1

2

Analiza matematyczna

sem. II

rok akademicki 1999/2000

dr Mariusz J.Wasilewski

Wykład 1

3

Geometria

analityczna cd.

4

1. Wybrane

powierzchnie stopnia

drugiego

Badaniem i analizą powierzchni

stopnia drugiego, których nazwa

pochodzi od stopnia równania

opisującego taką powierzchnię zajmuje

się

Geometria analityczna

.

1.1. Wstęp

5

Do najważniejszych powierzchni

stopnia drugiego należą

sfera

(

inaczej

powierzchnia kulista

)

,

oraz

tzw.

kwadryki.

Z kolei do ważnych kwadryk należą

stożek obrotowy,

paraboloida

obrotowa

i

walec kołowy,.

6

Sferą nazywamy zbiór punktów

przestrzeni

R

3

mających tę własność,

że odległość każdego z nich od

pewnego punktu

S(a,b,c)

, zwanego

środkiem sfery jest wielkością stałą. Tę

stałą wielkość nazywamy promieniem

sfery i oznaczamy literą

r

. Sferę

oznaczamy symbolicznie

K[S(a,b,c);r>0]

.

1.2. Sfera.

7

(x-a)

2

+ (y-b)

2

+ (z-c)

2

= r

2

. (1)

Niech

P(x,y,z)

będzie dowolnym

punktem sfery

K[S(a,b,c);r>0]

. Z

definicji i wzoru na odległość między

punktami

P

i

S

po podniesieniu

stronami do kwadratu otrzymujemy

równanie normalne sfery

8

Jeżeli w równaniu normalnym sfery

wykonamy wskazane działania

otrzymamy tzw.

rozwinięte równanie

sfery.

Oznaczając

A = -2a, B = -2b, C

= -2c

i D = a

2

+ b

2

+ c

2

- r

2

,

dostajemy

x

2

+ y

2

+ z

2

+ Ax + By + Cz + D = 0, (2)

przy warunku a

2

+ b

2

+ c

2

- D > 0.

9

Jeżeli warunek ten jest spełniony

wówczas równanie (2) przedstawia

sferę

10

Kulą

nazywamy sferę i jej wnętrze.

Kulę zapisujemy nierównościami

11

1.3. Wybrane

kwadryki

Kwadryki są to powierzchnie stopnia

drugiego charakteryzujące się tym, że

przekroje tych powierzchni są

krzywymi stożkowymi (elipsa,

hiperbola, parabola).

12

Badanie i rysowanie kwadryk, opisane

jest szczegółowo książce

„Elementy Algebry i Geometii

Analitycznej” - M.J.Wasilewski i

K.Lisiecki

.

13

z

x

y

x

y

z

x

y

14

z

x

y

z

x

y

z

x

y

15

z

x

y

z

x

y

z

x

y

16

z

x

y

1.4.1. Sfera

(x-a)

2

+ (y-b)

2

+ (z-c)

2

= r

2

. (1)

Kula

17

z

x

y

1.4.2. Stożek obrotowy

x

2

+ y

2

- z

2

= 0.

18

z

x

y

1.4.3. Paraboloida obrotowa

z = x

2

+ y

2

19

z

x

y

1.4.4. Walec kołowy

x

2

+ y

2

= r

2

.

20

Analiza

matematyczna cd.

21

Funkcje wielu zmiennych.

Rachunek różniczkowy funkcji

wielu zmiennych.

22

2. Zbiory punktów na

płaszczyźnie

Nauczyć się z podręcznika :

2.1.

Definicje

:

•

Zbiór płaski.

• Zbiór płaski ograniczony

• Otoczenie kołowe punktu P

0

(,x

0

,y

0

)

o promieniu r

23

• Sąsiedztwo (otoczenie
pierścieniowe) punktu
P

0

(,x

0

,y

0

) o promieniu r

• Punkt wewnętrzny zbioru A

• Punkt zewnętrzny zbioru A

• Punkt brzegowy zbioru A

• Zbiór otwarty

• Zbiór spójny

24

•Obszar

•Punkt skupienia zbioru

•Brzeg zbioru

•Wnętrze zbioru

•Zewnętrze zbioru

•Obszar domknięty A* = A Č B

25

Punktem przestrzeni

n

-wymiarowej,

nazywamy ciąg

n

liczb

(x

1

,x

2

,...x

n

)

.

Liczby te nazywamy współrzędnymi

punktu przestrzeni

n

-wymiarowej.

3. Funkcje dwóch i wielu zmiennych.

3.1.

Definicje

26

•Jeżeli każdemu punktowi

P(x

1

,x

2

,...x

n

)

przestrzeni

n

-wymiarowej należącemu

do pewnego zbioru

A

przyporządkujemy dokładnie jedną

liczbę

z

, to mówimy, że na zbiorze

A

została określona funkcja

n

-

zmiennych niezależnych

x

1

,x

2

,...x

n

, co

zapisujemy

z = f (x

1

,x

2

,...x

n

) dla (x

1

,x

2

,...x

n

)

A,

lub z = f (P) dla P A.

Zmienną

z

nazywamy

zmienną zależną

.

27

•

Przy

n = 2

otrzymujemy definicję

funkcji dwu
zmiennych niezależnych

z= f (x,y) dla (x,y) A, lub z = f (P) dla P A

.

• Dziedziną funkcji

czyli

obszarem jej

określoności nazywamy zbiór

wszystkich

punktów

P

, dla których

f (P)

ma

sens.

28

• Wykresem funkcji dwóch

zmiennych

niezależnych

z = f(x,y)

jest na

ogół pewna

powierzchnia, znajdująca się nad

lub/i pod

obszarem

D

będącym dziedziną

funkcji.

29

Górna półsfera Górny stożek
Paraboloida

obrotowa

z

x

y

z

x

y

z

x

y

A oto przykłady wykresów kilku funkcji.

30

Rozwiązanie

.

Dziedziną jest zbiór

tych punktów

P(x,y),

dla których wzór

określający funkcję ma sens, czyli

Przykład

. Wyznaczyć dziedzinę funkcji

31

Jest to elipsa o półosiach

a=4

i

b=2

i jej wnętrze.

y

x

4

2

32

4. Granica i ciągłość funkcji

dwóch zmiennych

Nauczyć się z podręcznika następujących pojęć:

4.1. Definicja zbieżności ciągu
punktów na
płaszczyźnie .
4.2. Definicja granicy funkcji
Heinego.
4.3. Ciągłość funkcji wielu
zmiennych.
4.4. Własności funkcji ciągłych.

Zapoznać się z przykładami.

33

5. Pochodne cząstkowe

Pochodną cząstkową funkcji wielu

zmiennych

względem

jednej

zmiennej

nazywamy

zwykłą

pochodną tej funkcji przy założeniu,

że wszystkie pozostałe zmienne są

stałe.

5.1.

Definicja pochodnej cząstkowej

34

Wynika stąd, że wszystkie poznane

wcześniej twierdzenia i wzory

rachunku różniczkowego dla funkcji

jednej zmiennej obowiązują również

przy obliczaniu pochodnych

cząstkowych.

35

Aby obliczyć pochodną cząstkową

funkcji dwóch zmiennych

z=f(x,y)

względem zmiennej

x

, należy ustalić

wartość drugiej zmiennej np.

y= y

0

, a

następnie obliczyć pochodną funkcji

z=f(x,y

0

),

jednej zmiennej

x

(jeżeli

istnieje). Z definicji pochodnej funkcji

jednej zmiennej x w punkcie

x=x

0

mamy

36

Podobnie

definiujemy

pochodną

funkcji

z=f(x,y)

względem zmiennej

y

.

Należy

ustalić

wartość

drugiej

zmiennej np.

x=x

0

, a następnie obliczyć

pochodną funkcji

z=f(x

0

,y),

jednej

zmiennej

y

(jeżeli istnieje). Z definicji

pochodnej funkcji jednej zmiennej y w
punkcie

y=y

0

mamy

37

Pochodną cząstkową funkcji

z=f(x,y)

względem zmiennej

x

możemy

oznaczać różnymi symbolami np.

Podobnie oznaczamy pochodne

cząstkowe tej funkcji względem

zmiennej

y

.

38

Rozwiązanie.

f

x

’=2xe

yz

+z

3

+3cos(3x+2y),

f

y

’= x

2

e

yz

z+2cos(3x+2y), f

z

’= x

2

e

yz

y+3xz

2

Wedle tej samej zasady oznaczamy

pochodne cząstkowe funkcji o większej

liczbie zmiennych.

Przykład.

Obliczyć pochodne

cząstkowe rzędu pierwszego funkcji

39

5.2 Interpretacja geometryczna

pochodnej cząstkowej.

Przy obliczaniu pochodnej

cząstkowej względem

x

funkcji

z=f(x,y)

zmienną

y

ustalamy

przyjmując

y=y

0

. Oznacza to, że

obliczamy zwykłą pochodną funkcji

z=f(x,y

0

),

której wykresem jest linia

o równaniach

40

z

x

z = f(x,y)

y

41

z

x

y



x

0

y

0

z = f(x,y)

f

x

’(x

0

,y

0

) = tg 

Linia ta jest częścią wspólną wykresu

funkcji

z=f(x,y)

i płaszczyzny

y=y

0

.

42

z

x

y



x

0

z = f(x,y)

f

y

’(x

0

,y

0

) = tg



y

0

43

z

x

y





x

0

y

0

z = f(x,y)

f

x

’(x

0

,y

0

) = tg

f

y

’(x

0

,y

0

) = tg 

44

6. Różniczka zupełna

funkcji dwóch zmiennych.

Niech

P

0

(x

0

,y

0

)

będzie punktem

należącym do dziedziny

D

funkcji

z

= f(x,y)

, w którym ma ona pochodne

cząstkowe w

f

x

’

i

f

y

’

.

45

Definicja

.

Różniczką funkcji

z =

f(x,y)

punkcie

P

0

(x

0

,y

0

)

dla

przyrostów

dx

i

dy

nazywamy

wyrażenie

46

7. Pochodne i różniczki rzędów

wyższych

Pochodne cząstkowe

są też

funkcjami zmiennych

x

i

y

. Ich

pochodne nazywamy pochodnymi

cząstkowymi rzędu drugiego funkcji

f(x,y)

i oznaczamy je symbolami

47

yx

xx

2

2

2

"

f

"

f

lub

,

x

y

f

y

f

x

,

x

f

x

f

x























































48

Pochodne

f”

xy

i

f”

yx

nazywamy

pochodnymi mieszanymi rzędu

drugiego.

Twierdzenie Schwarza

Jeżeli pochodne mieszane

f”

xy

i

f”

yx

istnieją i są w pewnym punkcie

ciągłe,

to są w tym punkcie równe.

49

Ogólnie

• pochodnymi cząstkowymi rzędu

n

nazywamy pierwsze pochodne
cząstkowe pochodnych rzędu

n-1

.

•różniczką rzędu

n

funkcji

nazywamy różniczkę różniczki

rzędu

n-1

.

50

8. Pochodna w kierunku

Niech

s

oznacza półoś o równaniach

Półoś

s

wychodzi z punktu

P

0

(x

0

,y

0

)

i

tworzy z osiami

Ox

i

Oy

odpowiednio

kąty



i



.

51

Definicja

. Pochodną cząstkową funkcji

z = f(x,y)

w punkcie

P

0

(x

0

,y

0

)

w

kierunku osi

s

nazywamy granicę

prawostronną ilorazu różnicowego o

ile istnieje

52

Twierdzenie

. Jeżeli funkcja

z =

f(x,y)

ma w otoczeniu punktu

P

0

(x

0

,y

0

)

ciągłe pochodne cząstkowe

f/x

i

f/y

to pochodna

f/s

wyraża się wzorem

53

Koniec wykładu