Autor:
Paweł Storczyński
Autor:
Paweł Storczyński
Kryteria zaliczenia przedmiotu
1.
Ocena końcowa będzie wystawiana po
obliczeniu średniej arytmetycznej ocen
cząstkowych zdobytych w czasie zajęć.
2.
Oceny cząstkowe będzie można zdobyć:
a)
kartkówki;
b)
sprawdziany;
c)
ładniejsze zadania domowe;
d)
zadania „na szóstkę” lub „na
piątkę”;
e)
aktywność na zajęciach (10x + =
bdb);
f)
pytanie ustne na ocenę.
2
Tematyka wykładów z matematyki
I.
Algebra:
1.
Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory;
2.
Działania na liczbach;
3.
Rachunek zbiorów;
4.
Wyrażenia algebraiczne;
5.
Działania na wyrażeniach algebraicznych i wzory skróconego
mnożenia;
6.
Logarytm i jego cechy;
7.
Kombinacje;
8.
Równania i nierówności pierwszego stopnia z jedną
niewiadomą oraz zadania tekstowe;
9.
Układy równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi;
10.
Równania, nierówności i układy równań wyższych stopni;
11.
Funkcje i ich cechy, typy funkcji;
12.
Pierwsza i druga pochodna funkcji oraz ich zastosowanie;
13.
Granica funkcji;
14.
Macierze i wyznaczniki;
15.
Całka oznaczona, nieoznaczona oraz jej zastosowanie.
3
Tematyka wykładów z matematyki
II.
Geometria:
1.
Punkt, odcinek i prosta;
2.
Proste równoległe, prostopadłe i przecinające się;
3.
Płaszczyzna i jej cechy;
4.
Wzory płaszczyzny i prostej;
5.
Okrąg i koło – cechy, twierdzenia, definicje i wzory;
6.
Planimetria:
A.
Trójkąty – cechy, wzory, twierdzenia, definicje;
B.
Czworokąty – podział, cechy, definicje, twierdzenia;
C.
Wielokąty foremne i inne wielokąty;
D.
Pola powierzchni i obwody figur płaskich;
7.
Stereometria:
A.
Graniastosłupy – cechy, definicje, twierdzenia, typy, wzory;
B.
Ostrosłupy – cechy, twierdzenia, definicje, typy, wzory;
C.
Bryły obrotowe – cechy, definicje, twierdzenia, typy, wzory;
8.
Trygonometria:
A.
Funkcje trygonometryczne kąta dowolnego;
B.
Funkcje trygonometryczne wybranych kątów;
C.
Wzory i twierdzenia w trygonometrii;
D.
Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym;
E.
Wykorzystanie funkcji trygonometrycznych do obliczania pól powierzchni i
obwodów figur płaskich;
F.
Wykorzystanie funkcji trygonometrycznych do obliczania objętości, pól
powierzchni całkowitej i bocznej oraz obwodów brył
9.
Podobieństwo figur oraz figury przystające;
10.
Symetria – na czym polega oraz rodzaje;
11.
Dwusieczna kąta, symetralna odcinka, sieczna, styczna – co to jest oraz jak je
wykreślić;
12.
Rozwiązywanie zadań tekstowych (i nie tylko) z geometrii.
4
Zbiór liczb rzeczywistych i jego
podzbiory
5
Zbiór liczb rzeczywistych i jego
podzbiory
Liczby wymierne
Liczby, które mają skończone lub okresowe rozwinięcie
dziesiętne. (2, 4, ¼, ½, ¾ …)
Liczby niewymierne
Liczby, które mają nieskończone rozwinięcie dziesiętne. ( ,
℮
Π …)
Liczby pierwsze
Są to liczby, które dzielą się tylko przez 1 i samych siebie. (2, 3,
…)
Liczby złożone
Liczby, które dzielą się nie tylko przez 1 i samych siebie. (4, 8, 22
…)
6
Działania na liczbach – rodzaje,
kolejność wykonywania i prawa
W matematyce mamy sześć podstawowych
działań. Wykonujemy je w następującej kolejności:
1. Najpierw potęgujemy lub pierwiastkujemy,
2. Potem mnożymy lub dzielimy,
3. Na koniec dodajemy i odejmujemy.
Gdy któreś działanie znajduje się w
nawiasie wykonujemy je w pierwszej
kolejności.
Np. 2 + 2 x 2 = 2 + 4 = 6
7
Działania na liczbach – rodzaje,
kolejność wykonywania i prawa
Dodawanie
Właściwości:
1. Dodawanie jest przemienne: A + B = B + A;
2. Dodawanie jest równoważne z odejmowaniem;
3. Dodając ułamki zwykłe należy sprowadzić je do
wspólnego mianownika;
Odejmowanie
Cechy odejmowania są podobne jak dodawania. Obydwa
działania różnią się tym, że odejmowanie nie jest
przemienne.
8
Działania na liczbach – rodzaje,
kolejność wykonywania i prawa
Mnożenie
Właściwości:
1. Mnożenie jest przemienne: A x B = B x A;
2. Rozdzielność
mnożenia
względem
dodawania i odejmowania: A x C ±
B x C = C (A ± B);
3. Mnożąc ułamki zwykłe mnożymy licznik razy
licznik, mianownik razy mianownik: A/B x
C/D = AC/BD;
4. Każde a pomnożone przez 0 da zawsze 0;
9
Działania na liczbach – rodzaje,
kolejność wykonywania i prawa
Dzielenie
Właściwości:
1. Nie wolno dzielić przez zero;
2. Jeżeli b ≠ a, to a : b ≠ b : a dla a ≠ 0 i b ≠ 0. –
dzielenie nie jest przemienne;
3. Rozdzielność dzielenia względem dodawania i
odejmowania (a : c ± b : c = (a ± b) : c; dla c ≠ 0;
4. Dzieląc ułamek a/b przez ułamek c/d, musimy
pomnożyć ułamek a/b przez odwrotność ułamka
c/d, czyli przez ułamek d/c (oczywiście b ≠ 0, c ≠
0, d ≠ 0).
10
Działania na liczbach – rodzaje,
kolejność wykonywania i prawa
Potęgowanie i pierwiastkowanie
11
Działania na liczbach – rodzaje,
kolejność wykonywania i prawa
Przykłady
12
Rachunek zbiorów
Mając dane dwa zbiory: A i B możemy wykonać szereg działań na
tych zbiorach, np.:
1.
Możemy te zbiory dodać; (symbol „∪”)
2.
Możemy odjąć zbiór B od zbioru A; (symbol „\”)
3.
Możemy odjąć zbiór A od zbioru B; (symbol „\”
4.
Możemy pomnożyć zbiry A i B. (symbol „∩”)
Dodawanie zbiorów
Zbiór A Zbiór B Zbiór C = A
∪ B
13
Rachunek zbiorów
Mając dane dwa zbiory: A i B możemy wykonać szereg działań na
tych zbiorach, np.:
1.
Możemy te zbiory dodać; (symbol „∪”)
2.
Możemy odjąć zbiór B od zbioru A; (symbol „\”)
3.
Możemy odjąć zbiór A od zbioru B; (symbol „\”
4.
Możemy pomnożyć zbiry A i B. (symbol „∩”)
Odejmowanie zbiorów
Zbiór A Zbiór B Zbiór C =
A \ B
14
Rachunek zbiorów
Mając dane dwa zbiory: A i B możemy wykonać szereg działań na
tych zbiorach, np.:
1.
Możemy te zbiory dodać; (symbol „∪”)
2.
Możemy odjąć zbiór B od zbioru A; (symbol „\”)
3.
Możemy odjąć zbiór A od zbioru B; (symbol „\”
4.
Możemy pomnożyć zbiry A i B. (symbol „∩”)
Odejmowanie zbiorów
Zbiór B Zbiór A Zbiór C =
B \ A
15
Rachunek zbiorów
Mając dane dwa zbiory: A i B możemy wykonać szereg działań na
tych zbiorach, np.:
1.
Możemy te zbiory dodać; (symbol „∪”)
2.
Możemy odjąć zbiór B od zbioru A; (symbol „\”)
3.
Możemy odjąć zbiór A od zbioru B; (symbol „\”
4.
Możemy pomnożyć zbiry A i B. (symbol „∩”)
Mnożenie zbiorów
Zbiór A Zbiór B Zbiór C
= A ∩ B
16
Wyrażenia algebraiczne
Każde wyrażenie, które zawiera niewiadomą jest wyrażeniem
algebraicznym. Oto przykłady: 2x + 3y – 2; 3a – 12b – 17; x – a + y –
b. Z wyrażeniami algebraicznymi, podobnie jak z liczbami i zbiorami
można:
1.
Wykonywać różne działania:
A.
Dodawanie i odejmowanie;
B.
Mnożenie i dzielenie
C.
Można podnieść je do dowolnej potęgi lub ewentualnie
wyciągnąć pierwiastek (z konkretnego wyrazu tego wyrażenia).
2.
Upraszczać je i skracać;
3.
Obliczać ich wartość liczbową.
Każdy element wyrażenia algebraicznego, obojętnie czy zawiera
niewiadomą, czy też nie jest jego
wyrazem
.
W wyrażeniu algebraicznym można także redukować wyrażenia podobne,
np.: 2x – 3y – 2 + 2x + 2y – 1 – 8x + 4 + 4y + 9x + 2y + 4= 5x + 5y + 5.
17
Wyrażenia algebraiczne
Dodawanie wyrażeń algebraicznych
Aby dodać dwa wyrażenia algebraiczne należy po prostu dodać ich wyrazy i
wykonać redukcję wyrazów podobnych:
Odejmowanie wyrażeń algebraicznych
Aby odjąć dwa wyrażenia algebraiczne, należy po prostu odjąć ich
wyrazy i wykonać redukcję wyrazów podobnych:
PRZYKŁADY:
1.
(3m – 1) + (- m + 5) = 3m – 1 – m + 5 = 2m + 4.
2.
(m – 1) – (2m + 3) = m – 1 – 2m – 3 = -m – 4.
3.
(-(4m + 1) + (6m + 3) = -4m – 1 + 6m + 3 = 2m + 2
4.
(3m – 1) - (- m + 5) = 3m – 1 + m – 5 = 4m – 6.
5.
( -4x + 2y -7) + (8x – (- 6y) +11) = -4x + 2y – 7 + 8x + 6y + 11 = 4x + 8y + 4.
6.
(-3a + 14b – 9) + (12a – 7b + 14) = -3a + 14b – 9 + 12a – 7b + 14 = 9a + 7b +5.
7.
(a – b) – (a + b) = a – b – a – b = -2b.
8.
(3x + 7) – (2x +1) = 3x + 7 – 2x – 1 = x + 6.
9.
(5m – 2n) + (3n – 4m) = 5m – 2n + 3n – 4m = m + n.
10.
(2a + 3b – 4c + 5d) + (-a + b – c + d) = 2a + 3b + 4c + 5d – a + b – c + d = a +
4b + 3c + 6d.
18
Wyrażenia algebraiczne
Mnożenie wyrażeń algebraicznych
Gdy chcemy pomnożyć dwa wyrażenia algebraiczne musimy
pomnożyć wyrazy tych wyrażeń systemem „każdy z każdym”.
PRZYKŁADY:
1.
(a – 1)(b – 2) = ab – 2a – b + 2 = – 2a + ab – b + 2.
2.
(x + 1)(x + 3) = x
2
+ 3x + x + 3 = x
2
+ 4x + 3
3.
(3x – y)(2y – 4x) = 3xy – 12x
2
– 2y
2
+ 4xy = – 12x
2
+ 7xy – 2y
2
Podstawowe wzory skróconego mnożenia
1.
(a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2
2.
(a – b)
2
= a
2
– 2ab + b
2
3.
(a + b)(a – b) = a
2
– b
2
4.
(a + b)
3
= a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
5.
(a – b)
3
= a
3
– 3a
2
b + 3ab
2
– b
3
6.
a
3
+ b
3
= (a + b)(a
2
– ab + b
2
)
7.
a
3
– b
3
= (a – b)(a
2
+ ab + b
2
)
19
Wyrażenia algebraiczne
D
odatkowe wzory skróconego mnożenia
1.
(a + b + c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab + 2ac + 2bc
2.
(a + b)
4
= a
4
+ 4a
3
b + 6a
2
b
2
+ 4ab
3
+ b
4
3.
(a – b)
4
= a
4
– 4a
3
b + 6a
2
b
2
– 4ab
3
+ b
4
4.
(a + b)
5
= a
5
+ 5a
4
b + 10a
3
b
2
+ 10a
2
b
3
+5ab
4
+ b
5
5.
(a – b)
5
= a
5
– 5a
4
b + 10a
3
b
2
– 10a
2
b
3
+5ab
4
– b
5
Jak wyprowadzić wzór skróconego mnożenia?
(a + b)
3
=
= (a + b)(a + b)(a + b) =
= (a + b)
2
(a + b) =
= (a+b)(a
2
+ 2ab + b
2
) =
= a
3
+ 2a
2
b + ab
2
+ a
2
b + 2ab
2
+ b
3
=
= a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
20
Wyrażenia algebraiczne
21
Uprość wyrażenia
22
Oblicz, stosując wzory
skróconego mnożenia
a) 63
2
– 37
2
b) 89
2
c) 48 52
d) 71
2
e) 409
2
– 591
2
f) 198 202
g) 999
2
h) 1002
2
i) 4003 3997
j) 6008
2
– 3992
2
23
Usuwanie niewymierności z
mianownika
W sytuacji kiedy po uprzednim uproszczeniu wyrażenia
algebraicznego, w mianowniku ułamka został jakiś
pierwiastek (jeden lub więcej), należy wykonać takie
operacje, aby się tego pierwiastka pozbyć, np.:
24