Przygotowali:

Magdalena Maciąg

Sandra Haida

Weronika Jędrasik

Wioleta Grosz

Paweł Grzesiński

Dominika Stawicka

Projekt grupa 3

• Ruch toczny bryły sztywnej, zasady

dynamiki w ruchu obrotowym

• Grawitacja, prawa Keplera
• Drgania i fale
• Wahadła
• Interferencja fal mechanicznych,

dudnienia, fale stojące

• Akustyka

Ruch toczny bryły sztywnej

RUCH TOCZNY

Ruch toczny

jest

wynikiem
zsumowania ruchu
wyłącznie

obrotowego

oraz

ruchu wyłącznie

postępowego

.

V

ŚM

RUCH KOŁA

Ruch wyłącznie obrotowy + ruch wyłącznie postępowy = RUCH TOCZNY

*Górna część koła porusza się szybciej niż dolna,
*Prędkość liniowa punktu P wynosi ZERO,
*Prędkość liniowa punktu górnego jest równa 2V

ŚM,

*Jest to wygląd ruchu oczami nieruchomego
obserwatora.

P

P

P

G

G

G

V=2V

ŚM

V= -V

ŚM +

V

ŚM

= 0

*

Ruch wyłącznie obrotowy w przypadku tego koła polega

na tym, iż wszystkie punkty koła wykonują ruch
obrotowy z jednakową prędkością kątową

Wszystkie punkty na obrzeżu koła poruszają się z

prędkością liniową o takiej samej wartości bezwzględnej
V=V

ŚM.

*

Ruch wyłącznie postępowy polega na tym, iż wszystkie

punkty koła w naszym przypadku poruszają się w prawo,
z taką samą prędkością jak jego środek masy, czyli V

ŚM

.

*

Ruch koła gdy następuje jego toczenie jest złożeniem

ruchu

z pierwszego rysunku z ruchem z drugiego rysunku.

Krótko o bryle sztywnej

Przez

bryłę sztywną

rozumiemy ciało,

które pod działaniem dowolnie
wielkich sił nie ulega ani
odkształceniu postaci (zmiana
kształtu), ani odkształceniu objętości.
Odległość dwóch dowolnych punktów
bryły sztywnej pozostaje niezmienna.

Rys. 1

Rys. 2

Bryła sztywna może wykonywać dwa rodzaje ruchów prostych:

ruch postępowy i ruch obrotowy

.

Ruch postępowy

bryły sztywnej jest to taki ruch, przy którym

dowolny odcinek łączy dwa punkty bryły, np. A i B ( co
przestawia rys. 1 ), zachowuje stale położenie do siebie
równoległe. Wszystkie punkty bryły sztywnej, odbywającej ruch
postępowy, zakreślają drogi równe oraz mają jednakowe
prędkości i przyspieszenia.
Jeśli bryła sztywna wprawiona jest w

ruch obrotowy

, można w

niej wyodrębnić szereg punktów nie poruszających się. Zbiór
tych punktów leżących na jednej prostej stanowi tzw. Oś
obrotu. Oś obrotu jest stała, jeżeli z biegiem czasu nie zmienia
swego położenia ani w ciele ani w przestrzeni. Pozostałe
punkty bryły zataczają tory kołowe w płaszczyznach
prostopadłych do osi. Promienie tych kół równe są
odległościom rozpatrywanych punktów od osi obrotu.

TOCZENIE SIĘ BRYŁY

SZTYWNEJ

Toczenie się bryły sztywnej o symetrii obrotowej

( np. walca, kuli itp. ) jest ruchem złożonym z ruchu
postępowego środka masy bryły i ruchu obrotowego
wokół osi przechodzącej przez jej środek masy.

Prędkość ruchu środka masy bryły i prędkość

kątową jej obrotu są związane ze sobą wzorem: v =
r

Całkowita energia kinetyczna toczącej się bryły

jest sumą energii związanej z ruchem postępowym i
energii ruchu obrotowego. Zatem:

E

k, całk

= E

k, post

+ E

k, obr

= ½ mv + ½ I

2

2

= ½ ( m + I/r ) v

2

2

Gdzie: m – masa ciała, v – prędkość, I – moment
bezwładności, r – promień ciała, -prędkość
kątowa ruchu obrotowego (dla toczenia się bez
poślizgu)

Tarcie przy toczeniu

• Jeżeli ciało porusza się ruchem jednostajnym (nie działa żadna

siła), to brak tarcia i brak poślizgu.

• Jeżeli na ciało działa siła wypadkowa, to pojawia się skłonność

do poślizgu wraz z siłą tarcia, przeciwdziałającą poślizgowi.

Gdy nie ślizga się — tarcie statyczne

f

s

Gdy ślizga się — tarcie kinetyczne

f

k

fs > fk

Np. Gdyby nie było siły tarcia to nie moglibyśmy przyspieszać na rowerze!

Taki jest kierunek siły tarcia i przyspieszenia, gdy

hamujemy

( 1 )

oraz gdy

przyspieszamy

( 2 ):

1.

2.

f

s

f

s

Tarcie zawsze pomaga!

Twierdzenie Steinera

Moment bezwładności ciała wyznaczany jest

zawsze względem jakiejś osi obrotu i dla różnych
osi zwykle jest różny. Twierdzenie Steinera mówi
nam , że jeśli znamy moment bezwładności

I₀

ciała względem osi obrotu przechodzącej przez
środek masy ciała, to możemy wyznaczyć
moment bezwładności

I

tego ciała względem

innej osi obrotu, pod warunkiem jednak, że jest
ona równoległa do tej pierwszej:

I = I₀ + M d²

Gdzie

M

jest masą ciała a

d

określa odległość pomiędzy

osiami obrotu.

DYNAMIKA RUCHU

OBROTOWEGO

Ruch obrotowy

to taki ruch, w którym wszystkie punkty bryły

sztywnej poruszają się po okręgach o środkach leżących na jednej

prostej zwanej osią obrotu. Np. ruch Ziemi wokół własnej osi. Jest to

ruch złożony z ruchu postępowego środka masy danego ciała oraz

ruchu obrotowego względem pewnej osi. Środek masy ciała można

uważać za punkt materialny. Do opisania ruchu obrotowego używa

się odmiennych pojęć od używanych do opisania ruchu

postępowego.

Podstawowym prawem opisującym ruch bryły sztywnej jest

druga

zasada dynamiki ruchu obrotowego:

Przyspieszenie kątowe,

jakie uzyskuje ciało sztywne w ruch obrotowym jest wprost

proporcjonalne do momentu siły działającego na ciało i odwrotnie
proporcjonalne do jego momentu bezwładności:

M = I

Є (M-

moment siły względem osi obrotu, I- moment bezwładności ciała względem

osi obrotu, Є- przyspieszenie kątowe wywołane działaniem siły o momencie

M i Є = ∆ω/ ∆t)

r x F = M = dL/ dt

gdzie M jest momentem siły względem obranego punktu odniesienia,
a L - krętem względem tego samego punktu odniesienia.

Jeżeli obrót odbywa się względem osi stałej lub sztywnej
wówczas druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
może być napisana w następujący sposób:

M = I dω/ dt = I

Є

gdzie M oznacza moment siły a I moment bezwładności

względem osi obrotu.

Czasem ta sama siła może powodować ruch postępowy i
obrotowy. Wówczas dzieląc obie strony poprzedniego
równania przez r oraz dodając po prawej stronie wyraz
odnoszący się do ruchu postępowego można otrzymać II
zasadę dynamiki w postaci bardziej ogólnej:

F = I

Є

/ r + ma

Gdy brak momentu sił zewnętrznych (M = 0), z równania

M = I dω/dt = I

Є otrzymać można zasadę

zachowania krętu:

L = Iω = const

Moment bezwładności I punktu materialnego o masie m
znajdującego się w odległości r od osi obrotu wyraża się
wzorem: I = mr

2

Pierwsza zasada dynamiki ruchu
obrotowego

:

W inercjalnym układzie odniesienia bryła nie
obraca się lub obraca się ruchem jednostajnym
(ω = const), gdy nie działają na nie żadne
momenty sił lub gdy działające momenty sił się
wzajemnie równoważą.

Jest oczywiste, że

I zasada dynamiki dla ruchu

obrotowego

jest szczególnym przypadkiem

II

zasady

. Jeżeli bowiem moment siły M = 0, to

przyspieszenie
kątowe

Є

= 0 i prędkość kątowa ω = const.

Zasada zachowania momentu pędu dla układu
odosobnionego: I

pocz

ω

pocz

= I

końc

ω

końc.

Trzecia zasada dynamiki ruchu

obrotowego

Istnienie momentu siły działającego na
daną bryłę jest zawsze wynikiem
oddziaływania na nią innej bryły.

Trzecia zasada ruchu obrotowego mówi,
że:

Jeżeli na bryłę A działa bryła B pewnym
momentem siły M

AB

, to bryła B działa na A

momentem M

BA

równym co do wartości,

lecz przeciwnie skierowanym (M

AB

= -

M

BA

).

Grawitacja i prawa Keplera

Zagadnienia:

• Definicja grawitacji
• Ogólna teoria względności
• Prawo powszechnego ciążenia
• Siła grawitacji
• Grawitacja na powierzchni Ziemi

Grawitacja:

• Grawitacja (nazywana czasami ciążeniem powszechnym) jest

oddziaływaniem, które sprawia, że obiekty astronomiczne tworzą się z
rozrzedzonych obłoków gazu wypełniających Wszechświat. Ciążenie
powoduje zapadanie się tych struktur i powstawanie galaktyk, gwiazd i
planet. W codziennym życiu ciążenie objawia się nam w postaci
przyspieszenia ziemskiego. Jabłka oraz inne przedmioty spadają, bo
działa na nie grawitacja. W skali astronomicznej ciążenie wyjaśnia,
dlaczego planety krążą wokół Słońca, a Księżyc dookoła Ziemi.
Grawitacja zawsze powoduje przyciąganie, a nigdy odpychanie. W
szczególnym przypadku ciążenie może spowodować zapadanie się
gwiazd i powstawanie czarnych dziur.

• Oddziaływanie grawitacyjne jest zależne od masy posiadanej przez

poszczególne ciała i od odległości między nimi.

• Najważniejszą cechą grawitacji jest jej powszechność. Ciążenie działa

tak samo na wszystkie ciała niezależnie od ich natury. Jednym
czynnikiem wpływającym na grawitację jest masa/energia
wpływających na siebie obiektów. Nie można w żaden sposób zakłócić,
ani odizolować żadnego ciała od wpływu ciążenia.

Ogólna Teoria Względności:

• Stworzona przez Alberta Einsteina,

• opis grawitacji polega na określeniu związku pomiędzy tensorem

metrycznym opisującym lokalne stosunki długości i interwałów

czasowych w czasoprzestrzeni, a energią zawartą w określonym

obszarze czasoprzestrzeni. Punktem wyjścia dla teorii jest uogólnienie

zasady względności Galileusza, o równoważności opisu zjawisk

fizycznych w dowolnych układach inercjalnych, na dowolne także

nieinercjalne układy odniesienia. Próba takiego zapisania praw

mechaniki, aby ich postać matematyczna była identyczna w dowolnym

układzie odniesienia, prowadzi do utożsamienia grawitacji i sił

bezwładności, masy grawitacyjnej i bezwładnej i w końcu do równań

pola grawitacyjnego łączących krzywiznę przestrzeni z tensorem

energii-pędu oraz tensorem metrycznym. Można powiedzieć, że w

ogólnej teorii względności grawitacja jest konsekwencją zakrzywienia

czasoprzestrzeni.

• Zakrzywienie to opisuje tensor metryczny gμν definiujący w

czasoprzestrzeni odległość między dwoma punktami o współrzędnych

xμ i xμ + dxμ

• W ujęciu ogólnej teorii względności postuluje się, że źródłem

grawitacji jest tensor energii-pędu. Nawet cząstki pozbawione
masy spoczynkowej (foton) doznają wpływu wynikającego z
zakrzywienia przestrzeni a więc oddziałują grawitacyjnie.
Generalnie, źródłem grawitacji są wszelkie postacie energii dające
wkład do wyżej wymienionego tensora energii pędu: masy,
gęstość energii promieniowania i ciśnienia. W szczególności wkład
ciśnienia jest identyczny z wkładem masy czyli wzrost ciśnienia
powoduje wzrost sił przyciągających nie zaś jak podpowiada nam
intuicja, spadek

.

Prawo Powszechnego Ciążenia:

• Prawo powszechnego ciążenia: Między dowolną parą

ciał posiadających masy pojawia się siła przyciągająca,
która działa na linii łączącej ich środki, a jej wartość rośnie z
iloczynem ich mas i maleje z kwadratem odległości.

• Dnia 5 czerwca roku 1686 Izaak Newton wydał dzieło, w

którym przedstawił spójną teorię grawitacji opisującą
zarówno spadanie obiektów na ziemi, jak i ruch ciał
niebieskich. Oparł się na zaproponowanych przez siebie
zasadach dynamiki oraz prawach Keplera dotyczących
odległości planety od Słońca.

• Związek ten wyraża się wzorem:

gdzie: G – stała grawitacji (Cavendish) = 6.67·10-11 Nm2/kg2,

m1,m2 – masy ciał, r – odległość mas

• Zasada superpozycji –(podlega jej siła ciężkości), jeżeli oddziałuje

ze sobą n-cząstek, to Fwypadkowa (F1wypad.) działająca na
cząstkę1 jest sumą sił działających na nią ze strony wszystkich

innych cząstek (lub całką, gdy jest to ciało rozciągłe).

Pozycja g w Prawie Powszechnego Ciążenia:

• + 

Siła grawitacji:

• Stała grawitacji została uznana za jedną z podstawowych

stałych fizycznych. Obecnie jej wartość zmierzono jako równą:

• Pole grawitacyjne jest polem potencjalnym. Praca wykonywana w

tym polu nie zależy od drogi po jakiej przemieszczają się ciała,

tylko od różnicy potencjałów w punkcie początkowym i końcowym.

Możliwe jest zatem zdefiniowanie funkcji U, która opisuje potencjał

pola grawitacyjnego. Spełnia ona następującą zależność:

korzystając z tego równania można obliczyć energię potencjalną

pola grawitacyjnego.

Grawitacja na powierzchni Ziemi:

• Kiedy znajdujemy się na powierzchni naszej planety, odległość od środka

ciężkości Ziemi jest dużo większa niż wysokość, na której możemy się

przemieszczać (bez rakiet). W takiej sytuacji można założyć, że pole grawitacyjne

jest jednorodne.

• Korzystając z zależności na siłę grawitacyjną można obliczyć, że przedmiot o

masie m na powierzchni naszej planety działa siła Fg:

gdzie Mz ≈ 5,9736×1024 kg – masa Ziemi, rz ≈ 6373,14 km ,a zgodnie z drugą zasadą

dynamiki:

Podstawiając zależność na siłę można obliczyć przyspieszenie ziemskie (g):

W praktyce wartość przyspieszenia ziemskiego zależy od wielu czynników.

Umowna wartość g (dodaje się indeks "n" w celu zaznaczenia, że jest to

przyspieszenie "normalne") to: gn = ok. 9,80665 m/s2.

Prawa Keplera:

• Johannes Kepler – sformułował 3 prawa ruchu planet na początku

XVII w. na podstawie obserwacji dokonanych przez Tychona Brahe.
Wynikało z nich jednoznacznie, że planety nie krążą wokół Słońca
po okręgach, jak przyjmował Kopernik. Wierząc jednak w
zasadniczą słuszność teorii Polaka, Kepler poszukiwał innej
nieskomplikowanej krzywej, po której odbywa się ruch planet.

I prawo: Wszystkie planety poruszają się po orbitach w kształcie

elipsy, w której ognisku znajduje się Słońce.

Dla dowolnych P1 i P2, gdzie O to Słońce.
Z praw mechaniki wynika, że prawo to jest spełnione w

przybliżeniu bardzo dużej masy Słońca.

gdzie: a - półoś elipsy; F1, F2, ogniska elipsy; p - planeta np.

Ziemia

II prawo: W równych jednostkach czasu, promień wodzący planety

poprowadzony od Słońca zakreśla równe pola. Wynika stąd, że w

peryhelium (w pobliżu Słońca), planeta porusza się szybciej niż w aphelium

(daleko od Słońca). Dla danej planety stałą wielkością jest jej tzw. prędkość

polowa (tj. pole powierzchni figury ograniczonej łukiem elipsy zakreślanym

przez planetę w jednostce czasu i odległościami od końców łuku do

ogniska). jeśli S to pole powierzchni zakreślone przez tę linię, to wielkość

dS/dt jest stała (stwierdzenie to jest równoważne z zasadą zachowania

momentu pędu).

•

• Wynika z tego, że planeta w ciągu takiego samego czasu przebywa dłuższą

drogę w pobliżu peryhelium, niż w pobliżu aphelium. Czyli prędkość liniowa

w pobliżu peryhelium jest większa niż w aphelium. Na przykład 'e Ziemi' =

0,01672 i prędkości Ziemi w per=30,3 km/s, a ap=29,3 km/s.

• Rozpatrujemy planetę, która porusza się w polu grawitacyjnym Słońca,

gdzie: m - masa tej planety; M - masa Słońca; r - odległość tej planety od

Słońca; T - okres obiegu planety wokół Słońca. Zakładamy, ze planeta

porusza się po okręgu, zatem siła dośrodkowa jest równa sile

oddziaływania grawitacyjnego między tymi planetami.

• III prawo:

stosunek kwadratu okresu obiegu planety wokół Słońca

stosunek kwadratu okresu obiegu planety wokół Słońca

do sześcianu średniej arytmetycznej największego i najmniejszego

do sześcianu średniej arytmetycznej największego i najmniejszego

oddalenia od Słońca jest stały dla wszystkich planet w Układzie

oddalenia od Słońca jest stały dla wszystkich planet w Układzie

Słonecznym.

Słonecznym.

•

•

Dla orbit kołowych o promieniu r półoś wielka a jest równa

Dla orbit kołowych o promieniu r półoś wielka a jest równa

promieniowi orbity r i prawo to przybiera postać:

promieniowi orbity r i prawo to przybiera postać:

•

Równanie obowiązuje także dla elips – zamiast r należy wstawić a

Równanie obowiązuje także dla elips – zamiast r należy wstawić a

(półoś wielką elipsy)

(półoś wielką elipsy)

Drgania i fale

DRGANIA

• Definicja drgania i warunki drgań

• Szczególne rodzaje drgań
1. Wahadło matematyczne
2. Wahadło fizyczne
3. Wahadło Foucaulta

• Ruch harmoniczny

• Okres i częstotliwość drgań

• Prędkość i przyspieszenie

• Energia w ruchu harmonicznym

• Drgania harmoniczne tłumione

• Drgania harmoniczne wymuszone

• Składanie drgań równoległych

• Składanie drgań prostopadłych

• Rozchodzenie się fal w ośrodku sprężystym

Definicja drgań i ich warunki

• Drgania to procesy, w trakcie

których wielkości fizyczne na
przemian rosną i maleją w czasie.

• Warunki drgań:
1. Występowanie położenia równowagi

i siły zwrotnej

2. Bezwładność
3. Niezbyt duże opory

Wahadło matematyczne

•

Idealny układ, składający się z nieważkiej i nierozciągliwej nici oraz zawieszonej

na tej nici punktowej masy.

•

Wychylenie wahadła z położenia równowagi opisujemy za pomocą kąta α, jaki

nić tworzy z pionem.

•

Wahadło odchylone jest związane z momentem siły

M= mgl sinα
M= - mglsinα znak „-” oznacza ZMNIEJSZENIE KĄTA

•

Moment bezwładności wahadła wynosi ml

2

Wahadło matematyczne

Szkolny wzór na okres drgań wahadła:
T= 2π (l/g)

½

T= 1/f
ω=2πf
ω

2

= g/l

l - długość nici,

g - przyspieszenie ziemskie,

m - masa ciała,

θ - kąt wektora wodzącego ciała z

pionem

A - amplituda siły wymuszającej

ωD - częstość siły wymuszającej

γ - współczynnik oporu ośrodka

Ogólne równanie wahadła matematycznego

Dla małych wychyleń funkcję sinus można przybliżyć przez
zastosowanie prawidłowości:

 

         

Stosując powyższe przybliżenie, pomijając opory oraz siłę
wymuszającą, równanie otrzymuje postać:

 

               

Wahadło fizyczne

• Ciało sztywne mogące obracać się wokół osi

obrotu O nie przechodzącej przez środek

ciężkości S.

• W wyniku odchylenia wahadła z położenia

równowagi o kąt θ powstaje moment obrotowy,

który podobnie jak moment bezwładności,

stara się zwrócić ciało do położenia równowagi:

M= - mgl sinθ
Znak „-” oznacza, iż moment zmniejsza kąt
• Moment bezwładności wahadła
Zależy od kształtu wahadła.

Wahadło fizyczne

• Istnieje tzw: długość zredukowana wahadła fizycznego:
W przypadku małych odchyleń możemy przyjąć, że sinθ = θ, wtedy

mamy równanie:

D

2

θ/d

2

t + ω

2

θ =0

Gdzie ω

2

=mgl/I

Wynika wówczas, iż w przypadku małych wychyleń z położenia równowagi

wahadło fizyczne wykonuje drgania harmoniczne, których częstość

zależy od masy i momentu bezwładności oraz odległości środka masy

wahadła od osi obrotu, tak więc prawdziwym jest równanie:

T= 2π (I/ mgl)½

• Porównując wzór na okres drgań wahadła matematycznego i

fizycznego, dochodzimy do wniosku, iż wahadło matematyczne ma ten

sam okres drgań, co dane wahadło fizyczne. Wielkość nazywana jest

długością zredukowaną wahadła fizycznego, czyli długość wahadła

fizycznego, którego okres drgań jest taki sam jak okres drgań wahadła

matematycznego.

Wahadło Foucaulta

Wahadło Foucaulta- dowód na

wirowanie kuli ziemskiej

• Wahadło jest zbudowane z ciężarka

na drucie lub nici (o dł.
Kilkudziesięciu metrów), zawieszony
na takim przegubie, aby umożliwić
wahania w dowolnej płaszczyźnie
pionowej.

• Siły Coriolisa wypierają wpływ na

ruch wahadła

Ruch harmoniczny

Ruch powtarzający się w

regularnych odstępach

czasu, który jest

opisywany za pomocą

funkcji sinus i cosinus.

Punkt materialny w tym ruchu

porusza się pod

wpływem siły (F) wprost

proporcjonalnej do

wychylenia z położenia

równowagi (x) i

skierowanej przeciwnie

do położenia równowagi

• Po podstawienie siły

harmonicznej do
wzoru, wyrażającego II
Zasadę Dynamiki
otrzymamy:

• Rozwiązaniem

równania są funkcje
sinus i cosinus

• Sprawdźmy, czy

nasze równanie będzie
spełnione przez
funkcję

• Obliczamy pierwszą
i drugą pochodną

wychylenia po czasie
i podstawiamy do
równania.

• A – amplituda

(maksymalne
wychylenie z położenia
równowagi)

• faza

(wielkość bezwymiarowa
opisująca procesy
okresowe
przedstawiająca, w
której części okresu
znajduje się ciało )

• częstość

Okres drgań

• Czas jednego

pełnego drgania.
Po upływie okresu
drgające ciało jest
znów w takiej
samej fazie.

• Jednostką jest [s]

Częstotliwość drgań

• Jednostką jest

Hz=[1/s]

Prędkość i przyspieszenie

• liczbę drgań w

jednostce czasu
nazywamy
częstotliwości

• Prędkość i

przyspieszenie w
ruchu harmonicznym
obliczamy jako
pierwszą i drugą
pochodną
wychylenia „x" po
czasie.

Zależność położenia, prędkości i

przyspieszenia od czasu

Energia potencjalna w ruchu

harmonicznym

• Ciało ma pewną energię

potencjalną. Energię tę

można wyznaczyć,

obliczając pracę jaką

musimy wykonać, aby

przesunąć ciało z położenia

równowagi x=0 , do punktu

o danym położeniu x .

• Zmiana energii potencjalnej

dEp równa jest pracy, jaką

wykonuje siła równoważąca

siłę harmoniczną na drodze

dx Po obliczeniu całki w

granicach od zera do x,

otrzymujemy wzór na

energię potencjalną ciała

wychylonego z położenia

równowagi o :

x:

Energia kinetyczna w ruchu

harmonicznym

• Energię

kinetyczną w

ruchu

harmonicznym

obliczamy,

podstawiając do

wzoru na energię

kinetyczną

O prędkości w

postaci :

Energia całkowita w ruchu

harmonicznym

• Energia całkowita to

suma energii

potencjalnej i

kinetycznej.

• Suma kwadratów sinusa

i cosinusa równa jest 1

• Energia całkowita w

ruchu harmonicznym nie

zależy od czasu – jest w

każdej chwili taka sama.

• Energie kinetyczna i

potencjalna zmieniają

się w ten sposób, że

gdy jedna z nich rośnie,

to druga maleje tak, że

suma pozostaje stała.

Drgania harmoniczne

tłumione

• Każde drganie swobodne z

czasem zanika, jego

amplituda maleje i końcu

ruch ustaje. Zanikanie

drgań powodują siły oporu

powietrza lub innych

oporów występujących w

układzie drgającym. Opory

te są zwykle tym większe,

im większa jest prędkość

ciała.

• Dla niewielkich prędkości

siła oporu jest wprost

proporcjonalna do

prędkości.

• Równanie ruchu z

uwzględnieniem siły oporu

Drgania harmoniczne tłumione

c.d.

• Częstość drgań

tłumionych jest

mniejsza niż

drgań

swobodnych, a

więc tłumienie

wydłuża okres.

• Amplituda maleje

wykładniczo z

czasem.

Drgania harmoniczne

wymuszone

• Wiemy, że aby długo huśtać się

na huśtawce, potrzebny jest ktoś,

kto będzie huśtawkę popychał w

odpowiednich momentach. W

ogólności siłę podtrzymującą

drganie, zwaną też siłą

wymuszającą, przedstawiamy

jako siłę zależną sinusoidalnie od

czasu. Na przykład może ona

mieć postać:

Równanie ruchu uwzględnia

zarówno siłę wymuszającą, jak i

tłumiącą drgania. Zwróćmy

uwagę, że częstość siły

wymuszającej jest w ogólnym

przypadku inna niż częstość

drgań własnych .

Rezonans

• Analizując wzór

na amplitudę

drgań

wymuszonych,

widzimy, że

można dobrać

taką częstość siły

wymuszającej,

aby amplituda

była maksymalna.

Taki stan

nazywamy

rezonansem.

Składanie drgań

równoległych

• Xa i Xb- dwa drgania

równoległe o różnych

częstościach,

amplitudach i fazach

• Wypadkowa X jest

sumą Xa i Xb

• Efektem nałożenia

się drgań Xa i Xb o

takich samych

częstotliwościach i

fazach oraz o różnicy

częstości niewielkiej

jest efekt dudnienia

Składanie drgań

prostopadłych

• Drgania punktu materialnego

odbywają się równocześnie w dwóch
prostopadłych do siebie kierunkach,
n. wzdłuż osi x i y prostokątnego ukł.
Współrzędnych to wypadkowy ruch
tego punktu na płaszczyźnie można
opisać z pomocą równań:

Składanie drgań prostopadłych

c.d.

• eśli częstości drgań

są jednakowe i
różnica faz wynosi
zero, to ruch
wypadkowy będzie
odbywał się wzdłuż
prostej o równaniu

Składanie drgań prostopadłych

c.d.

• Jeśli częstości

drgań są
jednakowe i
różnica faz wynosi
to ruch będzie
ruchem
harmonicznym
wzdłuż prostej o
równaniu

Rozchodzenie się fali w ośrodku

sprężystym

• Fala to zaburzenie, które się

rozprzestrzenia w ośrodku lub

przestrzeni za pomocą cząsteczek

przekazujących sobie drgania. Fale

przenoszą energię z jednego miejsca

do drugiego bez transportu

jakiejkolwiek materii. W przypadku fal

mechanicznych cząsteczki ośrodka, w

którym rozchodzi się fala, oscylują

wokół położenia równowagi.

Fala poprzeczna

• Jeśli drgania

zachodzą w
kierunku
prostopadłym
do kierunku
rozchodzenia
się fali, falę
nazywamy falą
poprzeczną.

Fala podłużna

• Falą podłużną

nazywamy falę, której

kierunek

rozchodzenia się jest

równoległy do

kierunku drgań

cząstek.

• rozchodzenie się fali

podłużnej związane

jest z powstawaniem

w ośrodku

postępujących po

sobie zagęszczeń i

rozrzedzeń cząstek

Zbiór punktów, do których fala dochodzi w danej chwili

Zbiór punktów drgających w tej samej fazie

Przez każdy punkt biorący udział w ruchu falowym można
przeprowadzić powierzchnię falową

Czoło fali jest tylko jedno

Powierzchni falowych jest nieskończenie wiele

Fala o płaszczyźnie falowej kulistej

Fala o płaszczyźnie falowej płaskiej

Długość fali

• wykres ten może

dotyczyć zarówno
fali poprzecznej, jak
i podłużnej

• Długością fali

nazywamy
odległość, na jaką
rozchodzi się fala w
czasie równym
okresowi drgań
ośrodka

Interferencja fal

mechanicznych, dudnienie ,

fale stojące

Interferencja

Interferencją nazywamy

zjawisko nakładania się

(sumowania) fal

pochodzących z dwóch

(lub większej liczby)

źródeł emitujących fale.

Zjawisko nakładania się
fal (interferencja) (fala
płaska na powierzchni
wody natrafiwszy na
przeszkodę z dwoma
wąskimi szczelinami ulega
ugięciu (dyfrakcji) na nich;
powstają dwie koliste fale
rozchodzące się we
wszystkich kierunkach,
które wzajemnie nakładają
się na siebie (interferują ze
sobą)

• Zgodnie z tzw. zasada superpozycji fal,

amplituda fali wypadkowej w każdym

punkcie dana jest wzorem:

gdzie: A1, A2 - amplitudy

fal cząstkowych

φ - różnica faz obu fal

Zasada superpozycji fal:

Wypadkowe zaburzenie w

dowolnym punkcie obszaru, do

którego docierają dwie fale tego

samego rodzaju, jest sumą

algebraiczną zaburzeń

wywołanych w tym punkcie przez

każdą falę z osobna. Obie fale

opuszczają obszar superpozycji

(czyli nakładania się)

niezmienione.

Dla najprostszego przypadku dwóch fal

harmonicznych o jednakowych amplitudach A,

jednakowej długości fali λ i zerowej fazie

początkowej, rozchodzących się z dwóch

różnych źródeł, które leżą od punktu P w

odległościach d1 i d2 opisanych zależnością:

gdzie:

W miejscu gdzie:

gdzie k – dowolna liczba

naturalna (0, 1, 2...)

Fale ulegają podwójnemu

wzmocnieniu.

Fale się wygaszają.

Wartość φ, nazywana faza fali zmienia się

wraz z odległością od źródła

.

gdzie k – dowolna liczba

naturalna (0, 1, 2...)

Dudnienie

Dudnienie –okresowe zmiany

amplitudy drgania powstałego ze

złożenia dwóch drgań o zbliżonych

częstotliwościach. Dudnienia

obserwuje się dla wszystkich

rodzajów drgań, w tym i

wywołanych falami. Zjawisko to w

wyniku nakładania się dwóch fal

dźwiękowych polega na okresowym

wzmacnianiu i osłabianiu natężeń

dźwięku

W przypadku złożenia dwóch drgań harmonicznych

o jednakowych amplitudach efekt można przedstawić

w formie matematycznej.

Dla przypadku dwóch drgań o jednakowych amplitudach
i częstościach ω1,ω2 przebieg drgań opisany jest funkcjami:

Przyjmuje się
oznaczenia:

Powstające w wyniku złożenia drganie można

traktować

jako drganie częstość równej średniej

arytmetycznej

częstości drgań składowych oraz powoli zmiennej

amplitudzie, z częstością równą połowie różnicy

częstości

drgań składowych. Co można ujać

matematycznie:

Efektem fizycznym takiego sumowania jest to,

że drgania zachowują swój szybkooscylujący

charakter (tu funkcja sinus), zachodzi jednocześnie

powolna zmiana amplitudy (tu funkcja cosinus) sygnału,

co dla dźwięku powoduje słyszalną zmianę głośności w czasie.

Fale stojące

• Jeśli w ośrodku rozchodzi się kilka fal,

to zgodnie z zasadą superpozycji
(nakładania się) fal drganie każdego
punktu jest sumą drgań
pochodzących od każdej z fal.

• Szczególnym przypadkiem jest

nakładanie się fali biegnącej i fali
odbitej od jakiejś przeszkody.
Powstaje wtedy fala stojąca

• Wychylenie

dowolnego

punktu z

położenie

równowagi

jest sumą

wychyleń

• Po skorzystaniu

ze wzoru na

sumę

cosinusów:

cosinus sumy:

cos( alfa +beta

) = cos alfa cos

beta – sin alfa

sin beta

Drgania struny

• Jeśli fala stojąca

powstaje w strunie
umocowanej na obu
końcach, w
miejscach
zamocowania muszą
powstać węzły

• długość fali stojącej

w strunie

punkty struny w których amplituda drgań jest równa 0

Węzły znajdują się w równych odległościach od siebie. Dwa podstawowe,

najważniejsze węzły fali znajdują się w punktach

zamocowania (przyciśnięcia) struny.

punkty struny w których amplituda drgań jest maksymalna

Akustyka

Akustyka- nauka o

dźwiękach…

Fala dźwiękowa (akustyczna); dźwięk- rozchodzące się w

powietrzu niewielkie zaburzenie gęstości i ciśnienia
powietrza. Jest to fala podłużna; oznacza to, że
kierunek zgęszczania się i rozrzedzania cząsteczek
jest zgodny z kierunkiem rozchodzenia się fali.

Nie każda jednak zmiana gęstości i ciśnienia powietrza

jest słyszalna przez ludzkie ucho. Słyszymy tylko fale
o częstotliwości zawartej w granicach od 16 Hz do 20
kHz. Fale o częstotliwości większej niż 20 kHz
nazywamy

ultradźwiękami

(słyszalne przez

nietoperze, delfiny, psy), natomiast fale o
częstotliwości mniejszej niż 16 Hz noszą nazwę

infradźwięków

(słyszą je słonie, tygrysy).

Ton

Tonem nazywamy dźwięk będący falą harmoniczną

(sinusoidalną) o dobrze określonej (dokładnie

„pojedynczej” ) częstotliwości. Tony są jakby

podstawowymi cegiełkami dźwięków - nie ma

dźwięków prostszych niż one, zaś większość

dźwięków złożonych zawiera wiele tonów, co

wpływa na barwę dźwięku.

Ton może być głośniejszy lub cichszy - jednak cały czas będzie

to ten sam ton. Głośność każdego tonu zależy od jego

amplitudy. Im większa jest amplituda danego tonu, tym on
głośniejszy.

Wysokość, głośność i barwa

dźwięku…

Wysokość dźwięku- określana przez częstotliwość tonu

podstawowego tego dźwięku (ten ton ma najniższą

częstotliwość ze wszystkich wytwarzanych przez

instrument tonów). Im większa jest częstotliwość, to

wyższy jest dźwięk.

Głośność dźwięku- określana przez natężenie tego

dźwięku, jest związana z kwadratem amplitudy tonu

podstawowego tego dźwięku. Przyjmuje się często, ze

im amplituda tonu podstawowego jest większa, tym

dźwięk jest głośniejszy.

Barwa dźwięku- określana przez zawartość tonów

harmonicznych w dźwięku. Im więcej tonów

harmonicznych zawiera dany dźwięk, tym

przyjemniejsze wrażenie dźwiękowe wywołuje on w

uchu.

Natężenie dźwięku

Natężenie dźwięku- jest to moc przenoszona przez

ten dźwięk poprzez jednostkową powierzchnię
prostopadłą do kierunku rozchodzenia się tego
dźwięku. Miarą natężenia dźwięku jest stosunek
mocy do powierzchni prostopadłej, przez którą
ten dźwięk przenika.

Poziom natężenia dźwięku

Zmiana natężenia dźwięku nie jest odbierana „wprost

proporcjonalnie”- oznacza to, że dźwięk o 2 razy
większym natężeniu nie jest słyszalny jako 2 razy
głośniejszy. Nasz narząd słuchu logarytmuje natężenie
dźwięku, co powoduje, że 2 razy większe natężenie
dźwięku odpowiada zwiększeniu głośności o wartość
proporcjonalną do „logarytmu z dwóch”.

b.-. jest poziomem natężenia wyrażanym w decybelach [dB]
I - jest natężeniem badanej fali dźwiękowej w W/m2.
I0 - jest natężeniem tzw. "progu słyszalności" czyli wielkości
równej 10-12 W/m2.

Częstotliwość dźwięku

wytwarzanego przez strunę

Kojarząc ze sobą wzory na prędkość dźwięku w strunie

oraz wzór na częstotliwość drgań fali dźwiękowej

 

Możemy dowiedzieć się od jakich wartości zależeć będzie

wysokość wydobywanego przez strunę dźwięku:

F – siła naciągu struny (w układzie SI w niutonach N)

μ

 

- masa jednostki długości struny (w układzie SI w

kg/m)

λ – długość fali wytworzonej w strunie (w układzie SI w m)

f  – częstotliwość tonu wytworzonego w strunie (w

układzie SI . w hercach

1 Hz =1/s)

F – siła naciągu struny (w układzie SI w niutonach N)
μ  - masa jednostki długości struny (w układzie SI w kg/m) 
v - prędkość dźwięku w strunie (w układzie SI w m/s)

Zjawiska akustyczne

Echo - dwu lub kilkakrotne słyszenie tego samego

dźwięku w wyniku jednego lub kilku odbić dźwięku.

Powierzchnia odbijająca fale nie może znajdować się

ani zbyt blisko, ani też zbyt daleko od źródła dźwięku,

bo zjawisko echa nie będzie zachodzić.

Pogłos - zjawisko subiektywnego wydłużenia czasu

trwania dźwięku wywołane przez wielokrotne odbicie

dźwięku, najczęściej w pomieszczeniach zamkniętych.

Dudnienie - specyficzne wrażenie dźwiękowe polegające

na słyszeniu danego dźwięku na przemian głośniej i

ciszej, wywołane przez okresowe zmiany amplitudy

dźwięku.

Efekt Dopplera

Efekt Dopplera

Efekt Dopplera – zjawisko obserwowane dla fal,

polegające na powstawaniu różnicy częstotliwości,

a tym samym i długości fali, wysyłanej przez źródło

fali oraz zarejestrowanej przez obserwatora, który

porusza się względem źródła fali. Dla fal

rozprzestrzeniających się w ośrodku, takich jak na

przykład fale dźwiękowe, efekt zależy od prędkości

obserwatora oraz źródła względem ośrodka, w

którym te fale się rozchodzą. W przypadku fal

propagujących się bez udziału ośrodka

materialnego, jak na przykład światło w próżni (w

ogólności fale elektromagnetyczne), znaczenie ma

jedynie różnica prędkości źródła oraz obserwatora.

Aby zrozumieć efekt

Dopplera…

…trzeba zdać sobie sprawę, że wysyłany dźwięk nie staje się

ani wyższy ani niższy. Źródło fali wysyła kolejne fale z takim

samym okresem. Jeżeli źródło nie porusza się, odległość

między tymi falami (grzbietami fali) ma pewną stałą

wartość, a gdy źródło się porusza, odległość między

kolejnymi grzbietami zmienia się, bo wysyłający "biegnie"

za wysłaną falą, co odbieramy jako zmianę wysokości

dźwięku u nieruchomego odbiorcy. Na Rysunku 1 widać, że

między szczytami fal jest różna odległość, w zależności od

kierunku, w którym porusza się źródło.

Postać prawa Dopplera…

Wzór na częstotliwość fali odbieranej:

• v - prędkość fali,

• f - częstotliwość fali odbieranej przez obserwatora,

• f0 - częstotliwość fali generowanej przez źródło,

• vzr - składowa prędkości źródła względem obserwatora,

równoległa do kierunku łączącego te dwa punkty.

Zastosowanie

W życiu codziennym obsewujemy ten efekt:
*np. dźwięk karetki jadącej na sygnale
Astronomia:
*w spektroskopii astronomicznej
Radar:
*radar dopplerowski
*fotoradar
Diagnostyka medyczna:
*ultrasonografia
*echokardiografia
*laserowo- dopplerowski pomiar ukrwienia skóry