4. PODSTAWOWE CZŁONY AUTOMATYKI

Prawie w każdym przypadku złożony układ dynamiczny można rozpatrywać jako zespół odpowiednio ze sobą połączonych członów elementarnych, a więc charakteryzujących się najprostszymi właściwościami dynamicznymi. Takie elementarne człony noszą nazwę podstawowych elementów automatyki. Wyróżnimy podstawowe grupy tych elementów:

• bezinercyjne (proporcjonalne),

• inercyjne:

• pierwszego rzędu,

• oscylacyjne,

• dwuinercyjne

• całkujące:

• idealne,

• rzeczywiste,

• izodromowe

• różniczkujące:

• idealne,

• rzeczywiste,

• opóźniające.

Poniżej zostaną one szczegółowo omówione. Wszystkie wykresy prezentowane w tym rozdziale wykonane zostały dla konkretnych danych liczbowych z wykorzystaniem programu CorelDRAW9 i Matlab 4.

4.1. Człon proporcjonalny ( bezinercyjny )

Najprostszym członem układów dynamicznych jest człon proporcjonalny. Charakteryzuje go równanie wiążące sygnał wyjściowy z sygnałem wejściowym

(4.1)

a transmitancja operatorowa ma postać

(4.2)

gdzie: y - wielkość wyjściowa, x - wielkość wejściowa.

Jego właściwości są charakteryzowane jedynie przez współczynnik wzmocnienia k. Człon ten nie ma zdolności pamiętania stanów czy sygnałów poprzedzających chwile obserwacji, o wartości sygnału wyjściowego w chwili t decyduje tylko wartość sygnału wejściowego w tej samej chwili t . Nie możemy więc w tym przypadku mówić o stanie układu ani o równaniu stanu. Dlatego człon ten często jest również nazywany członem bezinercyjnym.

Równanie charakterystyki statycznej ma postać

lub

gdzie C jest stałą określającą przesunięcie charakterystyki w stosunku do początku układu współrzędnych.

Odpowiedź na wymuszenie skokowe
będzie

Wykresy obrazujące charakterystykę statyczną i skokową elementu bezinercyjnego przedstawione są na rys. 4.1.

Transmitancja widmowa elementu bezinercyjnego ma postać:

(4.3)

Część rzeczywista i urojona
:

(4.4)

Logarytmiczne charakterystyki amplitudowa i fazowa:

(4.5)

(4.6)

Rysunek 4.2 przedstawia wykresy omawianych charakterystyk.

Przykłady kilku elementów bezinercyjnych podano na rys. 4.3, a niżej zestawione zostały równania tych elementów.

1. Jeżeli sygnał wejściowy x i wyjściowy y są przesunięciami (rys. 4.3a) mamy

Jeżeli sygnał wejściowy F_x i wyjściowy F_y są siłami (rys. 4.3a), mamy

2. Przy analogicznych oznaczeniach jak w przykładzie 1 (rys. 4.3b) otrzymamy

3. Zakładając brak obciążenia i oznaczając U₁, U₂ - napięcia wejścia i wyjścia, R₁, R₂ - rezystancje (parametry układu), otrzymamy (rys. 4.3c)

4. Jeżeli pominiemy masę części ruchomych i tarcie lepkie oraz oznaczymy: A[m²]- powierzchnia efektywna (czynna) membrany, p[N/m²] - ciśnienie, c[N/m] - sztywność sprężyny,

y[m] - przesunięcie trzpienia siłownika, to wyjście y związane będzie z wejściem p zależnością proporcjonalną (rys. 4.3c)

4.2. Człony inercyjne

Człon inercyjny pierwszego rzędu

Człon inercyjny pierwszego rzędu (krótko: człon inercyjny) jest opisany równaniem

(4.7)

przy czym: T - stała czasowa;

k - współczynnik wzmocnienia

a transmitancja operatorowa ma postać

(4.8)

Człony tego typu występują bardzo często w przyrodzie, gdyż charakteryzują proces gromadzenia masy i energii z oddziaływaniem wstecznym.

Równanie charakterystyki statycznej otrzymamy z równania (4.7) przyjmując pochodną
równą zero. Będzie ono miało postać:

Wykres tej charakterystyki jest identyczny jak podany na rys. 4.1a.

Odpowiedź na wymuszenie skokowe
obliczymy posługując się tabl. 3.1.

Z definicji mamy:

Dla wymuszenia skokowego o amplitudzie a,
. A zatem wzór na charakterystykę skokową elementu inercyjnego przyjmie postać:

ostatecznie

(4.8)

Rys. 4.4. Odpowiedź elementu inercyjnego pierwszego rzędu na wymuszenie skokowe

Stałą czasową T można określić z wykresu, przeprowadzając styczną w dowolnym punkcie krzywej wykładniczej h(t) i wyznaczając odcinek podstycznej na asymptocie

Stałą czasową T można również określić jako czas od chwili t = 0 do chwili, kiedy h(t) osiąga 63,2% swojej końcowej wartości ustalonej ka. Podstawiając t = T otrzymamy

Wartość współczynnika wzmocnienia elementu inercyjnego określamy z wykresu

charakterystyki skokowej jako stosunek h(∞)/a, gdzie h(∞) przedstawia maksymalną wartość charakterystyki skokowej (dla t → ∞) równą ka.

Wykres charakterystyki skokowej elementu inercyjnego o transmitancji
wraz z konstrukcjami geometrycznymi, obrazującymi sposoby wyznaczenia jego parametrów przedstawiony jest na rys. 4.4.

Transmitancja widmowa elementu inercyjnego ma postać:

(4.9)

Część rzeczywistą i urojoną
wyznaczamy mnożąc licznik i mianownik transmitancji przez liczbę zespoloną sprzężoną z mianownikiem

Stąd

(4.10)

Wykres G(jω) ma postać półokręgu o średnicy k, ze środkiem w punkcie (k/2, j0) (rys. 4.5). Przy zmianie wartości stałej czasowej T kształt krzywej pozostaje taki sam, zmienia się jedynie rozkład punktów odpowiadających pulsacjom ω₁, ω₂ itd.

Rys. 4.5. Charakterystyka amplitudowo-fazowa G(jω) członu inercyjnego

Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa ma postać:

Ostatecznie

(4.11)

Wykres L(ω) można uprościć, pomijając we wzorze (4.11) dla ω <1/T składnik T²ω², a dla ω > 1/T składnik 1 pod pierwiastkiem. Otrzymamy wówczas tzw. asymptotyczną logarytmiczną charakterystykę amplitudową :

(4.12

Pulsacja (częstotliwość kątowa) ω = 1/T nazywa się pulsacją sprzęgającą i oznacza się ją symbolem ω_s lub ω₀ .

Wykresy rzeczywistej i asymptotycznej charakterystyki amplitudowej przedstawione są na rys. 4.6a. Nachylenie opadającego odcinka charakterystyki asymptotycznej (dla ω > 1/T ) określimy obliczając przyrost L(ω) na dekadę:

(4.13)

Rys. 4.6. Logarytmiczne charakterystyki elementu inercyjnego pierwszego rzędu
, a) - charakterystyka amplitudowa, b) - charakterystyka fazowa

W praktyce, przy obliczeniach wstępnych posługujemy się charakterystykami asymptotycznymi, a przy obliczeniach dokładnych charakterystykami rzeczywistymi, które otrzymujemy w wyniku dokładnych obliczeń, najczęściej przy pomocy odpowiedniego oprogramowania komputerowego (programów symulacyjnych).

Logarytmiczna charakterystyka fazowa elementu inercyjnego

(4.14)

Wykres
przedstawiony jest na rys. 4.6b. Na wykresie oprócz charakterystyki rzeczywistej przedstawiono liniami przerywanymi stosowane niekiedy aproksymacje trójodcinkowe krzywej
. Aproksymacja
polega na zastąpieniu środkowego odcinka krzywej
prostą, bliską stycznej do
w jej punkcie przegięcia (ściśle, styczna osiąga 0° dla
oraz -90° dla
, natomiast
osiąga 0° dla
oraz -90° dla
, co ułatwia jej wykreślanie). Aproksymacja
polega na zastąpieniu środkowego odcinka krzywej
sieczną przechodzącą przez 0° dla
oraz -90° dla
.

Przykłady członu inercyjnego

1. Typowym przykładem członu inercyjnego jest kondensator ładowany przez rezystor (rys. 4.7). Z prawa Ohma możemy zapisać zależność na u₁(t) jako sumę spadku napięcia na rezystorze R i kondensatorze C. Wartość prądu płynącego przez kondensator zależy od pojemności tego kondensatora i prędkości zmian napięcia na jego okładzinach. Otrzymamy:

Podstawiając drugie równanie do pierwszego i zapisując człony związane z sygnałem wyjściowym po lewej stronie znaku równości a pozostałe po prawej otrzymamy

Fakt, że iloczyn RC posiada rozmiar sekundy ( [Ω⋅F] = [V/A⋅Q/V] = [V/A⋅As/V] = [s] ) uzasadnia nazwanie go stałą czasową T. Po wprowadzeniu tego oznaczenia otrzymujemy równanie analogiczne do równania 4.3.

2. Innym przykładem członu inercyjnego może być człon cieplny, np. termoelement (rys. 4.8). Składa się on z umieszczonych w obudowie, najczęściej ceramicznej, dwóch drutów z różnych metali. Jedne końce tych drutów są połączone spoiną, dwa pozostałe tworzą wolne tzw. zimne końce wyprowadzone poza obudowę. Termopara taka mierzy różnicę temperatur pomiędzy gorącymi i zimnymi jej końcami. Na skutek różnicy temperatury powstaje siła termoelektryczna

gdzie: θ - temperatura spoiny [°];

θ_o - temperatura zimnych końców [°];

α - współczynnik [V/°].

Rys. 4.8. Termoelement jako element inercyjny

Uproszczony model fizyczny takiego elementu otrzymamy na podstawie bilansu cieplnego

przy czym:

c_p - ciepło właściwe termoelementu wraz z obudową umieszczoną w ośrodku o temperaturze θ₁(t);

m - masa termoelementu

S - powierzchnia wymiany ciepła (obudowy termometru);

γ - współczynnik przewodzenia ciepła z ośrodka do wnętrza termoelementu.

Przyjmując temperaturę spoiny θ(t) zarówno jako współrzędną stanu jak i sygnał wyjściowy, otrzymane równanie można sprowadzić do równań (4.3) i (4.5), przy czym stała czasowa
, k = 1.

Człon oscylacyjny

Ogólna postać równania różniczkowego członu oscylacyjnego jest następująca:

(4.15)

przy czym
. Równaniu (4.15) odpowiada transmitancja operatorowa

(4.16)

gdzie: k - współczynnik proporcjonalności (wzmocnienia),

T₁, T₂ - stałe czasowe elementu.

Często stosuje się również inną postać równania różniczkowego członu oscylacyjnego,

ułatwiającą interpretację przebiegów przejściowych. Zapisuje się ją w postaci:

(4.17)

przy czym
Wówczas transmitancja przyjmie postać:

(4.18)

gdzie:
- pulsacja oscylacji własnych elementu,

- zredukowany (względny) współczynnik tłumienia.

Charakterystyka statyczna członu oscylacyjnego będzie identyczna jak charakterystyki

Członów inercyjnych.

Odpowiedź na wymuszenie skokowe x(t)=1(t)a obliczamy z relacji:

Pierwiastkami wielomianu N(s) są:

(4.19)

lub dla oznaczeń przyjętych w (4.17)

(4.20)

Jeśli będzie spełniony warunek
czyli
, charakterystyka skokowa będzie miała oscylacyjny charakter.

Pierwiastki s₁ i s₂ zapiszemy wówczas w postaci:

(4.21)

lub

(4.22)

Na podstawie wzoru (3.30) otrzymamy

(4.23)

Stosując wzory Eulera* oraz oznaczenia przyjęte w równaniu (4.17), charakterystykę skokową można przedstawić w postaci:

(4.24)

gdzie

. (4.25)

Ponieważ założyliśmy współczynnik tłumienia
, więc (wobec
) wykładnik potęgi funkcji wykładniczej jest ujemny więc amplituda oscylacji maleje. Wykres h(t) dla tego przypadku przedstawiony jest na rys. 4.9. Składowa ustalona przebiegu wynosi ka, a składowa przejściowa jest gasnącą sinusoidą, której okres jest stały i wynosi:

. (4.26)

Dla chwil t_a, w których kąt
ma wartości równe krotnościom
, a zatem h(t) osiąga amplitudę wynikającą ze wzoru (4.24), mamy

(4.27)

Wynikają stąd równania obwiedni drgań h₁(t) i h₂(t) pokazanych na rys. 4.9.

Rys. 4.9. Odpowiedź członu oscylacyjnego na wymuszenie skokowe 1(t)a

W przypadku gdy współczynnik tłumienia jest ujemny i zgodnie z warunkiem dla przebiegów oscylacyjnych wynosi
części rzeczywiste pierwiastków s₁ i s₂ są dodatnie. Prowadzi to do związków, w których funkcje trygonometryczne są mnożone przez funkcję wykładniczą rosnącą do nieskończoności wraz ze wzrostem czasu t. Wówczas dla obwiedni z rys. 4.9 otrzymamy:

a więc odpowiedź skokowa ma charakter oscylacji o rosnącej amplitudzie (rys. 4.10a).

Rys. 4.10. Charakterystyka skokowa członu oscylacyjnego: a) przy współczynniku tłumienia z zakresu
, b) przy współczynniku tłumienia

W przypadku szczególnym, kiedy współczynnik tłumienia jest równy zeru (
tzn. T₂ = 0), co odpowiada przypadkowi członu idealnego, w którym nie występują straty energii, części rzeczywiste pierwiastków s₁ i s₂ są równe zeru i charakterystyka skokowa ma charakter oscylacji nietłumionych (drgania zachowawcze o pulsacji
) o stałej amplitudzie (rys. 4.10b):

(4.28)

Jeżeli
, to pierwiastki s₁ i s₂ są ujemne rzeczywiste i przebieg h(t)­ traci charakter oscylacyjny. Również w przypadku, kiedy występuje tłumienie krytyczne a więc
, mamy podwójny, ujemny pierwiastek rzeczywisty, co odpowiada aperiodycznemu przebiegowi. Dokładna analiza tych przypadków przeprowadzona jest w rozdziale omawiającym człon inercyjny drugiego rzędu.

Transmitancja widmowa członu oscylacyjnego wyznaczona na podstawie transmitancji operatorowej (4.18) ma postać:

(4.29)

Część rzeczywista i urojona

(4.30)

Rys. 4.11. Charakterystyki amplitudowo-fazowe członu oscylacyjnego dla różnych wartości współczynnika tłumienia

Wykres
przedstawiono na rys. 4.11. Wykres ten zaczyna się w punkcie P(0) = k, Q(0) = 0 przy ω = 0 i kończy się przy ω = +∞ w punkcie P(+∞) = 0, Q(+∞) = 0. Charakterystyka ta jest krzywą, której przebieg - przy danych wartościach k i ω₀ - zależy od współczynnika tłumienia
. Przecina ona oś urojoną w punkcie P(ω₀)= 0, Q(ω₀) =
.

Moduł transmitancji widmowej

(4.31)

Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa

(4.32)

(4.32a)

Logarytmiczna charakterystyka fazowa:

(4.33)

(4.33a)

Wykresy charakterystyk logarytmicznych członu oscylacyjnego dla różnych wartości współczynnika tłumienia przedstawione zostały na rys. 4.12.

Rys. 4.12. Charakterystyki logarytmiczne członu oscylacyjnego

Dla
charakterystyka L(ω) osiąga maksimum przy
, przy czym wartość tego maksimum jest tym większa, im mniejszą wartość ma zredukowany współczynnik tłumienia ζ. Dla ζ = 0 maksimum występuje przy
i ma wartość nieskończenie wielką.

Ze względu na nieregularny kształt charakterystyk L(ω) aproksymacja za pomocą charakterystyk asymptotycznych jest stosowana tylko przy obliczeniach wstępnych, dla
(wówczas błąd aproksymacji nie przekracza wartości 6 dB).

Przy zmianie ω od 0 do ∞ przesunięcie fazowe zmienia się od 0 do -180°, przy czym dla
wynosi zawsze -90°.

Przykład członu oscylacyjnego. Zespół masa - tłumik - sprężyna.

Schemat takiego zespołu podano na rys. 4.13. Sygnałem wejściowym jest siła F, sygnałem wyjściowym jest przesunięcie masy y.

W stanie ustalonym siła F oraz ciężar mg są równoważone siłą wywieraną przez ugiętą sprężynę. Warunek ten zapiszemy następująco:

,

skąd

(4.34)

Odchylenie masy m z położenia równowagi

. (4.35)

W stanach nieustalonych, uwzględniając założenia upraszczające podane w punkcie 2.2, otrzymamy następujące równanie równowagi:

skąd

(4.36)

gdzie:

Człon inercyjny drugiego rzędu

Jeżeli w członie oscylacyjnym, opisanym przez równanie (4.15) współczynnik tłumienia
, to równanie charakterystyczne ma pierwiastki rzeczywiste ujemne (4.22) i człon ten staje się członem inercyjnym drugiego rzędu, zwanym dwuinercyjnym.

Przez człon dwuinercyjny będziemy rozumieli połączenie szeregowe dwóch członów inercyjnych. Z tego punktu widzenia można by pominąć jego omawianie. Istnieją jednak układy dynamiczne, w których te dwa człony inercyjne są ściśle ze sobą powiązane; dlatego omówimy taki człon oddzielnie. Równanie charakteryzujące człon dwuinercyjny jako zależność sygnału wyjściowego od wejściowego przedstawimy w postaci

(4.37)

Równanie charakterystyczne tego układu
powinno mieć pierwiastki rzeczywiste. Zapewnia to warunek
W postaci operatorowej równanie (4.37) zapiszemy

. (4.38)

Lewą stronę równania (4.38) można zapisać w innej formie

(4.39)

gdzie:

Transmitancja operatorowa członu dwuinercyjnego ma postać

(4.40)

Pierwiastki równania charakterystycznego są rzeczywiste i wynoszą:

Przebiegi czasowe tego członu są więc aperiodyczne.

Wzór na charakterystykę skokową znajdziemy bezpośrednio z tablic przekształceń Laplace'a

(4.41)

Przykładowy wykres charakterystyki skokowej elementu inercyjnego drugiego rzędu przedstawiony jest na rys. 4.14.

Rys. 4.14. Odpowiedź jednostkowa członu inercyjnego drugiego rzędu

Punkt przegięcia charakterystyki skokowej określimy, przyrównując do zera drugą pochodną.

Stałe czasowe T₃ i T₄ można wyznaczyć graficznie z wykresu charakterystyki skokowej (rys. 4.14). Współczynnik wzmocnienia członu inercyjnego drugiego rzędu k określa się tak samo jak członu inercyjnego (patrz rys. 4.4).

Charakterystykę amplitudowo-fazową oblicza się z relacji:

(4.42)

lub

(4.43)

Przekształcając (4.42) wydzielimy część rzeczywistą P(ω) i część urojoną Q(ω) transmitancji widmowej:

(4.44)

(4.45)

Wykres charakterystyki amplitudowo-fazowej członu inercyjnego drugiego rzędu przedstawiony jest na rys. 4.15).

Rys. 4.15. Charakterystyka amplitudowo-fazowa elementu inercyjnego drugiego rzędu

Moduł charakterystyki częstotliwościowej:

Logarytmiczną charakterystykę amplitudową oblicza się z relacji:

(4.46)

Charakterystyka ta może być aproksymowana trzema odcinkami prostych. Ma dwie pulsacje załamania (rys. 4.16):

oraz

Dla pulsacji
zależność (4.46) może być zastąpiona wyrażeniem przybliżonym:

co odpowiada prostej poziomej wyrażającej wzmocnienie k. Następnie dla pulsacji
charakterystyka amplitudowa może być aproksymowana wyrażeniem przybliżonym:

Jest to prosta o nachyleniu -20 dB/dek.

Dla
przybliżone wyrażenie tej charakterystyki będzie miało postać:

Temu równaniu odpowiada prosta o nachyleniu -40 dB/dek.

Charakterystykę fazową członu dwuinercyjnego określa wzór:

Rys. 4.16. Charakterystyki logarytmiczne członu inercyjnego drugiego rzędu

Przykład członu inercyjnego drugiego rzędu

Jako przykład członu inercyjnego drugiego rzędu rozpatrzymy ogrzewany zbiornik i zanurzony w cieczy znajdującej się w tym zbiorniku termometr rtęciowy (rys. 4.17). Bańka termometryczna może być uważana za układ pierwszego rzędu, który można opisać liniowym równaniem różniczkowym pierwszego rzędu. Wyprowadzimy to równanie przy następujących założeniach:

- rozpatrujemy termometr rtęciowy, zanurzony gwałtownie w cieczy o temperaturze ϑ₁;

- pojemność cieplną szkła pomijamy;

- rtęć ma jednakową temperaturę ϑ₂.

Ogólna postać równania cieplnego stanu nieustalonego takiego układu:

natężenie dopływu ciepła - natężenie odpływu ciepła = zmiana energii wewnętrznej

a więc dla termometru:

gdzie : M - masa rtęci;

c_pr - ciepło właściwe rtęci;

α - ogólny współczynnik przenikania ciepła;

A - powierzchnia przenikania ciepła;

t - czas.

Równanie cieplne przyjmuje zatem jedną z poniższych form:

lub

Wyrażenie Mc_pr/αA ma wymiar czasu i nazywa się stałą czasową T układu. Wielkość T jest miarą czasu potrzebnego dla dopasowania się układu do nowej wartości wejściowej. Analogicznie do układów elektrycznych, w których stała czasowa jest iloczynem rezystancji i pojemności elektrycznej RC , stała czasowa termometru jest iloczynem oporności cieplnej 1/αA i pojemności cieplnej Mc_p.

Jeśli układ można potraktować jako układ pierwszego rzędu, stałą czasową otrzymuje się bezpośrednio z wartości oporu i współczynnika pojemności układu, bez potrzeby układania równania bilansu materiałowego.

Analogiczne rozumowanie dotyczące zbiornika pozwoli zapisać równanie cieplne zbiornika w postaci

gdzie: M_c - masa cieczy w zbiorniku;

c_pc - ciepło właściwe cieczy.

Podstawiając do tego równania ϑ₁ wyliczone z równania dla termome­tru otrzymamy

gdzie:

4.3. Człony całkujące

Ogólna postać równania różniczkowego idealnego członu całkującego jest następująca:

(4.47)

Postać całkowa, przy zerowych warunkach początkowych

(4.48)

skąd wynika transmitancja

(4.49)

Współczynnik k definiuje się jako

Równanie charakterystyki statycznej wynika z (4.47) i ma postać

a jej wykres podano na rys. 4.18a. Pewna analiza tego wykresu zamieszczona została w opisie przykładu członu całkującego.

Rys. 4.18. Charakterystyka statyczna członu całkującego: a) współrzędne odchyłek, b) współrzędne wartości absolutnych (patrz przykład)

Odpowiedź na wymuszenie skokowe
wyznaczamy z definicji:

(4.50)

Wykres h(t) członu idealnie całkującego przedstawiony jest na rys. 4.19

W przypadku szczególnym kiedy wejście i wyjście są sygnałami jednoimiennymi, współczynnik k ma wymiar odwrotności czasu. Równanie (4.47) przedstawia się wówczas w postaci

(4.51)

której odpowiada transmitancja

(4.52)

gdzie T jest stałą czasową akcji całkującej lub krócej - stałą całkowania. Stałą tą można odszukać na wykresie odpowiedzi skokowej zgodnie z rys. 4.19b.

Rys. 4.19. Odpowiedzi skokowe członu całkującego: a) G(s)=k/s, b) G(s)=1/Ts

Transmitancję widmową elementu całkującego wyznaczymy na podstawie transmitancji operatorowej (4.52)

(4.53)

Części rzeczywista i urojona
są równe:

(4.54)

Logarytmiczne charakterystyki amplitudowa i fazowa:

(4.55)

(4.56)

Wykresy podano na rys. 4.20.

Rys. 4. 20. Charakterystyki idealnego członu całkującego: a) charakterystyka amplitudowo-fazowa, b) logarytmiczne charakterystyki amplitudowa i fazowa

Przykład . Zespół rozdzielacz - siłownik hydrauliczny

Schemat elementu przedstawiono na rys. 4.21 Wielkością wejściową jest przesunięcie x tłoczków rozdzielacza, wielkością wyjściową jest przesunięcie y tłoczyska siłownika.

Rys. 4.21. Zespół rozdzielacz-siłownik hydrauliczny

Założenia:

a) p_z = const, p_s = const.

b) obciążenie siłownika ma wartość zerową,

c) prędkość przepływu oleju przez szczeliny rozdzielacza v = const (wynika to z założeń a i b).

Stan ustalony y = const zachodzi dla x = 0. Charakterystyka statyczna ma kształt podany na rys. 4.18.

Stan dynamiczny opisuje zależność:

gdzie Q - natężenie przepływu oleju przez szczeliny rozdzielacza, A - powierzchnia efektywna tłoka siłownika.

Uwzględniając równanie ciągłości

(xb jest przekrojem szczeliny przepływowej) otrzymamy

(4.57)

gdzie T = A/bv.

Transmitancja elementu:

(4.58)

Jeżeli siłownik zostanie obciążony siłą F, stałą co do wielkości i kierunku, to rozważany element przestanie być liniowy, gdyż wartość stałej czasowej T zależeć będzie od kierunku przesunięć. Przy przesunięciach tłoka zgodnych z kierunkiem działania siły F, spadki ciśnienia w szczelinach rozdzielacza wyniosą

(wtedy v = c₁ i T = T₂).

Często spotyka się człony całkujące nie idealne. Rozpatrzymy dwa takie przypadki.

Człon całkujący z opóźnieniem (człon całkujący rzeczywisty) opisuje równanie różniczkowe

(4.59)

Jego transmitancja operatorowa ma postać

(4.60)

zaś wzór na charakterystykę skokową znajdziemy w tablicy przekształceń Laplace'a

Rys. 4.22. Charakterystyka skokowa członu całkującego z opóźnieniem

(4.61)

Wykres tej charakterystyki przedstawiony jest na rys. 4.22.

Charakterystyki częstotliwościowe można wyrazić następująco:

• transmitancja widmowa

(4.62)

• części rzeczywista i urojona

(4.63)

• moduł M(ω)

(4.64)

• logarytmiczna charakterystyka fazowa

(4.65)

• zaś logarytmiczna charakterystyka amplitudowa L(ω)

(4.66)

Przykładowe charakterystyki częstotliwościowe członu całkującego rzeczywistego przedstawione są na rys. 4.23 i 4.24.

Rys. 4.23. Charakterystyka amplitudowo-fazowa członu całkującego rzeczywistego

Rys. 4.24. Charakterystyki logarytmiczne członu całkującego rzeczywistego

Przykład. Silnik dwufazowy asynchroniczny

Dwufazowe silniki asynchroniczne często wykorzystuje się w UAR. Najczęściej znajdują zastosowanie w układach śledzących małej mocy. Wykonywane są zazwyczaj w dwóch wersjach: z kubkowym, zazwyczaj aluminiowym wirnikiem oraz z ferromagnetycznym wirnikiem, posiadającym krótko zwarte uzwojenie. Pierwszy typ silnika ma co prawda mniejszą sprawność energetyczną, jednak mała bezwładność i lepsze parametry regulacji prędkości obrotowej preferują jego stosowanie. Moc omawianych silników nie przekracza 100÷200 W. Schemat elektryczny

silnika dwufazowego przedstawiony jest na rys. 4.25.

Zakładając stałą amplitudę napięcia wzbudzenia można napisać

(4.67)

gdzie:

- prędkość obrotowa silnika, [rad/s]; α - kąt obrotu wału silnika, [rad]; U_x - wartość skuteczna napięcia na uzwojeniu sterującym silnika, [V]; M - moment napędowy silnika, [Nm]; c_e, c_M - współczynniki stałe silnika, [V⋅s/rad]; [N⋅m/V].

Równocześnie możemy napisać równanie momentów

(4.68)

gdzie: I - moment bezwładności, [kg⋅m²]; M_st - statyczny moment oporu.

Rys. 4.25. Asynchroniczny silnik dwufazowy jako przykład członu całkującego z inercją

Łącząc równania (4.67), (4.68) możemy zapisać ostateczne równanie silnika dwufazowego w postaci operatorowej

(4.69)

gdzie: k_s =1/c_e, k_em=1/c_ec_M - współczynniki silnika odpowiadające torowi sterowania i torowi zakłóceń; T_em= I/(c_ec_M) - elektromechaniczna stała czasowa, [s];

Transmitancja przejścia silnika przyjmie postać:

(4.70)

Człon izodromowy

Członem izodromowym nazywamy człon automatyki, dla którego równanie opisujące dynamikę ma postać:

(4.71)

Transmitancja operatorowa wyraża się wzorem

(4.72)

gdzie:
- stała czasowa członu izodromowego.

Z przedstawionych zależności wynika, że omawiany człon można przedstawić jako sumę działania dwóch członów (połączenie równoległe): idealnego całkującego ze współczynnikiem k i proporcjonalnego o współczynniku proporcjonalności k₁.

Charakterystyka skokowa będzie sumą charakterystyk skokowych członu proporcjonalnego i całkującego idealnego

(4.73)

Wykres tej charakterystyki przedstawiony jest na rys. 4.26.

Rys. 4.26. Charakterystyka skokowa członu izodromowego

Transmitancja widmowa ma postać

(4.74)

a charakterystyki logarytmiczne liczy się ze wzorów

(4.75)

(4.76)

Wykresy tych charakterystyk przedstawione są na rys. 4.27.

Rys. 4.27. Charakterystyki członu izodromowego
: a) charakterystyka a-f, b) logarytmiczne amplitudowa i fazowa

4.4. Elementy różniczkujące

Idealny element różniczkujący

Równanie idealnego elementu różniczkującego jest następujące:

(4.77)

skąd wynika transmitancja

(4.78)

Współczynnik k definiuje się jako:

W stanie ustalonym y = 0 (y₀ = const) dla wszystkich x. Wykresy charakterystyki statycznej podano na rys. 4.28.

Rys. 4.28. Charakterystyka statyczna członu różniczkującego idealnego: a) współrzędne odchyłek, b) współrzędne wartości absolutnych

Odpowiedź na wymuszenie skokowe
jest funkcją Diraca pomnożoną przez k oraz przez amplitudę skoku a. Mamy bowiem

Na podstawie tablicy przekształceń Laplace'a

(4.79)

a zatem

(4.80)

W przypadku szczególnym, kiedy wejście i wyjście są sygnałami jednoimiennymi, równanie (4.77) zapisuje się w postaci

(4.81)

której odpowiada transmitancja

(4.82)

gdzie T_D jest stałą czasową akcji różniczkującej lub krócej - stałą różniczkowania.

Odpowiedź na wymuszenie skokowe jest w tym przypadku funkcją Diraca pomnożoną przez T_D⋅ a, a zatem jest również opisana przez (4.80).

Transmitancja widmowa idealnego elementu różniczkującego, wyznaczona na podstawie transmitancji operatorowej (4.82) jest następująca:

(4.83)

Części rzeczywista i urojona :

(4.84)

Logarytmiczne charakterystyki amplitudowa i fazowa mają postać:

(4.85)

(4.86)

Wykresy
podano na rys. 4.29.

Rys. 4.29. Charakterystyki częstotliwościowe idealnego członu różniczkującego:

a) charakterystyka a-f, b) logarytmiczne charakterystyki amplitudowa i fazowa

Idealnego elementu różniczkującego nie można zrealizować praktycznie, ale poznanie jego własności jest celowe z tego względu, że często w elementach złożonych wyodrębnia się jako jeden ze składników idealne działanie różniczkujące. Ponadto, idealny element różniczkujący traktuje się niekiedy jako pierwsze przybliżenie rzeczywistego elementu różniczkującego.

Rzeczywisty człon różniczkujący

Ogólna postać równania rzeczywistego elementu różniczkującego jest następująca:

(4.87)

skąd wynika jego transmitancja

(4.88)

gdzie k jest współczynnikiem proporcjonalności, a T stałą czasową członu.

Jeżeli wejście i wyjście są sygnałami jednoimiennymi, równanie różniczkowe zapisuje się w postaci

(4.89)

której odpowiada transmitancja

(4.90)

Charakterystyka statyczna będzie oczywiście identyczna z podaną na rys. 4.28 , natomiast odpowiedź na wymuszenie skokowe wyznaczamy z transmitancji (4.88) na podstawie tablicy przekształceń Laplace'a :

(4.91)

Wyznaczając tę odpowiedź z transmitancji ( 4.90) otrzymamy:

(4.92)

Wykres y(t) przedstawiono na rys. 4.30.

Rys. 4.30. Odpowiedź rzeczywistego członu różniczkującego na wymuszenie skokowe

Transmitancja widmowa rzeczywistego elementu różniczkującego, wyznaczona na podstawie transmitancji operatorowej (4.90) ma postać

(4.93)

Części rzeczywista i urojona :

(4.94)

Wykres ma postać półokręgu o średnicy 1, ze środkiem w punkcie
(rys. 4.31).

Rys. 4.31. Charakterystyka amplitudowo-fazowa członu różniczkującego rzeczywistego

Logarytmiczne charakterystyki amplitudowa i fazowa:

Rys. 4.32. Charakterystyki logarytmiczne: amplitudowa i fazowa członu różniczkującego rzeczywistego

(4.95)

(4.96)

Wykresy i przedstawiono na rys. 4.32. Liniami ciągłymi zaznaczono charakterystyki rzeczywiste, a liniami kreskowanymi charakterystyki asymptotyczne, przy czym asymptotyczną charakterystykę fazową narysowano zgodnie z aproksymacją

Przykład. Tłumik hydrauliczny ze sprężyną

Schemat elementu podano na rys. 4.33. Wielkością wejściową jest przesunięcie x cylindra tłumika, wielkością wyjściową jest przesunięcie y tłoczka tego tłumika.

Stan ustalony zachodzi wówczas, kiedy sprężyna nie jest napięta, tzn. kiedy nie wywiera żadnej siły na tłoczek i nie powoduje przesuwania się tłoczka względem cylindra. równanie charakterystyki statycznej jest więc

dla wszystkich x (ściśle: dla wszystkich x nie powodujących oparcia się tłoczka o dno cylindra). Wykres tej charakterystyki pokazano na rys. 4.28.

W stanach nieustalonych siła wywierana przez ugięta sprężynę równoważona jest siłą oporu hydraulicznego tłumika, proporcjonalną do prędkości v_w względem cylindra

gdzie c_s - sztywność sprężyny, c_t - stała tłumika, proporcjonalna do powierzchni A tłoczka, odwrotnie proporcjonalna do przekroju f szczeliny przepływowej oraz zależna od lepkości cieczy i kształtu szczeliny przepływowej.

Oznaczając stałą czasową elementu

otrzymamy równanie odpowiadające postaci ogólnej (4.89)

oraz transmitancję

4.5. Człony opóźniające

Równanie członu opóźniającego ma postać

(4.97)

skąd, na podstawie twierdzenia o przesunięciu rzeczywistym, wynika jego transmitancja

(4.98)

Z podanych równań wynika, że element opóźniający nie zniekształca sygnału wejściowego, lecz jedynie przesuwa go w czasie.

Transmitancja widmowa członu opóźniającego z definicji ma postać:

(4.99)

a część rzeczywista i urojona

(4.100)

Logarytmiczne charakterystyki amplitudowa i fazowa dane są zależnościami:

(4.101)

(4.102)

Wykresy omawianych charakterystyk członu opóźniającego przedstawione są na rys. 4.34 i 4.35. Charakterystyka amplitudowo-fazowa G(jω) ma postać okręgu o promieniu równym jedności. Ze wzrostem pulsacji ω przesunięcie fazowe ϕ(ω) osiąga coraz większe wartości ujemne, dążąc do -∞ przy ω dążącym do +∞.

Członami opóźniającymi są w szczególności urządzenia służące do przemieszczania (transportu) substancji, jeżeli miejsce wprowadzenia sygnału wejściowego x i miejsce odbioru sygnału wyjściowego y znajdują się w pewnej odległości od siebie.

Rys. 4.34. Charakterystyka skokowa członu opóźniającego

Rys. 4.35. Charakterystyki członu opóźniającego:
a) amplitudowo-fazowa, b) logarytmiczne charakterystyki amplitudowa i fazowa

Przykład. Podajnik taśmowy

Schemat układu przedstawiony jest na rys. 4.36. Sygnałem wejściowym jest grubość x warstwy przesyłanego materiału na początku podajnika, zaś sygnałem wyjściowym grubość y tejże warstwy, ale na końcu podajnika.

Opóźnienie transportowe τ będzie wynosić

,

gdzie: l - odległość [m], v - prędkość posuwu taśmy [m/s].

Transmitancja podajnika

Rys. 4.36. Schemat podajnika taśmowego

*

Michał Chłędowski WYKŁADY Z AUTOMATYKI dla mechaników 96

95 4. Podstawowe człony automatyki

---