Smarowanie łożysk

 Łożysko Pietrov’a i liczba 

Sommerfielda

 Hydrodynamiczna teoria 

smarowania

 Sposoby i warunki realizacji tarcia 

hydrodynamicznego

 Kryterium przejścia tarcia płynnego 

w tarcie mieszane

 Smarowanie hydrostatyczne
 Smarowanie elastohydrodynamiczne

 

 

Łożysko Pietrov’a 

Łożysko Pietrov’a rozpatrywane jest w 

tym celu, aby wyznaczyć podstawowe 
parametry mające wpływ na 
smarowanie płynne zachodzące między 
się czopem a panwią.

Pietrov podał teorię tarcia pomiędzy 

cylindryczną panewką a centralnie 
umieszczonym w nim czopem. 

 

 

Rozpatrzmy łożysko w którym czop jest 

umieszczony centralnie w panwii



U

D

d

L

h

 

 

W warstewce smaru ze względu na 

symetrię musi panować wszędzie 
jednakowe ciśnienie.

Zakładając w liniowy rozkład prędkości 

w warstewce smaru oraz brak poślizgu 
cząsteczek smaru względem ścian 
czopa i panewki na podstawie 
równania Newtona można obliczyć 
naprężenia działające na jednostkę 
powierzchni czopa.

 

 

(1)

      

h

U

dy

du











 

 

 

 

 

 

 

U 

h

h

dy

U 

du

 

 

gdzie:



 - naprężenia tnące w warstewce 

smaru,



 - lepkość dynamiczna,

• U

 – prędkość obwodowa czopa,

• h

 -szerokość szczeliny smarnej

 

 

Równocześnie podczas ruchu warstewki 

smaru stawiają opór w postaci tarcia 
wewnętrznego w cieczy. Naprężenia tnące 
obliczone na podstawie sił tarcia T wyniosą:

(2)

       

F

T





gdzie:

 

 - naprężenia tnące w warstewce smaru,

• T

 – siła tarcia wewnętrznego w cieczy,

• F

 – powierzchnia warstwy smaru.

 

 

Powierzchnia warstwy smaru 

przylegającej do czopa wynosi:

(3)

      

πdL

F

gdzie:

• d

 – średnica czopa,

• L

 – długość czopa.

 

 

Wyznaczając siłę tarcia 

T

  z równania (2):

F

T 



oraz podstawiając naprężenia tnące 



 z 

równania (1) oraz powierzchnię warstwy 
smaru 

F

 z równania (3), uzyskuje się

(4)

     

dL

h

U

T







 

 

Prędkość obwodową 

U

 można 

wyznaczyć z zależności:

(5)

     

2

d

U 



zaś wysokość szczeliny smarnej 

h

 

można oznaczyć jako:

(6)

     

2

2

d

D

h









 

 

Podstawiając wyznaczone wartości 

prędkości obwodowej 

U

 (5) oraz 

wysokości szczeliny smarnej 

h

 

(6)

 

do 

równania (4) uzyskuje się:

(7)

     

dL

2

2

d

T









 

 

Współczynnik tarcia 

 

w warstwie 

smaru wynosi:

(8)

     

N

T





gdzie:

• T

 – siła tarcia,

• N

 – siła nacisku; jeżeli pominiemy 

cięzar czopa to 

N 

=

 P

,

• P

 – siła obciążająca łożysko.

 

 

Podstawiając do równania (8) wyznaczoną 

wartość siły tarcia 

T

 uzyskuje się:

(9)

    

P

dL

 

d











 

 

Oznaczając zaś względny luz średnicowy 

jako 



:

(10)

   

d







oraz średni nacisk jednostkowy łożyska 

p

śr

 

jako:

(11)

   

dL

P

p

śr



 

 

a także podstawiając obie wartości do 

równania (9) uzyskuje się:

(12)

    

p

 

śr













 

 

Oznaczając zaś jako 

’ 

względny 

współczynnik tarcia odniesiony do 
względnego luzu średnicowego 



:

(13)

   

'









 

 

gdzie:

S

 - liczba Sommerfelda

(14)

      

S

 

p

 

2

śr

















uzyskuje się ostatecznie:

(15)

       

p

 

S

2

śr







 

 

Wyznaczone na podstawie 
przedstawionego modelu równanie 
Pietrov’a  używane jest do obliczania strat 
tarcia w znikomo obciążeniach łożyskach o 
wysokiej wartości prędkości obrotowej 



. 

Ponadto panewka obejmuje czop na całym 
swym obwodzie, czyli kąt opasania 

=360

0

.

Jest to równanie uproszczone zakładające 
stałą temperaturę 

t

 a zatem i stałą lepkość 



. 

 

 

Łożysko Pietrov’a pozwala wyznaczyć liczbę 
Sommerfelda 

S

, która z kolei określa wszystkie 

czynniki, które są istotne z punku widzenia 
smarowania łożysk z tarciem płynnym. 

Są to następujące czynniki:
  lepkość dynamiczna czynnika smarującego 



,

  prędkość kątowa czopa 



,

  obciążenie czopa 

P

,

  wymiary czopa 

d

 i 

L

,

  luz średnicowy 



.

 

 

Hydrodynamiczne teoria 

smarowania

Smarowanie hydrodynamiczne jest to 
rodzaj smarowania polegającego na 
powstawaniu ciśnienia w smarze pomiędzy 
odpowiednio ukształtowanymi 
powierzchniami. 
Ciśnienie to powstaje na skutek 
względnego ruchu warstw cieczy. 
Powstałe ciśnienie równoważy obciążenie 
zewnętrzne i umożliwiające całkowite 
oddzielenie współpracujących powierzchni.

 

 

Zjawisko smarowania 
hydrodynamicznego odkrył 
przypadkowo w XIX wieku angielski 
badacz Beuchamp Tower. 
Wykonywał on pracę badawczą mającą 
na celu opracowanie optymalnej 
metody smarowania łożysk nośnych 
wagonów kolejowych. 
Badał on łożysko z niepełną panwią. 

 

 

Łożysko Towera

 

 

 

Tower badał wpływ różnych rodzajów 
smarowania (knotowe, kroplowe, 
zanurzeniowe, itp.) na straty tarcia.
Wyniki badań z zastosowaniem 
smarowania zanurzeniowego wykazały 
niespodziewanie małe, w porównaniu z 
pozostałymi rodzajami smarowania, 
współczynniki tarcia. 

 

 

W czasie badań wywiercono w mosiężnej 
panwi otwór do zainstalowania smarownicy. 
Otwór ten zamknięto drewnianym czopem 
na okres pracy łożyska przy smarowaniu 
zanurzeniowym. 
Po uruchomieniu stanowiska badawczego 
stwierdzono, że olej wypiera czop z otworu.
Zamontowany następnie w tym otworze 
manometr wskazał, że rzeczywiste ciśnienie 
oleju jest dużo większe od ciśnienia 
średniego obliczonego jako stosunek 
obciążenia do pola rzutu powierzchni 
łożyska.

 

 

Średnie nacisk jednostkowy działające na 
łożysko obciążone siłą 

P

:

dL

P

p

śr



śr

pom

p

p



 

 

Inny badacz Osborne Reynolds na 
podstawie doświadczenia Towera 
doszedł do wniosku, że działanie 
czynnika smarującego było zjawiskiem 
hydrodynamicznym. 
Określenie ‘hydrodynamiczne’ zawiera 
następujące dwa pojęcia:
 ciecz,
 ruch. 

 

 

Należy jednak wspomnieć o dwóch 
warunkach, bardzo istotnych do 
zrealizowania smarowania 
hydrodynamicznego. 
Po pierwsze, czynnik smarujący musi 
być lepki.
Po drugie, geometria styku powierzchni 
musi być taka, aby szczelina smarna 
zwężała się w kierunku ruchu. 

 

 

Warunek ten spełniony jest w łożysku ślizgowym 
w sposób naturalny, co ilustruje rysunek. 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

Powstawanie szczeliny 

smarnej

 

O 

O 

O

’ 

O

’’ 

P

 

P

 

O 



a) 

b)

 

c) 

 

 

Na rysunku a) przedstawiono 
nieobciążony czop symetrycznie 
rozmieszczony w panewce.
 
Po przyłożeniu obciążenia 

P

 środek czopa 

przemieści się w położenie 

O’

 (rys. b). 

W przypadku gdy czop zacznie się 
obracać z prędkością kątową 



 to jego 

środek przemieści się w położenie 

O’’

 

(rys. c). 

 

 

Dzięki takiemu przemieszczeniu czopa 
w łożysku miedzy czopem a panwią 
tworzy się szczelina wypełniona 
smarem, która zwęża się w kierunku 
ruchu. 
Reynolds wykazał, że dzięki lepkości 
cieczy smarującej, następuje wzrost 
ciśnienia w szczelinie i przy zachowaniu 
innych warunków, wielkość tego 
ciśnienia jest wystarczająca do 
rozdzielenia obciążonego czopa i panwi. 

 

 

Rozpatrzmy szczelinę klinową w łożysku 
poprzecznym 

 

 

U=d/

2

a

a

b

b

c

c

Fragment szczeliny klinowej

 

d

 

 

Reynolds przedstawił proste i 
bezpośrednie wytłumaczenie 
mechanizmu smarowania 
hydrodynamicznego, w którym połączył 
zachowanie się cieczy przepływającej 
przez klinową szczelinę z wyciskaniem 
cieczy znajdującej się między 
powierzchniami przemieszczającymi się 
stycznie względem siebie. 

 

 

Mechanizm powstawania ciśnienia 
na przykładzie modelu łożyska 
płaskiego

Zakładając, że łożysko ślizgowe 
przedstawione na rysunku ma 
nieskończenie dużą średnicę 

d

, to 

szczelinę 

a-a

, 

b-b

, 

c-c

  można 

przedstawić w postaci dwóch płyt 
nachylonych względem siebie pod 
niewielkim kątem.

 

 

Dwie płyty nachylone względem siebie 
pod niewielkim kątem

 

c

c

b

b

a

a

U=



*d/

2

 

 

Taki przypadek można rozpatrywać jako 
połączenie ruchu stycznego 

U

x

 i 

normalnego 

U

y

 tych płyt.

c

c

b

b

a

a

U

x

y

U

y

U

x

 

 

Jeżeli równoległe do siebie powierzchnie 

oddzielone czynnikiem smarującym, 

przemieszczają się stycznie względem 

siebie (ślizgają się po sobie) bez zmiany 

grubości warstewki rozdzielającej ich cieczy, 

to prędkość cieczy będzie zmieniała się 

liniowo, od 

u = U

 na powierzchni ruchomej, 

do 

u = 0

 na powierzchni nieruchomej. 

 

 U

 

 

 

 

h

dy

du

 

 

Jeżeli dwie równoległe płyty rozdzielone 
czynnikiem smarującym zbliżają się do 
siebie to rozkład prędkości jest 
paraboliczny, przy czym im dalej od 
środka płyt tym prędkość czynnika 
smarnego jest większa. 

 

d u

 

 

P 

 

 

d

u

 

 

 

 

Gładka sztywna płaska płyta ślizga się po 
lepkim nieściśliwym smarze na drugiej płycie 
nachylonej pod niewielkim kątem. 
Szerokość płyty jest nieograniczona w 
kierunku osi 

z

, co oznacza brak przepływu w 

tym kierunku. Warstwy graniczne smaru 
przywierają do ścian płyt i nie wykazują z 
nimi poślizgów. Uwzględniając bardzo małą 
grubość warstwy smaru i niewielki kąt 
pochylenia ściany można przyjąć kierunek 
przepływu za równoległy do osi 

x

, a zatem 

pominąć składową prędkości 

U

y

 i związane z 

nią naprężenia styczne oraz różnice ciśnień. 

 

 

x

y

c

c

b

b

a

a

U

x

W wyniku tarcia wewnętrznego ruchoma płyta 
górna ‘porywa’ ciecz smarującą ze sobą. 

z

 

 

x

y

c

c

b

b

a

a

U

x

Dla cieczy smarującej musi być spełnione 
równanie ciągłości tego przepływu w 
poszczególnych przekrojach szczeliny:

 

Q

a

=

Q

b

=

Q

c

=const.

U

x

U

x

Q

c

Q

b

Q

a

 

 

a

Warunek ciągłości strugi

 :

 

Q

a

=

Q

b

=

Q

c

=const.

nie jest spełniony ponieważ pola trójkątów 
nie są sobie równe. Zależą one od 
wysokości lokalnej szczeliny 

h

x

. 

Q~U

x



h

x

/2

x

y

c

c

b

b

a

U

x

U

x

U

x

Q

c

Q

b

Q

a

h

x

 

 

Ze względu na ciągłość strugi muszą 
istnieć przepływy wyrównawcze. 

Przepływy o parabolicznym rozkładzie 
prędkości wynikają ze względnego 
zbliżenia się ścian w kierunku osi 

y

 

(składowa prędkości 

U

y

). 

 

 

c

c

b

a

a

b

U

y

 

 

Przepływy te nakładają się na 
poprzednie (wynikające ze składowej 
prędkości 

Ux

) i wyrównują jego zmiany.

 

 

 

c

c

b

b

a

a

+

=

+

=

+

=

rozkłady prędkości cieczy smarującej od ruchu stycznego

rozkłady prędkości cieczy smarującej od ruchu normalnego

a-a

b-b

c-c

 

 

c

c

b

b

a

a

Warstwy cieczy smarującej zaczynają się 
poruszać z coraz to większą prędkością, co 
wynika z sumowania się prędkości cieczy 
smarującej wywołanej odpowiednio ruchem 
stycznym i ruchem normalnym płyty. 

 

 

Na skutek lepkości i adhezji cieczy smarującej 
poszczególne jej warstwy pociągają ze sobą 
‘sąsiadujące’ warstwy i ‘wbijają’ w szczelinę 
powodując jej sprężenie. 

Towarzyszy temu odpowiedni nacisk na ściany 
płyt, co odpowiada określonej nośności 
hydrodynamicznej. 

 

 

c

c

b

b

a

a

x

p

 

 

O

’’  

O

  

A

B

B

C

C

p

max

P

R

R

 

 

Sposoby i warunki realizacji 

tarcia hydrodynamicznego

W hydrodynamicznej teorii smarowania 

rozważa się równania wynikające z praw 

zachowania masy, pędu i energii. 

Z reguły zasadę zachowania masy i pędu 

ujmuje się jednym równaniem Reynoldsa. 

Ponadto, w miarę potrzeby w analizie 

uwzględnia się równania opisujące 

własności oleju (lepkość, gęstość) i 

odkształcenia powierzchni ograniczających 

warstwę czynnika smarującego. 

 

 

Równanie Reynoldsa dla 

przepływu dwukierunkowego 

gdzie:

p

 – ciśnienie czynnika smarnego,

h

 – wysokość warstwy czynnika 

smarnego,



 – lepkość  czynnika smarnego,

U

 – prędkość obwodowa czopa.

 

 

Rozwiązanie równania Reynoldsa 
wskazuje na trzy możliwe sposoby 
realizacji smarowania 
hydrodynamicznego:

 klin smarny, tj. zwężenie się szczeliny 

w kierunku ruchu (

dh/dx

 musi być 

ujemne , tzn. przestrzeń pomiędzy 
ściankami musi się zwężać w 
kierunku ruchu),

 efekt wyciskania smaru tj. 

przybliżenie się wzajemnie 
równoległych płyt (opór jaki stawia 
przy wypływie wyciskany smar jest 
źródłem dodatniego ciśnienia).

 efekt kurczącej się powierzchni w 

kierunku ruchu (nie możliwe do 
realizacji).

x

h

d

d

 

 

W obu praktycznych przypadkach 
realizacji tarcia hydrodynamicznego 
muszą być spełnione odpowiednie 
warunki.
 
W przypadku klina smarnego muszą być 
spełnione następujące warunki:

 zwężenie się szczeliny w kierunku 

ruchu,

 ciągłe dostarczanie odpowiedniej 

ilości smaru,

 istnienie prędkości większej od 

prędkości granicznej,

 

 

W przypadku efektu wyciskania smaru 
muszą być spełnione następujące 
warunki:

 istnienie składowej prędkości 

prostopadłej do równoległych płyt,

 ciągłe dostarczanie odpowiedniej 

ilości smaru,

 odpowiednie dławienie na wypływie.

 

 

Kryterium przejścia tarcia 

płynnego w tarcie mieszane

Jak już wzmiankowano w obu 

praktycznych przypadkach realizacji 

smarowania hydrodynamicznego (

klin 

smarny

 i 

efekt wyciskania smaru

) muszą 

być spełnione odpowiednie warunki. 

Pojawia się jednak pytanie: czy istnieje 

jakieś kryterium pozwalające ocenić kiedy 

smarowanie przestaje być smarowanie 

hydrodynamicznym, zaś tarcie płynne 

przechodzi w tarcie mieszane.

 

 

Takim kryterium jest liczba Hersey’a:

P

v





a

Hersey'

 

liczba

gdzie:



 – lepkość  dynamiczna,

v – prędkość obwodowa,
P – obciążenie łożyska. 

 

 



v/P



v/P

h

Zależność współczynnika tarcia i 
minimalnej grubości smaru od liczby 
Hersey’a

I

II

III



I – tarcie hydrodynamiczne

II – tarcie mieszane,

III – tarcie graniczne

 

 

Istnieje taka wartość liczby Hersey’a 

przy której współczynnik tarcia 



 osiąga 

najmniejszą wartość.

Odpowiada ona przejściu tarcia 

płynnego w tarcie mieszane.

Punkt pracy łożyska w pobliżu tego 

minimum tarcia jest korzystny z dwóch 
powodów:

 ze względu na sprawność energetyczną 

łożyska,

 ze względu na stabilność czopa w 

panewce.

 

 

Przy dużych prędkościach obwodowych v i 

dużym stosunku 

h

o

/



 

w filmie olejowym 

powstaję przepływ turbulentny i ruch czopa w 
panewce staje się niestabilny.

Warunek stabilności czopa:

h

o

/



  0

gdzie:

h

o

 – najmniejsza grubość warstwy smaru,



 – luz promieniowy.

 

 

W  przypadku  niemożliwości  uzyskania 

smarowania 

na 

zasadzie 

hydrodynamicznej  (np.  z  powodu 
niespełnienia  któregoś  z  warunków) 
można  smarowanie  realizować  na 
zasadzie hydrostatycznej. 

W  tym  celu  wywołuje  się  wymuszone 

ciśnienie  w  smarze  między  czopem  a 
panwią  tak,  aby  wypadkowa  ciśnienia 
równoważyła obciążenie łożyska 

P

.

 

 

Olej pod 
ciśnieniem

P

Zasada smarowania 
hydrostatycznego

Łożysko 
poprzeczne

 

 

Olej pod 
ciśnieniem

Łożysko 
wzdłużne

Zasada smarowania 
hydrostatycznego

 

 

Smarowanie 

elastohydrodynamiczne

Współpracujące elementy maszyn o 

dużej powierzchni krzywizn (zęby kół 
zębatych, elementy łożysk tocznych) 
stykają się na małej powierzchni.

 

 

Sprężyste odkształcenia powierzchni styku, 
towarzyszące zaistnieniu stanu równowagi 
między naprężeniami powierzchniowymi a 
wewnętrznymi tych elementów, mają istotny 
wpływ na hydrodynamiczny proces smarowania.
W filmie smarnym pojawia się wysokie ciśnienie.
Zgodnie z teorią smarowania 
hydrodynamicznego w tym wypadku powinno 
nastąpić przerwanie filmu. 
Tak się jednak nie dzieje ponieważ wskutek 
działania wysokiego ciśnienia następuje:
 zmiana lepkości smaru,
lokalne odkształcenia powierzchni styku.

 

 

W przypadku wzajemnego 

przemieszczenia się takich powierzchni, 

wzrost lepkości smaru powoduje 

chwilową zmianę jego konsystencji.
Na krótka chwilę smar staje się ciałem 

stałym zdolnym oddzielić od siebie dwie 

współpracujące powierzchnie.
Utworzony w ten sposób film smarny, 

wynikający ze spełnienia warunków 

teorii sprężystości i hydromechaniki nosi 

nazwę filmu elastohydrodynamicznego, 

zaś smarowanie nazwę smarowania 

elastohydrodynamicznego 

EHD

.