MECHANIKA I
WYTRZYMAŁOŚĆ
MATERIAŁÓW
Wykład 4
Dynamiczne równania
ruchu
MECHANIKA I
WYTRZYMAŁOŚĆ
MATERIAŁÓW
Wykład 4
Dynamiczne równania
ruchu
Dynamiczne równania ruchu
Druga zasada dynamiki
zapisana w postaci:
jest dynamicznym wektorowym
równaniem ruchu.
F
Wektory F i a mają
składowe:
a
Dynamiczne równania ruchu
przybierają
postać:
W kartezjańskim
układzie
współrzędnych
Dynamiczne równania ruchu
1.
Zadanie pierwsze - zadane są
równania toru
Należy wyznaczyć siłę , pod której
wpływem porusza się punkt materialny.
Tok postępowania:
Różniczkujemy dwukrotnie względem czasu równania
toru uzyskując składowe przyspieszenia. Po podstawieniu
do dynamicznych równań ruchu wyznaczamy składowe
wektora siły działającej na punkt.
F
Zadania dynamiki
2. Drugie zadanie dynamiki - należy
wyznaczyć przyspieszenie, prędkość i
tor poruszającego się punktu, przy
danej masie i sile.
a) Siła jest wektorem stałym, np. siła ciężkości,
tarcie,
b) Siła jest funkcją czasu, np. siła odśrodkowa
wahadła,
c) Siła zależy od położenia, np. siła sprężystości,
siła ciężkości,
d) Siła zależy od prędkości punktu, np. opór
powietrza.
Zadania dynamiki
W najogólniejszym przypadku równania
ruchu w współrzędnych kartezjańskich
mają postać:
Dynamiczne równania ruchu
Całka ogólna tych równań (o ile istnieje) ma postać
trzech równań zawierających sześć stałych całkowania.
Różniczkując te równania i uwzględniając zadane
warunki początkowe (położenie początkowe punktu i
prędkość początkową) wyznacza się równania toru.
Parametryczne równania toru mają
postać:
Całka ogólna równań
ruchu
Dla t =
0
Przykład 1
Masa m = 4 kg porusza się po torze określonym
równaniami
6
2t
4t
2
3
x
4
t
3
y
2
Po dwukrotnym zróżniczkowaniu względem uzyskujemy
składowe przyspieszenia
Po podstawieniu do równań ruchu otrzymamy
składowe wektora siły
Wektor
siły
F
Wyznaczyć siłę
działającą na tę
masę
Ruch pod wpływem siły
Dynamiczne równanie dynamiczne ma postać
0
F
czyli
Po scałkowaniu i przyjęciu, że w chwili t = 0
, otrzymamy
o
o
v
r
Całkując drugi raz i uwzględniając, że dla t = 0
, otrzymamy
o
r
r
Jest to znane równanie ruchu jednostajnego i
prostoliniowego.
Przykład 2
Po dwukrotnym scałkowaniu i przyjęciu warunków
początkowych,
że dla t = 0 i
otrzymamy
Ruch pod wpływem siły stałej
const
F
o
o
v
r
o
r
r
Przykład 3
Równanie ruchu ma
postać
Ruch pod wpływem siły, która jest funkcją
położenia.
Jako przykład rozpatrzmy ruch punktu materialnego o
masie m wystrzelonego z planety o masie M z prędkością
v
o
. Równanie ruchu
ale
x
Przykład 4
lu
b
Po scałkowaniu otrzymujemy
równanie
Obliczymy, na jaką wysokość H wzniesie się punkt
materialny wyrzucony z planety o promieniu R, jeżeli
nadano mu prędkość początkową v
o
. Podstawimy więc v
= 0, x = H, x
o
= R otrzymamy
lub po
przekształceniu
Teraz wyznaczymy z jaką prędkością należy
wyrzucić punkt materialny z planety, aby na nią nie
wrócił, czyli aby stał się satelitą planety.
Prędkość tę v
∞
otrzymamy po podstawieniu do
wzoru v
o
= v
∞
oraz H = ∞.
Przykład 4 cd.
Na powierzchni Ziemi siła grawitacji ma
wartość
Po podstawieniu otrzymamy wzór na prędkość
ucieczki dla Ziemi
v
Przyjmując R = 6340 km oraz g = 9,81 m/s
2
otrzymamy:
v
∞
≈
Jest to prędkość, jaką należy nadać ciału, aby stało się
satelitą Ziemi.
Przykład 4 cd.
Ruch względny
– układ ruchomy wykonuje ruch
postępowy
Względem
układu stałego
ruch punktu jest określony
równaniami
W
układzie ruchomym
ruch określony jest więc
równaniem
oraz
u
u
ma
D
w którym nazywamy siłą
bezwładności unoszenia.
Ruch względny
– układ ruchomy wykonuje ruch
postępowy
Równanie
ruchu
przybiera
postać:
Względem
ruchomego
układu
odniesienia,
wykonującego ruch postępowy, punkt materialny
porusza się tak, jakby działała na niego, oprócz sił
czynnych, jeszcze siła bezwładności unoszenia.
Zasada względności mechaniki klasycznej:
Za pomocą żadnych zjawisk mechanicznych nie
możemy
wykazać
istnienia
prostoliniowego,
jednostajnego
ruchu
postępowego
układu
odniesienia.
Ruch względny
– układ ruchomy wykonuje ruch
obrotowy
W układzie ruchomym równanie ruchu ma postać :
– siła bezwładności unoszenia,
– siła bezwładności unoszenia Coriolisa.
u
u
ma
D
c
c
ma
D
Względem
ruchomego
układu
odniesienia,
wykonującego ruch obrotowy, punkt materialny
porusza się tak jakby działała na niego, oprócz sił
danych, jeszcze siła bezwładności unoszenia i siła
bezwładności Coriolisa.
Po podstawieniu
Ruch względny
– układ ruchomy wykonuje ruch
obrotowy
W ruchu obrotowym przyspieszenie całkowite jest sumą
geometryczną przyspieszenia stycznego i normalnego
(dośrodkowego), czyli
w związku z tym
t
D
– styczna siła bezwładności,
n
D
– normalna siła bezwładności
c
D
- siła Coriolisa
Ruch względny
– układ ruchomy wykonuje ruch
obrotowy
Wartości tych sił określone są wzorami:
t
D
n
D
c
D
– przyśpieszenie kątowe ruchu
obrotowego
– prędkość kątowa ruchu obrotowego
Ruch względem Ziemi
W wielu zagadnieniach praktycznych za
układ odniesienia przyjmujemy Ziemię.
Ściśle biorąc jest to układ nieinercjalny.
Jednak
z
wystarczająco
dobrym
przybliżeniem Ziemię możemy uważać za
układ inercjalny, o ile tylko będziemy
rozpatrywać ruch w przedziałach czasu
krótkich w porównaniu z okresem ruchu
postępowego
i
obrotowego
Ziemi.
Szczególnie niewielką rolę odgrywa, przy
występujących w praktyce prędkościach,
siła Coriolisa.
Układ nazywamy inercjalnym gdy
przyśpieszenie jest tylko skutkiem siły
działającej na ciało.
RUCH WZGLĘDNY PUNKTU MATERIALNEGO
– układ ruchomy wykonuje ruch postępowy
Rys. 8
x
Ostatecznie:
Dla punkt materialny będzie poruszał
się w dół. W przeciwnym przypadku punkt będzie
poruszał się do góry.
Gdy , punkt pozostanie w spoczynku
lub w ruchu jednostajnym prostoliniowym (względem
ruchomej płaszczyzny).
tg
g
a
u
tg
g
a
u
x
RUCH WZGLĘDNY PUNKTU MATERIALNEGO
– układ ruchomy wykonuje ruch obrotowy
Rys. 9
Ruch punktu wzdłuż prostej l opisuje
równanie
s
Rozwiązaniem ogólnym będzie
wyrażenie
Przykład 1
