Zastosowanie matematyki

w finansach i bankowości

Wykład 2

Procent składany

Zasady procentu

składanego (1)

• Procent składany wykorzystywany jest w

analizach inwestycji średnio- i długoterminowych

• Warunki oprocentowania wymagają określenia:

- stopy procentowej (jak dla procentu prostego)
- okresu kapitalizacji (dodatkowo)

• Kapitalizacja ( i procent składany) oznacza

wielokrotne dopisywanie odsetek do kapitału
początkowego

Zasady procentu

składanego (2)

• Kapitalizacja (k) najczęściej ma miejsce:

- co kwartał (k=4)
- co miesiąc (k=12)
- codziennie (k=360)

• Kapitał końcowy (FV) przy oprocentowaniu

składanym (r), dla kapitału początkowego (PV),

okresu oprocentowania (n) lat i liczby kapitalizacji

w roku (k) wyraża się wzorem:

)

(

)

1

(

n

k

k

r

PV

FV









Zasady procentu składanego

(3)

Przykład:
Wylicz kapitał końcowy lokaty rocznej przy

kapitalizacji kwartalnej, stopie 5% w skali roku dla
kapitału początkowego 1000 zł. Porównaj wynik z
oprocentowaniem prostym.

Zasady procentu

składanego (4)

Zasady procentu

składanego (5)

Okres oprocentowania (n), stopa procentowa (r),

kapitał początkowy (PV) i końcowy (FV) są ze sobą
ściśle powiązane.

1





n

P

F

r

)

1

ln(

)

ln(

r

P

F

n





Zasady procentu

składanego (6)

Przykład:
Wpłacasz 1000 zł i chcesz wyjąć 1500 zł. Ile czasu

musisz trzymać pieniądze na koncie, jeśli stopa
procentowa wynosi 5% w skali roku, a kapitalizacja
jest miesięczna.

41

.

0

)

5

.

1

ln(

)

1000

1500

ln(

)

ln(







P

F

0042

.

0

)

0042

.

1

ln(

)

12

/

05

,

0

1

ln(

)

1

ln(









 r

98

5

.

97

0042

.

0

41

.

0







n

16

.

8

12

98

'





n

)

1

ln(

)

ln(

r

P

F

n





Zasady procentu

składanego (7)

Aby szybko sprawdzić, w jakim czasie

kapitał początkowy podwoi swoją
wartość można skorzystać z „reguły
70”

(%)

70

r

n 

Zasady procentu

składanego (8)

Przykład:
Sprawdź, w ile lat podwoi się 1000zł, przy stopie

5% i kapitalizacji rocznej. O ile lat podwajanie się
przyspieszy,

jeżeli

kapitalizacja

będzie

miesięczna?

Kapitalizacja a odsetki

Liczba kapitalizacji dodatnio wpływa na wysokość odsetek – im

częściej odsetki dopisywane są do kapitału początkowego tym
wyższy kapitał końcowy

Roczny czynnik

oprocentowania (1)

Wygodnym narzędziem w wyznaczaniu FV jest

roczny czynnik oprocentowania (future value
interest factor, FVIF). Wskazuje on, ilokrotnie
rośnie wartość kapitału początkowego w ciągu
roku / okresu oprocentowania.

k

k

k

r

)

1

( 





n

k

PV

FV

)

(







Roczny czynnik

oprocentowania (2)

Roczny czynnik

oprocentowania (3)

Przykład:
Wyznacz kapitał końcowy za 3 lata dla stopy 6 %,

kapitalizacji co miesiąc, korzystając z czynników
oprocentowania

Równoważność stóp procentowych

(1)

- Aby stopy procentowe składane były

równoważne, ich roczne czynniki oprocentowania
muszą być równe

- Równoważność stóp procentowych zależy od

dwóch parametrów: kapitalizacji oraz stopy
nominalnej.

- Równoważność nie zależy od kapitału

początkowego ani czasu oprocentowania

Równoważność stóp procentowych

(2)

Przykład:
Sprawdź – „na oko” lub obliczeniowo –

równoważność par składanych stóp
procentowych:

a) stopa kwartalna 3%, kapitalizacja kwartalna
b) stopa nominalna (roczna) 12%, kapitalizacja

kwartalna

c) stopa nominalna (roczna) 11%, kapitalizacja

miesięczna

d) stopa miesięczna 1%, kapitalizacja miesięczna

Równoważność stóp procentowych

(3)

Równoważność oprocentowania składanego i

prostego

 obie stopy mogą być równoważne w określonym

czasie n, ale już nie koniecznie w czasie n’.

 Z tego względu wyznacza się stopę efektywną

Stopa efektywna (1)

•

Stopa efektywna – wskazuje, o ile % zwiększa się

wartość kapitału w ciągu jednego roku, uwzględniając

liczbę kapitalizacji

•

Stopa efektywna wyraża się wzorem:

•

Jest to roczny czynnik oprocentowania minus 1

•

Gdy stopy efektywne są równe to występuje

równoważność oprocentowania składanego

1

)

1

(







k

ef

k

r

r

Stopa efektywna (2)

Przykład
Pan Kowalski ma lokatę oprocentowaną 6% w skali

roku z kapitalizacją miesięczną. Zastanawia się
nad inną lokatą – oprocentowaną 6,5% z
kapitalizacją półroczną. Czy opłaca się mu taka
zmiana?

Analiza procentu

składanego (1)

Przykład:
Jak często trzeba kapitalizować odsetki przy

nominalnej stopie 11%, aby wartość 2-letnich
odsetek od kwoty 3300 zł wyniosła przynajmniej
820 zł?