21 marca 2011

Reinhard Kulessa

1

Wykład 4

2.6 Przemiany gazu
idealnego

Zmiana stanu gazu idealnego może odbywać
się przy różnych warunkach narzuconych na
podstawowe parametry opisujące stan gazu.
Ogólną przemianę gazu przy zmianie
przynajmniej dwóch parametrów opisuje
przemiana politropowa.

C

v

p

C

const

pv

ln

ln

ln















(2.2
6)

Istnieje kilka dobrze znanych przemian gazu
idealnego, tóre tutaj przytoczymy.

1. Przemiana

izotermiczna, T=const,

=1.0

2. Przemiana

izobaryczna, p=const,

=0

21 marca 2011

Reinhard Kulessa

2

3. Przemiana

izochoryczna

v=const

=±

4. Przemiana

adiabatyczna Q=0

=c

p

/c

v

5. Przemiana

politropowa

 dowolne

Dla gazu idealnego

pV = nT.

p

V

V

1

V

2

izobara

izoterm
a

adiaba
ta

ogólna

izochora

21 marca 2011

Reinhard Kulessa

3

3 Makroskopowe własności materii

Własności materii zmieniają się, jeśli
zmienimy

V, p i T.

Substancje mogą istnieć w

różnych fazach. Prześledźmy to dla wody.

T

p

to

pn

ie

ni

e p

ar

ow

an

ie

sub

lim

acj

a

Punkt
potrójny

Punkt
krytyczny

c.
stałe

ciec
z

para

gaz

A

B

Linia AB
pokazuje, że
woda może
równocześnie
znajdować się w
trzech fazach

21 marca 2011

Reinhard Kulessa

4

Innymi własnościami makroskopowymi są
możliwości zmiany kształtów geometrycznych.
Określają to odpowiednie współczynniki.

Współczynnik objętościowej rozszerzalności
temperaturowej definiujemy jako:





p

T

T

p

V

V



















,

1



(3.1)

Z kolei izotermiczny współczynnik ściśliwości
jest równy:





T

p

T

p

V

V





















,

1



(3.2)

Można jeszcze zdefiniować współczynnik
prężności , który ma następującą postać:

21 marca 2011

Reinhard Kulessa

5





V

T

T

V

p

p





















,

1



Warto zauważyć, że trzy wymienione
współczynniki

(, , )

są ze sobą powiązane.

Wynika to z zależności pomiędzy pochodnymi
cząstkowymi trzech zmiennych, pomiędzy
którymi istnieje zależność funkcyjna. Jeżeli
zapiszemy w oparciu o równanie stanu gazu
doskonałego, że

V zależy od ciśnienia i

temperatury w następujący sposób V(p,T), to
zachodzi zależność:

p

V

T

V

T

p

T

V

p

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

� =-

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

(3.3)

21 marca 2011

Reinhard Kulessa

6

Mnożąc po prawej stronie równania licznik i
mianownik przez V, oraz obydwie strony
równania przez p uzyskujemy zależność:







p

1



Jeżeli znamy z pomiarów

 i ,

to nie musimy

już mierzyć



, tylko możemy je obliczyć z

powyższego równania.

Dla gazu idealnego
uzyskujemy również:

p

T

1

1









Praca, którą należy wykonać ażeby sprężyć
izotermicznie gaz idealny wynosi;







dV

p

W

T

21 marca 2011

Reinhard Kulessa

7

W oparciu o równanie

(3.2)

otrzymujemy, że





2

1

2

2

2

2

1

p

p

V

dp

V

p

W

dp

V

dV

T

p

p

T

T

T

























T

p

T

p

V

V





















,

1



21 marca 2011

Reinhard Kulessa

8

4. Analiza procesów energetycznych w

układach otwartych

4.1 Wstęp

Dotychczas omówiliśmy analityczną postać I
zasady termodynamiki, oraz podaliśmy przykłady
wyliczania termodynamicznych własności
substancji.

W tym rozdziale rozszerzymy omawianie
zagadnień termodynamiki do układów, w
których masa substancji może przekraczać
granice układu, czyli do układów otwartych.
Ażeby w pełni móc podać zależności opisujące
procesy zachodzące w takich układach, należy
postępować według pewnej procedury
pozwalającej dokładnie scharakteryzować układ
i zachodzące procesy. Należy m.in. rozważyć
następujące problemy:

21 marca 2011

Reinhard Kulessa

9

1. W jaki sposób jest opisany układ termodynamiczny,

który mamy analizować,

2. Jaką substancję zawiera rozważany układ i czy są

znane własności tej substancji,

3. Czy układ jest otwarty czy zamknięty,

4. W jaki sposób należy opisać zachodzący proces

termodynamiczny,

5. Czy rozważany układ jest stacjonarny, czy zmienny

w czasie.

Po znalezieniu odpowiedzi na te pytania, należy
należy dokonać analizy matematycznej
problemu, która może przebiegać następująco:

1. Naszkicowanie układu i określenie wlotu i wylotu

masy i energii,

2. Matematyczne sformułowanie dostępnej

informacji,

3. Przeprowadzenie bilansu energii,
4. Napisanie relacji opisujących proces,
5. Połączenie wszystkich informacji i otrzymanie

wyniku.

21 marca 2011

Reinhard Kulessa

10

4.2 Bilans energii i konwencja dotycząca
znaku energii

W rozdziale 2 omówiliśmy relacje
energetyczne dotyczące układów zamkniętych,
czyli takich dla których nie zachodzi transport
masy poprzez granice układu.

Przyjęliśmy

przyjmować za dodatnią energię dodaną do
układu, a za ujemną energię oddawaną przez
układ, który rozważamy.

Nie możemy oczywiście zapomnieć o
zasadzie zachowania energii:

Energia, którą układ pobiera jest równa
energii, którą oddaje plus energia
akumulowana w układzie.

Analiza układu opierać się będzie na
relacjach poznanych na poprzednim
wykładzie.
Pamiętamy, że dla układów zamkniętych
można zapisać pierwszą zasadę
termodynamiki jako:

21 marca 2011

Reinhard Kulessa

11

dE

W

d

Q

d









(4.1)

Użyliśmy we wzorze różniczek, aby móc opisać
każdy możliwy proces.

d‘
Q

d‘
W

d’Q+d’W=dE

W układzie
zamkniętym nie ma
przepływu masy.

4.3 Układ otwarty

Przykładem termodynamicznego układu
otwartego może być grzejnik wody.

21 marca 2011

Reinhard Kulessa

12

Strumi
eń
Zimnej
wody

Ciepł
awod
a

Q
dostarczan
e ciepło

Granica
układu

Zdefiniowany układ nie bardzo zgadza się z
nasza poprzednią definicją układu
termodynamicznego, jako pewnej określonej
wyodrębnionej ilości materii. Problem ten
rozwiążemy, stosując do analizy takich
układów praw dotyczących układów
zamkniętych.

Zobaczmy w jaki sposób możemy opisać
przepływ masy. Można tego dokonać
definiując jej strumień.

21 marca 2011

Reinhard Kulessa

13

1

2

A

m



s

Jeśli przez

V

=

s/dt oznaczymy średnią

prędkość

przepływającej substancji, której

gęstość oznaczymy przez ,

wtedy strumień

masy przepływającej na jednostkę czasu przez
układ wynosi

m

AV

r

=

.

(4.2
)

21 marca 2011

Reinhard Kulessa

14

4.4 Analiza układu otwartego – objętość
kontrolna

Aby móc analizować procesy
termodynamiczne w układach otwartych

wprowadzamy pojęcie objętości kontrolnej

.

Jest to pewna część przestrzeni, określona
granicą, w której obserwujemy przepływ masy
i energii.















dt

dm



i

m

A



e

m



objętość
kontroln
a

bilans
masy

21 marca 2011

Reinhard Kulessa

15















dt

dE



i

m

B



e

m



objętość

kontrolna

bilans
energi
i

e

i

e

e

Literą e oznaczyliśmy ilość energii na
jednostkę masy.

dt

Q

d'

dt

W

d'

21 marca 2011

Reinhard Kulessa

16

Masa wpływająca do objętości kontrolnej jest
równa masie wypływającej z niej plus wzrost
masy wewnątrz objętości kontrolnej.

e

dt

dm

i

m

m























(4.3)

Jest oczywiste, że nasz układ może mieć wiele
wlotów i wylotów. Wtedy równanie (4.3)
przyjmuje postać:

























e

i

e

dt

dm

i

m

m



(4.4)

W celu analizy bilansu energii w całym
obszarze kontrolnym, rozważmy ustaloną
masę, która porusza się przez objętość
kontrolną.

Odpowiada to zachowaniu się

układu zamkniętego, w którym następuje ruch
masy przez objętość kontrolną

.

21 marca 2011

Reinhard Kulessa

17

Układ ten może być poddany ciśnieniu
otoczenia. Może nastąpić transfer ciepła przez
granicę układu, mogą na niego działać różne
siły wykonujące pracę.

Energia wewnętrzna układy zamkniętego może
zmieniać się na wskutek ruchu z jednego
miejsca do drugiego, jak również na wskutek
zmiany prędkości.

Niezależnie od obserwowanych zjawisk możemy
zastosować zasadę zachowania energii.
Całkowity przepływ masy do i z objętości
kontrolnej można rozważyć jako ciąg
elementów

dm

, czyli małych zamkniętych układów

termodynamicznych.

Możemy uważać, że

strumień masy przepływający przez układ
transportuje energię wewnętrzną przez granice
naszego układu

.

Dla takiego układu możemy sformułować
zasadę zachowania energii następująco:

21 marca 2011

Reinhard Kulessa

18

Transport energii wewnętrznej do objętości
kontrolnej +
ciepło dodane do objętości kontrolnej, +
praca wykonana na wszystkich elementach w
czasie ich ruchu przez układ,

są równe wzrostowi energii wewnętrznej
wewnątrz objętości kontrolnej + transport
energii wewnętrznej z objętości kontrolnej.

Analityczny zapis jest
następujący:

e

dt

dE

dt

W

d

dt

Q

d

i

E

E



























'

'

(4.4)

Gdzie E

i

i E

e

oznaczają transport energii

wewnętrznej na jednostkę czasu odpowiednio
na wlocie i wylocie układu. Możemy wielkości
te wyrazić następująco:

. .

21 marca 2011

Reinhard Kulessa

19

e

e

i

i

e

m

e

e

m

i

E

E













(4.5)

Równanie

(4.4)

można stosować do analizy

układów otwartych.
Można jednak wyrazić inaczej człon
odpowiadający pracy.
Aby masa przepływała przez układ potrzebna jest
siła. Siła ta jest
dana przez ciśnienie w układzie.

Element masy o objętości

A · s

ażeby być

przetransportowany
do lub z objętości kontrolnej musi być poddany
działaniu siły

p·A

na drodze

s

, przy czym niezależnie od wielkości

masy

s=V/A

.

Praca potrzebna na przepchanie masy do lub z
objętości kontrolnej jest równa:

V

p

A

V

A

p

s

F

ds

F

W























(4.6
)

21 marca 2011

Reinhard Kulessa

20

1

2

m



s

A

Wypadkowa praca wykonana na układzie przy
przesunięciu masy z punktu 1 do punktu 2
wynosi

2

2

1

1

V

p

V

p

W

wyp





p

1

V

1

jest pracą wykonaną na objętości przy

wprowadzaniu jej w objętość kontrolną, a

p

2

V

2

odpowiednio przy wyprowadzaniu jej z
objętości kontrolnej. Różnica jest równa
wypadkowej pracy dodanej.

pV

jest pracą strumienia substancji i należy tą

wielkość rozpatrywać oddzielnie od pracy
wprowadzonej z zewnątrz.

21 marca 2011

Reinhard Kulessa

21

Równanie energetyczne przyjmie więc
postać:

)

(

'

'

)

(

e

e

e

e

zew

i

i

i

i

v

p

e

m

dt

dE

dt

W

d

dt

Q

d

v

p

e

m































(4.
7)

Przypominam, że

v

i,e

oznaczają objętość jednostki

masy.

W

zew

jest pracą dostarczoną objętości

kontrolnej przez siły zewnętrzne.

Równanie

(4.7)

przedstawia ogólny bilans

energii dla układu otwartego.

W przypadku, kiedy rozważany układ otwarty
zachowuje się jak stan stacjonarny, tzn. że nie
ma w objętości kontrolnej zmiany w czasie,
czyli

0

0

dE

dm

i

dt

dt

s

s

� �

� �

=

=

� �

� �

� �

� �

,

21 marca 2011

Reinhard Kulessa

22

Wtedy i równanie

(4.7)

przechodzi w:







e

i

m

m





)

(

)

(

'

'

i

i

i

e

e

e

zew

v

p

e

v

p

e

m

dt

W

d

dt

Q

d













(4.
8)

Ażeby móc ostatecznie sformułować bilans
energii dla układu otwartego, przypomnijmy
sobie od jakich wielkości zależy

energia

wewnętrzna r.(2.13), (E=U+E

k

+E

p

+E

chem

+ .....)

oraz

definicję entalpii r

.(2.18)

(h=u+pv).

Entalpia jest własnością układu

, gdyż zależy

tylko od wielkości stanowiących własność
układu.

Ma ona fizyczne znaczenie w

zastosowaniu do układu otwartego

, które nie

jest już ważne dla układu zamkniętego. A to
dlatego, że iloczyn

pv

w układzie zamkniętym

nie stanowi pracy strumienia substancji.

21 marca 2011

Reinhard Kulessa

23

Wprowadzając do bilansu energii

(r.(4.7))

entalpię i zakładając, że układ otwarty może
mieć więcej wlotów i wylotów, możemy zasadę
zachowania zapisać następująco:

...)

(

'

'

...)

(









































e

e

i

i

chem

k

e

e

e

zew

chem

k

i

i i

E

E

h

m

dt

dE

dt

W

d

dt

Q

d

E

E

h

m



(4.9
)

Równanie to jest dość skomplikowane, ale w
rozważaniach praktycznych okazuje się, że
można go jeszcze uprościć. Np. dla gazu
idealnego, czy układu woda-para wodna
można zaniedbać energię chemiczną.
Oceńmy rolę energii kinetycznej. Policzmy
jaka prędkość jest potrzebna aby uzyskać
energię kinetyczną 1kJ/1kg.

21 marca 2011

Reinhard Kulessa

24

1000J/kg = 1/2v

2

v=44.7 m/s.

Jest to prędkość znacznie większa niż w
większości rozważanych przypadków

(nie

biorąc oczywiście pod uwagę turbiny
gazowej, czy silnika odrzutowego)

takich jak

strumień wody czy powietrza, pary w
rurociągu, czy freonu w chłodnicy.

Prędkości są zwykle tak małe, że można
zaniedbać energię kinetyczną w porównaniu
z entalpią czy energią wewnętrzną

.