Metodologia badań

Metodologia badań

i statystyka

i statystyka

Wojciech Grabowski

[e-mail]

.pl

spotkanie szóste

Prezentacja danych

ilościowych

Pomiar
wykonany na
niewielkiej
próbie
ujmujemy jako
szereg danych
indywidualnych
.

Gdy danych jest
więcej, a cecha
ma charakter
skokowy, to
można je
pogrupować w
szereg
rozdzielczy
punktowy.

Gdy danych jest
dużo, a cecha
ma charakter
ciągły, to można
je pogrupować
w szereg
rozdzielczy
klasowy.

Bez względu na to,
czy liczymy wskaźniki
z szeregu
indywidualnego, czy
punktowego, to ich
wartości będą
identyczne.

Wartości wskaźników liczone z
szeregu klasowego są tylko
przybliżone. Dlatego często
rezygnuje się z takiego
przedstawienia danych, a
obliczenia wykonuje się
komputerowo z zapisu
indywidualnego

Przykłady prezentacji

danych

Dane
indywi
-
dualn
e

Dane punktowe

Dane klasowe

Wskaźniki

dla indywidualnych danych ilościowych

Przykład:

Zapytano grupę studentów ile książek
przeczytali w ciągu ostatniego roku.
Odpowiedzi: 6, 2, 0, 1, 7, 2.

1. Zestawiamy posortowane

dane w tabelce.

2. Określamy liczebność

próby.

N
=

3. Wskazujemy dominantę.

Dominanta to najliczniejsza

kategoria.

D
=

Interpretacja:

Typowe dla grupy

jest

przeczytanie

dwóch

książek.

x

i

0

1

2

2

6

7

2

6

x

i

0

1

2

2

6

7

N = 6
D = 2

4. Liczymy pozycję

mediany i wskazujemy
medianę.

poz. Me

=

N + 1

2

=

6

+
1

2

=

7
2

=
3,5

Me
=

1

2

3

3,

5

2

Interpretacja:

Połowa grupy

przeczytała nie więcej niż
2

książki

i

połowa

przeczytała co najmniej 2
książki.

5. Liczymy średnią.

18

18

=

6

= 3

Interpretacja:

Przeciętnie

na osobę przypadają
trzy

przeczytane

książki.

x =



x

i

N

N = 6
D = 2

x

i

0

1

2

2

6

7

18

Me =
2

6. Wskazujemy rozstęp.

rozstęp
:

0

–

7

7. Liczymy wariancję

s

2

i odchylenie standardowe

s

.

x

i

–x

0 – 3

1 – 3

2 – 3

2 – 3

6 – 3

7 – 3

–3

–2
–1

–1

3

4

!

0

(x

i

–x)

2

(-3)

2

9

(-2)

2

4

(-1)

2

1

(-1)

2

1

3

2

9

4

2

16

40

=

40

6

– 1

=

40

5

=
8

x = 3

s =



s

2

=



8

=
2,8

Interpretacja:

Liczba

książek

przeczytanych przez poszczególne
osoby odchyla się przeciętnie o
2,8 książki w górę lub w dół od
średniej.

Interpretacja:

W ciągu ostatniego

roku

poszczególni

studenci

przeczytali pomiędzy 0 a 7
książek.

s

2

=

(x

i

–x)

2

N –

1

N = 6
D = 2
Me =
2

x

i

0

1

2

2

6

7

18

x

i

–x

–3

–2
–1

–1

3

4

!

0

(x

i

–x)

2

9

4
1

1
9

16

40

x = 3

8. Wyznaczamy obszar przeciętnej

zmienności.

x ± s

3

0,2

 x

typ



5,8

Interpretacja:

Wyniki typowe

dla

grupy

zawierają

się

pomiędzy

0,2

a

5,8

przeczytanej książki.

rozstęp: 0 –
7

s =
2,8

±

2,8

9. Do oceny wielkości

zróżnicowania liczymy
współczynnik zmienności.

v =

s
x

.

100

2,8

3

=

.

100

= 93,3

%

v

zróżnicowan

ie

0

> 0 – 20%

>20 – 40%
>40 – 60%
>60 – 80%

>80 –

100%

> 100%

brak

bardzo

słabe

dość słabe

umiarkowan

e

dość silne

bardzo silne

ekstremalnie
silne

Interpretacja:

Grupa

jest

bardzo

silnie

zróżnicowana
pod względem
liczby
przeczytanych
książek.

N = 6
D = 2
Me =
2

x

i

0

1

2

2

6

7

18

x

i

–x

–3

–2
–1

–1

3

4

!

0

(x

i

–x)

2

9

4
1

1
9

16

40

x = 3

10.

Oceniamy skośność danych.

rozstęp: 0 –
7

s =
2,8

a) wstępne

oszacowanie

0,2  x

typ



5,8

v =
93,3%

• jeżelix = D = Me,

to mamy rozkład
typowy.

• jeżelix  D > Me,

to mamy rozkład
dodatni,

czyli

z

przewagą wyników
niższych.

• jeżelix  D < Me,

to mamy rozkład
ujemny,

czyli

z

przewagą wyników
wyższych.

3

2

2

x D
Me

>

>

=

=

Metoda

ta

nie

przyniosła
rozstrzygnięcia, choć
możemy
podejrzewać rozkład
dodatni.

N = 6
D = 2
Me =
2

x

i

0

1

2

2

6

7

18

x

i

–x

–3

–2
–1

–1

3

4

!

0

(x

i

–x)

2

9

4
1

1
9

16

40

x = 3
rozstęp: 0 –
7

s =
2,8

b) współczynnik

skośności

0,2  x

typ



5,8

v =
93,3%

W

sk

=

x –
Ds

=

3

–

2

2,

8

=

2,

8

1

=

+

0,36

W

sk

skośnoś
ć

brak
nikła
słaba

umiarkowan
a

dość silna
bardzo
silna

0,01 –

0,2

0

0,21 –

0,4

0,41 –

0,6

0,61 –

0,8

0,81 –

1

> 1

ekstremaln
ie

silna

Interpretacja:

Występuje słaba
skośność
dodatnia, czyli
słaba przewaga
mniejszej od
średniej liczby
przeczytanych
książek.

• Nie można policzyć wskaźnika

W

sk

,

jeżeli

nie

występuje

dominanta.

• Gdy

dominanta

jest

mało

wyrazista, wskazania W

sk

mogą

być dość przypadkowe.

N = 6
D = 2
Me =
2

x = 3
rozstęp: 0 –
7

s =
2,8

0,2  x

typ



5,8

v =
93,3%

W

sk

=

+

0,36

c) współczynnik asymetrii

-3

.

9

-2

.

4

-1

.

1

-1

.

1

3

.

9

4

.

16

(x

i

–x)

3

x

i

0

1

2

2

6

7

18

x

i

–x

–3

–2
–1

–1

3

4

!

0

(x

i

–x)

2

9

4
1

1
9

16

40

–27

–8
–1

–1

27
64

54

Jeżeli

zależy

nam

na

dokładnym

wyznaczeniu

skośności,

stosujemy

współczynnik asymetrii A.

Najpierw liczymy tzw.
trzeci moment
centralny.

m

3

=

(x

i

–x)

3

N – 1

5
4

6

=

= 10,8

– 1

Następnie możemy
policzyć A.

A =

m

3

s

3

10,

8

2,8

3

=

=

10,8

21,95

2

A =
0,49

N = 6
D = 2
Me =
2

x = 3
rozstęp: 0 – 7

s =
2,8

0,2  x

typ



5,8

v =
93,3%

W

sk

=

+

0,36

(x

i

–x)

3

x

i

0

1

2

2

6

7

18

x

i

–x

–3

–2
–1

–1

3

4

!

0

(x

i

–x)

2

9

4
1

1
9

16

40

–27

–8
–1

–1

27
64

54

A =
0,49

A =
0,49

A

asymetri
a

0,01 –

0,4

0,41 –

0,8

0,81 –

1,2

1,21 –

1,6

1,61 – 2

0

> 2

brak
nikła

słaba

umiarkowan
a

dość silna

bardzo silna
ekstremaln
ie

silna

Interpretacja:

Występuje

słaba

skośność

dodatnia,

czyli słaba przewaga
mniejszej od średniej
liczby przeczytanych
książek.

Wskaźniki

dla punktowych danych ilościowych

Przykład:

Sprawdzono, ile długopisów przynieśli na
zajęcia studenci z pewnej grupy
ćwiczeniowej.

1. Zestawiamy dane w

tabelce.

2. Określamy liczebność

próby.

39

N =
n

i

39

3. Wskazujemy dominantę.

D
=

1

Interpretacja:

Typowe dla
tej grupy
było
przyniesieni
e na zajęcia
po jednym
długopisie.

x

i

0

1

2

3

n

i

10

20

8

1

=

4. Liczymy pozycję mediany i wskazujemy

medianę.

n

cum

x

i

.

n

i

N =
39

D =
1

poz. Me

=

N + 1

2

39

=

+
1

2

=

40

2

= 20

Me
=

1

10

30

38

39

Interpretacja:

Połowa

grupy

przyniosła

co

najwyżej 1 długopis i połowa przyniosła nie
mniej niż 1 długopis.

5. Liczymy średnią

ważoną.

Interpretacja:

Przeciętnie na osobę przypada
jeden przyniesiony długopis.

x

=

N

(x

i

.

n

i

)

0

.

10

0

1

.

20

20

2

.

8

16

3

.

1

3

39

=

3
9

3
9

=
1

x

i

0

1

2

3

n

i

10

20

8

1

39

6. Wskazujemy

rozstęp.

(x

i

–x)

2 .

n

i

N =
39

D =
1

Me = 1
x =
1

rozstęp:

0

–

3

Interpretacja:

Każdy ze studentów przyniósł

na zajęcia od 0 do 3 długopisów.

7. Liczymy wariancję

s

2

i odchylenie

standardowe

s

.

s

2

=

(x

i

–x)

2 .

n

i

N –

1

(-1)

2 .

10

10

0

2 .

20

0

1

2 .

8

8

2

2 .

1

4

22

=

22

3
9

– 1

=

2
2

3
8

=
0,579

s =



s

2

s =



0,579

s =

0,76

Interpretacja:

Liczba długopisów przyniesionych przez

poszczególne osoby odchyla się przeciętnie o 0,76
sztuki w górę lub w dół od średniej.

x

i

–x

n

cum

x

i

.

n

i

x

i

0

1

2

3

n

i

10

20

8

1

39

10

30

38

39

0

20

16

3

39

0–1

–1

1–1

0

2–1

1

3–1

2

(dla danych skokowych można zaokrąglić

do 1)

8. Wyznaczamy obszar przeciętnej

zmienności.

N =
39

D =
1

Me = 1
x =
1

(x

i

–x)

2 .

n

i

10

0

8

4

22

x

i

–x

n

cum

x

i

.

n

i

x

i

0

1

2

3

n

i

10

20

8

1

39

10

30

38

39

0

20

16

3

39

–1

0

1

2

rozstęp: 0 –
3

x ± s

1

±

0,76

s =
0,76

0,24

 x

typ



1,76

Interpretacja:

Wyniki typowe dla grupy zawierają się

pomiędzy

0,24

(0)

a

1,76

(2)

przyniesionego długopisu.

9. Badamy wielkość

zróżnicowania.

v =

s
x

.

100

0,76

1

=

.

100

= 76

%

v

zróżnicowan

ie

0

> 0 – 20%

>20 – 40%
>40 – 60%
>60 – 80%

>80 –

100%

> 100%

brak
bardzo
słabe

dość słabe
umiarkowan
e

dość silne
bardzo silne
ekstremalnie
silne

Interpretacja:

Grupa jest dość silnie

zróżnicowana pod względem
liczby

przyniesionych

długopisów.

0



x

typ



2

Dla danych

skokowych można

zaokrąglić:

10.

Oceniamy skośność

danych.

N =
39

D =
1

Me = 1
x =
1

(x

i

–x)

2 .

n

i

10

0

8

4

22

x

i

–x

n

cum

x

i

.

n

i

x

i

0

1

2

3

n

i

10

20

8

1

39

10

30

38

39

0

20

16

3

39

–1

0

1

2

rozstęp: 0 –
3

s =
0,76

1

1

1

x D
Me

=

=

=

=

a) wstępne

oszacowanie

b) współczynnik

skośności

W

sk

=

x –
Ds

=

1

–

1

0,7

6

=

0,7

6

0

=
0

W

sk

skośnoś
ć

brak
nikła
słaba

umiarkowan
a

dość silna
bardzo
silna

0,01 –

0,2

0

0,21 –

0,4

0,41 –

0,6

0,61 –

0,8

0,81 –

1

> 1

ekstremaln
ie

silna

Interpretacja:

W badanej grupie brak

jest skośności ze względu
na liczbę przyniesionych
długopisów.

0,24  x

typ



1,76

v =
76%

Interpretacja:

Rozkład danych
jest
symetryczny.

(x

i

–x)

3 .

n

i

N =
39

D =
1

Me = 1
x =
1

(x

i

–x)

2 .

n

i

10

0

8

4

22

x

i

–x

n

cum

x

i

.

n

i

x

i

0

1

2

3

n

i

10

20

8

1

39

10

30

38

39

0

20

16

3

39

–1

0

1

2

rozstęp: 0 –
3

s =
0,76

c) współczynnik asymetrii

0,24  x

typ



1,76

v =
76%

W

sk

=

0

m

3

=

(x

i

–x)

3 .

n

i

N – 1

6

39

=

=
0,158

– 1

(-1)

3 .

10

–10

0

3 .

20

0

1

3 .

8

8

2

3 .

1

8

6

A =

m

3

s

3

0,15

8

0,76

3

=

=

0,158

0,43

9

=
0,36

=

3
8

6

A

asymetri
a

0,01 –

0,4

0,41 –

0,8

0,81 –

1,2

1,21 –

1,6

1,61 – 2

0

> 2

brak
bardzo
słaba

dość słaba

umiarkowan
a

dość silna

bardzo silna
ekstremalnie

silna

Interpretacja:

Występuje bardzo słaba

asymetria dodatnia, czyli bardzo
słaba przewaga mniejszej od
średniej liczby przyniesionych
długopisów.

Wskaźniki

współzależności

cech ilościowych

Najprostszym wskaźnikiem współzależności dla
cech ilościowych jest współczynnik korelacji liniowej

r

Pearsona. Można go wyznaczyć posługując się

jednym z dwóch równoważnych wzorów:

r =

cov

x

y

s

x

.

s

y

gdzie

:

(x

i

– x)(y

i

–

y)

(x

i

– x)

2 .

(y

i

–

y)

2

r =

cov

xy

=

(x

i

– x)(y

i

–

y)

N – 1

s – odchylenie

standardowe danej
cechy

lub
bezpośrednio:

Warunki liczenia
r:

1. Obie cechy muszą być

ilościowe. Zaleca się, by
były

co

najmniej

w

przybliżeniu ciągłe.

2. Zależność musi być

uzasadniona logicznie.

3. Zależność musi być liniowa

lub w przybliżeniu liniowa.

Liczenie współczynnika r

Pearsona

r =

cov

x

y

s

x

.

s

y

cov

xy

=

(x

i

– x)(y

i

–

y)

N – 1

Przykład:

Badano zależność pomiędzy liczbą dni
„zabierania się” do nauki a wynikiem
egzaminu.

(x

i

–x)(y

i

–

y)

(x

i

– x)

2

(y

i

– y)

2

x

x

i

–

y

y

i

–

N=

7

3
5

x

i

y

i

l.p.

1

2

3

4

5

6

7

1

8

5

5

2

9

5

30

8

11

20

27

5

18

119

Liczbę dni „zabierania się” oznaczmy
przez x.

Liczbę punktów z egzaminu oznaczmy
przez y.

s =  s

2

s

2

=

(x

i

–

x)

2

N – 1

x
=

 x

i

N

35

=

7

=
5

y
=

11

9

7

=
17

1-5

– 4

8-5

3

5-5

0

5-5

0

2-5

– 3

9-5

4

5-5

0

!

0

30-
17

13

8-
17

– 9

11-
17

– 6

20-
17

3

27-
17

10

5-
17

– 12

18-
17

1

!

0

-4

.

13

– 52

3

.

(-9)

– 27

0

.

(-6)

0

0

.

3

0

-3

.

10

– 10

4

.

(-12)

– 48

0

.

1

0

– 157

=

–

157

7

– 1

=

–

157

6

=

–

26,167

(-
4)

2

16

3

2

9

0

2

0

0

2

0

(-
3)

2

9

4

2

16

0

2

0

s

x

=

(x

i

–

x)

2

N – 1



s

y

=

(y

i

–

y)

2

N – 1



50

13

2

(-

9)

2

16

9

81

(-

6)

2

36

3

2

9

10

2

10

0

(-12)

2

14

4

1

2

1

540

r =

cov

x

y

s

x

.

s

y

cov

xy

= –

26,167

s

x

=

(x

i

–

x)

2

N – 1



s

y

=

(y

i

–

y)

2

N – 1



(x

i

–x)(y

i

–

y)

(x

i

– x)

2

(y

i

– y)

2

x

x

i

–

y

y

i

–

N=

7

3
5

x

i

y

i

l.p.

1

2

3

4

5

6

7

1

8

5

5

2

9

5

30

8

11

20

27

5

18

119

– 4

3

0

0

– 3

4

0

!

0

13

– 9

– 6

3

10

– 12

1

!

0

– 52

– 27

0

0

– 10

– 48

0

– 157

16

9

0

0

9

16

0

50

16

9

81

36

9

10

0

14

4

1

540



=

50

7

– 1



=

50

6

= 8,333



=
2,89



=

540

7

– 1



=

540

6

= 90



=
9,49

=

–

26,167

2,89

.

9,49

=

–

0,95

r

zależność

0,01 –

0,10

0,11 –

0,30

0,31 –

0,60

0,61 –

0,90

0,91 –

0,99

1

0

brak
nikła
słaba
umiarkowan
a

silna
bardzo
silna

pełna

Interpretacja:

Występuje bardzo silna zależność ujemna

polegająca na tym, że im krócej student
„zbierał się” do nauki, tym wyższy osiągał
wynik z egzaminu.

Współczynnik

determinacji

Możemy

również

wyznaczyć

współczynnik

determinacji

r

2

, który informuje nas w jakim

stopniu zmienna zależna (skutek) zależy od
zmiennej niezależnej (przyczyny).

r = –0,95

r

2

= (

-0,95

)

2 .

100

= 0,9025

.

100

= 90,25

%

Interpretacja:

Wynik

punktowy

z

egzaminu

zależy

w

90,25%

od

czasu

„zbierania się” studenta
do nauki, a w 9,75% od
wszystkich

innych

czynników
towarzyszących.

100,00%

– 90,25%

9,75%