123
6. Elementy obwodów prądu sinusoidalnego
Wykład XV. WYKRESY WSKAZOWE PR
DU I NAPI
CIA SINUSOIDALNEGO.
METODA SYMBOLICZNA ROZWI
ZYWANIA OBWODÓW
Wskazy prądu i napięcia sinusoidalnego. Idea wykresu wskazowego obwodu
Przebieg sinusoidalny może być reprezentowany przez:
a) wirujący wektor i nieruchomą oś przebiegu czasowego, krócej: nieruchomą  oś czasu (rys. a),
b) nieruchomy wektor i wirującą oś przebiegu czasowego, krócej: wirującą  oś czasu (rys. b),
przy czym rzut tego wektora na tę oś wyraża wartość chwilową przebiegu.
wirująca  oś czasu
nieruchoma
a) b)
w położeniu początkowym
 oś czasu
wirująca  oś czasu
Umt
w chwili t > 0
u(t)
u(t)
Um Um
u(0) u(0)
� t
� t
�u
�u
0 0
oś zerowej fazy oś zerowej fazy
początkowej początkowej
(�u = 0) (�u = 0)
Wektory reprezentujące przebiegi czasowe prądu i(t) i napięcia u(t) nazywa się wskazami i oznacza
podkreślonymi wielkimi literami: wskazy wirujące  jako Imt , Umt ; wskazy nieruchome  Im , Um .
Wskaz nieruchomy danej wielkości, tożsamy  jak widać  ze wskazem ruchomym tej wielkości w
chwili początkowej, nazywa się wskazem początkowym tejże wielkości.
Wartość chwilowa przebiegu sinusoidalnego jest określona jednoznacznie przez czas oraz długość i
położenie reprezentującego go wskazu początkowego. Algebraicznemu dodawaniu wartości chwi-
lowych prądów lub napięć sinusoidalnych o tej samej pulsacji odpowiada geometryczne dodawanie
ich wskazów początkowych.
Wykres przedstawiający wskazy początkowe prądów i napięć obwodu prądu sinusoidalnego o okre-
ślonej pulsacji nosi nazwę wykresu wskazowego tego obwodu. Zazwyczaj na wykresie wskazowym
nie rysuje się osi układu współrzędnych (nie zaznacza się też osi zerowej fazy początkowej).
W praktyce są używane wartości skuteczne prądów i napięć, a nie ich wartości maksymalne. Wska-
zy początkowe Im i Um  o długościach Im i Um , równych amplitudom przebiegów sinusoidalnych
i(t) i u(t)  zastępuje się dlatego wskazami I i U , o długościach 2 razy krótszych od Im i Um , czyli
równych wartościom skutecznym I i U przebiegów i(t) i u(t).  Zredukowane w taki sposób wska-
zy początkowe prądów i napięć przedstawia się na wykresach wskazowych, nazywając je po prostu
wskazami (bez dodatkowych określeń).
Przydatność wykresów wskazowych wynika z poglądowego przedstawienia związków czasowych
jako zależności geometrycznych, co na ogół ułatwia rozwiązanie obwodu.
Wykresy wskazowe i wykresy trójkątowe dwójników pasywnych
Kąt przesunięcia fazowego (przesunięcie
a) � > 0 b) � < 0
fazowe) dwójnika jest różnicą faz począt-
IB UX
U UX
kowych jego napięcia i prądu: � =� -� .
u i
U
IB I
IG IG
Gdy � > 0 (X > 0; B < 0), to wskaz I opóz
-
�
UR � �u
nia się o kąt � względem wskazu U (rys. a);
I
�u
gdy natomiast � < 0 (X < 0; B > 0), to
UR
�i
wskaz U opóz
nia się o kąt �ł��ł względem �i
(oś zerowej fazy
wskazu I (rys. b). początkowej)
124
Wykład XV
Na przedstawionych wyżej wykresach wska-
c) d)
IG G
zowych dwójnika  o charakterze: a) induk-
I R X >0
cyjnym, b) pojemnościowym  zaznaczono
I
składowe UR i UX wskazu napięcia U (dla
IB B<0
UR UX
zastępczego dwójnika szeregowego R, X ), oraz
U U
składowe IG i IB wskazu prądu I (dla zastęp-
czego dwójnika równoległego G, B ).
Wykres z rys. a odnosi się do układów pokazanych na rys. c i d (dwójnik o charakterze indukcyj-
nym). Wykres z rys. b odnosi się do analogicznych układów z pojemnościami na miejscu induk-
cyjności, przy czym X < 0 i B > 0 .
Wskazy napięcia oraz prądu tworzą wraz ze swymi składowymi trójkąty napięcia i trójkąty prądu,
co lepiej widać, gdy te wykresy są narysowane oddzielnie, z założeniem zerowej wartości począt-
kowej, odpowiednio: kąta fazowego �i prądu I w układzie R, X (trójkąt napięcia); kąta fazowego �u
napięcia U w układzie G, B (trójkąt prądu). Wykresy takie, dla dwójnika o charakterze indukcyj-
nym (� > 0)  jak na rys. a, pokazano niżej na rysunkach a i a .
Kątowi � i wartościom skutecznym
a ) a )
I, IG i IB oraz U, UR i UX odpowiada-
�u = 0
ją składowe czynne i bierne:
U
�i = 0
IG U
- prądu Icz = IG = I �" cos�
UX
i Ib = - I �" sin� , Ib = I ;
�
�
B
I
IB
- napięcia Ucz = U = U �" cos�
R
UR I
i Ub = U �" sin� , Ub = U .
X
Dzieląc oraz mnożąc długości bo-
G
ków trójkątów napięcia i prądu,
odpowiednio, przez wartości sku- �
S
Z
B < 0
teczne prądu i napięcia, otrzymuje
X > 0 Q > 0
� �
Y
się trójkąty: impedancji, admitancji
oraz mocy  pokazane obok na ry- R P
sunku dla dwójnika o charakterze
indukcyjnym (� > 0).
Przeliczenie długości boków z trójkątów impedancji lub admitancji, na trójkąt mocy, wyraża się
2 2 2 2 2 2
następująco: P = R �" I = G �"U ; Q = X �" I = -B �"U ; S = Z �" I = Y �"U .
UR3
Przykład. Wykres wskazowy prądów i napięć dwój-
nika R, L, C o strukturze szeregowo-równoległej,
UL U2 = U3
wykonany przy założeniu i3 (t) = I3 2 sin�t ,
I = I1
tj. � = 0 .
i3
�3 I2
I3
I = I1 C
�
I2 I3
U1 U
UR3 R3
U U2 = U3
R2
U1
UL L
125
6. Elementy obwodów prądu sinusoidalnego
Wykonany wykres odpowiada danym: XL = XC = R3 = 100 &!, R2 = 200 &!. Jak widać, układ o tych
danych jest dwójnikiem rezystancyjno-pojemnościowym (� < 0), ale przy mniejszej np. trzykrotnie
wartości reaktancji XC byłby to dwójnik rezystancyjno-indukcyjny (� > 0).
Uwaga. Wykres wskazowy wykonuje się w skali, tzn. przyjmuje się skale długości wskazów prądu
i wskazów napięcia (skale prądu i napięcia). Długości i fazy wskazów napięcia oraz prądu, dotyczą-
cych poszczególnych elementów idealnych lub gałęzi z nich złożonych, są ze sobą związane warto-
ściami impedancji i kąta przesunięcia fazowego.
Szkicując wykres wskazowy nie określa się dokładnie skal prądu i napięcia, trzeba jednak zacho-
wać przybliżone proporcje odpowiadające danym bądz
spodziewanym wartościom parametrów
obwodu.
Procedura obliczenia wartości impedancji Z i kąta fazowego � dwójnika (dla podanych wyżej pa-
rametrów układu):
a) impedancja, konduktancja i susceptancja gałęzi trzeciej -
R3 X
2 2 L
Z3 = R3 + X = 100 2 &!; G3 = = 0,005 S; B3 = - = -0,005 S;
L
2 2
Z3 Z3
b) konduktancja gałęzi drugiej -
1
G2 = = 0,005 S;
R2
c) konduktancja, susceptancja i admitancja gałęzi drugiej z trzecią -
2 2
G23 = G2 + G3 = 0,01 S; B23 = B3 = -0,005 S; Y23 = G23 + B23 = 0,01 1,25 S;
d) rezystancja i reaktancja gałęzi drugiej z trzecią -
G23 B23
R23 = = 80 &!; X = - = 40 &!;
23
2 2
Y23 Y23
e) rezystancja, reaktancja, impedancja i kąt fazowy dwójnika -
X
2
R = R23 = 80 &!; X = -X + X = -60 &!; Z = R2 + X = 100 &!; � = arc tg E" -37o .
C 23
R
Procedura obliczenia wartości skutecznych prądów i napięć gałęziowych przy założonym przebiegu
i3 (t) = 2 2 sin�t , [i3] = A, [�] = s-1, [t] = s, tzn. wartościach I3 = 2 A i �i3 = 0 (na wykresie  po-
ziome położenie wskazu I3 ):
a) impedancja i wartość skuteczna napięcia w gałęzi trzeciej -
2 2
Z3 = R3 + X = 100 2 &!; U3 = Z3 �" I3 = 200 2 E" 283 V;
L
b) przesunięcie fazowe i faza początkowa napięcia w gałęzi trzeciej -
X
L
�3 = arc tg = 45o ; � = � + �3 = 45o ;
u3 i3
R3
c) wartość skuteczna i faza początkowa napięcia w gałęzi drugiej -
U = U3 E" 283 V; � = � = 45o ;
2 u2 u3
d) impedancja, przesunięcie fazowe, wartość skuteczna i faza początkowa prądu w gałęzi drugiej -
U2
Z2 = R2 = 200 &!; �2 = 0 ; I2 = E" 1,41 A; � = � - �2 = 45o ;
i2 u2
Z2
e) wartość skuteczna i faza początkowa prądu dwójnika (i = i1) -
I1x = I1 �" cos� = I2 �" cos� + I3 �" cos� = 3 A;
i1 i2 i3
I1y = I1 �" sin� = I2 �"sin� + I3 �" sin� = 1 A;
i1 i2 i3
I1y
2 2
I1 = I1x + I1y = 10 E" 3,16 A; � = arc tg E" 18,4o ;
i1
I1x
126
Wykład XV
I = I1 E" 3,16 A; �1 = � E" 18,4o ;
i1
f) wartość skuteczna i faza początkowa napięcia na pojemności -
U1 = X �" I1 = 100 10 E" 316 V; � = � + �1 E" -71,6o ;
C u1 i1
g) wartość skuteczna i faza początkowa napięcia dwójnika -
U = U �" cos� = U1 �" cos� + U �" cos� = 300 V;
x u u1 2 u2
U = U �" sin� = U1 �" sin� +U2 �" sin� = -100 V;
y u u1 u2
U
y
2 2
U = U + U = 100 10 E" 316 V; � = arc tg E" -18,4o ;
x y u
U
x
h) impedancja i przesunięcie fazowe dwójnika -
U
Z = = 100 &!; � = � -� E" -37o .
u i
I
Wartości symboliczne prądu i napięcia sinusoidalnego
Wskazy prądu i napięcia: I i U, umieszczone na płaszczyz
nie
(oś urojona)
zespolonej, stają się liczbami zespolonymi (rys. obok  wskaz U
j�u
j Im U
jako liczba zespolona U = U �" e ). Noszą one nazwy wartości
U
skutecznych zespolonych lub wartości symbolicznych prądu i
(oś rzeczy-
napięcia. Używając symbolu liczby urojonej j = -1 , zapisuje
�
wista)
się wartości symboliczne w postaci wykładniczej, trygonome-
0
Re U
trycznej lub algebraicznej (kartezjańskiej):
j�i
I = I �" e = I �" (cos� + j sin� ) = Re I + j Im I , (6.48a)
i i
j�u
U = U �" e = U �" (cos� + j sin� ) = ReU + j ImU , (6.48b)
u u
gdzie:
I = �ł I�ł , U = �ł U�ł  moduły (długości wskazów) I i U ;
�i , �u  argumenty I i U ;
Re I , Re U  części rzeczywiste I i U ;
Im I , Im U  części urojone I i U .
Przebiegi czasowe prądu i napięcia odpowiadają częściom urojonym wskazów zespolonych wirują-
cych Imt i Umt (prądu i napięcia):
j�t
i(t) = Im I = Im(I 2 �" e ) = I 2 sin(�t +� ) , (6.49a)
mt i
j�t
u(t) = ImU = Im(U 2 �" e ) = U 2 sin(�t +� ) . (6.49b)
mt u
Własności metody symbolicznej rozwiązywania obwodów prądu sinusoidalnego
1. Dodawaniu wartości chwilowych prądów (w węzłach) oraz napięć (na elementach obwodu)
odpowiada dodawanie ich wartości symbolicznych:
i(t) = (t) "! I = ; u(t) = (t) "! U = .
"ik "I k "uk "U k
k k k k
2. Między wartościami symbolicznymi prądu i napięcia elementów idealnych zachodzą następują-
ce zależności (wykresy ze wskazami  zespolonymi są takie same jak ze  zwykłymi ):
a) rezystancja -
IR R, G
IR = G �" UR U = R �" I , (6.50a)
R R
UR
I = G �"U , (6.50b)
UR = R �" IR
R R
127
6. Elementy obwodów prądu sinusoidalnego
b) pojemność -
IC XC , BC
IC = jBC �" UC
U = - jX �" I , (6.51a)
C C C
UC I = jBC �"U , (6.51b)
C C
UC = -jXC �" IC
c) indukcyjność (własna) -
IL XL , BL
U = jX �" I , (6.52a)
UL = jXL �" IL
L L L
I = - jBL �"U , (6.52b)
L L
UL
IL = -jBL �" UL
d) indukcyjność wzajemna -
I1
U = jX �" I1 , (6.53a)
2M M
U2M = jXM �" I1
X21 = XM
analogicznie
U = jX �" I . (6.53b)
1M M 2
I1
U2M
3. Układowi szeregowemu R, X przypisuje się impedancję zespoloną
j�
Z = R + jX = Z �" e (6.54a)
i postać zespoloną odmiany impedancyjnej prawa Ohma
U = Z �" I . (6.54b)
4. Układowi równoległemu G, B przypisuje się admitancję zespoloną
Y = G + jB = Y �" e- j� (6.55a)
i postać zespoloną odmiany admitancyjnej prawa Ohma
I = Y �"U . (6.55b)
5. Dla określonego dwójnika zachodzi związek
1
Y = , (6.56)
Z
z czego wynikają następujące zależności między elementami układów zastępczych R, X i G, B :
G B R X
R = , X = - , G = , B = - . (6.56a, b, c, d)
2 2 2 2
Y Y Z Z
6. Przy połączeniu szeregowym dwójników pasywnych sumuje się oddzielnie rezystancje i reak-
tancje albo impedancje zespolone (nie wolno sumować modułów impedancji zespolonych!):
R = , X = X ; Z = . (6.57a, b, c)
"Rk " k "Z k
k k k
7. Przy połączeniu równoległym dwójników pasywnych sumuje się oddzielnie konduktancje i su-
sceptancje albo admitancje zespolone (nie wolno sumować modułów admitancji zespolonych!):
G = , B = , Y = . (6.58a, b, c)
"Gk "Bk "Y k
k k k
8. Wszystkie twierdzenia i metody rozwiązywania obwodów, dotyczące teorii obwodów prądu
stałego (wielkości rzeczywiste stałe: U, I, E, Iz
r , R, G), zachowują ważność w analizie stanów
ustalonych obwodów prądu sinusoidalnego przy użyciu liczb zespolonych (wielkości zespolone:
U, I, E, Iz
r , Z, Y).
128
Wykład XV
I = I1 C
Przykład. Zostanie przeprowadzony rachunek
symboliczny, odpowiadający procedurom
I2 I3
U1
przedstawionym w poprzednim przykładzie,
UR3 R3
dotyczący tego samego dwójnika (rys. obok).
U U2 = U3 R2
Dane są, jak poprzednio:
XL = XC = R3 = 100 &!, R2 = 200 &!,
UL L
i3 (t) = 2 2 sin�t , [i3] = A, [�] = s-1, [t] = s .
Procedura obliczenia impedancji Z i kąta fazowego � dwójnika:
Z1 = - j100 &!; Z = 200 &!; Z = (100 + j100) &!;
2 3
Z �" Z
2 3
Z = Z1 + = 80 - j60 E" 100 �" e- j37o &!; Z = 100 &!; � E"37�.
Z + Z
2 3
Procedura obliczenia wartości skutecznych prądów i napięć gałęziowych:
j0o j45o
I = 2 = 2 �" e A; Z = 100 + j100 = 100 2 �" e &!;
3 3
j45o
U = Z �" I = 200 2 �" e = (200 + j200) V; U = U ; U = U3 E" 283 V;
3 3 3 2 3 2
j0o j0o
Z = 200 = 200 �" e &!; Y = 0,005 = 0,005 �" e S;
2 2
j45o
I = Y �"U = 2 �" e = (1+ j1) A; I2 E" 1,41 A;
2 2 2
j18,4o
I1 = I + I = 3 + j1 E" 10 �" e A; I1 E" 3,16 A;
2 3
Z1 = - j100 = 100 �" e- j90o &!;
U = Z1 �" I1 E" 100 10 �" e- j71,6o E" (100 - j300) V; U1 E" 316 V;
1
U = U + U = 300 - j100 E" 100 10 �" e- j18,4o V; U E" 316 V;
1 2
U
I = I1 ; Z = = 80 - j60 E" 100 �" e- j37o &!; Z = 100 &!; � E"37�.
I
Wniosek (wynikający z porównania procedur obliczeniowych przedstawionych w tym i w poprzed-
nim przykładzie): korzyści obliczeniowe stosowania rachunku symbolicznego są oczywiste.
Moc zespolona
S
Trójkąt mocy umieszczony na płaszczyz
nie zespolonej przed-
jQ
stawia trójkąt mocy zespolonej (rys. obok), którego bokami są:
�
moc czynna P, moc bierna Q pomnożona przez j, oraz moc ze-
spolona S : P
j�
S = S �" e = S �" (cos� + j sin�) = P + jQ ; (6.59)
P = Re S , Q = Im S , S = P2 + Q2 = U �" I . (6.60a, b, c)
Skoro � = � -� , to
u i
j�u j�u "
S = U �" I �" e �" e- j�i = (U �" e ) �" (I �" e- j�i ) = U �" I , (6.61)
stąd moc zespolona układu szeregowego R, X oraz układu równoległego G, B wynosi:
"
2 2 2 2 2 2
S = Z �" I = R �" I + jX �" I , S = Y �"U = G �"U - jB �"U . (6.62a, b)
Sporządzając bilans mocy obwodu, sumuje się oddzielnie moce czynne i bierne albo moce zespolo-
ne (nie wolno sumować modułów mocy zespolonych, tj. mocy pozornych!):
P = , Q = , S = . (6.63a, b, c)
"Pk "Qk "S k
k k k
129
6. Elementy obwodów prądu sinusoidalnego
Posługiwanie się rachunkiem symbolicznym w rozwiązywaniu obwodów
Przykład. Z użyciem rachunku symbolicznego, poprzez
R
A1
stosowanie różnych metod, zostaną wyznaczone wartości
prądów i napięć, określone wskazania przyrządów pomia-
U
rowych (amperomierzy i woltomierza) oraz sporządzony
C
bilans mocy w układzie pokazanym na rysunku. Przyrządy
A2
są idealne i mierzą wartości skuteczne.
Iz
r
V
Dane: R = X = X = 10 &!;
C L
L
u = 40 2 sin�t , iz
r = 2 2 cos�t ,
[u] = V, [iz
r] = A, [�] = s, [t] = s.
Danym przebiegom odpowiadają wartości symboliczne napięcia i prądu: U = 40 V; Iz
r = j2 A.
Impedancje zespolone elementów wynoszą: ZR = 10 &!; ZC =  j10 &!; ZL = j10 &!.
Ze schematu wynika, że wystarcza obliczenie I1 lub I2, bowiem: ZR
I1
I2 = I1 + Iz
r lub I1 = I2  Iz
r ;
UR
U
UV = UC + UL = ZC I2 +ZL Iz
r .
ZC
I2
Oblicza się najpierw  na różne sposoby  prąd I1 , a następnie
I2 , UR , UC , UL i UV , określa wskazania przyrządów i sporządza
UC
Iz
r
bilans mocy obwodu.
UV UL
1. Zasada superpozycji
ZL
ZR
I1
I1a ZR I1b ZR
U
U
I2 ZC ZC ZC
I2a I2b
a"
+
Iz
r
Iz
r
ZL ZL
ZL
U - I �" Z
z
r C
I1a = = (2 + j2) A; I1b = = (-1- j1) A;
Z + Z Z + Z
R C R C
I1 = I + I1b = (1+ j1) A.
1a
2. Zamiana z
ródła prądowego na napięciowe i obliczenie prądu w oczku (z równania oczkowego
dla jednego oczka)
ZR ZR
I1 I1
ZR
I1
U U
Io
I2 I2
ZC ZC
U
a" a"
ZC Iz
r ZC
Iz
r Iz
r
ZL
U - Z �" I
C z
r
I1 = I = = (1+ j1) A.
o
Z + Z
R C
130
Wykład XV
3. Zamiana z
ródła napięciowego na prądowe i obliczenie potencjału w węz
le (z równania węzło-
wego dla jednego węzła niezależnego)
ZR
I1
YR U
YR
U
I2
ZC
I1
V1
Vo=0
a"
I2
YC
V1
Iz
r Vo=0
ZL
Iz
r
1 1
Y = = 0,1 S; Y = = j0,1 S;
R C
Z Z
R C
I + Y �"U
z
r R
(Y + Y ) �"V = I + Y �"U ; V = = (30 - j10) V;
R C 1 z
r R 1
Y + Y
R C
I = Y �" (U -V ) = (1+ j1) A.
1 R 1
4. Twierdzenie Thevenina (gałąz
U, R jako zewnętrzna)
U0
ZR
I1
ZC
Iz
r
U
UC 0
U0
Iz
r
Zw
ZL
U + U
0
U = -U = -Z �" I = -20 V; Z = Z ; I1 = = (1+ j1) A.
0 C0 C z
r w C
Z + Z
R w
5. Wartości symboliczne I2 , UR , UC , UL i UV , oraz wskazania przyrządów
I2 = I1 + Iz
r = (1 + j3) A;
UR = ZR I1 = (10 + j10) V; UC = ZC I2 = (30  j10) V; UL = ZL Iz
r = ( 20) V;
UV = UC +UL = (10  j10) V;
I = I1 = 2 E" 1,41 A; I = I = 10 E" 3,16 A; UV = U = 10 2 E" 14,1 V.
A 1 A2 2 V
6. Bilans mocy obwodu
* *
S = U �" I1 +U �" I = 40 �" (1- j1) + (10 - j10) �" (- j2) = (20 - j60) VA;
gen V z
r
2
Podb = R �" I1 = 10 �" (12 +12 ) = 20 W;
2 2
Qodb = -X �" I2 + X �" I = -10 �" (12 + 32 ) +10 �" 22 = - 60 var;
C L z
r
S = Podb + j Qodb , S = S .
odb odb gen