Hydrostatyka i hydrodynamika lekcja ze wspomaganiem komputerowym

Hydrostatyka i hydrodynamika –

lekcja ze wspomaganiem

komputerowym

PRACA DYPLOMOWA INśYNIERSKA

Tomasz Kocot

Opiekun:

dr hab. inż. Włodzimierz Salejda, prof. nadzw. PWr

Wrocław 2008

Opiekunowi pracy dr. hab. inż. Włodzimierzowi Salejdzie
serdecznie dziękuję za pomoc, cenne rady i olbrzymią cierpliwość
w poprawianiu moich błędów .

Spis Tre

1. W

PROWADZENIE

.......................................................................................................................................4

1.1. Cel i układ pracy..........................................................................................................................4

YKORZYSTANE TECHNOLOGIE

................................................................................................................5

2.1. HTML..........................................................................................................................................5

2.1.1. Co to jest HTML?.........................................................................................................5

2.1.2. Historia HTML.............................................................................................................5

2.1.3. Wygląd strony HTML..................................................................................................6

2.1.4. Przyszłość HTML........….............................................................................................7

2.2. Flash.............................................…............................................................................................7

2.2.1. Opis..............................................................................................................................7

2.2.2. ActionScript.................................................................................................................8

2.3. Nawigacja....................................................................................................................................9

2.3.1. Menu nawigacyjne.......................................................................................................9

IOGRAFIE

................................................................................................................................................10

3.1. Archimedes.................................................................................................................................10

3.2. Bernoulli.........................................................….......................................................................11

3.3. Pascal.........................................................................…………................................................12

3.4. Reynolds........….............................…........................................………..................................13

3.5. Stokes........................................................................................................................................14

YDROSTATYKA

.......................................................................................................................................15

4.1. Gęstość......................................................................................................................................15

4.2. Ciśnienie....................................................................................................................................18
4.3. Prawo Pascala............................................................................................................................20

4.4. Prawo Archimedesa...................................................................................................................22

4.5. Napięcie powierzchniowe.........................................................................................................25
4.6. Włoskowatość, zjawisko kapilarne...........................................................................................28

YDRODYNAMIKA

...................................................................................................................................29

5.1. Przepływy.................................................................................................................................29

5.2. Lepkość.....................................................................................................................................31

5.3. Liczba Reynoldsa......................................................................................................................33
5.4. Prawo Stokesa...........................................................................................................................35

5.5. Równanie ciągłości....................................................................................................................36

5.6. Równanie Bernoulliego.............................................................................................................37

5.7. Efekt Magnusa..........................................................................................................................41

5.8. Kawitacja..................................................................................................................................44

ODSUMOWANIE

......................................................................................................................................47

IBLIOGRAFIA

..........................................................................................................................................48

WPROWADZENIE

Cel i układ pracy

Celem pracy dyplomowej było opracowanie lekcji ze wspomaganiem komputerowym

obejmującej zagadnienia z hydrostatyki i hydrodynamiki. Została zrealizowana w formie strony (witryny)
internetowej, w której znalazły się definicje, wzory a także wybrane filmy ilustrujące opisywane
zjawiska. Posłużono się darmowym edytorem „Edytor Znaczników HTML” ( [15], [17] ), natomiast
menu nawigacyjne wykonano w programie „Macromedia Flash MX” (wersja próbna 30

−

dniowa) przy

użyciu języka ActionScrypt. ( [13], [14], [16], [18] )

Opracowana e

−

lekcja pozwala użytkownikom łatwo przyswajać stosowne definicje, poznać

podstawowe pojęcia i wielkości fizyczne z zakresu hydrodynamiki. Zaimplementowane filmy wybranych
zjawisk i efektów, możliwe do przeprowadzenia w domu, pozwalają w pełni zrozumieć fizykę
prezentowanych zjawisk i praw.

Całość pracy jest podzielona na 7 części. Część I to niniejszy wstęp; część II to opis programów i

sposobów ich wykorzystania do wykonania poszczególnych elementów witryny, a także wyjaśnienie
sposobu nawigacji po stronie; część III to krótkie biografie osób, które wniosły istotny wkład do rozwoju
hydrostatyki i hydrodynamiki; część IV dotyczy hydrostatyki i zawiera podstawowe definicje i pojęcia;
część V jest poświecona hydrodynamice; część VI to podsumowanie całości; część VII to spis literatury.

Rozdział

WYKORZYSTANE TECHNOLOGIE

2.1. HTML

2.1.1 Co to jest HTML?

HTML (ang. HyperText Markup Language, pol. hipertekstowy język znaczników) – dominujący język
wykorzystywany do tworzenia stron internetowych. Pozwala opisać strukturę informacji zawartych
w dokumencie nadając znaczenie poszczególnym fragmentom tekstu (formując linki, nagłówki, akapity,
listy, itp.) oraz osadzić w tekście dodatkowe obiekty np. statyczne grafiki, interaktywne formularze,
dynamiczne animacje. W składni języka HTML wykorzystuje się znaczniki opatrzone z obu stron
nawiasami ostrokątnymi.

Ważną cechą języka, która wyraźnie przyczyniła się do rozwoju i upowszechnienia sieci WWW,

jest niezależność od systemu operacyjnego oraz parametrów sprzętowych komputera, na którym strony te
będą przeglądane.

2.1.2 Historia HTML

Pierwsza, publicznie dostępna, specyfikacja języka HTML, nazwana HTML Tags, została

zamieszczona w Internecie przez Bernersa

−

Lee w 1991 r. Zawierała 22 znaczniki, tworzące początkowy,

prosty szkielet HTML. Trzynaście z tych elementów istnieje do tej pory w specyfikacji HTML 4.

HTML został napisany w oparciu o język SGML. W połowie 1993 r., organizacja IETF

opublikowała pierwszą propozycję specyfikacji języka HTML autorstwa Bernersa

−

Lee i Dana Connolly

−

Hypertext Markup Language (HTML) Internet

−

Draft (pol. szkic)

−

zawierającą opis gramatyki w

postaci SGML Document Type Definition (pol. definicja typu dokumentu). Mając ten dokument, twórcy
przeglądarek eksperymentowali z HTML

−

em modyfikując atrybuty istniejących już znaczników oraz

dodając nowe.

Po wygaśnięciu szkiców HTML i HTML+ (1994 r.), organizacja IETF wydzieliła HTML

Working Group, która w 1995 r. stworzyła HTML 2.0

−

pierwszą oficjalną specyfikację języka HTML,

traktowaną jako standard i podstawę przyszłych implementacji kolejnych wersji HTML. Specyfikacja
HTML 2.0, opublikowana w 1996 r. jako Request for Comments, zawierała pomysły zarówno ze szkicu
HTML jak i HTML+. HTML 1.0 jako taki nigdy nie istniał. Oznaczenie 2.0 zostało nadane w celu
odróżnienia nowej specyfikacji od wcześniejszych szkiców.

Dalszy rozwój HTML

−

a pod pieczą IETF przeciągał się ze względu na konflikt interesów. Od

1996 r. specyfikacje HTML rozwijane były z udziałem komercyjnych producentów oprogramowania
przez organizację World Wide Web Consortium (W3C). W 2000 r. HTML stał się międzynarodowym
standardem. Ostatnia specyfikacja języka HTML to opublikowana w 1999 przez W3C

−

HTML 4.01. Jej

błędy zostały poprawione przez erratę opublikowaną w 2001 r.

22 stycznia 2008 został podany do wiadomości publicznej HTML 5, opublikowany przez W3C

jako szkic ("Working Draft").

Rozdział

2.1.3. Wygląd strony HTML.

Strony HTML, to zwykłe pliki tekstowe. Dzięki temu, że nie zawierają w sobie żadnych

predyspozycji platformowych lub systemowych, mogą być odczytane na każdej platformie i w każdym
edytorze.

Każdy plik HTML zawiera następujące elementy:

•

znaczniki HTML, określające elementy strony, jej strukturę, sposoby formatowania i hiperłącza
do innych stron lub informacji innego rodzaju,

•

właściwy tekst strony.

Rozszerzenia dokumenty HTML maja postać .htm

lub .html

i mogą być zapisane w dowolnym edytorze

tekstowym, np. Notatnik

−

u. Aby obejrzeć rezultat napisanego kodu, potrzebna jest przeglądarka

internetowa, która go zinterpretuje. Do najpopularniejszych przeglądarek należą: MS Internet Explorer®,
Mozilla Firefox®, Opera®, Safari® i Netscape®. Wszystkie są darmowe, największe udziały w rynku ma
MS IE.

Rys. 2.1.3. Przykładowa wyedytowana w standardowym edytorze strona HTML

2.1.4. Przyszłość HTML

Rozwój sprzętu i oprogramowania sprawił, że surfowanie po Internecie nie stanowi już problemu.

Stał się potężnym źródłem informacji, zabawy, umożliwia pracę i naukę nie ruszając się z domu albo
podróżując.

Tu pojawia się problem. Coraz nowszy sprzęt i technologie sprawiają, że językowi HTML coraz

trudniej jest się dostosować do wymagań użytkowników. Aby nadążyć na rozwojem, stworzono język
XHTML (ang. Extensible HyperText Markup Language, rozszerzony hipertekstowy język znaczników).
Reformuje on znane zasady języka HTML 4 w taki sposób, aby były zgodne z XML (Extensible Markup
Language

−

Rozszerzony Język Znaczników). XML czerpie swoją moc i elastyczność z języka SGML

(Standard Generalized Markup Language

−

Standardowy Uogólniony Język Znaczników). Mając te

zalety, XML pomija wiele bardziej skomplikowanych cech języka SGML, które stwarzały utrudnienia i
powodowały podrożenie procesu projektowania. Przystosowanie HTML 4.0 do XHTML 1.1 (i vice
versa) jest bezproblemowe.
Obecnie nowe przeglądarki, takie jak Firefox czy Opera, praktycznie w pełni obsługują XHTML, lecz
przeglądarka mająca ciągle największy udział w rynku – Internet Explorer – w ogóle nie obsługuje
XHTML

−

owego typu zawartości. Zmusza to webmasterów do przerabiania XHTML

−

u do zwykłego

HTML

−

u, pod warunkiem oczywiście, że nie ma tam elementów niekompatybilnych z HTML

−

em.

2.2. Flash

2.2.1. Opis

Menu wykonano za pomocą programu Macromedia Flash MX 2004 Professional (wersja testowa

−

dniowa). To rewelacyjne narzędzie umożliwiające tworzenie animacji i interaktywnych elementów

oraz grafiki wektorowej do wykorzystania na stronach WWW. Daje możliwość połączenia różnorodnych
elementów takich, jak : dźwięk, grafika bitmapowa, wektorowa czy cyfrowe wideo w atrakcyjną,
interaktywną całość.

Podstawową zaletą plików tworzonych przez Flasha są niewielkie rozmiary, dzięki czemu proces

ich ładowania i otwieranie w przeglądarkach odbywa się bardzo szybko, nawet przy połączeniach
poprzez modem. Umożliwia tworzenie animacji poklatkowo albo określając tylko klatkę początkową i
końcową – program obliczy środek.

Dzięki językowi Action Script można tworzyć interaktywne elementy, które reagują na

zachowanie użytkownika.

2.2.1. Flash MX

Powyżej jest podstawowe okno programu Flash MX. Na górze znajduje się główne narzędzie, czyli tzw.
linia czasowa. Po prawej są narzędzia służące do rysowania. Po prawej mikser kolorów, a poniżej niego
lista gotowych komponentów możliwych do użycia. NA dole znajdują się opcje pozwalające ustalić
sposób opublikowania gotowej pracy.

2.2.2. Action Script

ActionScript (AS) jest specjalnym językiem zaprojektowanym do kontroli animacji, dobrym

narzędziem do tworzenia zaawansowanych prezentacji multimedialnych

−

jak pokazy slajdów, oraz

interaktywnych aplikacji

−

takich jak gry, quizy czy kursy, albo nawet całe strony internetowe.

ActionScript jest więc potężnym językiem dającym spore możliwości, ale i zarazem nie tak trudnym do
nauczenia się. ActionScript jest językiem zbliżonym do JavaScriptu, w swojej pierwszym wydaniu.
W wersji ActionScript 2.0

−

dostępnej od wersji Flash MX 2004

−

została wprowadzona możliwość

programowania obiektowego (OOP

−

Object Oriented Programming). Najnowsza wersja ActionScript 3.0

−

wypuszczana wraz z Flash CS3, jest zorientowana obiektowo rozwijając szereg dotychczasowych

możliwości.

Fragment kodu AS (ustawia załadowanemu klipowi przeźroczystość na 20%, a w każdej kolejnej klatce
animacji przesuwa go o 4 piksele w prawo)

onClipEvent(load){
this._alpha = 20;}
onClipEvent(enterFrame){
this._x += 4;}

2.3. Nawigacja po witrynie

2.3.1. Menu nawigacyjne witryny

2.3.1 Menu nawigacyjne

Menu składa się z 6 podstawowych pól: Start (kilka słów na początek), Biografie (ludzi ważnych

dla omawianego tematu), Hydrostatyka (własności i prawa dot. płynów nie poruszających się),
Hydrodynamika (wraz z ruchem pojawiają się nowe, ciekawe własności), Koniec (podsumowanie),
Bibliografia (użyte przeze mnie książki i witryny internetowe).

Podmenu się rozwijają gdy najedziemy na nie myszką, chowają się po zabraniu kursora.

BIOGRAFIE

1. Archimedes

Archimedes z Syrakuz (ok. 287

−

212 p.n.e.) – wybitny

grecki fizyk i matematyk, urodzony i zmarły w
Syrakuzach; wykształcenie zdobył w Aleksandrii. Był
synem astronoma Fidiasza i prawdopodobnie krewnym
lub powinowatym władcy Syrakuz Hierona II.
Autor traktatu o kwadraturze odcinka paraboli, twórca
hydrostatyki

statyki,

prekursor

rachunku

nieskończonościowego (infinitezymalnego). Od jego
imienia jedną ze spiral nazwano spiralą Archimedesa.
Stworzył podstawy rachunku różniczkowego. W dziele
Elementy mechaniki wyłożył podstawy mechaniki
teoretycznej. Zajmował się również astronomią –
zbudował globus i planetarium. Wyznaczył przybliżoną
wartość liczby π jako

Anegdota głosi, że pochłonięty rozwiązywaniem zadań
matematycznych Archimedes przestał się myć, w
wyniku czego zaczął śmierdzieć. Gdy siłą nasmarowano
go oliwą i ciągnięto by go wykąpać kreślił na swoim
ciele koła kontynuując swoje rozważania.
W czasie drugiej wojny punickiej kierował pracami
inżynieryjnymi przy obronie Syrakuz. Rzymianie
myśleli, że sami bogowie bronią miasta, gdyż za murami

3.1. Archimedes

schowane machiny oblężnicze jego konstrukcji ciskały pociski w ich stronę. Archimedes został zabity
przez żołnierzy rzymskich po zdobyciu miasta, mimo wyraźnego rozkazu dowódcy, Marcellusa, by go
ująć żywego. Później gorzko żałowano tego. Na życzenie Archimedesa na jego nagrobku wyryto kulę,
stożek i walec (odkrył że stosunek objętości kuli do opisanego na niej walca wyraża się stosunkiem liczb
2 i 3)
Zachowane prace Archimedesa: O ciałach pływających, Elementy mechaniki, O kuli i walcu, O figurach
obrotowych, O kwadraturze odcinka paraboli, O metodzie, O ślimacznicach, Liczba ziarnek piasku
(przedstawił tu możliwość tworzenia dowolnie wielkich liczb na przykładzie wypełnienia piaskiem
wszechświata jako wydrążonej kuli).

Na podstawie:

http://www.matmaserwis.scholaris.pl/starozyt/archim.htm i

http://www.pl.wikipedia.org/wiki/Archimedes

Rozdział

BIOGRAFIE

2. Bernoulli

Daniel Bernoulli ur. 8 lutego 1700 Groningen

−

Holandia zm. 17 marca 1782

−

Bazylea

−

Szwajcaria

Urodził sie w Groningen , gdzie jego ojciec Jan pracował do roku
1705. Daniel uczył się matematyki u ojca i u starszego brata
Mikołaja II (1695

−

1726). Jednocześnie studiował medycynę i w

roku 1721 złożył w Bazylei przepisane egzaminy i obronił rozprawę
na temat oddychania. Pewien czas spędził we Włoszech, celem
doskonalenia się w praktyce lekarskiej i tamże w roku 1724 wydał
Studia matematyczne, które przyniosły mu rozgłos. Wkrótce
powołany został z bratem Mikołajem do Petersburskiej Akademii
Nauk, w której czynny był od jesieni 1725 r. około ośmiu lat.
Zgodnie z umową Daniel Bernoulli miał obowiązek zajmowania się
fizjologią i zastosowaniem do niej metod matematycznych; badania
w tym kierunku, przede wszystkim nad mechaniką ruchu zwierząt,
zapoczątkował Włoch G. Borelli (1608

−

1679). Fizjologią D.

Bernoulli zajmował się zresztą tylko przez krótki czas, na ogół
interesował się mechaniką, fizyką i matematyką. W roku 1728
oficjalnie przeszedł ze stanowiska profesora akademickiego
fizjologii na stanowisko profesora matematyki. Jako matematyk
zdefiniował liczbę "e". Wróciwszy w r. 1733 do Bazylei, otrzymał

3.2. Daniel Bernoulli

na tamtejszym uniwersytecie katedrę anatomii i botaniki i dopiero
od r. 1750 objął katedrę fizyki. Jako fizyk rozwiązał problem struny drgającej.

Akademia Petersburska utrzymała w mocy, po wyjeździe D. Bernoulliego, jego prawo do godności
członka honorowego (zagranicznego) i dożywotniej pensji; do końca życia pozostawał w związkach
naukowych z nią, publikując w jej wydawnictwach większą część swych prac.

W Petersburgu D. Bernoulli przygotował większą pracę z hydrodynamiki, zawierającą opis wielu
doświadczeń i badanie teoretyczne wielu problemów. W ostatecznej redakcji to klasyczne dzieło, w
którym mechanika cieczy i gazów po raz pierwszy potraktowane zostały jako oddzielna dyscyplina,
wyszło w Strasburgu w r. 1738 pod tytułem Hydrodynamika, czyli studia nad siłami i ruchami cieczy
(Hydrodynamica sive de viribus et motibus fluidorum commentarii). Podane było w nim, między innymi,
równanie Bernoulliego.

Na podstawie

http://www.matematycy.interklasa.pl/biografie/matematyk.php?str=bernoullidaniel

pl.wikipedia.org/wiki/Daniel_Bernoulli

BIOGRAFIE

3. Pascal

Blaise

Pascal

(ur.

czerwca

1623

Clermont

−

Ferrand, zm. 19 sierpnia 1662 w

Paryżu). Jego matka Antoinette Begon, zmarła gdy
miał trzy lata, ojciec Étienne Pascal (1588

−

1651)

przeprowadził się z rodziną do Paryża. Blaise miał
dwie siostry: Jacqueline Pascal i Gilberte Pascal.
Był słabowity, dlatego ojciec sprowadzał do swego
domu prywatnych nauczycieli. Młody naukowiec
przebywał w towarzystwie wybitnych osobistości,
takich jak: Marin Mersenne, Pierre de Fermat,
Gilles de Roberval, Gérard Desargues, Claude
Mydorge, Pierre Gassendi i Descartes, kształcąc
się i rozwijając swe zainteresowania. Blaise Pascal
odznaczał się nieprzeciętnymi zdolnościami już w
wieku młodzieńczym. W wieku 16 lat napisał
krótką rozprawę o przecięciach stożkowych oraz
odkrył twierdzenie Pascala. W wieku 24 lat odkrył
prawo ciśnienia w cieczach tzw. Prawo Pascala
oraz rachunek prawdopodobieństwa. Wymyślił
Trójkąt Pascala i maszynę liczącą

−

pascalinę, by

pomóc swemu ojcu, poborcy podatkowemu.
Wybudował

1662

roku

pierwszą

linię

komunikacji

miejskiej,

której

kursował

omnibus projektu Blaise Pascala.

3.3 Blaise Pascal

Poświęcił się początkowo studiom matematycznym i fizycznym (pierwszy użył barometru do oznaczenia
wzniesienia nad poziom morza). W roku 1640 rodzina Pascalów przeniosła się do Rouen, gdzie Blaise
pomagał swemu ojcu w prowadzeniu księgowości. Wskutek nieszczęśliwego wypadku, którego padł
ofiarą na moście Neuilly, skierował swój umysł w stronę zagadnień filozoficzno

−

religijnych. W roku

1656 zerwał z paryskim życiem towarzyskim i osiedlił się w pobliżu Port

−

Royal, zbliżył się do

jansenistów i oddał studiom religijno

−

filozoficznym. Zaczął utrzymywać bliskie kontakty z klasztorem

Port

−

Royal w Paryżu, jednym z największych centrów jansenizmu. Zmarł wyczerpany chorobami w

Paryżu.

Na podstawie:

http://www.ftj.agh.edu.pl/~lenda/cicer/node4.htm

http://pl.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascal

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Pascal.html

BIOGRAFIE

4. Reynolds

Osborne Reynolds (urodzony 23 sierpnia 1842 w Belfaście (Irlandia)

−

zmarł 21 lutego 1912 w Watchet, w hrabstwie Somerset (Anglia),

irlandzki inżynier.

Naukę rozpoczął w szkole w Collegiate Schooll, gdzie jego ojciec był
dyrektorem. Odbywał praktykę w firmie Edward Hayes w 1861.
Studiował matematykę na Uniwersytecie w Cambridge, którą
ukończył w 1867.
W 1868 został (pierwszym w Manchesterze, a drugim w Anglii)
profesorem inżynierii na Uniwersytecie w Manchesterze (wtedy
Owen's College). Od 1877 członek Royal Society, a 11 lat później
zdobył Royal Medal. W 1884 został mu nadany stopień honorowy na
Uniwersytecie w Glasgow.

Od 1873 zajął się głównie dynamiką płynów, która wtedy była witalna
dla światowej nauki.

3.4. Osborne Reynolds

Zasłynął swoimi pracami z dziedziny hydrodynamiki,
zwłaszcza dotyczącymi podobieństwa dynamicznego przepływów płynów w przewodach oraz teorii
smarowania. W 1883 podał warunek przejścia przepływu laminarnego w przepływ turbulentny.

Sformułował prawo które mówi, że dwa zjawiska są podobne jeżeli obliczona dla nich liczba (Liczba
Reynoldsa) jest taka sama. Prawo to jest do dziś stosowane w inżynierii.

Na początku roku 1900 stan jego zdrowia, zarówno fizycznego jak i psychicznego zaczął się pogarszać.
Reynolds zaczął wycofywać się z życia zawodowego, by ostatecznie porzucić je w 1905.

Na podstawie

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Reynolds.html i

http://pl.wikipedia.org/wiki/Osborne_Reynolds

BIOGRAFIE

5. Stokes

Sir George Gabriel Stokes, 1st Baronet (ur. 13
sierpnia 1819, zm. 1 lutego 1903)

−

irlandzki

matematyk i fizyk, powiązany z Uniwersytetem
Cambridge, syn Clergymana, rektora Skreen w
hrabstwie Sligo, w Irlandii, pochodził z angielskiej, od
dawna oddanej studiom naukowym, rodziny.
Od roku 1849 zajmował w Cambridge katedrę
matematyki, tzw. Lucasian Chair, opromienioną
blaskiem imienia Newtona. Prosty i skromny, spokojny
i opanowany, przysłowiowo małomówny, w sobie
zamknięty, skupiony, Stokes był wzorem badacza,
myśliciela i mędrca.
Członek Royal Society (od 1851). Był również
prezesem Instytutu Victoria od 1886 aż do śmierci w
1903 roku. Prace nad hydrodynamiką, nad teorią
sprężystości, zwłaszcza nad optyką zapisały imię
Stokesa w dziejach fizyki w XIX stuleciu.
Około roku 1850 Stokes rozumiał już jasno zasady
spektralnej analizy; lordowi Kelvin (z którym przez
długie lata żył w niezamąconej przyjaźni) doniósł o
wielkim odkryciu; lecz będąc badaczem nadzwyczajnie
oględnym,

ostrożnym,

rozważnym,

nie

chciał

zawiadomić o nim publicznie; aż wreszcie w roku 1859
Kirchhoff i Bunsen ogłosili światu o wspaniałym
postępie, niezrównanym w następstwach.
W 1854 Stokes teoretycznie wyjaśnił linie Fraunhofera
w widmie słonecznym.
Autor

znaczących

prac

dziedziny

fizyki

matematycznej (twiedzenie Stokesa),

3.5. Sir George Gabriel Stokes

hydrodynamiki (prawo Stokesa) i optyki (reguła Stokesa).

Stokes był zaangażowany w kilka dochodzeń w sprawie wypadków kolejowych, zwłaszcza w katastrofie
mostu Dee, w maju 1847, oraz pełnił funkcję członka Royal do wykorzystania żeliwa w kolejnictwie.
Brał udział w charakterze biegłego w sprawie klęski Tay Bridge (28 grudnia 1879), gdzie udowodnił
wpływ wiatru na most (sekcja środkowa została całkowicie zniszczona podczas burzy, co spowodowało
ś

mierć 75 osób). Dzięki temu został członkiem Komisji Królewskiej ds. skutków wpływu wiatru na

budowle (w tym czasie skutki wiatrów były zaniedbywane przy projektowaniu).

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Stokes.html i

http://pl.wikipedia.org/wiki/George_Gabriel_Stokes

HYDROSTATYKA

1. Gęstość

Gęstość jest wielkością służącą do porównywania różnych materiałów. Wiadomo, że ołów jest cięższy
aluminium, że styropian jest bardzo lekki, a rtęć ciężka. Aby jednak powiedzieć dokładnie jak ciężki,
trzeba podać jego gęstość. W przypadku ciał stałych jest to stosunek masy do objętości. Matematycznie
wygląda to tak:

[ ]









W przypadku cieczy i gazów, które nie mają określonego kształtu, gęstość zależy od punktu substancji i
określana wówczas jest jako granica stosunku masy do objętości, gdy objętość obejmuje coraz mniejsze
objętości obejmujące punkt:

Gęstość ciał stałych można wyznaczyć przez ważenie próbek o znanej objętości, przy wyznaczaniu
gęstości cieczy stosuje się areometry. Przy wyznaczaniu gęstości gazów stosuje się metody ważenia
naczyń z gazem o różnym ciśnieniu gazu.

Areometr

−

przyrząd służący do wyznaczania gęstości cieczy. Areometr po

zanurzeniu w cieczy pływa po jej powierzchni w pozycji pionowej (dzięki
obciążeniu np. ołowianymi kulkami). Głębokość, na jaką się zanurza dolna
część areometru wynika z różnicy między ciężarem areometru a ciężarem
wypartej przez areometr cieczy. Znając masę i objętość areometru, na
podstawie głębokości, na jaką się zanurzył i w oparciu o prawo Archimedesa
można w przybliżeniu obliczyć gęstość analizowanej cieczy.

4.1.1.Areometr

Rozdział

Gęstość większości substancji zmniejsza się wraz ze wzrostem temperatury (jednym z wyjątków jest
woda w temperaturze poniżej 4°C). Zjawisko to wynika z rozszerzalności cieplnej ciał. Podczas przemian
fazowych gęstość zmienia się skokowo (w temperaturze przemiany), podczas krzepnięcia zazwyczaj
wzrasta (najbardziej znanymi wyjątkami są woda, żeliwo, a z pierwiastków bizmut, gal i german).

Gęstość wody w różnych temperaturach; Gęstość powietrza w różnych temperaturach
temp<0 odnosi się do superschłodzonej wody (przy ciśnieniu 1 atmosfery)
(bez obecności zanieczyszczeń, wodę można
schłodzić poniżej 0, bez krystalizacji)

sto

ść

ró

nych cieczy w temperaturze pokojowej

sto

ść

ró

nych gazów w temperaturze pokojowej

Ciecz

ρ [kg/m

] w 22

aceton

790

alkohol etylowy

790

alkohol metylowy

790

benzen

880

benzyna

700

eter etylowy

716

krew ludzka

1050

kwas azotowy

1410

kwas octowy

1050

kwas siarkowy

1840

kwas solny

1190

mleko

1030

nafta

810

oliwa

920

olej rycynowy

950

rtęć

13546

toluen

870

Gaz

ρ [kg/m

] w 20

acetylen

1,16

amoniak

0,76

argon

1,78 0

azot

1,25

butan

2,70 3

chlor

3,21

chlorowodór

1,64

deuter

0,18 8

dwutlenek azotu

2,05

dwutlenek siarki

2,83

dwutlenek węgla

1,96

etan

1,32

fluor

1,69

hel

0,17 8

metan

0,71

powietrze

1,29

propan

2,01 9

siarkowodór

1,52 9

tlen

1,43

tlenek węgla

1,25

wodór

0,08 989

HYDROSTATYKA

2. Ciśnienie

Ciśnienie płynu (określenie dla cieczy i gazów) można scharakteryzować wielkością sił działających na
siebie poszczególnych warstw płynu lub na stykające się z nimi ciała (np. ścianki naczynia). Jeżeli
rozdzielimy objętość płynu płaszczyzną, to dwie części oddziałują na siebie określonymi siłami (tzw. siły
parcia). I właśnie stosunek siły parcia na dowolną powierzchnię w płynie do wielkości tej powierzchni
nazywamy ciśnieniem.

Stosunek ten ilościowo określa wzór:









Jednostką ciśnienia jest paskal (Pa)

−

siła 1 niutona wywierana na powierzchnię 1m

Ciśnienie hydrostatyczne (dla powietrza – aerostatyczne) to ciśnienie wywierane przez ciecz na dno
naczynia

gdzie ρ to gęstość cieczy









, h

−

wysokość słupa cieczy

Patrząc na powyższy wzór można dojść do ciekawego wniosku. Ciśnienie na dnie naczynia nie zależy od
kształtu naczynia, a jedynie od wysokości słupa cieczy (im większe zanurzenie, tym większe ciśnienie).
Jest to tzw. paradoks hydrostatyczny.

4.2a

4.2b

4.2a) Doświadczenie Pascala pokazujące jak niewielka ilość cieczy, ale za to "wysoka" potrafi rozsadzić
beczkę.
4.2b) Paradoks hydrostatyczny

−

ciśnienie na dnie w każdym naczyniu jest takie samo.

Im wyższy słup płynu, typ większy nacisk. Np. na Ziemi ciśnienie w wodzie (ciśnienie hydrostatyczne)
zwiększa się co 10 m o jedną atmosferę.
Inny wniosek z tego faktu wynikający to fakt, że ciężar słupa powietrza nad nami jest równy ciężarowi
słupa wody o wysokości 10m (a jest to nie byle co, bo 10 ton wody na każdy metr kwadratowy!). A
wewnątrz ciała musimy wytworzyć takie samo ciśnienie by móc normalnie funkcjonować!

Na podstawie średniej wielkości ciśnienia atmosferycznego na Ziemi na poziomie morza wprowadzono
jednostkę ciśnienia – atmosferę – równą 1013,25 hPa.

Ciśnienie na wysokości 0 n.p.m., p(0), wynosi ok. 10

Pa (101325 Pa), stąd dla wysokości h otrzymamy:

)

(

−

⋅

≈

Przykładowo, ciśnienie na wierzchołku Mount Everest (8848 m n.p.m.) wynosi ok. 280 hPa, czyli jest w
przybliżeniu 3,5 razy mniejsze niż na poziomie morza. Natomiast połowa ciśnienia z poziomu morza,
czyli 500 hPa, występuje na wysokości ok. 4800 m n.p.m. Ciśnienie rzeczywiste przeliczone do
wysokości poziomu morza nazywa się ciśnieniem znormalizowanym.

Polskie rekordy ciśnienia:

−

1054 hPa 16 grudnia 1997,

−

1051,1 hPa 22 stycznia 2006 roku,

−

1050 hPa 3 stycznia 1993 roku,

−

1048 hPa 10 grudnia 1991 roku.

Najniższe zaś (965,2 hPa) notowano 26 lutego 1989 w Szczecinie i Łodzi, w Białymstoku 1 marca 2008
roku

−

962 hPa.

Jeżeli chodzi o rekordy globalne to najwyższe zarejestrowano 19 grudnia roku 2001 w miejscowości
Tosontsengel w Mongolii – wyniosło wtedy 1086 hPa. Natomiast najniższe znormalizowane ciśnienie
atmosferyczne, wynoszące 870 hPa, spowodowane przejściem tajfunu Tip, zarejestrowano 12
października roku 1979 na Północnym Pacyfiku. Dla Oceanu Atlantyckiego rekord padł 19 października
2005 roku. W oku huraganu Wilma, który potem spustoszył Florydę, zanotowano ciśnienie 882 hPa.

HYDROSTATYKA

3. Prawo Pascala

Prawo Pascala (patrz 3.3) można sformułować następująco:
Ciśnienie zewnętrzne wywierane na płyn (ciecz lub gaz) jest przenoszone wewnątrz płynu we wszystkich
kierunkach jednakowo.

4.3.1 Prawo Pascala

Jest to wersja stara; w nowej wersji należy jeszcze uwzględnić siłę grawitacji. Naturalne jest, że na płyn
w dolnej części działa większe ciśnienie, bo należy dodać ciśnienie wywierane przez ciecz nad miejscem
pomiaru właściwego ciśnienia.

Ciśnienie w płynie na tym samym poziomie jest jednakowe. Różnicę ciśnień między
dwiema wysokościami opisuje wzór

)

(

−

gdzie ρ to gęstość płynu, g to przyspieszenie ziemskie, a h

, h

to wysokości. Intuicyjna interpretacja tej

prawidłowości to: ciśnienie na danej głębokości wywołuje ciężar słupa płynu o jednostkowym przekroju,
który jest nad danym punktem.

Czyli np. w szklance wody, ciśnienie nie jest jednakowe wszędzie. Wysokość wody podzielimy na
cienkie poziome warstwy, to w takiej warstwie ciśnienie jest jednakowe. Poniżej jest większe, a powyżej
mniejsze.

Jakie zastosowania ma prawo Pascala? Mamy z nim do czynienia nawet tego nie wiedząc. Gdy
dmuchamy materac lub dętkę w rowerze, gdy naciskamy pedał hamulca w samochodzie. Odrębna grupą
są zastosowania czysto techniczne

−

prasy i podnośniki hydrauliczne, młot pneumatyczny.

Schemat działania prasy hydraulicznej.
Mały tłok zostaje naciśnięty z małą siłą, a na drugim końcu mamy odpowiedź dużego tłoka

−

siła jest

większa o tyle, ile razy większa jest powierzchnia S

wyj

od S

wej

wyj

⋅

4.3.2. Schemat działania prasy hydraulicznej

HYDROSTATYKA

4. Prawo Archimedesa

Eureka (gr. heureka

−

znalazłem), z tym słowem nierozłącznie kojarzy się prawo Archimedesa:

Na ciało zanurzone w cieczy działa siła wyporu, skierowana do góru i równa co do
wartości cieczy wypartej przez to ciało.

Według legendy Król Syrakuz zwrócił się do Archimedesa (parz 3.1), aby ten zbadał, czy korona, którą
wykonał dla Hierona II pewien złotnik, zawiera tylko złoto, czy jest to jedynie pozłacane srebro.
Archimedes długo nad tym rozmyślał, aż wreszcie pewnego razu w czasie kąpieli w wannie poczuł jak w
miarę zanurzania się w wodzie ciężar jego ciała się zmniejsza. Oszołomiony swoim odkryciem,
wyskoczył z wanny i z okrzykiem Eureka! nago wybiegł na ulicę i udał się do króla. Po otrzymaniu
odpowiedniej wartości dla ciężaru właściwego korony Archimedes porównał ją z ciężarem właściwym
czystego złota.

Wyprowadzanie wzoru na siłę wyporu

Na boczne ścianki działają siły, które się równoważą, a na dna cylindra siły proporcjonalne do głębokości

)

(

−

siła działająca na górne dno,

)

(

−

siła działająca na dolne dno.

4.4.1. Proste wyprowadzenie wzoru na sił

wyporu

Siła wypadkowa

( p

gh )S

( p

gh )S

gV ,

−

gdzie V =

)

(

−

– objętość.

Wynika stąd że siła wypierająca jest równa ciężarowi cieczy wypartej i nie zależy od kształtu.

Siłę wyporu da się zatem zapisać wzorem

wyporu

plynu

zanurzona

g V

⋅ ⋅

płynu

−

gęstość płynu (cieczy, gazu) w którym zanurzone jest ciało

−

[w układzie SI w kg/m

], V

zanurzona

–

objętość tej części ciała, która jest zanurzona w płynie (w układzie SI w m

), g – przyspieszenie ziemskie

[w układzie SI w m/s

]

Pływanie ciał

Na ciało zanurzone działa siła wyporu

⋅

i siła ciężkości Q=ρgV.

Ich różnica to siła wypadkowa

)

(

−

....

Możliwe są 3 przypadki:

>ρ

−

ciało gęstsze niż ciecz R<0

−

ciało tonie,

II.

=ρ

−

R=0

−

ciało w równowadze z cieczą na dowolnej głębokości.

III.

>ρ

−

ciecz gęstsza niż ciało R<0

−

ciało pływa częściowo zanurzone.

Ilustruje to rysunek poniżej

4.4.2. Pływanie ciał.

Czasami da się zaobserwować, że ciało „tańczy” po powierzchni wody. Dzieje się tak dlatego, że punkty
przyłożenia F

i Q nie są w tym samym miejscu. Gdy Q jest powyżej F

, to takie ciało może się

przechylić aby znaleźć położenie równowagi. Dzieje się tak gdy ciało jest niejednorodne, bo punkt
przyłożenia Q jest w środku ciężkości ciała, a niejednorodność środek ten "przesuwa".

Prawo Archimedesa wykorzystuje się przy budowie statków, łodzi podwodnych (te mają możliwość
regulowania siły wyporu), ale też balonów na hel, wodór lub gorące powietrze (które mają mniejszą
gęstość niż powietrze otaczające balon) i baniek mydlanych.
Ryby mają pęcherz pławny, który umożliwia im pływanie na różnych głębokościach.

4.4.3.Balony na 4.4.4.Morze Martwe 4.4.5. P

cherz pławny ryb

rozgrzane powietrze

HYDROSTATYKA

5. Napięcie powierzchniowe

Napięcie powierzchniowe – zjawisko fizyczne występujące na styku powierzchni cieczy z ciałem
stałym, gazowym lub inną cieczą. Polega na powstawaniu dodatkowych sił działających na powierzchnię
cieczy w sposób kurczący ją (dla powierzchni wypukłej przyciągający do wnętrza cieczy, dla wklęsłej
odwrotnie). Zjawisko to ma swoje źródło w siłach przyciągania pomiędzy molekułami cieczy. Występuje
ono zawsze na granicy faz termodynamicznych, dlatego zwane jest też napięciem międzyfazowym .

Jest to naturalna skłonność powierzchni do kurczenia się spowodowana siłami wciągającymi cząsteczki
powierzchniowe do wnętrza. W wyniku działania napięcia powierzchniowego wszędzie, gdzie
powierzchnia jest zakrzywiona, ciśnienie po stronie wklęsłości jest większe niż po stronie wypukłości.

Ilościowo napięcie powierzchniowe jest równe pracy potrzebnej do powiększenia powierzchni o 1 m

co można wyrazić wzorem:









∆

gdzie:
γ

−

napięcie powierzchniowe, W

−

praca potrzebna do utworzenia powierzchni

∆

Zgodnie z ogólnym prawem przyrody każdy układ cząsteczek dąży do znalezienia się w stanie
o minimalnej energii. Skoro energia cząsteczek przy powierzchni jest duża to w nieobecności sił
zewnętrznych ciecz dąży do przybrania takiego kształtu, dla którego przy określonej objętości
powierzchnia jest jak najmniejsza. Z geometrii wiadomo, że taki kształt ma kula. Dlatego krople deszczu
mają kształt kulisty i w stanie nieważkości każda ciecz przyjmuje kształt kuli. Umożliwia to także
powstawanie baniek mydlanych.

Gdy ciecz jest w naczyniu, w pobliżu ścianek oprócz sił spójności działają siły oddziaływania między
cząsteczkami cieczy i cząsteczkami ciała stałego nazwane siłami przylegania.

Jeżeli siły spójności są większe niż siły przylegania, to tworzy się menisk wklęsły, jak w przypadku
wylanej rtęci. Można to również zaobserwować jeśli naczynie szklane natłuścimy i wlejemy wodę,
bowiem siły przylegania między cząsteczkami wody i tłuszczu są znacznie mniejsze od sił spójności
między cząsteczkami wody. W przeciwnym razie (siły spójności < siły przylegania) powstaje menisk
wypukły.

4.5.1. Menisk wkl

sły 4.5.2. Menisk wypukły

Własność tą wykorzystują kaczki i inne ptaki wodne. Pióra są nasiąknięte tłuszczem i woda nie dostaje
się pomiędzy pióra. Podobnie woda nie może zwilżać owadów wodnych ślizgających się po powierzchni
stawów, więc pokryte są substancją, której siły przylegania z wodą są małe. Parasole i ubrania
przeciwdeszczowe wykonujemy z takich materiałów aby woda spływała. Z tego powodu pastujemy buty.

Substancje zmniejszające napięcie powierzchniowe zwane są detergentami. Dzięki temu możemy
tworzyć bańki mydlane a także prać ubrania, bo wtedy woda może wnikać głębiej w materiał.

Jak powstają bańki mydlane?

Skoro bańki mydlane tworzymy z detergentów, a wiadomo że detergenty obniżają napięcie
powierzchniowe, to dlaczego bańki się nie rozpadają?

Zwykle woda chce przybrać formę kropli. Detergenty umożliwiają wodzie „rozciągnięcie się”. Napięcie
powierzchniowe nie znika jednak zupełnie. Zostaje go na tyle, że tęczowa bańka może powstać.

4.5.3. Ba

ka mydlana

No właśnie

−

dlaczego tęczowa?

Bańka to naprawdę dwie warstwy rozdzielone wodą. Kolor to obraz interferencyjny, który powstaje z
nakładania się fal. Część zwykłego białego światła padającego na bańkę przechodzi przez nią, część
odbija się od zewnętrznej, a część od jej wewnętrznej powierzchni. Wiązka światła odbita od
wewnętrznej części ścianki nakłada się na wiązkę światła odbitą od ścianki zewnętrznej i powstaje
barwny obraz, zależny od grubości bańki. Bańka z czasem staje się coraz mniejsza, ponieważ
wyparowuje z niej woda, wówczas barwne plamy zmieniają się i stają mniej wyraźne.

4.5.4. Dyfrakcja

wiatła na ba

ce mydlanej

Napięcia powierzchniowe różnych substancji

Ciecz

nap. pow. [mN/m

]

Eter dietylowy

17,0

Alkohol etylowy

22,3

Alkohol metylowy

22,6

Aceton

23,7

Czterochlorek węgla

26,9

Toluen

28,4

Benzen

28,9

Olej rycynowy

36,0

Nitrobenzen

41,8

Anilina

42,9

Gliceryna

63,4

Woda destylowana

72,75

Szkło sodowo

−

wapniowe (1000

300,0

Rtęć

475,0

Zależność od temperatury

Napięcie powierzchniowe silnie zależy od temperatury cieczy zmniejszając się wraz ze wzrostem
temperatury i ginąc (osiągając zero) w temperaturze krytycznej lub kilka stopni poniżej niej. Istnieją
wzory określające zależność napięcia powierzchniowego od temperatury:

(

)

−

gdzie V to objętość molowa substancji, T

to temperatura krytyczna, k współczynnik zależny od

substancji (dla wody k = 1.03 erg/°C, V= 18 ml/mol a T

= 374°C).

Ciśnienie wytarzane prze napięcie powierzchniowe

Zakrzywiona powierzchnia cieczy wytwarza ciśnienie określone wzorem zwanym wzorem Laplace'a

∆

gdzie dA zmiana powierzchni cieczy, wywołana dV zmianą objętości.

Dla płaskiej powierzchni

−

Dla kuli lub sfery (np. kropla deszczu)

−

Dla bańki mydlanej zamiast 2 należy wstawić 4, gdyż bańka ma dwie warstwy.

HYDROSTATYKA

6. Włoskowatość, zjawisko kapilarne

Zjawisko włoskowatości zachodzi tylko i wyłącznie w kapilarach. Kapilara (łac. capillus

−

włos) to

cienka rurka, której średnica jest tak mała, że ciecz w niej jest całkowicie w polu oddziaływania sił
przylegania. Wytworzone jest ciśnienie powierzchniowe które unosi ciecz powyżej poziomu cieczy
swobodnej na zewnątrz (rys A). Na rys B jest sytuacja gdy kapilara jest posmarowana tłuszczem

−

wtedy

sytuacja jest odwrotna.

rys B

4.6a,b Zjawisko włoskowate

Zjawiska włoskowate często spotykamy w przyrodzie. Występowanie ich tłumaczy

higroskopijność szeregu ciał, tzn. ich zdolność do pochłaniania wilgoci. Substancją higroskopijna jest
wata, tkaniny, gleba, beton. Te substancje składają się z mikroskopijnych naczyń i są one zwilżane przez
wodę, czyli siły przylegania są większe niż spójności.

Higroskopijność betonu musi być uwzględniona w praktyce budowlanej. Pomiędzy fundament

budynku i ściany wkłada się warstwę papy, smoły czy też jakiejkolwiek innej substancji, która zapobiega
przenikaniu wilgoci poprzez ściany do mieszkań.

Zjawisko włoskowatości jest podstawą życia na naszej planecie. Dzięki niemu rośliny są w stanie

pobierać wodę z gleby i transportować ją do górnych partii. Naczynia włoskowate w organizmach
ż

ywych mogą dzięki temu transportować krew nawet do najdalszych komórek.

Spotkać je można także w pieluchach (hasło ekstra chłonne jest jak najbardziej prawdziwe właśnie

dzięki kapilarnej strukturze), ubraniach z tzw. goretexu, a nawet w świecach (knot zasysa płynny wosk z
dolnych partii świecy).

HYDRODYNAMIKA

1. Przepływy

Ruch płynów nazywamy przepływem, a uporządkowany ruch cząstek płynów poruszających się w
jednym kierunku nazywamy strumieniem (strugą).

Przepływy dzielą się na 3 kategorie:

−

ustalony

−

jeżeli w danym punkcie prędkość przepływu nie zależy od czasu (dla małych prędkości),

−

laminarny

−

jeżeli płynącą ciecz da się podzielić na warstwy i w każdej warstwie ciecz ma stałą

prędkość,

−

turbulentny

−

występuje mieszanie się warstw.

a) przepływ ustalony b) przepływ laminarny c) przepływ turbulentny

−−−−

prędkość w warstwach jest taka sama

5.1a,b,c Przepływy

Oczywiście to nie są jedyne kryteria podziału. Biorąc pod uwagę inne własności, można wyróżnić

inne koncepcje, kilka z nich jest omówionych poniżej.

Przepływ może być wirowy lub bezwirowy. Przepływ jest wirowy jeśli w jakimś punkcie

przestrzeni element płynu ma niezerową wypadkową prędkość kątową . Dla ilustracji tych pojęć
wyobraźmy sobie kółko z łopatkami zanurzone w poruszającym się płynie. Jeśli kółko nie obraca się
podczas ruchu mamy do czynienia z przepływem bezwirowym.

Rozdział

Przepływ może być ściśliwy lub nieściśliwy. Jeśli można przyjąć, że gęstość płynu jest stała,

niezależna od czasu i współrzędnych przestrzennych, wówczas mówimy o przepływie nieściśliwym.
Zazwyczaj przyjmuje się, że przepływ cieczy jest nieściśliwy, a gazów ściśliwy.

Przepływ może być lepki lub nielepki. Lepkość jest odpowiednikiem tarcia w ruchu ciał stałych,

dlatego nazywa się ją także tarciem wewnętrznym. Powodowana jest przez siły styczne działające
pomiędzy warstwami cieczy przesuwającymi się względem siebie. Lepkość powoduje stopniowe
rozpraszanie (dyssypację) energii mechanicznej w ośrodku. W niektórych zagadnieniach (np. związanych
ze smarowaniem) lepkość odgrywa bardzo istotna rolę, jednak czasem można zaniedbać opory ruchu
związane z lepkością, mówimy wówczas o przepływie nielepkim.

Najpopularniejszym a zarazem najbardziej wzgardzanym (tzw. sucha woda) jest podział na

ustalony, laminarny i turbulentny.

Jakie jest kryterium podziału? O tym w rozdziale 3.

HYDRODYNAMIKA

2. Lepkość

Lepkość

−

najprościej rzecz ujmując, jest to tarcie wewnętrzne występujące w gazach i cieczach, które

stawia opór płynięciu.

Występuje między warstwami płynu o różnych prędkościach, a nie na granicy płyn

−

naczynie. Gdy dwie

warstwy mają różne prędkości, to wolniejsza warstwa zostaje przyspieszona, a ta o większej prędkości
zostaje zwolniona (następuje przekazywanie pędu). Na granicy powstają siły ścinające prostopadłe do
powierzchni stykających się. Taki model warstwowy działa tylko właśnie przy warstwach, ale przy
turbulencjach zawodzi.

Lepkość podzielić można na 2 kategorie, z czego ta druga jest bardzo rzadko używana:

−−−−

lepkość dynamiczna

−

stosunek naprężeń ścinających do prędkości ścinania

]

[

⋅

•

W układzie SI jednostką jest paskal * sekunda

−

Pa*s

W układzie CGS jednostką lepkości dynamicznej jest puaz (P)

dyn s

cm s

Pa s

⋅

⋅ =

−−−−

lepkość kinetyczna

−

lepkość dynamiczna do gęstości cieczy w danej temperaturze

[ ]

Współczynnik lepkości dynamicznej dla rozrzedzonych gazów doskonałych jest proporcjonalny do
pierwiastka z temperatury (nie zależy od ciśnienia), dla cieczy współczynnik ten jest odwrotnie
proporcjonalny do temperatury, a rośnie wraz ze wzrostem ciśnienia.

Tabela przedstawiająca lepkość różnych substancji, przy różnych temperaturach. Jak widać wzrost
temperatury to obniżenie lepkości. Wynika to stąd że wzrasta ruchliwość cząsteczek, a tym samym
maleje przyciąganie międzycząsteczkowe.

HYDRODYNAMIKA

3. Liczba Reynoldsa

Otóż by rozróżnić z jakim przypadkiem mamy do czynienia, należy wyznaczyć dla danej cieczy jej tzw.
liczbę Reynoldsa (patrz 3.4), którą zaproponował irlandzki inżynier w XIX w.

Osborne Reynolds rozważał jaka jest siła oporu F ośrodka ciągłego o lepkości

i gęstości ρ na

poruszającą się w nim kulę o promieniu r i prędkości v. Wziął pod uwagę następujące wielkości oraz ich
wymiary:

N s

[ ]

m s

⋅

Chciał z tych parametrów otrzymać wielkość bezwymiarową. Najpierw podzielił lepkość przez gęstość,
potem prędkość przez to co otzrymał, a na koniec wynik pomnożył przez r. W rezultacie otrzymał
liczbę bezwymiarową

[/]

Zauważmy, że ostatni wzór można wyprowadzić posługując się analizą wymiarową zapisując wyrażenie
na liczbę Reynoldsa w postaci

v r

Znając wymiary wielkości stojących po prawej stronie ostatniego wyrażenia oraz żądając aby było ono
bezwymiarowe otrzymujemy

( )

m s



 









 







⋅



 







Warunek bezwymiarowości prowadzi do układu czterech równań algebraicznych na trzy niewiadome,
którymi są nieznane wartości wykładników a, b, c, d,

+ =

−

+ + − =

− − =

z którego otrzymujemy równości

d .

= = = −

Najprostszym z możliwych rozwiązań jest przyjęcie wartości jeden dla wykładnika a, co prowadzi do
poprawnego wzoru na liczbę Reynoldsa.

Szukana siła oporu (wymiar

kg m

[N]

⋅













) będąca z założenia iloczynem gęstości płynu,

prędkości, promienia i bezwymiarowej liczby Reynoldsa powinna mieć postać

oporu

r .

⋅

⋅ ⋅

Możemy zastosować elementarną analizę wymiarową żądając, aby obie strony ostatniej równości

miały takie same jednostki (a tym samym wymiary), co prowadzi do warunku

( )

kg m

⋅



 





 





 



z którego wynika układ równań

, b

−

+ + =

Rozwiązanie jest tym razem jednoznacznie określone i ma postać

, b

, c

Tak więc

oporu

jest kombinacją ρv

i liczby Reynoldsa.

Jak w praktyce stosować liczbę Rynoldsa? Otóż są wartości Re, powyżej których przepływ z

laminarnego staje się turbulentnym. Nie jest to jednak kryterium uniwersalne. Dla różnych cieczy i
przekrojów rur liczby graniczne są różne, nie mniej jednak dla podobnych warunków jest to bardzo
użyteczne narzędzie.

Ogólnie przyjmuje się, że dla Re<2100

−

przepływ jest laminarny; przy Re>3000

−

przepływ jest

turbulentny.

Nie jest to doskonały sposób określania turbulentności, ale jak dotąd nie wymyślono niczego

lepszego.

Zależność liczby Reynoldsa od przekroju (1cal=25,4 mm) i wielkości przepływającej wody w

litrach i galonach (1 galon = 3,79 litra) na minutę.

HYDRODYNAMIKA

4. Prawo Stokesa

Odkryte w 1851 r. przez Sir George'a Stokesa (patrz 3.5), odnosi się do ciała poruszającego się w płynie i
określa wartość siły oporu działającej na ruchomą kulę, gdy opływ jest laminarny

Drugi wzór to uogólniona wersja pierwszego. Wg obliczeń teoretycznych dla kuli const = 6π .

Wzór ten jest prawdziwy dla małych wartości (około 10) liczby Reynoldsa.

Kulka o gęstości większej od gęstości cieczy wrzucona do tej cieczy porusza się w niej ruchem

przyspieszonym, aż osiągnie stałą prędkość graniczną, kiedy to siła oporu ośrodka F osiągnie wartość
równą sile ciężkości kulki zmniejszonej o siłę wyporu.

Wzór na prędkość graniczną jest następujący:

(

)

r g

ρ ρ

−

prędkość graniczna, g

−

przyspieszenie ziemskie, ρ

−

gęstość kulki, ρ

−

gęstość płynu.

Dla kulki spadającej w powietrzu, jego gęstość można pominąć (wynosi około 1,2 kg/m

) i wzór

przyjmuje postać

Wzór ten jest prawdziwy dla kropel deszczu o
ś

rednicy poniżej 0,3 mm. Dla większych występują

za duże zaburzenia przepływu powietrza wokół
kropli i stosuje się wzory aproksymujące dane
eksperymentalne lub wynikające z rozwiązania
pełnego równania Naviera

−

Stokesa.

5.4.1 Turbulencje wokół kropli

HYDRODYNAMIKA

5. Równanie ciągłości

Wyobraźmy sobie stacjonarny przepływ strugi cieczy, który rozdzielimy dwoma płaszczyznami 1 i 2
prostopadłymi do płaszczyzny prędkości V1 i V2. Przekroje strug wynoszą odpowiednie S1 i S2.

5.5.1 Wyprowadzanie równania ci

gło

Jeżeli ciecz jest nieściśliwa, to przez obie te powierzchnie powinny przepłynąć w jednostce czasu te same
masy (objętości) cieczy, zatem

lub

Otrzymany związek nosi nazwę

równania ciągłości

, z którego wynika, że

prędkości cieczy w strudze są odwrotnie proporcjonalne do powierzchni przekrojów strugi.

HYDRODYNAMIKA

6. Równanie Bernoulliego

W celu znalezienia ogólnych zależności opisujących zachowanie płynącej cieczy, rozpatrzmy przepływ
ustalony doskonałej cieczy, jak na rysunku poniżej.

5.6.1 Wyprowadzanie równania Bernoulliego.

Ciecz płynie od przekroju S

do S

. Na górną powierzchnię działa siła parcia F

, a na dolną F

W elementarnym przedziale czasu dt struga cieczy przemieści się w prawo

−

powierzchnia S

o odcinek

w położenie S'

, a powierzchnia S

o odcinek v

w położenie S'

. Siły działające na ciecz w tym

czasie wykonają pracę

(1)

gdzie V

−

objętość rozpatrywanej cieczy.

Parcie na ściany boczne równoważą się, więc można je pominąć. Praca sił lepkości jest równa

zero (bo jest to ciecz doskonała). Dlatego praca sił parcia na drodze od S

do S'

i od S

do S'

będzie

równa zmianom energii kinetycznej i potencjalnej cieczy. Wynoszą one odpowiednio:

mgh

mgh ,

(2)

gdzie h

i h

to odpowiednie wysokości (rysunek).

Porównując pracę (1) z przyrostem energii (2) otrzymujemy wyrażenie

( p

p )V

mgh

mgh ,





−









(3)

oraz równanie

1 1

F v dt

p S v dt

( p

p )V ,

−

mgh

p V

mgh

p V .

(4)

Ponieważ rozważaliśmy dwa dowolne odcinki strugi cieczy, możemy równanie (4) uogólnić do

postaci

mgh

const ,

(5)

które jest

równaniem Bernoulliego

(patrz 3.2).

Dzieląc je stronami przez V i wstawiając zamiast m/V gęstość cieczy ρ mamy jeszcze inną postać
równania Bernoulliego

const

(6)

Na podstawie równań (5) i (6) można słownie sformułować

prawo Bernoulliego

Suma energii kinetycznej, potencjalnej i ci

nienia jednostki masy (lub jednostki obj

ci)

ustalonego przepływu cieczy doskonałej jest wielko

stał

To nie wszystko. Najczęściej mamy do czynienia z cieczą na jednej wysokości (kanalizacja, rzeki), więc
człon ρgh można pominąć (a dokładnie włączyć do const) i równanie przyjmuje jeszcze inną postać:

const

(7)

−

ciśnienie statyczne, qv

−

ciśnienie dynamiczne.

Rozważmy równanie (4), w którym pomijamy różne wysokości (co oznacza, że struga cieczy płynie
poziomo). Wtedy

(8)

Ponieważ obie strony są sobie równe, to zmniejszenie jednego parametru po lewej musi skutkować
zwiększeniem innego parametru po prawej (oprócz masy oczywiście). Stąd da się wyciągnąć dwa
wnioski:

Ciecz płynąc w rurze o zmieniającym się przekroju ma mniejsze ciśnienie na odcinku gdzie

przekrój jest mniejszy.

5.6.2. Rurka Venturiego obrazuj

ca prawo Bernoulliego

Podana wyżej własność cieczy była znana przed sformułowaniem równania przez Bernoullego

(patrz 3.2) i nie potrafiono jej wytłumaczyć. Stwierdzenie to kłóci się ze "zdrowym rozsądkiem" wielu
ludzi i dlatego znane jest pod nazwą paradoksu hydrodynamicznego.

Ten efekt obecny jest również w organizmach żywych. Przejawia się pod postacią migotania

tętnicy. Krew płynie przez tętnice, w stanie równowagi ciśnienie wewnątrz jak i na zewnątrz nich są takie
same. Ale złogi cholesterolowe mogą powodować zmniejszenie średnicy tętnicy dostępnej do przepływu
krwi. Ponieważ krew musi krążyć, to w tym miejscu zaczyna przyspieszać, a w rezultacie maleje
ciśnienie wewnątrz takiej tętnicy. Zaczynają na nią napierać siły zewnętrzne, co jeszcze zmniejsza
ś

rednicę tętnicy. Dochodzi do chwilowego zatoru, a potem (wskutek ciśnienia – krew cały czas napływa!)

szybkiego rozszerzenia tejże tętnicy. Sytuacja powtarza się. Człowiek doznaje działania efektu migotania
tętnicy. Gdy mamy do czynienia z drugorzędną tętnicą, to ryzyko jest małe, ale gdy jest to jedna z tętnic
sercowych, grozi to atakiem serca.

Dobry przykładem na zobrazowanie paradoksu hydrodynamicznego jest zwykły kran w domu. W

początkowej fazie tuż przy kranie strumień wypływającej wody jest szeroki . Nieco poniżej zauważalnie
zwęża się, bo woda opadając w dół przyspiesza.

5.6.3. Paradoks hydrodynamiczny

−−−−

ksza pr

dko

ść

przy takiej samej obj

ci skutkuje mniejszym przekrojem.

2. Ciecz opływając ciało zanurzone w cieczy wywołuje mniejsze ciśnienie od strony gdzie droga
przepływu jest dłuższa.

Do tej kategorii na pewno trzeba zaliczyć zrywanie dachów podczas silnych wichur, wskutek różnicy
ciśnień nad i w budynku (na rysunku 2 widać, że dach jest wypychany za zewnątrz). Można to
zademonstrować używając kartki z zeszytu. Wystarczy dmuchnąć na nią by się uniosła (patrz rysunek 1).

5.6.4. Demonstracja prawa Beroulliego

5.6.5. Zrywanie dachów wskutek ró

nicy ci

nie

HYDRODYNAMIKA

7. Efekt Magnusa

Zgodnie z równaniem Bernoulliego wiemy, że przy większej prędkości ciśnienie maleje. Kiedy
popatrzymy na obracającą się wokół osi poziomej piłkę w locie, to zobaczymy, że u góry piłki prędkość
cząsteczek powietrza jest większa niż u dołu. Jest to wynik lepkości powietrza, która powoduje
zwiększenie prędkości powietrza nad górna powierzchnią piłki (ruch obrotowy piłki przyczynia się do
wzrostu prędkości opływu piłki przez cząsteczki powietrza; prędkość powietrza jest w przybliżeniu sumą
prędkości ruchu postępowego i obrotowego piłki, które się dodają; patrz rysunek). Także lepkość jest
przyczyną tego, że prędkość powietrza u dołu piłki jest mniejsza, ponieważ w przybliżeniu jest ona
wypadkową prędkości ruchu postępowego i obrotowego piłki, które się odejmują; patrz rysunek. Na
podstawie wzoru (7) wnioskujemy, że ciśnienie w strumieniu opływającego powietrza z góry piłkę jest
mniejsze od jej ciśnienia u dołu piłki. W efekcie pojawia się siła powodująca wznoszenie się piłki do
góry. Jest to tzw. efekt Magnusa.

5.7.1. Efekt Magnusa

Do samodzielnej analizy pozostawiamy przypadek, w którym piłka obraca się w kierunku

przeciwnym do pokazanego na rysunku.

Interesującym jest również lot i siły działające na piłkę (np. futbolową), która lecąc w powietrzu

wiruje wokół osi pionowej (poprzednio wirowała wokół osi poziomej). Z takim zjawiskiem mamy do
czynienie wówczas, gdy piłkarz uderza nogą w piłkę futbolową nadając jej ruch postępowo-obrotowy
(noga nie uderza w piłkę centralnie). Piłka nie wykonuje wówczas lotu po krzywej balistycznej położonej
w jednej pionowej płaszczyźnie (tak, jak to obserwujemy przy rzucaniu w powietrzu kamieniem lub
kulką metalową). Jeśli wyobrazimy sobie, że rysunek 5.7.1 przedstawia widok z góry piłki futbolowej
wirującej wokół osi pionowej (zgodnie z ruchem wskazówek zegara), to analogiczne rozumowanie do
przeprowadzonego powyżej, prowadzi do wniosku, że piłka zbacza w kierunku obszaru zaznaczonego na
rysunku słowem podciśnienie.

Jaki będzie lot piłki, która wirowałaby w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara?

Zjawisko Magnusa odkryto w czasie prób celności pocisków armatnich wystrzeliwanych

z gwintowanych luf nadających pociskom ruch wirowy.

Wykorzystywany w sportach (piłka nożna, siatkówka, baseball, windsurfing) ale także do budowy

elektrowni wiatrowych. Elektrownia taka ma zamiast tradycyjnych skrzydeł rolki, które obracają się w
porywach wiatru, a potem całość obraca się pod wpływem siły Magnusa. Ich zaletą jest to, że znacznie
zmniejszają ryzyko wpadnięcia ptaka w taki wiatrak niż w tradycyjny, a także brak infradźwięków, które
generują tradycyjne wiatraki (ilustracje poniżej)

5.7.2. Elektrownia wyk. 5.7.3. Pojedynczy wałek z takiej elektrowni
efekt Magnusa

Efekt Magnusa można też zaobserwować wokół ciał asymetrycznych, gdy ta asymetria jest

wzdłuż kierunku ruchu. Zależność tę wykorzystuje się w locie samolotów i śmigłowców, w działaniu
ś

rub napędowych statków, a także spoilerów samochodowych, co widoczne jest w konstrukcji przednich

i tylnych elementów bolidów biorących udział w wyścigach formuły F-1.

Powietrze opływając laminarnie skrzydło samolotu od góry pokonuje dłuższą drogę, a więc ma

większą prędkość od powietrza opływającego skrzydło od dołu (patrz rysunek poniżej). Różnica ciśnień
w tym przypadku jest skierowana w górę (w spoilerach sytuacja jest odwrotna

−

tam chodzi o dociśnięcie

samochodu/bolidu do drogi).

5.7.4 Opływ powietrza wokół skrzydła 5.7.5.K

t natarcia - taki k

t aby

stosunek F

do F

był jak najmniejszy

Wartości sił zamieszczonych na rysunku wynoszą

C S v ,

gdzie v

−

prędkość, S

−

największa powierzchnia przekroju ciała względem ruchu, C

, C

−

eksperymentalnie dobrane współczynniki oporu i siły parcia, ρ

−

gęstość.

Jakość skrzydła określa się współczynnikiem

. Im mniejszy tym lepiej – samolot ma

lepsze własności lotne.

Jednak aby kilkudziesięciotonowy samolot uniósł się w powietrze, samo zjawisko Bernoulliego

nie wystarczy. Aby różnice prędkości były odpowiednio duże skrzydło musiałoby mieć mniej więcej
kształt pokazany na poniższym rysunku, który jest absurdalny z punktu widzenia konstrukcji płatowca
samolotu.

5.7.6. ”Skrzydło Bernoulliego”

Samolot wznosi i utrzymuje się w powietrzu dzięki III zasadzie dynamiki Newtona. Skrzydła

samolotu są ukośnie nachylone do poziomu. Powoduje to, że w czasie poruszania się, gigantyczne masy
powietrza są wpychane w dół (są dociskane do ziemi; w ciągu sekundy jest to kilka mas samolotu).
Zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona, powietrze z taką samą siłą działa na skrzydła samolotu
wypychając go ku górze. Dopiero wtedy (tj. po zsumowaniu sił wynikających z różnicy ciśnień i parcia
mas powietrza) możliwe jest oderwanie się samolotu od ziemi.

Poniżej pokazano jak powietrze jest spychane w dół przez samolot.

5.7.7. Efekt „downwash”

(

ródło http://www.av8n.com/irro/gallery.html)

HYDRODYNAMIKA

8. Kawitacja

Czym jest kawitacja (ang. cavity = dziura, ubytek)? Zostało powiedziane, że większa prędkość zmniejsza
ciśnienie. Ale to nie wszystko. Mniejsze ciśnienie to również niższa temperatura wrzenia cieczy (chcąc
zaparzyć wodę na herbatę na Mount Evereście (8848 m n.p.m.) potrzeba tylko 65

C). Przy odpowiednio

dużych prędkościach obiektu poruszającego się w cieczy mogą powstać bąbelki gazu w obrębie cieczy
(ciecz lokalnie gotuje się i intensywnie paruje). Jest to efekt krótkotrwały

−

po chwili bąbelki implodują.

Implozje są źródłem hałasu (problem na łodziach podwodnych) ale też niszczą sprzęt (różnice ciśnień
sięgają kilku rzędów wielkości).

5.8.1. Kawitacja za

rub

motorow

5.8.2. Zniszczenia kawitacyjne

Kawitację można wykorzystać. Jeden ze sposobów to pompa kawitacyjna, gdzie woda jest

podgrzewana dzięki kawitacji, a drugim (choć na razie jeszcze raczej teoretycznym)

−

torpedy

kawitacyjne. W założeniu ma to działać tak: na dziobie torpedy montujemy urządzenie kawitacyjne i
odpalamy. Bąble z kawitacji zaczynają otaczać torpedę i po chwili mamy pocisk, który już nie płynie a
leci w parze cieczy (tj. w parze powietrza) z prędkością bliską prędkości dźwięku (ok. 1200 km/h)!
Niektórzy twierdzą, że pierwsze próby z taką torpedą (nazwa "Szkwał") przeprowadzili Rosjanie
(podobno Kursk testował takie torpedy w 2000 r. co było przyczyną jego zatonięcia i niechęci Federacji
Rosyjskiej do przyjęcia obcej pomocy w misji ratunkowej i wydobywaniu wraku).

5.8.3. Torpeda kawitacyjna „Szkwał”

W niektórych salonach kosmetycznych jest dostępny ultradźwiękowy peeling kawitacyjny pomagający
usunąć z organizmu zrogowaciały naskórek, oczyścić pory.

PODSUMOWANIE

Celem mojej pracy było opracowanie e-lekcji, która byłaby kompendium podstawowej wiedzy

z zakresu hydrostatyki i hydrodynamiki wymaganej od uczniów szkół ponadgimnazjalnych.

Zrealizowana została w postaci pisemnej i witryny internetowej, na której zamieszczone zostały

definicje i wzory, oraz eksperymenty i doświadczenia, które (z racji specyfiki mojego tematu)

z powodzeniem można przeprowadzić samodzielnie.

Opracowując materiał, starałem się znaleźć ciekawe wiadomości oraz interesujące zjawiska

i efekty. Nie chciałem zanudzać czytelnika, ale sprowokować go do samodzielnego drążenia tematu

i prób podejmowania pogłębiania wiedzy fizycznej dotyczącej płynów.

Za szczególnie istotne i ciekawe uważam rozdziały poświęcone napięciu powierzchniowemu

(4.5), włoskowatości (4.6), efektowi Magnusona (5.7) oraz kawitacji (5.8).

W tym kontekście warto odnotować, że w wielu podręcznikach niesłusznie twierdzi się, że

samolot unosi się tylko dzięki różnicy ciśnień strug powietrza opływających z dołu i góry skrzydła.

W rzeczywistości najistotniejszą rolę odgrywa oddziaływanie mas powietrza napływających na skrzydła

(patrz rozdział 5.7), co jest znakomitym przykładem działania III zasady dynamiki.

ywy kontakt z nauką i podstawową wiedzą fizyczną jest moim zdaniem najlepszym z możliwych

sposobów uczenia się. Pozwala na bieżąco sprawdzać prawa fizyczne i obserwować je w działaniu

podczas prób samodzielnego rozumienia ich przebiegu.

Do pracy dołączony jest CD zawierający tekst pracy w plikach Hydrostatyka i hydrodynamika.doc

i HiH.pdf oraz witrynę z e-lekcją standardowo uruchamianą z pliku index.html

Rozdział

BIBLIOGRAFIA

[1] Czesław Bobrowski,

−

Fizyka

−

krótki kurs; Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, W-wa

wydanie 4; rok wydania 2004

[2] Young and Friedman

−

University Physics, 10th Edition; wyd. Addison-Wesley

[3] W. Salejda, notatki do wykładów

[4] http://www.matematycy.interklasa.pl/biografie/matematyk.php?str=bernoullidaniel

[5] http://www.ftj.agh.edu.pl/~Lenda/bern/BERN_ENT.pdf

[6] http://pl.wikipedia.org/wiki/Kropla

[7] http://www.fizykon.org/statyka_osr_ciagle/osr_c_sila_wyporu.htm

[8] http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Pascal.html

[9] http://mpancz.webpark.pl/fizarchi

[10]

wwwnt.if.pwr.wroc.pl/kwazar/ mtk2/fizycy/126784/liczba

[11]

wwwnt.if.pwr.wroc.pl/kwazar/ mtk2/fizycy/126179/default

[12]

http://www.elektrownie-wiatrowe.org.pl/t_magnus

[13]

http://www.myzlab.pl/ciekawostki/kawitacja/

[14]

http://www.scholaris.edu.pl/cms/index.php/resources/5647

[15]

http://www.fizyka.net.pl (cz

ęść

o napi

ciu powierzchniowym)

[16]

Daniel Bargieł Flash MX 2004 Action Script :

wiczenia praktyczne /. Gliwice : "Helion",

cop. 2005 poprawi

[17]

Shane Rebenschied, Lynda Weinman; [tł. Jakub Thiele-Wieczorek, Marcin Samodulski]

−

Macromedia Flash MX 2004 :sztuka projektowania; wyd. Helion, Gliwice 2005

[18]

Maria Sokół

−

Tworzenie stron WWW ; wyd. Helion, Gliwice 2006

Rozdział

[19]

Robert Reinhardt, Snow Dowd [tł. Rafał Jo

ca]

−

Macromedia Flash MX 2004 :biblia;

wyd. Helion, Gliwice 2004

[20]

Radosław Sokół

−

Tworzenie stron WWW ; wyd. Helion, Gliwice 2007

[21]

http://www.adobe.com/pl/

[22]

http://www.matmaserwis.scholaris.pl/starozyt/archim.htm (Archimedes)

[23]

http://aneksy.pwn.pl/podstawy_fizyki/pdf/15.18.pdf („Równanie Bernoulliego”)

[24]

http://www.myzlab.pl/tablice/