Zazębienie

 

 

 Jak już wzmiankowano, kształt zarysu zęba 
może być dowolny.

Jednakże nie wszystkie zarysy spełniają 
podstawową zasadę zazębienia (zasadę 
Willis’a), 
‘prosta normalna do boku zęba w punkcie styku 
zębów kół współpracujących musi przechodzić 
przez punkt styku kół tocznych’.

 

Aby dwa zarysy współpracujących ze sobą 
zębów miały wspólną normalną w punkcie ich 
styku to muszą być one utworzone przez to 
samo koło odtaczające. 

Warunek te spełniają zarysy utworzone przez 
krzywe cykliczne, tj. różnego rodzaju 

cykloidy

 

oraz 

ewolwenta

 koła.

 

 

Z  zasady  zazębienia  wynika,  że  współpracujące  części 
zębów,  a  więc  zarys  stopy  zęba  koła  1  i  zarys  głowy 
zęba  koła  współpracującego  2,  muszą  posiadać 
wspólną  normalną  do  ich  zarysów  przechodzącą  przez 
centralny biegun zazębienia 

C

.

Oznacza to, że obie odpowiadające sobie części boków 
zęba  muszą  być  utworzone  przez  to  samo  koło 
odtaczające.  Tylko  w  takim  przypadku  obie  normalne 
będą się pokrywać.

  W  zazębieniu  cykloidalnym  epicykloida  i  hipocykloida 
są  utworzone  przez  to  samo  koło  odtaczające.  Tworzą 
one zarysy odpowiednio stopy zęba koła 1 i zarys głowy 
zęba koła współpracującego 2.

 

Zazębienie cykloidalne

 

 

 

 

O

1

O

2



1



2

KP

1

=KZ

1

=KT

1

KP

2

=KZ

2

=KT

2

E

1

E

2

C

W

1

W

2

D

2

D

2

Koło 1

Koło 2

 

 

Koło odtaczające o promieniu 



1

 toczy się kolejno 

po dwóch kołach zasadniczych, tj.:

 po wewnętrznym torze koła zasadniczego KZ1 

tworzy  hipocykloidę  CD1  stanowiącą  część 
zarysu stopy koła 1,

 po zewnętrznym torze koła zasadniczego  KZ2 

tworzy  epicykloidę  CW2,  tj.  zarys  głowy  zęba 
koła drugiego.

W  podobny  sposób  tworzy  się  pozostałe  części 
zarysów  zębów,  a  więc  głowę  zęba  w  kole  1 
(epicykloida)  CW1  oraz  stopę  zęba  w  kole  2 
(hipocykloidę)  CD2  poprzez  przetoczenie  innego 
koła  odtaczającego  o  promieniu 



1

  kolejno  po 

wewnętrznym torze KZ2 i zewnętrznym KZ1.

 

 

   W zazębieniu cykloidalnym koła toczne 

KT

  są  równocześnie  kołami  podziałowymi 

KP

,  a  także  kołami  zasadniczymi 

KZ

,  tzn. 

kołami  stanowiącymi  tor,  po  którym 
obtaczają  się  koła  odtaczające  tworzące 
zarysy zębów. 

Linia  przyporu  składa  się  z  dwóch  łuków 
kół odtaczających. 

Większy promień kół odtaczających 



 daje 

lepszą 

współpracę 

zębów 

„większy 

promień  krzywizny”,  ale  ząb  staje  się 
cięższy przez to mniej wytrzymały. 

 

 

Do 

najistotniejszych 

zalet 

zazębienia 

cykloidalnego  należy  zaliczyć  to,  że  wklęsła 
powierzchnia  koła  1  współpracuje  z  wypukłą 
powierzchnią zęba koła 2 i na odwrót, przez co:

 występuje duże pole dolegania,
 zmniejszają się naciski powierzchniowe,
 zmniejsza się zużycie zębów,
 występują niższe poślizgi jednostkowe,
 zwiększa się sprawność zazębienia. 

 

 

Najistotniejsze wady to:

 wrażliwość na przesunięcie osi, spowodowane 

koniecznością współpracy ściśle określonych 
wypukłych powierzchni zęba ze ściśle określonymi 
wklęsłymi powierzchniami zęba,

 mniejsza się dokładność wykonania ze względu na 

niemożność zastosowania metody obwiedniowej,

 obróbka zębów musi być przeprowadzona za 

pomocą metody kształtowej, która nie daje dużej 
dokładności wykonania,

 utrudniony pomiar zarysu zęba i jego grubości,
 linia przyporu jest krzywoliniowa, co powoduje 

zmianę wielkości sił zazębienia, a więc powstawanie 
drgań.

 

 

      Wymienione  wady  powodują,  że 
zazębienie  cykloidalne  nie  może  być 
stosowane  do  przenoszenia  dużych 
obciążeń 

z 

dużymi 

prędkościami 

obrotowymi.  Znalazło  ono  natomiast 
zastosowanie w mechanice precy-zyjnej. 

 

 

ZAZĘBIENIE EWOLWENTOWE

W  zazębieniu  ewolwentowym  zarysy  boków 
współpracujących  zębów  są  utworzone  przez 
odtaczanie linii prostej po kole zasadniczym.

Oznacza 

to, 

że 

zarysy 

boków 

współpracujących  zębów  są  utworzone  przez 
to samo koło odtaczające (o promieniu 



 = 



), 

a więc mają one wspólną normalną w punkcie 
ich styku.

W ten sposób został spełniony warunek podstawowej 
zasady zazębienia:
‘prosta normalna do boku zęba w punkcie styku 
zębów kół współpracujących musi przechodzić przez 
punkt styku kół tocznych’.

 

 

CECHY ZAZĘBIENIA 

EWOLWENTOWEGO

1. Zarys boku zęba

 jako zarys boku zęba wykorzystywany jest odcinek 

ewolwenty,

 początek łuku ewolwenty możliwy do 

wykorzystania jako zarys ewolwentowy znajduje 
się na kole zasadniczym,

 współpracujące części ewolwenty powstają tylko 

na odcinku zarysu ponad okręgami zasadniczymi, 

 część zarysu poniżej okręgu zasadniczego 

wykonywana jest jako krzywa przejściowa (może 
ona być dowolna, ale taka aby umożliwiła przejście 
wierzchołka zęba i jednocześnie nie powodowała 
zmniejszenia grubości zęba i jego osłabienia przy 
podstawie).

 

 

koło odtaczające

koło zasadnicze

ewolwenta

odcinek 
ewolwenty
wykorzystan
y jako zarys

krzywa 
przejściowa

koło zasadnicze

ewolwenta

odcinek 
ewolwenty
wykorzystan
y jako zarys

krzywa 
przejściowa

 

 

2. Linia przyporu

 linia przyporu jest linią prostą,
 linia przyporu jest styczną do kół zasadniczych, 

przechodzącą przez centralny biegun zazębienia 

C

,

 linia przyporu jest nachyloną do stycznej 

poprowadzonej w punkcie styku kół tocznych pod 
kątem 



.

 

 

O

1

O

2

N

1

N

2



KT1

KT2

KZ1

KZ2

C

linia przyporu

linia przyporu

 

 

3. Kąt przyporu

 kąt przyporu ma stałą wartość.
 gdy koła toczne pokrywają się z kołami 

podziałowymi, to mamy do czynienia z tzw. 
zazębieniem zerowym i w takim przypadku kąt 
przyporu nosi nazwę nominalnego kąta przyporu 
(zerowego kąta przyporu),

 w przypadku, gdy koła toczne nie pokrywają się z 

kołami podziałowymi, kąt przyporu zmienia swoją 
wartość i powstaje wówczas toczny kąt przyporu 
różny od nominalnego kąta przyporu .

 kąt przyporu nazywany jest kątem zarysu 

ponieważ określa on punkt oddziaływania siły 
miedzyzębnej na zarys zęba.

 

 

a

0



0

O

1

O

2

KT1=KP1

KT2=KP2

r

1

r

2

r

z2

r

z1

a
)

C

N

1

N

2

KZ2

O’

1

O’

2

C





w



w

N’

1

N’

2

r

w1

r

w2

KT1

KT2

KZ1

KP1

KP2

r

z1

r

z2

b
)

a

 

 

Zależność między nominalnym kątem przyporu 



0

  a  tocznym  kątem  przyporu 



  znajdziemy 

rozpatrując następujące trójkąty:

 

a)

b)

O

1

N

1

C

O

2

N

2

C

O

1

’N

1

’C

O

2

’N

2

’C

C

O

N

O

cosα

1

1

1

0



'C

O

'

'N

O

α

cos

1

1

1







C

'

O

'

N

'

O

2

2

2





C

O

N

O

2

2

2

r

r

r

r

r

r

z

z

z







2

2

1

1

w

z

w

z

w

z

r

r

r

r

r

r







2

2

1

1

 

 

r

r

α

cos

z



0

w

z

r

r

α

cos 

0





cos

r

r

cos

w







 

 

O

2

O

1



2



1

linia przyporu

kąt zarysu = kąt przyporu

 

 

4. Odległość międzyosiowa

 koła o ewolwentowych zarysach  zębów mogą 

poprawnie pracować przy zmianie odległości osi, 
gdyż w punkcie przyporu normalne do ich zarysów 
pokrywają się,

 przesunięcie osi dopuszcza się tylko w pewnych 

granicach, ponieważ zmieniają się luzy 
międzyzębne,

 nominalna (zerowa odległość międzyosiowa)  

równa się:

a

0

 = r

1

 + r

2

 rzeczywista odległość osi będzie wynosiła:

 

 







2

1

0

r

r

a







w2

w1

r

r

a

1

1

0

r

r

α

cos

z



2

2

0

r

r

α

cos

z



0

1

1

α

cos

r

r

z



0

2

2

α

cos

r

r

z



0

2

2

α

cos

r

r

z

w



0

1

1

α

cos

r

r

z

w



1

1

w

z

w

r

r

α

cos 

2

2

w

z

w

r

r

α

cos 

0

2

1

α

cos

r

r

z

z





w

z

z

α

cos

r

r

2

1





w

0

0

cosα

cosα

a

a





w

0

0

cosα

a

cosα

a







 

 

5. Przełożenie

 przełożenie nie zależy od odległości międzyosiowej 

bowiem niezależnie od tego, które odcinki 
ewolwenty ze sobą współpracują, promienie kół 
zasadniczych nie ulegają zmianie (pozostają 
zawsze te same).

Jak już wzmiankowano, z zasady zazębienia wynika, 

że:

1

2

2

1

z

z

r

r

ω

ω

i





Oznacza to, że stosunek prędkości kątowych jest 
równy stosunkowi promieni kół zasadniczych. 

 

 

6. Siły w zazębieniu

 z własności prostej przyporu wynika korzystna 

właściwość przekładni o zazębieniu 
ewolwentowym: stały kierunek siły międzyzębnej. 

 przyczynia się to do tego, że zmiany położenia 

punktu przyporu nie wpływają na stan obciążenia 
łożysk i wałów.

 

 

C

O

2

O

1

linia przyporu

 

P

P

R

P

N







cos

P

P

P

P

cos

N

N







 

      





tg

P

P

P

P

tg

R

R









 

      

 

 

Zalety zazębienia ewolwentowego

zazębienie ewolwentowe  jest zupełnie 

nieczułe na zmianę odległości osi,

obróbka może być przeprowadzana bardzo 

dokładnie uniwersalnymi narzędziami, tj. 
jednym, tym samym narzędziem można 
obrabiać koła o różnych liczbach zębów (ale 
tym samym 



, 

y

 i 

m

), 

sprawdzenie wielkości koła i uzębienia odbywa 

się łatwo przy użyciu bardzo prostych narzędzi 
(suwmiarka modułowa),

kierunek i wielkość sił promieniowych są stałe, 

a więc z tego powodu podczas pracy nie 
występują dodatkowe wahania obciążenia i 
drgania.

 

 

Wady zazębienia ewolwentowego

Współpraca w zazębieniu zewnętrznym odbywa się 
między dwoma zębami o wypukłych bokach, a przez 
to:

 występuje małe pole dolegania,
 występują dość duże jednostkowe naciski 

powierzchniowe,

 występują nieco większe poślizgi niż w 

  

  

zazębieniu cykloidalnym.

Pomimo tych wad, zazębienie ewolwentowe uzyskało 
powszechne zastosowanie w przekładniach zębatych 
stosowanych w budowie maszyn i okrętownictwie do 
przenoszenia dużych mocy z dużymi prędkościami 
obrotowymi.