10. FALE, ELEMENTY TERMODYNAMIKI I HYDRODY-NAMIKI.

10.10. Podstawy hydrodynamiki.

Podstawowe pojęcia z hydrostatyki

Ciśnienie:
jednostka praktyczna (atmosfera fizyczna):

Ciśnienie hydrostatyczne:
gdzie h - wysokość słupa cieczy znajdującego się nad danym elementem cieczy.

Prawo Pascala: Dla cieczy jednorodnej ( taka sama gęstość w całej objętości cieczy), ciśnienie wywierane na ciecz (gaz) zamkniętą w naczyniu jest przenoszone bez zmiany wartości na każdy element tej cieczy (gazu) i ścianki naczynia.

Prawo obowiązuje zarówno dla cieczy idealnej (nieściśliwej), jak i rzeczywistej (ściśliwej). W pierwszym przypadku zmiana ciśnienia przenoszona jest natychmiast, a w drugim - rozchodzi się wewnątrz cieczy jako fala o prędkości równej prędkości dźwięku w tej cieczy.

Zastosowanie: np. prasa hydrauliczna;

Prawo Archimedesa: Każde ciało zanurzone w cieczy (lub gazie) doznaje działania siły wyporu skierowanej pionowo do góry, równej co do wartości ciężarowi wypartej cieczy (gazu). F_w = ρ_cieczy⋅ g ⋅ V gdzie V - objętość zanurzonej części ciała.

Hydrodynamika.

Opis ruchu cieczy (przepływu) poprzez podanie w chwili t jej gęstości ρ(x, y, z, t) oraz prędkości V(x, y, z, t) w punkcie P(x, y, z).

Przepływ - laminarny (ustalony):
w czasie,

- wirowy: gdy istnieje wypadkowa prędkość kątowa
cząsteczek cieczy,

- ściśliwy: gdy gęstość cieczy ρ ≠ const,

• lepki: jest to odpowiednik tarcia dla ciał stałych.

Linia prądu cieczy - tor cząsteczki między dwoma punktami (Rys. a). Jest ona w każdym punkcie styczna do wektora prędkości cząsteczki cieczy.

Struga cieczy - zbiór sąsiadujących linii prądu (Rys. b) . Powierzchnia ograniczająca strugę jest utworzona z linii prądu ⇒ ciecz nie może przepływać przez te powierzchnię.

Założenie: ρ = const

Przez powierzchnię S₁ w czasie Δt przepłynie z szybkością v₁ masa m₁ cieczy

m₁ =ρ⋅ S₁⋅v₁⋅ Δt

analogicznie przez S₂: m₂ = ρ⋅ S₂⋅v₂⋅ Δt

Z prawa zachowania masy wynika, że: m₁ = m₂

a więc S₁⋅ v₁ = S₂⋅ v₂ co oznacza że S ⋅ v = const -Prawo ciągłości strugi cieczy.

Przy przepływie laminarnym, natężenie przepływu danej strugi cieczy jest dla niej stałe.

Jeżeli w strudze istnieją „dopływy” lub „odpływy” i gdy gęstość ρ ≠ const to i tak prawo zachowania masy jest spełnione i wówczas równanie ciągłości ma postać:

gdzie S_p jest szybkością dopływu ze źródła (S_p > 0) lub szybkością odpływu (S_p < 0).

Gdy S_p = 0 ⇔ brak źródeł lub odpływów.

Ważny wniosek: gdy ρ = const, wówczas S₁⋅ v₁ = S₂⋅ v₂ co oznacza, że w poziomej strudze ciśnienie jest wyższe tam, gdzie prędkość jest mała - przykładem jest tłum przechodzący przez ciasne drzwi.

Prawo Bernoulliego.

Struga cieczy o zmiennym przekroju przepływa z wysokości h₁ do h₂.

W czasie Δt, w przekroju S₁ cząsteczki przemieszczają się o Δl₁ = v₁⋅Δt, a w przekroju S₂ o

odcinek Δl₂ = v₂⋅Δt.

Siły powierzchniowe działające na powierzchnie S₁ i S₂ są równe:

F₁ = p₁⋅ S₁ oraz F₂ = p₂⋅ S₂

Ruch cząsteczek cieczy wynika z wykonania pracy przez siły F₁ i F₂ oraz z pracy wykonanej przez siły grawitacji - przeniesienia masy z poziomu h₁ na h₂.

W_pow= p₁⋅ S₁⋅ Δl₁ - p₂⋅ S₂⋅ Δl₂ = p₁⋅ S₁⋅ v₁⋅ Δt - p₂⋅ S₂⋅ v₂⋅ Δt (znak „-„ wynika ze zwrotu p₂)

W_graw= S₁⋅ Δl₁⋅ ρ⋅ (h₁ - h₂) = S₁თ v₁⋅ ၄t⋅ ၲ⋅ g⋅ (h₁ - h₂)

zatem W_całk = W_pow + W_graw = ၄E_k

gdzie

Łącząc te równania otrzymujemy

korzystając z prawa ciągłości cieczy można to równanie zapisać:

Jest to prawo Bernouliego: Suma trzech ciśnień - zewnętrznego (p), hydrostatycznego (ၲgh) i hydrodynamicznego (
) jest dla danej strugi stała.

W przypadku strugi poziomej (przykład ciasnych drzwi) h₁ = h₂ wiec równanie Bernoulliego jest:
jeżeli więc p₁ > p₂ to wówczas v₁ < v₂.

Jeżeli dla danej strugi przekrój poprzeczny ma w pewnym miejscu większą powierzchnię, to panuje tam większe ciśnienie niż w miejscu gdzie przekrój poprzeczny jest mniejszy.

Jest to tzw. paradoks hydrodynamiczny.

Przykłady zastosowania prawa ciągłości i prawa Bernoulliego.

Skrzydło samolotowe:

Siła nośna powstaje nad skrzydłem gdy strugi powietrza są zagęszczone nad skrzydłem, a

rozrzedzone - pod nim. Jak widać na rysunku, cząsteczki powietrza (lub cieczy) mając do przebycia większą drogę nad skrzydłem, mają tam większą szybkość niż pod skrzydłem, a zatem ....

Wypływ cieczy przez otwór w naczyniu:

Założenie: pole przekroju tego otworu ma przekrój znacznie mniejszy od przekroju naczynia.

Z prawa ciągłości ⇒ szybkość wypływu z otworu jest znacznie większa od szybkości obniżania się poziomu cieczy, a więc prawo Bernoulliego ma postać:

Stąd
jest to prawo Torricellego.

Strzykawka:

Działamy siłą F na tłok strzykawki o powierzchni S₁. Wówczas równanie Bernoulliego ma postać:
gdzie v₁ jest szybkością przesuwu tłoka strzykawki.

Z prawa ciągłości:
ostatecznie

Rozpylacz:

Duża prędkość gazy u wylotu rurki oznacza małe ciśnienie p gazu w tym miejscu i to p < p_atm

Powoduje to ruch cieczy ku górze.

Rurka Pitot:

Strumień gazu (cieczy) poruszający się z szybkością v trafiając na rurkę Pitot wpada częściowo do rurki b i tam już nie porusza się sprężając się do ciśnienia p_b. W punktach a zewnętrznej obudowy ciśnienie gazu p_a, jak i jego szybkość są takie same jak dla strugi swobodnej.

Równanie Bernoulliego można zapisać:

gdzie ၲ_g jest gęstością gazu i p_b > p_a

lub:

gdzie ၲ_c jest gęstością cieczy w manometrze.

Z tych równań otrzymujemy:

---