Seria: Informatyka
Elementy teorii
niezawodności
Wykład 3
Obiekty proste odnawialne
z zerowym czasem odnowy

dr hab. inż. Tadeusz Nowicki prof.

nadzw. WAT

e-mail:[e-mail], tel.

6-837118

Model niezawodnościowy

Jedynymi istotnymi zdarzeniami w eksploatacji

obiektu prostego odnawialnego z zerowa odnową są

chwile uszkodzeń, które przy zerowej odnowie, są

jednocześnie chwilami odnów.

Ciąg zmiennych losowych T

1

, T

2

, T

3

, ... stanowiący

strumień odnów jest modelem niezawodnościowym

obiektu prostego odnawialnego z zerowym czasem

odnowy. Zmienne T

i

są

ciągłymi i

dodatnimi

zmiennymi losowymi oznaczającymi czasy pomiędzy

kolejnymi uszkodzeniami (jednocześnie odnowami)

obiektu,

zatem

czas

do

jego

uszkodzenia.

Charakterystyki tych zmiennych losowych są zatem

miarami niezawodnościowymi

obiektu.

T

1

t

T

2

T

3

T

4

T

5

Strumienie odnów

Strumienie odnów dzielimy na:

Proste:

wszystkie zmienne losowe T

1

, T

2

, T

3

, ...

mają

identyczne

rozkłady określone dystrybuantą

F(t), gęstością f(t), transformatą Laplace’a f*(s),
wartością

oczekiwaną



oraz

odchyleniem

standardowym .

Ogólne:

wszystkie zmienne losowe T

2

, T

3

, T

4

, ...

mają identyczne rozkłady określone dystrybuantą
F(t), gęstością f(t), transformatą Laplace’a f*(s),
wartością

oczekiwaną



oraz

odchyleniem

standardowym , natomiast dopuszczamy, że

pierwsza zmienna losowa T

1

ma inny rozkład

określony dystrybuantą F

1

(t), gęstością f

1

(t),

transformatą

Laplace’a

f

1

*(s),

wartością

oczekiwaną 

1

oraz odchyleniem standardowym 

1

.

Miary niezawodności

1.

Czas S

r

do r-tej odnowy (uszkodzenia) – zmienna

losowa spełniająca:

Jej dystrybuanta wyznaczana jest na podstawie

a gęstość

gdzie dla strumienia prostego

r

3

2

1

r

T

...

T

T

T

S















)

s

(

K

L

)

t

(

K

r

1

r







)

s

(

K

r



- transformata
Laplace’a
dystrybuanty





)

s

(

k

L

)

t

(

k

r

1

r







)

s

(

k

r



- transformata
Laplace’a gęstości





)

s

(

f

)

s

(

k

r

r











)

s

(

f

s

1

)

s

(

k

s

1

)

s

(

K

r

r

r











Uwaga: transformata Laplace’a
funkcji g(x):















dx

e

)

x

(

g

)

s

(

g

sx

Miary niezawodności

a dla strumienia ogólnego:

dla czasów odpowiednio dużych (t ) zmienna

losowa S

r

dąży do rozkładu normalnego





)

s

(

f

)

s

(

f

)

s

(

k

1

r

1

r















)

s

(

f

)

s

(

f

s

1

)

s

(

k

s

1

)

s

(

K

1

r

1

r

r



















r

,

r

N









Miary niezawodności

2.

Proces stochastyczny N(t) – liczba odnowień do
chwili

t

Można pokazać, że

i po elementarnych przekształceniach

gdzie

Można pokazać, że dla dużych t (odpowiednio
duża liczba odnowień) proces N(t) dąży do

 



 



t

S

r

t

N

r







 





)

t

(

K

)

t

(

K

r

t

N

P

1

r

r









1

)

t

(

K

0



t

,

t

N

2

3

























Miary niezawodności

3.

Funkcja odnowy H(t) – oczekiwana liczba

odnowień do chwili t

oraz

ale

gdzie

- splot funkcji K

r

(t) i f(t)

 





t

N

E

)

t

(

H 

 





































2

r

r

1

1

r

r

0

r

)

t

(

K

)

t

(

F

)

t

(

K

r

t

N

P

r

)

t

(

H













1

r

1

r

1

)

t

(

K

)

t

(

F



















t

0

r

r

1

r

)

t

(

f

K

d

)

(

f

)

t

(

K

)

t

(

K

)

t

(

f

K

r



Miary niezawodności

Zatem

Z twierdzenia o splocie funkcji otrzymujemy:

równanie odnowy

Stąd otrzymujemy

dla strumienia ogólnego

dla strumienia prostego

)

s

(

f

)

s

(

H

(s)

F

)

s

(

H

1



















)

t

(

f

)

t

(

H

)

t

(

F

)

t

(

f

)

t

(

K

)

t

(

F

)

t

(

H

1

1

r

r

1



















)

s

(

f

1

(s)

f

s

1

)

s

(

f

1

(s)

F

)

s

(

H

1

1



















)

s

(

f

1

(s)

f

s

1

)

s

(

f

1

(s)

F

)

s

(

H



















Miary niezawodności

oraz dalej

4.

Gęstość odnowy h(t)

Można pokazać, że

dla strumienia ogólnego

dla strumienia prostego

 

t

H

dt

d

)

t

(

h



)

s

(

f

1

(s)

f

)

s

(

h

1











)

s

(

f

1

(s)

f

)

s

(

h















)

s

(

H

L

)

t

(

H

1







Miary niezawodności

Można pokazać, że dla dużych t zachodzą twierdzenia

zatem dla dużych t

Tw. Blackwella

dla dużych t oczekiwana liczba odnów w przedziale

(t,t+) nie zależy od t.
Tw. Smitha
Gdy g(x) jest nierosnącą funkcją monotoniczną i

całkowalną w przedziale (0,), to

węzłowe

twierdzenie
odnowy









1

t

)

t

(

H

lim

t





t

)

t

(

H





















)

t

(

H

)

t

(

H

lim

t

















0

t

0

t

du

)

u

(

g

1

dx

)

x

(

h

)

x

t

(

g

lim

Miary niezawodności

5.

P(t,t+) – prawdopodobieństwo tego, że w

przedziale (t,t+) nie będzie uszkodzenia

a dla dużych t (korzystając z tw. Smitha)
otrzymujemy charakterystykę graniczną





























t

0

1

dx

)

x

(

h

)

x

t

(

F

1

)

t

(

F

1

)

t

,

t

(

P





























dy

)

y

(

F

1

1

)

t

,

t

(

P

lim

)

(

P

t

Miary niezawodności

6.

Pozostały czas zdatności 

t

– jeśli od ostatniej odnowy

(r-tej) minął czas t, to ta zmienna losowa jest
resztowym czasem do kolejnej odnowy (r+1-szej)

Można pokazać, że

a jej dystrybuanta

Przy

dużych

t

mamy

a

wartość

oczekiwana

t

S

1

r

t









 













t

,

t

P

P

t







































t

0

1

dx

)

x

(

h

)

x

t

(

F

1

)

t

(

F

1

t

,

t

P

)

(

F

t

















0

dy

)

y

(

R

1

)

(

F























2

2

d

)

(

P

)

(

E

2

0