Zadania dla Grupy 2

1. Samochód o masie m = 1500 kg ma silnik o mocy P = 50 kW. Oś napędowa tego samochodu jest

obciążona połową ciężaru samochodu. Współczynnik tarcia f = 0.5. Obliczyć największe

przyspieszenie, z jakim może rozpoczynać jazdę ten samochód. Przy jakich prędkościach ruchu

można wywołać poślizg kół? Obliczyć długość drogi rozpędzania samochodu rozpoczynającego

jazdę z poślizgiem i czas trwania poślizgu.

Wskazówka: Samochód uzyskuje przyspieszenie dzięki sile reakcji podczas tarcia kół o podłoże –

więc a < 0.5gf. Moc silnika musi wystarczać na utrzymanie takiego przyspieszenia.

2. Piłka spada z wysokości H = 7.5 m na gładką podłogę. Jaką prędkość początkową v0 należy nadać

piłce, aby po dwóch uderzeniach o podłogę podskoczyła na wysokość pierwotną, jeśli podczas

każdego uderzenia traci 40% energii?

Wskazówka: Oblicz energię całkowitą w chwili początkowej i energie po kolejnych odbiciach.

Skorzystaj z tych zależności, by wyznaczyć prędkość.

3.

Na rysunku pokazano zsuwający się z równi pochyłej blok o masie 12

kg. Kąt nachylenia równi względem podłoża wynosi α=30o. U końca

równi zamontowano sprężynę. Stała sprężystości sprężyny

k=1.35*104N/m. Blok zatrzymuje się po ściśnięciu sprężyny o 5.5 cm.

O ile zsunął się blok z równi? Zaniedbaj tarcie. Odp. l=0.35m

Wskazówka: Skorzystaj z zasady zachowania energii.

4. Łyżwiarz stojący na gładkim lodzie rzuca kamień o masie m = 0.5 kg. Po czasie t = 2 s kamień

spada w odległości s = 20 m. Jaka jest prędkość v łyżwiarza, jeśli jego masa wynosi M = 60 kg?

(nie uwzględniać tarcia).

Wskazówka: Zastosuj zasadę zachowania pędu.

5. Na brzegu poziomej, okrągłej platformy o masie M i promieniu R stoi student o masie m.

Platforma może obracać się bez tarcia wokół pionowej osi. Jaka będzie prędkość kątowa platformy

ω, jeżeli student zacznie chodzić wzdłuż jej brzegu ze stałą względem niej prędkością v. Jaką

drogę przebędzie student względem platformy w czasie jej jednego pełnego obrotu?

Wskazówka: Korzystamy z zasady zachowania momentu pędu układu student-tarcza.

6. Ciało o masie m=1.0 kg i prędkości v=1.0 m/s zderza się czołowo z nieruchomą masą M=2.0 kg.

Jaka jest prędkość każdego z obiektów po zderzeniu, jeśli zderzenie było elastyczne? Jaka byłaby

prędkość obiektów po zderzeniu, gdyby było ono całkowicie niesprężyste? Jaka część energii

kinetycznej zostałaby rozproszona w efekcie tego zderzenia?

7. Wahadło balistyczne. Pocisk o masie mp=0.06 kg został

wystrzelony poziomo w kierunku drewnianego bloku o

masie mb=0.2 kg. Drewniany blok jest zawieszony na

lince w sposób pokazany na rysunku. Zderzenie jest

całkowicie nieelastyczne, a po zderzeniu układ blok-

pocisk unosi się na wysokość h=0.12 m względem

pozycji równowagi. Jaka była prędkość układu po

uderzeniu pocisku w blok? Jaka była prędkość pocisku

po wystrzeleniu?

8. Samochód o masie m = 1500 kg zderza się z ciężarówką o

masie M = 2500 kg na środku skrzyżowania. Policyjny

detektyw znajduje po przybyciu oba auta szczepione i

przemieszczone na odległość d = 15 m pod kątem θ = 53o

względem kierunku wschód-zachód (rysunek). Po

przeprowadzeniu serii obliczeń, policjant ukarał kierowcę

samochodu osobowego mandatem za przekroczenie

dozwolonej prędkości (60 km/h). Czy słusznie? Z jaką

prędkością jechał ten samochód przed kolizją?

Współczynnik tarcia kinetycznego między oponami a

nawierzchnią wynosi fk = 0.8.

9. Koło zamachowe o momencie bezwładności I = 0,2 kgm2

obraca się wokół poziomej osi przechodzącej przez jego

środek, wykonując n = 600 obr/min. Przy hamowaniu

koło zatrzymuje się po upływie czasu Δt = 20 s. Znajdź moment siły hamującej i liczbę obrotów do chwili zatrzymania.

Wskazówka: Na koło działa siła tarcia, której moment hamujący M określa II zasada dynamiki dla

ruchu obrotowego. Z kolei przyspieszenie kątowe to dω /dt co można zapisać jako Δω / Δt. Wstaw odpowiednie wartości – obliczysz przyspieszenie i moment siły. Dlaczego pojawia się znak minus?

Oblicz drogę kątową i liczbę obrotów N.

10. Na rurę o cienkich ściankach nawinięto nić, której wolny koniec przymocowano do sufitu. Rura

odkręca się z nici pod działaniem własnego ciężaru (rysunek.). Znajdź

przyspieszenie rury i siłę napięcia nici, jeżeli masę i grubość nici można zaniedbać.

Początkowa długość nici jest dużo większa od promienia rury. Ciężar rury wynosi

Q.

Wskazówka: Na rurę działają dwie siły: siła ciężkości Q i siła naprężenia nici N.

Skorzystaj z drugiej zasady dynamiki dla ruchu postępowego rury, a następnie z II zasady

ruchu obrotowego.

11. Walec o masie M i promieniu r może toczyć się po poziomym stole. Na walec nawinięta jest

nieważka i nierozciągliwa nić, którą przerzucono przez nieważki

bloczek. Na końcu nici zawieszono ciężarek o masie m (rysunek).

Wyznacz przyspieszenie ciężarka i siłę tarcia działającą na walec

przyjmując, że może być on pełen lub wydrążony (cienkościenna rura).

Wskazówki: Nieważkość nici i bloczka pozwala napisać: N = N’.

Przyspieszenie środka masy walca: aO = ε r, gdzie: ε - przyspieszenie kątowe

ruchu obrotowego, r – promień walca; przyspieszenie punktu B: aB = a = aO

+ ε r = 2 aO

Zastosuj: II zasadę dynamiki dla walca dla ruchu postępowego + II zasadę dla ruchu obrotowego,

II zasada dynamiki dla ciężarka.

Rozwiąż układ równań i wyznacz z niego przyspieszenie ciężarka a, siłę tarcia działającego na walec.

Podstaw odpowiednie wartości I.

12. Belka o długości l i masie M może swobodnie obracać się wokół poziomej

osi przechodzącej przez jeden z jej końców. W drugi koniec belki uderza kula

o masie m mająca poziomą prędkość v0 (rysunek). Kula grzęźnie w belce.

Znajdź prędkość kątową belki tuż po uderzeniu kuli. W jakie miejsce belki

powinna uderzyć kula, aby składowa pozioma siły reakcji osi w chwili

uderzenia wynosiła zero?

Wskazówki: Na belkę działają dwie siły: siła ciężkości i reakcja osi. Przyjmijmy

oś A za oś odniesienia. Moment reakcji osi wynosi 0, ponieważ jej linia działania

przechodzi przez oś. Moment siły ciężkości również wynosi 0, gdyż zakładamy, iż czas hamowania kuli w belce jest bardzo krótki i belka w tym czasie nie odchyli się znacząco od pionu. Można, więc

przyjąć, że spełniona jest zasada zachowania momentu pędu. Zapisz moment pędu układu kula-belka

przed uderzeniem kuli i po uderzeniu. Skorzystaj z zasady zachowania. Oblicz prędkość kątową.

Składowa pozioma siły reakcji osi jest jedyną siłą zewnętrzną mogącą zmienić pęd układu. Jeżeli siła ta wynosi 0, to spełniona jest zasada zachowania pędu.

Przyjmijmy, że kula uderza w belkę w odległości a od osi obrotu. Wyznacz pęd układu przed zderzeniem i po. Skorzystaj z zasady zachowania momentu pędu i wyznacz p2 - pęd układu po zderzeniu. Znajdź moment bezwładności I, dla którego p1 = p2. Ponieważ tu I musi być równe Ml2/3

(pręt), to możesz wyznaczyć a. Jest to warunek spełnienia zasady zachowania pędu i wówczas składowa pozioma siły reakcji osi wynosi zero.

13. Kołowrót o masie m, momencie bezwładności I0 i promieniach

zewnętrznym R oraz wewnętrznym r leży na płaszczyźnie poziomej

(rysunek). Na kołowrót nawinięta jest nić, do której przyłożono siłę F.

Opisz ruch kołowrotu w zależności od kąta α jaki tworzy nić z kierunkiem

poziomym.

Wskazówki: Wygodnie jest traktować ruch kołowrotu jako obrót wokół

chwilowej osi A, przechodzącej przez punkty, w których kołowrót styka się z podłożem. Taki obrót uwarunkowany jest tylko momentem siły F względem osi A. Momenty pozostałych sił: tarcia T oraz ciężkości i reakcji podłoża (niezaznaczonych na rysunku) wynoszą 0. Zatem: M = F x = IA ε, Oblicz x korzystając z zależności trygonometrycznych.

Wyznacz moment bezwładności względem osi A korzystając z twierdzenia Steinera. Oblicz z wzoru na

moment siły przyspieszenie liniowe a (jaka jest zależność między przyspieszeniem liniowym a kątowym?).

Przeanalizuj, przy jakich kątach a > 0, < 0, = 0. Kiedy przyspieszenie kątowe = 0? Rozważ ruch postępowy szpuli w takich warunkach.

14. Na szczycie gładkiej kuli o promieniu R położono monetę, która będąc w położeniu równowagi chwiejnej zaczęła się zsuwać. W którym miejscu, licząc od wierzchołka luki, moneta oderwie się

od niej (moneta zsuwa się bez tarcia)?