„Największym 

nierozwiązanym problemem 

w matematyce jest to, 

dlaczego niektórzy ludzie 

rozumieją ją lepiej od 

innych.”

Adrian Mathesis

PODZIAŁ ODCINKA NA 

RÓWNE CZĘŚCI.

Konstrukcyjne  podzielenie  odcinka  na  dwie 
równe części jest bardzo proste, tak samo jak 
podzielenie  go  na  cztery,  osiem,  szesnaście 
czy  wreszcie  2

n

  równych  części.  Problem 

pojawia  się  w  momencie,  gdy  musimy 
podzielić odcinek na trzy czy siedem równych 
części.  W  takich  przypadkach  z  pomocą 
przychodzi  twierdzenie  Talesa,  dzięki  niemu 
możemy  podzielić  odcinek  na  dowolną  ilość 
równych części.    

PODZIAŁ ODCINKA.

Jak  przeprowadzić  podział  odcinka  na  równe 
części za pomocą cyrkla i linijki pokażemy na 
przykładzie  podziału  odcinka  AB  na  trzy 
równe części.

A

B

PODZIAŁ ODCINKA.

1. Rysujemy dowolną półprostą o początku w 
punkcie  A  nachyloną  do  odcinka  AB  (pod 
kątem różnym od 180°)

PODZIAŁ ODCINKA.

2.  Wbijamy  nóżkę  cyrkla  w  punkcie  A  i 
zaznaczamy  na  prostej  k  odcinek  dowolnej 
długości – otrzymujemy punkt M (oczywiście 
dobieramy  długość  odcinka  rozsądnie  –  nie 
za długi, nie za krótki).

PODZIAŁ ODCINKA.

3. Nie zmieniając rozwartości cyrkla wbijamy 
nóżkę  w  punkcie  M  i  odkładamy  kolejny 
odcinek  –  otrzymujemy  punkt  N.  Całość 
powtarzamy  tyle  razy,  na  ile  części  musimy 
podzielić odcinek(my dzielimy na 3 części).

PODZIAŁ ODCINKA.

4.  Rysujemy  prostą  przechodzącą  przez 
ostatni narysowany punkt i koniec odcinka, w 
tym przypadku przez punkty L i B.

PODZIAŁ ODCINKA.

5. 

Kreślimy 

proste 

równoległe 

do 

narysowanej  prostej  tak  aby  przechodziły 
przez pozostałe punkty – u nas N i M. Dzielą 
one odcinek AB na trzy równe części.

PODZIAŁ ODCINKA.

Oto 

animacja 

przedstawiająca 

podział 

odcinka na 5 równych części:

PROSTE RÓWNOLEGŁE.

Jak  podczas  podanej  konstrukcji  narysować 
proste  równoległe?  Najlepiej  użyć  do  tego 
ekierki i linijki. Pierwszą prostą rysujemy „od 
ekierki” ustawiając ją w następujący sposób:

PROSTE RÓWNOLEGŁE.

Przytrzymując  linijkę  przesuwamy  ekierkę 
tak,  aby  można  było  narysować  linię 
przechodzącą przez kolejny punkt:

PROSTE RÓWNOLEGŁE.

Kontynuujemy 

przesuwanie 

aż 

do 

narysowania wszystkich prostych.

PODZIAŁ ODCINKA W 

DANYM STOSUNKU.

Często  istnieje  potrzeba  podzielenia  odcinka  w 

danym stosunku, np. 1 : 2;   2: 3 itp. Co to oznacza?

Punkt C dzieli odcinek AB w stosunku 2 : 3, 

jeśli |AC|:|CB| = 2 : 3

Aby  podzielić  odcinek  w  stosunku  2  :  3,  trzeba 

go najpierw podzielić na 5 równych części.

Aby podzielić odcinek w stosunku a : b, 

należy go najpierw podzielić na a + b 

równych części.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 1.
Odcinek  AB  o  długości  6,3  cm  podzielono  w 
stosunku 
3 : 4. Jaką długość ma dłuższy z otrzymanych 
odcinków?

Odcinek  podzielony  jest  w  stosunku  3  :  4,  a 
więc  można  w  nim  wyróżnić  3  +  4  =  7 
równych części. Z tego wynika,
że dłuższa część odcinka stanowi    długości 
całego

 odcinka. Obliczamy więc długość tej części:

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 2.
Punkt  O  dzieli  odcinek  NM  w  stosunku  2  :  5. 
Dłuższy  z  otrzymanych  odcinków  –  odcinek 
OM, 

ma 

długość 

20  cm.  O  ile  krótszy  od  odcinka  OM  jest 
odcinek ON?
Mamy  długość  jednego  z  odcinków,  możemy 
więc ułożyć prostą proporcję:

20 cm – 8 cm = 12 cm
Odcinek ON jest  o 12 cm  krótszy od odcinka 
OM.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 3.
Narysuj 

dowolny 

trójkąt 

i 

prostymi 

przechodzącymi  przez  jeden  z  wierzchołków 
podziel go na 3 części o równych polach.

Trójkąty  mają  równe  pola,  gdy  mają  wspólną 
wysokość i jednakowe podstawy.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 3 – ciąg dalszy.
Aby rozwiązać to zadania wystarczy podzielić 
podstawę  trójkąta  na  3  równe  części,  wtedy 
każda część będzie miała tę samą wysokość i 
podstawę.
Rysujemy dowolny trójkąt:

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 3 – ciąg dalszy.
Dzielimy jego podstawę na 3 równe części:

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 3 – ciąg dalszy.
Łączymy punkty podziału z wierzchołkiem.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 3 – ciąg dalszy.
Każdy  z  trzech  otrzymanych  trójkątów  ma 
takie 

samo 

pole. 

Dla 

niedowiarków 

zamieszczamy  rysunek  na  którym  pole 
zostało  wyliczone  przez  specjalny  program 
komputerowy: