Ekonometria

wykład w roku 2009/2010 

W. Borucki

Cz. 1/1

Plan wykładu cz. I    (7 godz.)



Modelowanie problemów decyzyjnych



Programowanie liniowe

–

Zadania programowania liniowego i ich własności

–

Metoda geometryczna

–

Metoda simplex

–

Dualność

–

Zadania transportowe

–

Analiza wrażliwości



Modele Leontiefa

–

Układ równań bilansowych

–

Interpretacja 

Plan wykładu cz. II  (7 godz.)



Modelowanie zjawisk (zależności) gospodarczych 

–

Zmienne objaśniane i objaśniające

–

Hipotezy o zależnościach wzajemnych



Metoda najmniejszych kwadratów 



Modele ekonometryczne z jedną i wieloma 
zmiennymi objaśniającymi, liniowe i nieliniowe, 



Wykorzystanie modeli ekonometrycznych:

–

Prognozowanie

–

Symulacja (?)

Bibliografia



Red. E. Ignasiak,  Badania operacyjne, PWE, Warszawa, 

2001



Z. Czerwiński, Matematyka na usługach ekonomii, PWN, 

Warszawa, 1972



H. Wagner, Badania operacyjne, PWE, Warszawa, 1980



B. Guzik, W. Sikora, Elementy Badań operacyjnych, 

PMD, AE w Poznaniu, Poznań 1994



A. Kaufman, Badania operacyjne na co dzień, PWN, 

Warszawa, 1968



Red. B. Guzik, Ekonometria i Badania operacyjne, 

zagadnienia podstawowe, AE, Poznań, 2002

Plan wykładu cz. III  (1 godz.)  

Zestaw pytań, na które student i/lub studentka powinni znać 

odpowiedź – krótkie omówienie (przypomnienie podstawowych 

wiadomości)

1.

Przedstawić podstawowe elementy problemu decyzyjnego.

2.

Jakie warunki powinny spełniać kryteria wyboru decyzji?

3.

Podać przykłady warunków przy podejmowaniu decyzji ekonomicznych i co to są decyzje 

dopuszczalne?

4.

Przedstawić problem wyboru planu produkcyjnego.

5.

Przedstawić problem rozkroju.

6.

Przedstawić problem diety.

7.

Przedstawić własności zbiorów rozwiązań dopuszczalnych  liniowych zadań decyzyjnych (LZD) .

8.

Kiedy LZD ma wiele rozwiązań optymalnych, a kiedy nie ma ich wcale?

9.

Jakie są podstawowe elementy i czynności metody geometrycznej?

10.

Z jakich podstawowych etapów składa się metoda simplex i o co w nich chodzi?

11.

Co trzeba zrobić by zmienić rozwiązanie bazowe LZD?

12.

Jakie czynności w metodzie simplex gwarantują dopuszczalność rozwiązań LZD.

13.

Przedstawić dwa główne problemy analizy wrażliwości rozwiązania LZD i odpowiadające im 

pytania.

14.

Zdefiniować zadania dualne do liniowych zadań decyzyjnych.

15.

Jak można interpretować zmienne dualne?

16.

Omówić zamknięte zadanie transportowe (ZZT).

17.

Przedstawić przykłady otwartych zadań transportowych.

18.

Omówić model Leontief’a dla gospodarki dwusektorowej.

19.

Jak należy interpretować współczynniki odwróconej macierzy Leontief’a ?

20.

Jak można wyznaczyć produkt globalny dla gospodarki n-sektorowej?

Plan wykładu cz. III  (1 godz.)      

c.d.

Zestaw pytań, na które student i/lub studentka powinni znać 

odpowiedź – krótkie omówienie (przypomnienie podstawowych 

wiadomości)

1.

Co to jest ekonometria w wąskim znaczeniu?

2.

Wyjaśnić pojęcia zmienna objaśniana i zmienne objaśniające

3.

Objaśnić istotę metody najmniejszych kwadratów (MNK)

4.

Opisać proces szacowania parametrów liniowego modelu ekonometrycznego z jedną zmienną 

objaśniającą

5.

Jakie znamy wskaźniki oceny jakości oszacowania parametrów liniowych modeli ekonometrycznych?

6.

Jak szacujemy parametry modelu ekonometrycznego wykładniczego z jedną zmienną objaśniającą?

7.

Jak szacujemy parametry modelu ekonometrycznego potęgowego z jedną zmienną objaśniającą?

8.

Jakie własności posiada funkcja Tornquista I rodzaju i do opisu jakich zagadnień jej się używa? Jak 

szacujemy jej parametry?

9.

Jakie własności posiada funkcja Tornquista II rodzaju i do opisu jakich zagadnień jej się używa? Jak 

szacujemy jej parametry?

10.

Jakie własności posiada funkcja Tornquista III rodzaju i do opisu jakich zagadnień jej się używa? Jak 

szacujemy jej parametry?

11.

Jaka funkcja posiada stałą elastyczność, a jaka stałą stopę wzrostu? Odpowiedź uzasadnić.

12.

Podać funkcję używane najczęściej w analizie kosztów. Jaka jest interpretacja ekonomiczna ich 

współczynników?

13.

Jak można oszacować parametry funkcji wielomianowych?

14.

Jak można uogólnić MNK dla modeli liniowych z jedną zmienną objaśniającą na model z wieloma 

zmiennymi objaśniającymi?

15.

Co to są standardowe błędy szacunku parametrów modeli ekonometrycznych

16.

Omówić zasady szacowania parametrów funkcji Cobba Douglasa, jej zastosowanie i własności.

17.

Co to jest prognoza a co predykcja? Co możemy powiedzieć o zaufaniu do prognoz?

18.

Co to jest współliniowość zmiennych i jakie są tego konsekwencje dla budowy modelu 

ekonometrycznego?

19.

Do czego służy symulacja i co trzeba uczynić by efekty były wiarygodne?

20.

Jaka jest procedura budowy modelu ekonometrycznego

Modelowanie problemów 

decyzyjnych



Zasady Kartezjusza



Sprawdzić każde założenie unikając „oczywistości”



Podzielić problem na części tak by każdą z nich z osobna można było „ogarnąć rozumem”



Uporządkować problem od najprostszych do najbardziej skomplikowanych i sukcesywnie je 

rozwiązywać



Zintegrować problemy cząstkowe w całość nie pozostawiając niczego „w zapomnienie”



Podejście systemowe 

–

System

–

Całość złożona z ograniczonej liczby elementów powiązanych ze sobą 

relacjami i przyjmujących rozmaite stany, dokonująca z różną 

intensywnością transformacji strumieni zasilania (wejście w wyjście) 

podporządkowanych przyjętym celom 

–

Analiza



Rozważyć system w całości by nie zaniedbać interakcji pomiędzy jego elementami



Zintegrować jego przebieg w czasie,



Nie zapomnieć o jego związkach z otoczeniem



Wziąć pod uwagę cel dla którego został  zbudowany i ograniczyć się do elementów 

najważniejszych



Zasady racjonalnego gospodarowania

–

Maksymalizacja efektu przy wykorzystaniu założonych zasobów 

–

Minimalizacja nakładów przy osiągnięciu założonego efektu

Modelowanie problemów 

decyzyjnych 



Decyzja – akt wyboru, oceny, sąd, …

–

Jakie mogą być decyzje? Cechy decyzji ekonomicznych.

–

Proces decyzyjny – ciąg działań prowadzących do wyboru decyzji.

–

Zachowania racjonalne – maksymalizacja użyteczności czy racjonalność 

ograniczona?

–

Co to jest decyzja dobra?,



Proces podejmowania decyzji

–

Formułowanie problemu

–

Budowa modelu matematycznego lub logicznego



Przedmiot decyzji – zmienne decyzyjne



Uwarunkowania – warunki ograniczające



Kryteria oceny – funkcje celu

–

Pozyskanie i przetworzenie informacji dla ustalenia parametrów modelu

–

Wykonanie niezbędnych obliczeń w celu wskazania decyzji najlepszej - 

optymalnej (algorytm rozwiązywania zadania)

–

Analiza jakości (wrażliwości) uzyskanej decyzji – analiza post-

optymalizacyjna

–

Sprawdzenie adekwatności rozwiązania

–

Wdrożenie decyzji

Formułowanie zadań

1.

Sformułować problem (literacko, ale jednoznacznie)

2.

Co musi w nim być? 



Przedmiot decyzji



Warunki ograniczające



Kryterium oceny jakości decyzji

3.

Jak przetłumaczyć problem decyzyjny na język matematyki? 

– Odp. Formułując zadanie optymalizacyjne (przekształcenie 

wzajemnie jednoznaczne) wykorzystując



Zmienne decyzyjne (przedmiot decyzji)



Równania i nierówności (warunki ograniczające)  → rozwiązania 

dopuszczalne



Wskaźnik(i) jakości  (kryterium, funkcja celu)→ rozwiązanie 

optymalne

4.

Bywają sformułowania równoważne  (te same zbiory 

rozwiązań dopuszczalnych i to samo rozwiązanie optymalne)

Zadanie 1

Zakład przerobu ropy naftowej uzyskuje 30 tys. ton półproduktu 

A i 30 tys. Ton półproduktu B. W wyniku mieszania tych 

półproduktów w odpowiednich proporcjach otrzymuje trzy 

rodzaje benzyn:

I  - przy proporcjach półproduktu A do półproduktu B jak 

1:2, 

II - przy proporcjach półproduktu A do półproduktu B jak 

1:1, 

III - przy proporcjach półproduktu A do półproduktu B jak 

2:1, 

Hurtowa cena sprzedaży benzyny I wynosi 6.000 zł, II – 7000,- zł 

a III – 9000,- zł.

Jaki rodzaj benzyny i w jakich ilościach powinien zakład 

produkować ażeby zmaksymalizować przychód

Zadanie 2

Hodowca  posiadający  stajnię  na  10  koni  kupuje  młode 

zwierzęta  w  wieku  2  lat  płacąc  po  2000  zł  za  sztukę. 

Może je sprzedać po dwóch latach hodowania i układania 

średnio  po  około  25  tys.  złotych,  a  po  roku  za  około  10 

tys.  zł.  Średnio  koń  w  pierwszym  roku  zjada  rocznie  1 

tonę siana i 2 tony owsa, a w roku II 2 tony siana i 1 tonę 

owsa.  Produkty  te  można      kupić  na  rynku  odpowiednio 

po:  2000  zł  za  1  tonę  owsa,  1000  zł  za  1  tonę  siana. 

Godzina  pracy  instruktora  układającego  konie  kosztuje 

30 zł, a każdemu koniowi w wieku 2 lat trzeba poświęcić 

dziennie  30  minut,  a  w  wieku  3  lat  45  minut.  Instruktor 

nie  może  dziennie  pracować  więcej  aniżeli  9  godzin.  Ile 

koni  i  w  jakim  wieku  powinien  rolnik  hodować,  ażeby 

zmaksymalizować swój zysk w okresie dwuletnim?

Zapisać w postaci zadania decyzyjnego.
Jakie masz problemy i wątpliwości?

Zadanie 3

Zakład może wyprodukować dziennie 9 sztuk wyrobu A 

albo 12 sztuk wyrobu B. Wyroby te produkowane są z 

jednego podstawowego surowca, którego zużycie 

dzienne jest ograniczone i wynosi 14 jednostek. Zużycie 

tego surowca do produkcji wyrobu A wynosi 1 

jednostkę, a do wyrobu B dwie jednostki. 

Jaki powinien być optymalny dzienny plan produkcji jeżeli 

zysk jednostkowy z produkcji wyrobu A wynosi 1, a z 

jednostki wyrobu B wynosi 4? 

Czy mieć będzie dla tego planu znaczenie, że ilość 

wyrobów A nie może przekraczać 4/5 ilości wyrobów B? 

Zapisać problem w postaci zadania PL.

Zadanie 4

Zadanie 5



Tartak  produkuje  elementy  tzw.  programu 
ogrodowego. Jednym z produktów jest huśtawka 
ogrodowa,  która  składa  się  z  czterech  belek  o 
długości  3  m  i  jednej  belki  o  długości  2  m. 
Elementy te powstają z cięcia belek o długości 7 
m, którymi tartak dysponuje w ilości 100 sztuk i 
6 m, których tartak posiada 200 sztuk. 



W  jaki  sposób  należy  pociąć  posiadane  przez 
tartak  belki,  ażeby  uzyskać  maksymalną  liczbę 
kompletów belek na huśtawki. 

Zadania 6

Przedsiębiorstwo produkuje dwa wyroby: A i B. Do produkcji używa się m.in. trzech   

środków produkcji, których dostawy wymagają zawarcia umów długoterminowych, 

stąd uważa się je za limitowane. Są to: komponenty K1, K2, i K3, których zawarte w 

kontraktach roczne dostawy wynoszą odpowiednio: 2200, 1500 i 2000 jednostek. 

Do produkcji wyrobu A zużywa się 4 jednostki komponentu K1, jedną jednostkę 

komponentu K2, i  2 jednostki komponentu K3. Natomiast do produkcji wyrobu B 

zużywa się 2 jednostki komponentu K1  i  4 jednostki komponentu K3.

Z analizy sprzedaży wynika, że zobowiązania przedsiębiorstwa dotyczące sprzedaży 

wyrobu A, wynoszą co najmniej 800 jednostek. Natomiast w przypadku wyrobu B 

oczekuje się sprzedaży na poziomie nie wyższym aniżeli 400 jednostek.

Ceny wyrobów wynoszą odpowiednio 30 000 zł i 40 000 zł. 



Wyznaczyć plan produkcji maksymalizujący przychód.



Wyznaczyć plan produkcji maksymalizujący zysk gdy jednostkowe koszty produkcji 

wynoszą odpowiednio 15000 zł i 25000 zł.



Jak mógłby się ten plan/ te plany zmienić gdyby możliwe było zniesienie limitu na 

zakup komponentu K1?



Ze względu na szybko rosnący popyt na wyrób A i jego niedobory na rynku (produkt 

ma znaczenie strategiczne) możliwy jest wzrost jego ceny hurtowej o około 40%. 

Jakie to niesie konsekwencje?

Zadanie 7

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

3

4

min

3

24

2

2

18

4

24

,

0

x

x

przy

x

x

x

x

x

x

x x

+

�

+

�

+

�

+

�

�

Zadanie 8



Stosując metodę 
geometryczną 
rozwiąż zadanie

0

,

16

18

40

2

120

6

3

max

4

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1



















x

x

x

x

x

x

x

x

warunkach

przy

x

x

Zadanie 9

Zakład może wyprodukować dziennie 12 sztuk 

wyrobu A albo 18 sztuk wyrobu B. Wyroby te 

produkowane są z jednego podstawowego 

surowca, którego zużycie dzienne jest 

ograniczone i wynosi 36 jednostki. Zużycie tego 

surowca do produkcji wyrobu A wynosi 2 

jednostki, a do produkcji wyrobu B 3 jednostki. 

Jaki powinien być optymalny dzienny plan 

produkcji jeżeli zysk jednostkowy z produkcji 

wyrobu A wynosi 4, a z jednostki wyrobu B 

wynosi 5? 

Metoda geometryczna 

Przykład liczbowy



Rozwiązanie przykładu

–

Dane niech będzie liniowe zadanie decyzyjne 

       

0

,

6

8

12

max

4

2

2

1

2

1

2

1

2

1















x

x

x

x

x

x

x

x

Interpretacja geometryczna

Metoda geometryczna

 – algorytm

( ZPL z dwiema zmiennymi decyzyjnymi)

–

Wykreśl układ współrzędnych dla przestrzeni dwuwymiarowej (R2)

–

Dla osi układu współrzędnych przyjmij odpowiednią skalę, tak by rysunek 

mógł być czytelny (w tym celu ustal wartości maksymalne jakie mogą 

przyjmować poszczególne zmienne decyzyjne i zaznacz te wartości na 

odpowiednich osiach)

–

Kolejno, dla każdego warunku ograniczającego zaznacz tę część 

przestrzeni R2, która spełnia nierówność lub równość (półpłaszczyzna lub 

prosta)

–

Część wspólna (iloczyn zbiorów) wszystkich półpłaszczyzn i/lub prostych 

wskaże zbiór rozwiązań dopuszczalnych

–

Narysuj dowolną izokwantę dla tej funkcji celu. Wykreśl wektor (gradient) 

prostopadły do tej izokwanty

–

Przesuń izokwantę w kierunku wskazanym przez gradient,   w taki sposób 

ażeby miała co najmniej jeden punkt wspólny ze zbiorem rozwiązań 

dopuszczalnych  (aby jej położenie wskazywało na wierzchołek lub krawędź 

zbioru rozwiązań dopuszczalnych),  

–

Współrzędne wierzchołka wskażą wartości zmiennych decyzyjnych 

rozwiązania optymalnego

Programowanie liniowe

Zadania Programowania liniowego

–

Zmienne decyzyjne – wymierne, warunki i kryterium – funkcjami 

liniowymi

–

Własności zbioru decyzji dopuszczalnych (zb. wielościenny wypukły)

–

 Metody poszukiwania rozwiązania optymalnego (heurystyczna – 

przegląd wierzchołków, geometryczna – z wykorzystaniem izokwanty)

Macierzowa postać zadania

–

Zmienne decyzyjne – wektor o n składowych

–

Funkcja celu – iloczyn skalarny

–

Warunki ograniczające – układ nierówności (równań)

Przekształcenia równoważne

-

Wprowadzenie zmiennych swobodnych w warunkach z nierównością

-

Zamiana znaku współczynników funkcji celu przy zmianie „kierunku” 

optymalizacji

-

Równanie zastąpione dwiema nierównościami

Programowanie liniowe 2



Zadanie programowania liniowego (ZPL) jest matematycznym odwzorowaniem 

problemu decyzyjnego, w którym wszystkie warunki ograniczające i funkcja celu 

wyrażone są w postaci funkcji liniowych, a zmienne decyzyjne przyjmują wartości 

rzeczywiste (nieujemne)



Decyzje wyrażone są w postaci wektorów (nieujemnych, n- wymiarowych, gdzie n jest 

liczbą zmiennych decyzyjnych), których składowe odpowiadają zmiennym decyzyjnym



Decyzję nazywamy dopuszczalną jeżeli spełnia wszystkie warunki ograniczające 

(łącznie z nieujemnością). Zbiór wszystkich decyzji dopuszczalnych (zbiór rozwiązań 

dopuszczalnych) zadania programowania liniowego jest zbiorem  wielościennym 

wypukłym.



Decyzją optymalną jest ta decyzja dopuszczalna, dla której wartość funkcji celu 

przyjmuje wartość największą (lub odpowiednio najmniejszą)



Są trzy możliwości:

–

Nie istnieje żadne rozwiązanie dopuszczalne (zadanie jest sprzeczne)

–

Nie istnieje skończone rozwiązanie optymalne (zadanie nie jest dobrze postawione)

–

Istnieje skończone rozwiązanie optymalne (jedno lub wiele)



Jeśli istnieje skończone rozwiązanie optymalne ZPL, to znajduje się ono w jednym z 

wierzchołków zbioru rozwiązań dopuszczalnych (wielościennego i wypukłego) . 



Dla jego wyznaczenia można przejrzeć zbiór rozwiązań odpowiadający wszystkim 

wierzchołkom zbioru rozwiązań dopuszczalnych (przegląd zupełny) lub dokonać 

przeglądu ukierunkowanego (wykorzystującego właściwości ZPL) . Przykładem może 

być metoda simpleks lub dla zadań z dwiema zmiennymi decyzyjnymi – metoda 

geometryczna.

Metoda simplex –metoda 

ukierunkowanego przeglądu 

dopuszczalnych rozwiązań 

bazowych

Schemat:

Generujemy dopuszczalne (nieujemne) rozwiązanie bazowe 

(początkowe)

Sprawdzamy optymalność otrzymanego rozwiązania
Jeżeli nie jest optymalne, to generujemy nowe 

dopuszczalne rozwiązanie bazowe nie gorsze od 

otrzymanego poprzednio i idziemy do punktu 

sprawdzenia optymalności ptrzymanego rozwiązania

Jeżeli tak, to koniec obliczeń,  albowiem nie ma już 

rozwiązania lepszego !!! Ostatnio otrzymane rozwiązanie 

jest optymalne.

Metoda simplex – podstawowe 

problemy

Jak wygenerować rozwiązanie 

początkowe?

Jak sprawdzić optymalność rozwiązania?

Jak wygenerować nowe (nie gorsze) 

rozwiązanie bazowe?