V; È = È = 45o ;
2 u2 u3
d) impedancja, przesunięcie fazowe, wartość skuteczna i faza początkowa prądu w gałęzi drugiej -
U2
Z2 = R2 = 200 &!; Õ2 = 0 ; I2 = E" 1,41 A; È = È - Õ2 = 45o ;
i2 u2
Z2
e) wartość skuteczna i faza początkowa prądu dwójnika (i = i1) -
I1x = I1 Å" cosÈ = I2 Å" cosÈ + I3 Å" cosÈ = 3 A;
i1 i2 i3
I1y = I1 Å" sinÈ = I2 Å"sinÈ + I3 Å" sinÈ = 1 A;
i1 i2 i3
I1y
2 2
I1 = I1x + I1y = 10 E" 3,16 A; È = arc tg E" 18,4o ;
i1
I1x
126
Wykład XV
I = I1 E" 3,16 A; È1 = È E" 18,4o ;
i1
f) wartość skuteczna i faza początkowa napięcia na pojemności -
U1 = X Å" I1 = 100 10 E" 316 V; È = È + Õ1 E" -71,6o ;
C u1 i1
g) wartość skuteczna i faza początkowa napięcia dwójnika -
U = U Å" cosÈ = U1 Å" cosÈ + U Å" cosÈ = 300 V;
x u u1 2 u2
U = U Å" sinÈ = U1 Å" sinÈ +U2 Å" sinÈ = -100 V;
y u u1 u2
U
y
2 2
U = U + U = 100 10 E" 316 V; È = arc tg E" -18,4o ;
x y u
U
x
h) impedancja i przesunięcie fazowe dwójnika -
U
Z = = 100 &!; Õ = È -È E" -37o .
u i
I
Wartości symboliczne prądu i napięcia sinusoidalnego
Wskazy prądu i napięcia: I i U, umieszczone na płaszczyz
nie
(oÅ› urojona)
zespolonej, stajÄ… siÄ™ liczbami zespolonymi (rys. obok  wskaz U
jÈu
j Im U
jako liczba zespolona U = U Å" e ). NoszÄ… one nazwy wartoÅ›ci
U
skutecznych zespolonych lub wartości symbolicznych prądu i
(oÅ› rzeczy-
napięcia. Używając symbolu liczby urojonej j = -1 , zapisuje
È
wista)
się wartości symboliczne w postaci wykładniczej, trygonome-
0
Re U
trycznej lub algebraicznej (kartezjańskiej):
jÈi
I = I Å" e = I Å" (cosÈ + j sinÈ ) = Re I + j Im I , (6.48a)
i i
jÈu
U = U Å" e = U Å" (cosÈ + j sinÈ ) = ReU + j ImU , (6.48b)
u u
gdzie:
I = ÷Å‚ I÷Å‚ , U = ÷Å‚ U÷Å‚  moduÅ‚y (dÅ‚ugoÅ›ci wskazów) I i U ;
Èi , Èu  argumenty I i U ;
Re I , Re U  części rzeczywiste I i U ;
Im I , Im U  części urojone I i U .
Przebiegi czasowe prądu i napięcia odpowiadają częściom urojonym wskazów zespolonych wirują-
cych Imt i Umt (prądu i napięcia):
jÉt
i(t) = Im I = Im(I 2 Å" e ) = I 2 sin(Ét +È ) , (6.49a)
mt i
jÉt
u(t) = ImU = Im(U 2 Å" e ) = U 2 sin(Ét +È ) . (6.49b)
mt u
Własności metody symbolicznej rozwiązywania obwodów prądu sinusoidalnego
1. Dodawaniu wartości chwilowych prądów (w węzłach) oraz napięć (na elementach obwodu)
odpowiada dodawanie ich wartości symbolicznych:
i(t) = (t) "! I = ; u(t) = (t) "! U = .
"ik "I k "uk "U k
k k k k
2. Między wartościami symbolicznymi prądu i napięcia elementów idealnych zachodzą następują-
ce zależności (wykresy ze wskazami  zespolonymi są takie same jak ze  zwykłymi ):
a) rezystancja -
IR R, G
IR = G Å" UR U = R Å" I , (6.50a)
R R
UR
I = G Å"U , (6.50b)
UR = R Å" IR
R R
127
6. Elementy obwodów prądu sinusoidalnego
b) pojemność -
IC XC , BC
IC = jBC Å" UC
U = - jX Å" I , (6.51a)
C C C
UC I = jBC Å"U , (6.51b)
C C
UC = -jXC Å" IC
c) indukcyjność (własna) -
IL XL , BL
U = jX Å" I , (6.52a)
UL = jXL Å" IL
L L L
I = - jBL Å"U , (6.52b)
L L
UL
IL = -jBL Å" UL
d) indukcyjność wzajemna -
I1
U = jX Å" I1 , (6.53a)
2M M
U2M = jXM Å" I1
X21 = XM
analogicznie
U = jX Å" I . (6.53b)
1M M 2
I1
U2M
3. Układowi szeregowemu R, X przypisuje się impedancję zespoloną
jÕ
Z = R + jX = Z Å" e (6.54a)
i postać zespoloną odmiany impedancyjnej prawa Ohma
U = Z Å" I . (6.54b)
4. Układowi równoległemu G, B przypisuje się admitancję zespoloną
Y = G + jB = Y Å" e- jÕ (6.55a)
i postać zespoloną odmiany admitancyjnej prawa Ohma
I = Y Å"U . (6.55b)
5. Dla określonego dwójnika zachodzi związek
1
Y = , (6.56)
Z
z czego wynikają następujące zależności między elementami układów zastępczych R, X i G, B :
G B R X
R = , X = - , G = , B = - . (6.56a, b, c, d)
2 2 2 2
Y Y Z Z
6. Przy połączeniu szeregowym dwójników pasywnych sumuje się oddzielnie rezystancje i reak-
tancje albo impedancje zespolone (nie wolno sumować modułów impedancji zespolonych!):
R = , X = X ; Z = . (6.57a, b, c)
"Rk " k "Z k
k k k
7. Przy połączeniu równoległym dwójników pasywnych sumuje się oddzielnie konduktancje i su-
sceptancje albo admitancje zespolone (nie wolno sumować modułów admitancji zespolonych!):
G = , B = , Y = . (6.58a, b, c)
"Gk "Bk "Y k
k k k
8. Wszystkie twierdzenia i metody rozwiązywania obwodów, dotyczące teorii obwodów prądu
stałego (wielkości rzeczywiste stałe: U, I, E, Iz
r , R, G), zachowują ważność w analizie stanów
ustalonych obwodów prądu sinusoidalnego przy użyciu liczb zespolonych (wielkości zespolone:
U, I, E, Iz
r , Z, Y).
128
Wykład XV
I = I1 C
Przykład. Zostanie przeprowadzony rachunek
symboliczny, odpowiadajÄ…cy procedurom
I2 I3
U1
przedstawionym w poprzednim przykładzie,
UR3 R3
dotyczący tego samego dwójnika (rys. obok).
U U2 = U3 R2
Dane sÄ…, jak poprzednio:
XL = XC = R3 = 100 &!, R2 = 200 &!,
UL L
i3 (t) = 2 2 sinÉt , [i3] = A, [É] = s-1, [t] = s .
Procedura obliczenia impedancji Z i kÄ…ta fazowego Õ dwójnika:
Z1 = - j100 &!; Z = 200 &!; Z = (100 + j100) &!;
2 3
Z Å" Z
2 3
Z = Z1 + = 80 - j60 E" 100 Å" e- j37o &!; Z = 100 &!; Õ E"37°.
Z + Z
2 3
Procedura obliczenia wartości skutecznych prądów i napięć gałęziowych:
j0o j45o
I = 2 = 2 Å" e A; Z = 100 + j100 = 100 2 Å" e &!;
3 3
j45o
U = Z Å" I = 200 2 Å" e = (200 + j200) V; U = U ; U = U3 E" 283 V;
3 3 3 2 3 2
j0o j0o
Z = 200 = 200 Å" e &!; Y = 0,005 = 0,005 Å" e S;
2 2
j45o
I = Y Å"U = 2 Å" e = (1+ j1) A; I2 E" 1,41 A;
2 2 2
j18,4o
I1 = I + I = 3 + j1 E" 10 Å" e A; I1 E" 3,16 A;
2 3
Z1 = - j100 = 100 Å" e- j90o &!;
U = Z1 Å" I1 E" 100 10 Å" e- j71,6o E" (100 - j300) V; U1 E" 316 V;
1
U = U + U = 300 - j100 E" 100 10 Å" e- j18,4o V; U E" 316 V;
1 2
U
I = I1 ; Z = = 80 - j60 E" 100 Å" e- j37o &!; Z = 100 &!; Õ E"37°.
I
Wniosek (wynikający z porównania procedur obliczeniowych przedstawionych w tym i w poprzed-
nim przykładzie): korzyści obliczeniowe stosowania rachunku symbolicznego są oczywiste.
Moc zespolona
S
Trójkąt mocy umieszczony na płaszczyz
nie zespolonej przed-
jQ
stawia trójkąt mocy zespolonej (rys. obok), którego bokami są:
Õ
moc czynna P, moc bierna Q pomnożona przez j, oraz moc ze-
spolona S : P
jÕ
S = S Å" e = S Å" (cosÕ + j sinÕ) = P + jQ ; (6.59)
P = Re S , Q = Im S , S = P2 + Q2 = U Å" I . (6.60a, b, c)
Skoro Õ = È -È , to
u i
jÈu jÈu "
S = U Å" I Å" e Å" e- jÈi = (U Å" e ) Å" (I Å" e- jÈi ) = U Å" I , (6.61)
stąd moc zespolona układu szeregowego R, X oraz układu równoległego G, B wynosi:
"
2 2 2 2 2 2
S = Z Å" I = R Å" I + jX Å" I , S = Y Å"U = G Å"U - jB Å"U . (6.62a, b)
SporzÄ…dzajÄ…c bilans mocy obwodu, sumuje siÄ™ oddzielnie moce czynne i bierne albo moce zespolo-
ne (nie wolno sumować modułów mocy zespolonych, tj. mocy pozornych!):
P = , Q = , S = . (6.63a, b, c)
"Pk "Qk "S k
k k k
129
6. Elementy obwodów prądu sinusoidalnego
Posługiwanie się rachunkiem symbolicznym w rozwiązywaniu obwodów
Przykład. Z użyciem rachunku symbolicznego, poprzez
R
A1
stosowanie różnych metod, zostaną wyznaczone wartości
prądów i napięć, określone wskazania przyrządów pomia-
U
rowych (amperomierzy i woltomierza) oraz sporzÄ…dzony
C
bilans mocy w układzie pokazanym na rysunku. Przyrządy
A2
są idealne i mierzą wartości skuteczne.
Iz
r
V
Dane: R = X = X = 10 &!;
C L
L
u = 40 2 sinÉt , iz
r = 2 2 cosÉt ,
[u] = V, [iz
r] = A, [É] = s, [t] = s.
Danym przebiegom odpowiadają wartości symboliczne napięcia i prądu: U = 40 V; Iz
r = j2 A.
Impedancje zespolone elementów wynoszą: ZR = 10 &!; ZC =  j10 &!; ZL = j10 &!.
Ze schematu wynika, że wystarcza obliczenie I1 lub I2, bowiem: ZR
I1
I2 = I1 + Iz
r lub I1 = I2  Iz
r ;
UR
U
UV = UC + UL = ZC I2 +ZL Iz
r .
ZC
I2
Oblicza się najpierw  na różne sposoby  prąd I1 , a następnie
I2 , UR , UC , UL i UV , określa wskazania przyrządów i sporządza
UC
Iz
r
bilans mocy obwodu.
UV UL
1. Zasada superpozycji
ZL
ZR
I1
I1a ZR I1b ZR
U
U
I2 ZC ZC ZC
I2a I2b
a"
+
Iz
r
Iz
r
ZL ZL
ZL
U - I Å" Z
z
r C
I1a = = (2 + j2) A; I1b = = (-1- j1) A;
Z + Z Z + Z
R C R C
I1 = I + I1b = (1+ j1) A.
1a
2. Zamiana z
ródła prądowego na napięciowe i obliczenie prądu w oczku (z równania oczkowego
dla jednego oczka)
ZR ZR
I1 I1
ZR
I1
U U
Io
I2 I2
ZC ZC
U
a" a"
ZC Iz
r ZC
Iz
r Iz
r
ZL
U - Z Å" I
C z
r
I1 = I = = (1+ j1) A.
o
Z + Z
R C
130
Wykład XV
3. Zamiana z
ródła napięciowego na prądowe i obliczenie potencjału w węz
le (z równania węzło-
wego dla jednego węzła niezależnego)
ZR
I1
YR U
YR
U
I2
ZC
I1
V1
Vo=0
a"
I2
YC
V1
Iz
r Vo=0
ZL
Iz
r
1 1
Y = = 0,1 S; Y = = j0,1 S;
R C
Z Z
R C
I + Y Å"U
z
r R
(Y + Y ) Å"V = I + Y Å"U ; V = = (30 - j10) V;
R C 1 z
r R 1
Y + Y
R C
I = Y Å" (U -V ) = (1+ j1) A.
1 R 1
4. Twierdzenie Thevenina (gałąz
U, R jako zewnętrzna)
U0
ZR
I1
ZC
Iz
r
U
UC 0
U0
Iz
r
Zw
ZL
U + U
0
U = -U = -Z Å" I = -20 V; Z = Z ; I1 = = (1+ j1) A.
0 C0 C z
r w C
Z + Z
R w
5. Wartości symboliczne I2 , UR , UC , UL i UV , oraz wskazania przyrządów
I2 = I1 + Iz
r = (1 + j3) A;
UR = ZR I1 = (10 + j10) V; UC = ZC I2 = (30  j10) V; UL = ZL Iz
r = ( 20) V;
UV = UC +UL = (10  j10) V;
I = I1 = 2 E" 1,41 A; I = I = 10 E" 3,16 A; UV = U = 10 2 E" 14,1 V.
A 1 A2 2 V
6. Bilans mocy obwodu
* *
S = U Å" I1 +U Å" I = 40 Å" (1- j1) + (10 - j10) Å" (- j2) = (20 - j60) VA;
gen V z
r
2
Podb = R Å" I1 = 10 Å" (12 +12 ) = 20 W;
2 2
Qodb = -X Å" I2 + X Å" I = -10 Å" (12 + 32 ) +10 Å" 22 = - 60 var;
C L z
r
S = Podb + j Qodb , S = S .
odb odb gen