1

Automatyka i podstawy
pomiarów

Podstawowe elementy

Dmytro
Svyetlichny
y

2

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Podstawowe elementy

Elementy liniowe klasyfikuje się najczęściej
ze względu na ich właściwości dynamiczne.
Wyróżnić można sześć grup elementów
podstawowych:

• bezinercyjne (proporcjonalne),

• inercyjne,

• całkujące,

• różniczkujące,

• oscylacyjne,

• opóźniające.

3

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Elementy bezinercyjne

(proporcjonalne)

Ogólna

postać

równania

elementu

bezinercyjnego jest następująca:

gdzie

y

– wielkość wyjściowa,

x

– wielkość

wejściowa,

k

–

współczynnik

proporcjonalności (wzmocnienia).
Transmitancja

elementu

jest

równa

współczynnikowi proporcjonalności:

kx

y 

 

 

 

k

s

x

s

y

s

G





4

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Elementy bezinercyjne

(proporcjonalne)

Odpowiedź na wymuszenie skokowe
:

   

st

x

t

t

x

1



   

st

kx

t

t

y

1



kx

s

t

0

t

x

y

x

st

5

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Elementy bezinercyjne

(proporcjonalne)

Charakterystyki częstotliwościowe

0°





(



)

20lgk



L(



)

dB

k >1

6

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Elementy inercyjne pierwszego

rzędu

Ogólna postać równania różniczkowego
elementu inercyjnego pierwszego rzędu jest
następująca:

gdzie

k

– współczynnik proporcjonalności

(wzmocnienia),

T

– stała czasowa (ma

wymiar czasu).
Skąd wynika transmitancja:

 

 

 

1







Ts

k

s

x

s

y

s

G

kx

y

dt

dy

T





7

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Odpowiedź na wymu-
szenie skokowe:

 





T

t

st

e

kx

t

y

/

1







kx

s

t

0

t

y

T

Odpowiedź na wymu-
szenie impulsowe:

 





T

t

st

e

kx

t

y

/

1







Odpowiedź na wymu-
szenie impulsowe:

 

T

t

st

e

T

kx

t

y

/





0

t

y

T

kx

st

Elementy inercyjne pierwszego

rzędu

8

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Elementy inercyjne pierwszego

rzędu

Współczynnik proporcjonalności

k

jest równy

stosunkowi ustalonej wartości wyjściowej do
wartości wejściowej. Stała czasowa

T

natomiast jest równa czasu niezbędnemu do
osiągnięcia wielkością wyjściową swojej
wartości ustalonej pod warunkiem jej zmiany
z największą prędkością.

9

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Transmitancja

widmowa

elementu

inercyjnego

pierwszego

rzędu

jest

następująca:

Stąd

Elementy inercyjne pierwszego

rzędu

 

1





T

j

k

j

G





 

1

2

2





T

k

P





 

1

2

2







T

T

k

Q







10

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Wykres

G(j



)

ma postać półokręgu o

średnicy

k

, ze środkiem w punkcie

(k/2, j0)

.

Elementy inercyjne pierwszego

rzędu

Q(



)

P(



)

k



= 0



= ∞

G(j



)



1



2

11

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Charakterystyki częstotliwościowe:

charakterystyki amplitudy:

Elementy inercyjne pierwszego

rzędu

T

j

e

T

k

T

j

k

j

G









arctg











2

2

1

1

)

(

2

2

1

)

(

T

k

A









2

2

2

2

1

lg

20

lg

20

1

lg

20

)

(

T

k

T

k

L

















12

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Charakterystyka fazy:

Elementy inercyjne pierwszego

rzędu

T

j

e

T

k

j

G







arctg

2

2

1

)

(







T







arctg

)

(





13

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Elementy inercyjne pierwszego

rzędu

14

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Elementy inercyjne pierwszego

rzędu

2

2

1

lg

20

lg

20

)

(

T

k

L











k

L

T

lg

20

)

(

:

1









T

k

L

T







lg

20

lg

20

)

(

:

1







-20

dB/de

c

1

,

10 



T

k

1



T



15

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Elementy całkujące

Ogólna postać równania różniczkowego
elementu całkującego jest następująca:

lub

Skąd wynika transmitancja:

kx

dt

dy



,

0

dt

x

k

y

t





sT

s

k

s

G

1

)

(





16

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Odpowiedź na wymuszenie skokowe:

kx

s

t

0

t

y

1,

0

 

t

kx

t

y

st



Elementy całkujące

Odpowiedź na wymuszenie impulsowe?

17

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Elementy różniczkujące

Idealny element różniczkujący.

Równanie

idealnego

elementu

różniczkującego jest następujące:

Skąd wynika transmitancja:

ks

s

G



)

(

dt

dx

k

y 

Odpowiedź na wymuszenie skokowe?

Jest to funkcją Diraca pomnożoną przez k.

18

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Rzeczywiste elementy

różniczkujące

Ogólna postać równania rzeczywistego
elementu różniczkującego:

Skąd wynika transmitancja:

dt

dx

k

y

dt

dy

T





1

)

(





Ts

ks

s

G

19

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Odpowiedź na wymuszenie skokowe:

 

T

t

st

e

kx

t

y

/





0

t

y

st

kx

Rzeczywiste elementy

różniczkujące

20

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Elementy oscylacyjne

Równanie różniczkowe elementu
oscylacyjnego :

Transmitancja:

gdzie

k

–

jest

współczynnikiem

proporcjonalności,

T

1

i

T

2

są stałymi

czasowymi elementu.

kx

y

dt

dy

T

dt

y

d

T







2

2

2

2

1

1

)

(

2

2

2

1







s

T

s

T

k

s

G

21

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Elementy oscylacyjne

Często spotyka się również następująca postać
równania

różniczkowego,

która

ułatwia

interpretację

przebiegów

przejściowych

elementu oscylacyjnego :

gdzie



0

=1/T

1

– pulsacja oscylacji własnych

elementu,



=T

2

/2T

1

– zredukowany (względny)

współczynnik tłumienia elementu.

Transmitancja:

x

k

y

dt

dy

dt

y

d

2

0

2

0

0

2

2

2













2

0

0

2

2

0

2

)

(













s

s

k

s

G

22

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Elementy oscylacyjne

Pierwiastki mianownika tej funkcji są:

Możliwe są dwa przypadki ze względu na
znak

różnicy

występującej

pod

pierwiastkiem. Jeżeli ta różnica jest dodatnia
lub równa zeru



≥1

, to układ zachowuje się

jak element inercyjny drugiego rzędu. Jeżeli
natomiast



<1

, to

s

1,2

=-



0



j



, i odpowiedź

na wymuszenie skokowe

x(t)=1(t)x

st

bezie

mieć charakter oscylacyjny:





1

2

0

2

,

1















s































t

e

kx

t

y

t

st

sin

1

)

(

0

0

2

0

1



















0

arctg



23

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Charakterystykę

częstotliwościową

otrzymamy podstawiając w równaniu

s=j



,

otrzymujemy w postaci:

Elementy oscylacyjne













0

2

2

0

2

0

2

)

(

j

k

j

G







24

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Elementy oscylacyjne

1

,

9

,

9

,

5

0











k

25

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Elementy oscylacyjne

1

,

9

,

9

,

5

0











k

26

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Elementy opóźniające

Równanie elementu opóźniającego na
postać:

Transmitancja:

gdzie



–czas opóźnienia.

  







 t

x

t

y

 

s

s

G





exp

)

(

27

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Wyznaczanie

transmitancji

podstawowych

połączeń elementów

28

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Połączenie szeregowe

Transmitancja szeregowego połączenia
elementów równa się iloczynowi
transmitancji tych elementów:

G

1

G

2

G

n

x

y

   

 

 









n

i

i

n

s

G

s

G

s

G

s

G

s

G

1

2

1

)

(



29

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Połączenie równoległe

Transmitancja
równoległego
połączenia elementów
jest równa
algebraicznej sumie (z
uwzględnieniem
znaków) transmitancji
tych elementów:

 

 

 

 















n

i

i

n

s

G

s

G

s

G

s

G

s

G

1

2

1

)

(



G

1

G

2

G

n

x

y

30

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Połączenie ze sprzężeniem

zwrotnym

Transmitancja połączenia ze sprzężeniem
zwrot-nym jest równa ułamku, licznik którego
jest równy transmitancji głównej gałęzi, a
mianownik jest równy 1± transmitancja
całego obwodu. Przy czym + odpowiada
ujemnemu sprzężeniu zwrotnemu.

 

   

s

G

s

G

s

G

s

G

2

1

1

1

)

(





G

1

G

2

x

y

31

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Przeniesienie węzłów

informacyjnych

(zaczepowych) i

sumujących przez

elementy

32

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Przeniesienie węzłów

informacyjnych

G

1

G

2

G

3

G

1

G

2

G

1

G

3

G

1

G

2

G

3

/G

2

33

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Przeniesienie węzłów

sumujących

G

1

G

2

G

3

G

1

G

2

/G

1

G

3

G

1

G

2

G

3

G

3

34

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Przykład

G

1

G

2

G

3

G

4

G

5

35

Automatyka i podstawy pomiarów

Dmytro

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Przykład

G

1

G

2

G

3

G

4

/G

3

G

5

/G

1





4

2

1

5

3

2

3

2

1

3

4

1

5

3

2

1

3

2

1

1

/

/

1

)

(

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

s

G











