MECHANIKA 2

Wykład Nr 4

KINEMATYKA

Ruch złożony i ruch

względny

Ruch złożony punktu M

względem układu OXYZ jest

to ruch, w skład którego

wchodzą



ruch układu ruchomego

O’xyz względem

nieruchomego układu OXYZ;



ruch punktu M względem

układu O’xyz.

Ruch punktu M
względem
nieruchomego
układu OXYZ
nazywamy ruchem
bezwzględnym.

Ruch punktu M
względem
ruchomego układu
O’xyz nazywamy
ruchem
względnym.

Ruch układu
ruchomego O’xyz
względem układu
OXYZ nazywamy
ruchem unoszenia.

Równania ruchu złożonego

•Wektor położenia punktu M w ruchu bezwzględnym:

•Wektor położenia punktu M w ruchu względnym:

•Wektor położenia układu O’xyz w ruchu
unoszenia:

Mamy

gdzie:

(1)

przy czym:

Prędkość w ruchu złożonym

Po zróżniczkowaniu
równania (1):

gdzie
:

oraz

Prędkość w ruchu złożonym

Oznaczenia:

Prędkość
względna:

Prędkość unoszenia w ruchu
postępowym układu O’xyz:

Pochodne wersorów:

ω



– prędkość kątowa
układu ruchomego
O’xyz

W konsekwencji:

Ostatecznie:

Wprowadźmy oznaczenie:

– całkowita prędkość unoszenia
układu O’xyz

Prędkość w ruchu złożonym

Prędkość w ruchu złożonym

Prędkość bezwzględna punktu M w
ruchu złożonym jest wypadkową
prędkości unoszenia i prędkości
względnej.

Przyspieszenie w ruchu złożonym

Po zróżniczkowaniu
równania :

gdzi
e:

oraz

– przyspieszenie unoszenia w
ruchu postępowym układu
ruchomego O’xyz

– składowa styczna
przyspieszenia unoszenia
w ruchu obrotowym
układu O’xyz

(2)

Przyspieszenie w ruchu złożonym

gdzie:

– składowa normalna
przyspieszenia unoszenia
w ruchu obrotowym układu
O’xyz:

w

a



A
zatem:

– przyspieszenie
względne punktu
M

w

v







Przyspieszenie w ruchu złożonym

c

a



Podstawiając do (2)
otrzymujemy:

– przyspieszenie
unoszenia

– przyspieszenie
Coriolisa

Przyspieszenie w ruchu złożonym

Przyspieszenie bezwzględne punktu M
w ruchu złożonym jest równe sumie
wektorowej przyspieszenia unoszenia,
przyspieszenia względnego oraz
przyspieszenia Coriolisa.

Przyspieszenie w ruchu złożonym

Przyspieszenie Coriolisa nie

występuje gdy:

1)ruch unoszenia jest ruchem

postępowym (ω=0);

2)wektor prędkości obrotowej

jest równoległy do wektora
prędkości względnej (ω || v

w

);

3)szybkość względna jest równa

zeru (v

w

=0).

Przykład 1.

Punkt M porusza się

względem punktu A

ze stałą prędkością v,

wzdłuż

pręta

o

długości

l.

Pręt

obraca

się

wokół

punktu O ze stałą

prędkością kątową .

Wyznaczyć prędkość

bezwzględną,

przyśpieszenie

bezwzględne,

szybkość

bezwzględną

i

przyspieszenie

Coriolisa punktu M.

ROZWIĄZANIE

• Układ OXY – układ
nieruchomy.

• Układ Axy – układ ruchomy

X

Y

i



j



j

e



i

e



x

y

w

r

u

r

0

A

M

M

r

φ







M

w

u

r

r

r









M

v

ROZWIĄZANIE



M

v



ω





M

a



w

v

ROZWIĄZANIE



c

a

Przykład 2.

Wagon miał 3 m szerokości. W czasie t =
2 s od jednej krawędzi do drugiej,
prostopadle do osi toru, przebiegła
myszka, poruszając się ruchem
jednostajnym. W tym czasie wagon
przesunął się ruchem jednostajnym
prostoliniowym na odległość 4 m. Znaleźć
wektor przemieszczenia i prędkości
myszki względem torów.

0



u

v





w

u

, r

r





w

r

u

r

0

M

r

ROZWIĄZANIE



w

v







M

M

M

v

v



r



M

s

W chwili t = 2 s:

Przyspieszenie Coriolisa na

powierzchni Ziemi

Wiele zjawisk
zachodzących na
powierzchni
Ziemi jest
związanych z jej
obrotem wokół
własnej osi, a co
za tym idzie, z
występowaniem
przyspieszenia
Coriolisa.

Przyspieszenie Coriolisa na

powierzchni Ziemi

Przykłady:

• Na półkuli północnej kierunek ruchu
prądów morskich i wiatrów jest
odchylony w prawo (przeciwnie niż na
półkuli południowej).

• Przy prawym brzegu Wisły i Odry
poziom wody jest wyższy.

• Gdy pociąg porusza się z południa na
północ po południku, to bardziej
zużywają się prawe szyny niż lewe.