1. Opis ruchu cieczy

a. opis Lagrange’a
b. opis Eulera

2. Rodzaje przepływu cieczy

a. przepływ laminarny
b. przepływ turbulentny

3. Równanie ciągłości

4. Równanie Bernoulliego

5. Przepływ cieczy przez okrągłą rurę

a. długość odcinka stabilizacji hydrodynamicznej
b. wzór Newtona (siła lepkości)
c. prędkość warstwy płynu jako funkcja odległości od
osi rury
d. definicja wydajności strumienia cieczy Q
e. wzór Poiseuille’a

Elementy HYDRODYNAMIKI

Opis ruchu cieczy

a. Podajemy położenie każdej cząstki cieczy w funkcji

czasu

– opis Lagrange’a

b. Wybieramy punkt przestrzeni, rejestrujemy prędkości, z

którymi przechodzą przez dany punkt cząstki cieczy

– opis Eulera

Rodzaje przepływu cieczy

a. Przepływ ma charakter warstwowy. Cząstki cieczy nie

przechodzą z warstwy do warstwy

- przepływ laminarny

b. Płyn miesza się (nie zachowuje charakteru

warstwowego). Prędkość cząstek w danym punkcie
zmienia się chaotycznie

- przepływ turbulentny

Kryterium podziału na ruch laminarny i turbulentny jest
wielkość bezwymiarowa zwana

liczbą Reynoldsa R

e

.

e

l

R

r n

h

=

gdzie:

 – gęstość cieczy

 – średnia (w przekroju poprzecznym) prędkość

 – współczynnik lepkości

l – charakterystyczny rozmiar przekroju poprzecznego (dł. boku,

średnica)

Dla małych R

e

– przepływ laminarny.

Począwszy od tzw. wartości krytycznej R

ekr

– przepływ

turbulentny.
Przejście przepływu laminarnego w turbulentny zachodzi,
gdy R

e

> R

ekr

.

Wielkość R

ekr

zależy od szeregu czynników:

gładkości ścianek rury, sposobu wprowadzania cieczy do rury.

Dla gładkich powierzchni rur R

ekr

 2300.

Wprowadzamy pojęcie linii prądu:

Linią prądu nazywamy krzywą w każdym punkcie styczną do prędkości cieczy

przepływającej przez ten punkt.

Linie prądu mają zwroty zgodne
ze

zwrotami

odpowiednich

wektorów prędkości.

•Umówiono się, że gęstość linii prądu jest proporcjonalna do
wartości prędkości w danym miejscu.

•W przepływie stacjonarnym każda cząstka, która przechodzi
przez dany punkt przestrzeni, ma tę samą wartość prędkości,
kierunek i zwrot. Linie prądu pokrywają się z torami cząstek
cieczy.

•Obszar cieczy ograniczony liniami prądu nazywamy rurką prądu
(strugą).

•Cząstki cieczy poruszają się wewnątrz rurki, nie przecinają jej
bocznych ścianek.

Równanie ciągłości

Rozważmy strugę cieczy, wybierając dwa dowolne przekroje S

1

i S

2

, przez

które przepływa
ciecz z prędkościami odpowiednio

1

n

r

i

2

n

r

Przez poprzeczny przekrój strugi S

1

w ciągu czasu

t przepływa

masa cieczy

m

1

=



1

S

1



1

t

zaś przez przekrój
S

2

m

2

=



2

S

2



2

t

(



1

,



2

– gęstość cieczy w pobliżu przekroju S

1

i S

2

).

Ponieważ ciecz nie wypływa ze strugi, ani nie dopływa, więc:

1

2

1 1 1

2 2 2

m

m

S

t

S

t

r n

r n

D =D

D =

D

const

S

r n =

równanie ciągłości

P

1

– siła parcia na powierzchnię S

1

; P

1

=

p

1

S

1

p

1

– ciśnienie na powierzchnię S

1

P

2

– siła parcia na powierzchnię S

2

; P

2

=

p

2

S

2

p

2

– ciśnienie na powierzchnię S

2

Równanie Bernoulliego

Stacjonarny strumień cieczy nielepkiej i nieściśliwej.

2

2

2

1

2

1

1 1

1

2 2

2

2

2

2

1

1 1

1

2 2

2

2

1

2

2

1

2

1 1

1

1

2 2

2

2

1 1

1

2 2

2

1

1

2

2

2

2

1

2

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

;

2

2

m

m

mgh mgh

W pS l

p S l

W

m

m

pS l

p S l

mgh mgh

m

m

pS l mgh

p S l

mgh

m

S l

S l

S l

S l

p

gh

p

gh

n

n

e

e

n

n

n

n

r

r

r n

r n

r

r

D =

-

+

-

D =

D -

D

D =D

D -

D =

-

+

-

D +

+

=

D +

+

=

D =

D

D = D

+

+

= +

+

2

const

2

p

gh

r n

r

+

+

=

równanie Bernoulliego

W czasie

t przez powierzchnię

S

1

przepływa ciecz o masie

m

1

=



1



l

1

S

1

,

zaś przez S

2

m

2

=



2



l

2

S

2

.

Z prawa ciągłości



1



l

1

S

1

=



2



l

2

S

2

.

Przyrost energii 



warstwy

cieczy o masie m

1

= m

2

= m

równy jest pracy wykonanej
przez siły zewnętrzne nad tą
warstwą cieczy.

Przepływ cieczy przez okrągła rurę

•Rozkład prędkości płynu w różnych przekrojach cylindrycznych rury.

•Odległość miedzy przekrojami 1-1 i 5-5 nazywamy długością odcinka
stabilizacji hydrodynamicznej.

W przepływie cieczy istotną rolę odgrywa siła tarcia pomiędzy warstwami
cieczy zwana siłą lepkości. W laminarnym przepływie cieczy siła lepkości
między dwiema sąsiednimi warstwami, poruszającymi się z prędkościami

,

 + d wynosi:

d

F

S

dr

h

n

h

=

wzór

Newtona

gdzie:
F



– siła lepkości

 – współczynnik lepkości

S – powierzchnia styku warstw

d

dr

n

– szybkość zmian prędkości w kierunku

prostopadłym

do samej prędkości (gradient prędkości cieczy)

Zmianie odległości od osi rury równej dr odpowiada zmiana prędkości o d

.

Rozważmy ciecz w walcu o promieniu r i długości l;
p

1

, p

2

– ciśnienie na powierzchnie 1, 2.

Siła parcia na powierzchnię 1 wynosi: p

1

 r

2

, zaś na powierzchnię

2: p

2

 r

2

.

wypadkowa siła parcia wynosi: (p

1

– p

2

)

 r

2

.

Zwrot tej siły jest zgodny z ruchem cieczy. Jednocześnie działa siła
lepkości:

2

d

F

rl

dr

h

n

h

p

=

Warunek stacjonarności ma postać:

2

1

2

(

)

2

d

p p

r

rl

dr

n

p

h

p

-

=

Wartość wypadkowej siły parcia równa jest wartości siły lepkości
(zwroty tych sił są przeciwne).
Prędkość maleje wraz ze wzrostem odległości od osi rury czyli:

2

1

2

(

)

2

d

d

dr

dr

d

p

p

r

rl

dr

n

n

n

p

h

p

=-

-

=-

stąd

1

2

(

)

2

d

p p r

dr

l

n

h

-

-

=

Rozdzielamy zmienne

1

2

(

)

2

p p

d

rdr

l

n

h

-

=-

Całkujemy stronami

2

1

2

(

)

2 2

p p

r

C

l

n

h

-

=-

+

�

Stałą całkowania obliczamy przyjmując, że dla r = R

 = 0

2

1

2

(

)

0

4

p p

R C

l

h

-

=-

+

stąd

1

2

(

)

4

p p

C

R

l

h

-

=

2

stała całkowania

*

podstawiając tę wartość C do wzoru otrzymujemy:

2

2

1

2

(

)

(

)

4

p p

R

r

l

n

h

-

=

-

lub

2

2

1

2

2

(

)

1

4

p p

r

R

l

R

n

h

-

�

�

=

-

�

�

�

�

**

*

Wartość prędkości na osi rury wynosi:

2

1

2

0

(

)

(

0)

4

p p

R

r

l

n

h

-

=

=

Można zatem wzór zapisać

2

0

2

1

r

R

n n

�

�

=

-

�

�

�

�

gdzie:
  prędkość w odległości r od osi

**

Przy założeniu, że przepływ jest laminarny obliczamy tzw. wydajność
strumienia cieczy Q.

Wartość liczbowa Q równa jest objętości cieczy, która przepływa
przez przekrój poprzeczny rury w jednostce czasu.

Wydajność strumienia cieczy

Poprzeczny przekrój rury dzielimy na pierścienie o
grubości dr.
Przez pierścień o promieniu r przepływa w
jednostce czasu ciecz o objętości równej iloczynowi
powierzchni poprzecznego przekroju pierścienia

2



rdr

i prędkości przepływu w odległości r od osi

rury

2

0

2

1

r

R

n n

�

�

=

-

�

�

�

�

Zatem

Wydajność strumienia cieczy Q otrzymamy całkując to wyrażenie w
granicach od zera do R.

2

0

2

1

2

r

dQ

rl dr

R

n

p

�

�

=

-

�

�

�

�

�

2

0

2

1

2

r

dQ

rl dr

R

n

p

�

�

=

-

�

�

�

�

�

2

0

2

0

2

3

2

4

0

0

0

2

2

2

0

0

0

0

0

2

4

4

2

0

0

0

2

1

2

1

1

2

2

2

2

4

1

2

2

2

4

4

2

R

R

R

R

R

R

r

Q

rl dr

R

r

r

r

r

Q

rl dr

r dr

dr

R

R

R

R

R

R

R

R

n

p

n

p

n p

n p

p

n p

n p

n

�

�

=

-

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

=

-

� =

� -

=

-

=

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

=

-

=

=

�

�

�

�

�

�

�

�

R

2

ale

2

1

2

0

(

)

4

p p

R

l

n

h

-

=

stąd

4

1

2

(

)

4

p

p

R

Q

l

p

h

-

=

wzór

Poiseuille’a

Q zależy od rodzaju cieczy (temperatury). Tę zależność określa
współczynnik

.

Q jest odwrotnie proporcjonalne do współczynnika lepkości

.

Wydajność strumienia Q jest wprost proporcjonalna do spadku ciśnienia na
jednostkę

długości rury

1

2

p

p

l

-

�

�

�

�

�

�

oraz czwartej potęgi promienia rury R.

8



l