Opracował: Romuald 

Redzicki

MECHANIKA 

MECHANIKA 

Wykład Nr 6

DYNAMIKA UKŁADU 

PUNKTÓW 

MATERIALNYCH

Prof. dr hab. inż. 
Kazimierz Wójs

 

 

DYNAMICZNE RÓWNANIA 

RUCHU UKŁADU PUNKTÓW 

MATERIALNYCH

 

 

Dynamiczne równania ruchu układu punktów 

materialnych

Układem  punktów  materialnych  nazwiemy  zbiór 
punktów w sensie geometrycznym, którym przypisane 
są pewne masy. Układ taki nazwiemy 

swobodnym

, gdy 

nie  istnieją  żadne  ograniczenia,  które  krępowałyby 
ruchy  punktów,  lub  też  określimy  go  jako 

układ 

nieswobodny

, 

jeżeli 

wystąpią 

jakiekolwiek 

ograniczenia ruchów.
W  układzie  nieswobodnym  występują  tzw. 

więzy

 

ograniczające 

swobodę 

ruchów 

poszczególnych 

punktów. 

Szczególnym 

modelem 

układu 

nieswobodnego  punktów  materialnych  jest  ciało 
sztywne (bryła materialna), którego więzy polegają na 
tym, że wzajemne odległości dwu dowolnych punktów 
bryły nie ulegają zmianie w czasie ruchu.

 

 

Siły działające na układ (rys. 1) dzielimy na 

zewnętrzne i 

wewnętrzne.

 

Siły wewnętrzne

 - oddziaływania punktów układu 

na siebie,          

siły zewnętrznych

 – działania innych ciał

Dynamiczne równania ruchu układu punktów 

materialnych

Ta 

sama 

siła 

może 

być 

zewnętrzna 

dla 

jednego, 

wewnętrzna  zaś  dla  drugiego 
układu.  I  tak  na  przykład  siła 
ciężkości 

jest 

dla 

punktu 

materialnego  siłą  zewnętrzną, 
natomiast  będzie  ona  siłą 
wewnętrzną 

dla 

układu 

złożonego  z  Ziemi  i  danego 
punktu.

Rys. 1

 

 

 

Dynamiczne równania ruchu układu punktów 

materialnych

Zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona napiszemy dla 
dowolnego  punktu  układu  dynamiczne  równanie  ruchu 
pod 

działaniem 

wypadkowej 

sił 

zewnętrznych 

działających  na  badany  punkt  oraz  sił  wewnętrznych 
układu:









n

i

i

i

m

1

W

F

a

k

ik







(1) 

i

m

i

a



i

F



ki

ik

W

–

W







gdzi

e:

 – masa 

punktowa,

 – wektor przyspieszenia masy 

m

i

,

 – wypadkowa sił 

zewnętrznych

 – siła oddziaływania masy m

k

 na masę m

i

,,  

k,i = 1,...,n.

 

 

Układ  równań  (1)  w  postaci  wektorowej  można 
przedstawić  w  równoważnej  postaci  analitycznej 
np. we współrzędnych ortokartezjańskich

 

Dynamiczne równania ruchu układu punktów 

materialnych





















































n

 

 

i

W

F

z

m

W

F

m

W

F

x

m

n

1

k

ikz

iz

i

i

n

1

k

iky

iy

i

i

n

1

k

ikx

ix

i

i

, ...,

1

 

y







(2) 

 

 

Wektory          nazywamy siłami bezwładności, siłami 
d'Alemberta, punktów materialnych

 

W  przypadku  występowania  więzów  ograniczających 
ruch  układu,  obok  wzajemnego  oddziaływania 
punktów 

materialnych 

na 

siebie, 

należałoby 

wprowadzić po prawej stronie siły reakcji więzów.
Równania (1) możemy zapisać w postaci

Dynamiczne równania ruchu układu punktów 

materialnych





0

a

W

F

1













i

i

n

i

m







k

ik

(3) 

przedstawiającej  zasadę  bezwładności  d'Alemberta  w 
odniesieniu  do  układu  punktów  materialnych. 
Wypowiadamy ją, jak następuje: 

Siły  działające  na  poszczególne  punkty  materialne 
poruszającego  się  układu  równoważą  się  w  każdej 
chwili z pomyślanymi siłami bezwładności.

i

i

m

–

a



i

m

.

 

 

W  pierwszej  części,  poświęconej  statyce,  podaliśmy 
równania, 

za 

pomocą 

których 

można 

określić 

współrzędne środka masy układu punktów materialnych:

Ruch środka masy układu punktów 

Ruch środka masy układu punktów 

materialnych

materialnych

a) w postaci wektorowej







n

i

i

S

m

m

1

r

r

i





(4)

 

b)  lub  jej  równoważnej  postaci  analitycznej  (np.  w  układzie 
ortokartezjańskim)







n

i

i

S

x

m

mx

1

i







n

i

i

S

y

m

my

1

i







n

i

i

S

z

m

mz

1

i

(5)

gdzie

– masa całkowita,

 







n

m

m

1

k

i

S

S

S

z

y

x

,

,

– współrzędne środka masy układu punktów materialnych

 

 

 

Różniczkując 

równanie 

(4) 

względem 

czasu 

otrzymujemy

 

Ruch środka masy układu punktów 

Ruch środka masy układu punktów 

materialnych

materialnych









n

i

i

S

m

m

1

v

v

p

i







(6)

 

gdzie wektor

i

i

i

i

i

m

m

v

r

p













przedstawia pęd masy punktu

 

i

m

S

S

m

m

v

r

p













wektor pędu ogólnego układu punktów materialnych.

Tak więc stwierdzamy, 

że pęd ogólny układu punktów 

materialnych  równa  się  pędowi  całej  masy  układu, 
skupionej w jego środku masy.

 

 

Różniczkując  po  raz  drugi  równanie  (4) 
napiszemy

Ruch środka masy układu punktów 

Ruch środka masy układu punktów 

materialnych

materialnych







n

i

i

S

m

m

1

r

r

i









(7)

 

lub







n

i

i

S

m

m

1

a

a

i





(8)

 

Wynika stąd, że suma sił bezwładności punktów 

materialnych równa się sile bezwładności masy 

całkowitej, skupionej w środku masy tego układu.

Wstawiając wzór                             do równania (8) otrzymujemy









n

i

i

i

m

1

W

F

a

k

ik





















n

i

n

n

i

i

S

m

1

1

1

W

F

a

k

ik







(9)

 

 

 

Zauważmy jednak, że wektor główny sił wewnętrznych 
układu, występujących tzw. dwójkami zerowymi

            

     

, jest równy zeru, czyli

Ruch środka masy układu punktów 

Ruch środka masy układu punktów 

materialnych

materialnych

ki

ik

W

–

W







0

W

1

1









n

i

n

k

ik



(10)

 

a więc







n

i

i

S

m

1

F

a





(11)

 

Równanie (11) przedstawia tzw. zasadę ruchu środka 
masy układu punktów materialnych:

Środek masy układu punktów materialnych 

porusza się jak punkt, w którym skupiona jest 

cala masa układu i na który działa suma 

wszystkich sił zewnętrznych.

 

 

Zasadę 

ruchu 

środka 

masy 

układu 

punktów 

materialnych,  przedstawioną  w  postaci  wektorowej 
wzorem (11), możemy też opisać analitycznie

Ruch środka masy układu punktów 

Ruch środka masy układu punktów 

materialnych

materialnych







n

i

ix

S

x

m

1

F











n

i

iy

S

y

m

1

F











n

i

iz

S

z

m

1

F





(12)

 

 

Uwzględniając wzory                      oraz                       
możemy napisać:

Zasada pędu układu punktów materialnych

Zasada pędu układu punktów materialnych

lub też zgodnie z oznaczeniem 
pędu







n

i

i

S

m

m

1

a

a

i











n

i

i

S

m

1

F

a





F

F

v

a

1

1

1



























n

i

i

n

i

i

i

n

i

i

i

m

dt

d

m













n

i

i

n

i

i

i

m

1

1

p

v

p







(13) 

(14) 

 

 

Pochodna  względem  czasu  wektora  ogólnego  pędu 
układu  punktów  materialnych  jest  równa  wektorowi 
głównemu  sił  zewnętrznych,  działających  na  dany 
układ.

Zauważmy,  że  w  przypadku  gdy  wektor  główny  sił 
zewnętrznych będzie równy zeru, wówczas pęd układu 
będzie  wektorem  stałym  (co  do  modułu  i  co  do 
kierunku). Jest to tzw. 

zasada zachowania pędu układu 

punktów materialnych.

Wzór  (15),  przedstawiający  tzw.  zasadę  pędu  układu 
punktów materialnych:

Zasada pędu układu punktów materialnych

Zasada pędu układu punktów materialnych

F

p

p

1















dt

d

dt

d

n

i

i

pęd  układu  punktów  materialnych 
napiszemy 

(15)

 

 

Zasada pędu układu punktów materialnych

Zasada pędu układu punktów materialnych

Wzór           

możemy  przedstawić  za  pomocą  równoważnych  trzech 
równań

F

p

p

1















dt

d

dt

d

n

i

i

x

x

F

dt

dp



y

y

F

dt

dp



z

z

F

dt

dp



(16)

Z zasady zachowania pędu wynika ważny wniosek, że 
jeżeli  np.  część  układu  punktów  materialnych 
zmienia  w  pewnej  chwili  swój  pęd  pod  wpływem 
tylko  sił  wewnętrznych,  wówczas  pęd  pozostałej 
części układu ulega odpowiedniej zmianie, zgodnie z 
warunkami

0

p

p

2

1









gdyż

0

F

F

1













n

i

i

 

 

Zasada równoważności pędu i 

Zasada równoważności pędu i 

impulsu układu punktów 

impulsu układu punktów 

materialnych

materialnych

 

 

lub

Zasada równoważności pędu i impulsu układu 

Zasada równoważności pędu i impulsu układu 

punktów materialnych

punktów materialnych

F

p

p

1















dt

d

dt

d

n

i

i

1

t

2

t

Całkując równanie                                        w przedziale czasu od

 

 do

 

, otrzymamy













2

1

1

2

1

2

1

F

F

p

t

t

n

i

i

t

t

t

t

dt

dt

dt

dt

d







 











n

i

t

t

i

t

t

dt

dt

1

2

1

2

1

1

2

F

F

p

p









 

 

Zasada równoważności pędu i impulsu układu 

Zasada równoważności pędu i impulsu układu 

punktów materialnych

punktów materialnych

Równanie  (20)  przedstawia  następującą  zasadę  pędu  i 
impulsu w odniesieniu do układu punktów materialnych:

Jak już wiemy z dynamiki punktu, wektor 

i

i

d

dt









F

przedstawia elementarny impuls siły 

i

F



w 
czasie

 

dt

możemy przedstawić również w postaci

 











n

i

t

t

i

t

t

dt

dt

1

2

1

2

1

1

2

F

F

p

p









a więc równanie

2

–

1

1

2

–

1

1

2

p

p















n

i

i





(20)

przyrost wektora pędu układu punktów materialnych w 

określonym przedziale czasu jest równy sumie impulsów 

sił zewnętrznych, działających na ten układ.

 

 

 

Zderzenie proste

Zderzenie proste

 

 

ś

ś

rodkowe 

rodkowe 

 

 

Rys. 2

Zderzenie proste środkowe oraz ukośne środkowe 

Zderzenie proste środkowe oraz ukośne środkowe 

Zderzenie  zachodzi  w  przypadku  działania  na  siebie 
dwu ciał siłą o skończonej wartości w bardzo krótkim 
przedziale czasu.

Zderzenie  środkowe  charakteryzuje  się  tym,  że 
normalna do płaszczyzny styku w punkcie styku obu 
ciał przechodzi przez środki masy tych ciał. 

 

 

W procesie zderzenia rozróżniamy dwa 
charakterystyczne okresy:

a)        - pierwszy okres: od chwili zetknięcia się ciał 
aż do chwili 
             największego zbliżenia ich środków mas, 
przy równoczesnym 
             odkształcaniu się obu ciał,

b)       - drugi okres: od chwili rozpoczęcia oddzielania 
się obu mas.

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE ŚRODKOWE 

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE ŚRODKOWE 

Rys. 2

 

 

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE ŚRODKOWE

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE ŚRODKOWE

 

 

Zgodnie  ze  wzorem                                              napiszemy  dla 
pierwszego okresu 

Rozpatrzymy najpierw zderzenie proste środkowe (rys: 
2). 

0

p

p

2

1









Rys. 2





c

m

m

m

m

2

1

2

2

1

1











c

– wspólna prędkość obu mas przy końcu pierwszego 
okresu. 

Stąd 

2

1

2

2

1

1

m

m

m

m

c











 

 

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE ŚRODKOWE

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE ŚRODKOWE

W wyniku odkształcania się ciał przy zderzeniu występuje 
zmiana energii kinetycznej układu w pewnej jej części na 
pracę  odkształcenia.  Strata  ta  może  być  pozorna  lub 
rzeczywista, w zależności od tego, czy zostanie zwrócona 
w drugim okresie zderzenia. Oznaczmy ją przez









2

2

1

2
2

2

2

1

1

1

2

1

c

m

m

m

m

E















2

1

2

2

1

1

m

m

m

m

c











Uwzględniając wzór                              
napiszemy 





2

2

1

2

1

2

1

1

2

1











–

m

m

m

m

E

(23) 

(23a) 

 

 

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE ŚRODKOWE

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE ŚRODKOWE

Przechodząc  do  drugiego  okresu  zauważamy,  że 
obowiązuje  nadal  zasada  zachowania  pędu  badanego 
układu, czyli że

Rys. 2

2

2

1

1

2

2

1

1

w

m

w

m

m

m











(24
) 

Przy czym      oraz      przedstawiają prędkości obu mas 
po zderzeniu. Do wyznaczenia ich wykorzystamy ponadto 
równanie  wynikające  z  rozważań  energetycznych. 
Prędkości          oraz            zależeć  będą  od  tego,  czy  strata 
energii kinetycznej została:

1

w

2

w

1

w

2

w

 

 

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE ŚRODKOWE

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE ŚRODKOWE

a)  zwrócona  w  100%  (zderzenie  ciał  doskonale 
sprężystych),
b)  pochłonięta  w  100%  (zderzenie  ciał  idealnie 
plastycznych),
c) 

pochłonięta 

częściowo 

(zderzenie 

ciał 

rzeczywistych).

Dla  określenia  tych  strat  energii  wprowadzimy  tzw. 
współczynnik zderzenia , określając go wzorem

przy czym 
oczywiście 

2

1

1

2

–







–

w

w

k

1

0



k

Wartości graniczne współczynnika

          

odpowiadają: 

k

1



k

0



k

dla ciała idealnie 
sprężystego, 

dla ciała idealnie plastycznego. 

(25
) 

 

 

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE ŚRODKOWE

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE ŚRODKOWE

w przypadku ciała idealnie plastycznego 

Uwzględniając równania (24) i (25) otrzymamy po 
odpowiednich podstawieniach i przekształceniach 




















































.

,

2

1

1

2

1

2

2

1

1

2

2

1

2

1

2

2

2

1

1

1

m

m

k

–

m

m

m

w

m

m

k

–

m

m

m

w

Dla przypadków granicznych zaś, tj. w przypadku ciała 
idealnie sprężystego 





1



k












































.

2

,

2

2

1

1

1

2

1

2

2

2

1

2

2

1

2

1

1

m

m

m

m

m

w

m

m

m

m

m

w





0



k

2

1

2

2

1

1

2

1

m

m

m

m

c

w

w















(26
) 

(27
) 

(28
) 

 

 

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE ŚRODKOWE

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE ŚRODKOWE

Rzeczywista strata energii 
kinetycznej wynosi 





2

2

2

2

1

1

2
2

2

2

1

1

1

2

1

w

m

w

m

m

m

E















po podstawieniu równań (26) na       i

1

w

2

w

otrzyma
my









2

2

2

1

2

1

2

1

1

k

–

1

–

m

m

m

m

2

1

E











 

 

Przeanalizujmy  kilka  charakterystycznych  przypadków 
zderzenia prostego środkowego.

Po zderzeniu nastąpiła więc 
wymiana prędkości pomiędzy 
obiema masami

. 

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE ŚRODKOWE

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE ŚRODKOWE

 1.                                (ciało doskonale sprężyste).  

1



k

2

1

m

m 

2

1





w

1

2





w

, 
zaś 

Ze wzorów                                        
otrzymujemy: 












































.

2

,

2

2

1

1

1

2

1

2

2

2

1

2

2

1

2

1

1

m

m

m

m

m

w

m

m

m

m

m

w

 

 

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE ŚRODKOWE

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE ŚRODKOWE

 2.               ,                    (nieruchoma ściana),              .

0

1









1

m

1



k

W tym przypadku z                                          
otrzymamy 












































.

2

,

2

2

1

1

1

2

1

2

2

2

1

2

2

1

2

1

1

m

m

m

m

m

w

m

m

m

m

m

w

, zaś                             .

0

1



w

2

2

– 



w

czyli masa          odbija się z tą samą prędkością.

2

m

 

 

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE ŚRODKOWE

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE ŚRODKOWE

czyli masa           odbije się z odpowiednio zmniejszoną 
prędkością.

 

3.              ,                   (nieruchoma ściana),             
(ciało rzeczywiste).

 

0

1









1

m

0



k

Wykorzystując wzory                                                 
    napiszemy 




















































.

,

2

1

1

2

1

2

2

1

1

2

2

1

2

1

2

2

2

1

1

1

m

m

k

–

m

m

m

w

m

m

k

–

m

m

m

w

, zaś                          .

0

1



w

2

2

k

– 



w

2

m

 

 

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE ŚRODKOWE

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE ŚRODKOWE

Przypadek  ten  podaje  zarazem  prosty  sposób 
wyznaczania współczynnika zderzenia   . Jak wiadomo 
bowiem z kinematyki, ciało spadające z wysokości      
na stałą podstawę ma w początkowej chwili zderzenia 
prędkość            . Po odbiciu wznosi się na wysokość     
  ,  czyli  przy  końcu  drugiego  okresu  zderzenia  miało 
ono  prędkość                                .  Ponieważ                                   
(pomijając  znak  minus,  gdyż  interesuje  nas  tylko 
moduł), zatem

k

H

gH

2

2





h

gh

w

2

2



2

2

k

– 



w

H

h

w

k







2

2

 

 

ZDERZENIE UKOŚNE 
ŚRODKOWE

 

 

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE ŚRODKOWE

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE ŚRODKOWE

Przejdźmy  teraz  do  omówienia  zderzenia  ukośnego 
środkowego  (rys.  3).  Rozkładamy  wektory  prędkości 
na składowe normalne i styczne do płaszczyzny styku

1

1

1

cos







n

1

1

1

sin







t

2

2

2

cos







n

2

2

2

sin







t

Rys. 3

 

 

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE ŚRODKOWE

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE ŚRODKOWE

Jeżeli  pominiemy  straty  tarcia  przy  zderzeniu  i 
możliwości,  ewentualnych  obrotów  mas  (przyjęto  je 
jako  punkty  materialne)  w  wyniku  na  ogół  różnych 
wartości składowych stycznych             oraz       
         (przyjmując idealnie gładkie powierzchnie styku 
mas),  to  w  wyniku  zderzenia  zmienią  się  tylko 
składowe normalne.
Do 

oceny 

zmian 

składowych 

normalnych 

wykorzystamy  wzory  (26),  wprowadzając  jedynie 
odpowiednie  wskaźniki        ,  składowe  zaś  styczne 
pozostaną bez zmiany, czyli: 

t

1



t

2



n

t

t

1

1

w

v







t

t

2

2

w

v







oraz 

Ostatecznie składając wektorowo otrzymamy po zderzeniu

 























t

n

t

n

t

n

t

n

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

v

w

w

w

w

,

v

w

w

w

w





















 

 

Oddziaływanie strumienia 

Oddziaływanie strumienia 

padającego na przegrodę

padającego na przegrodę

 

 

Oddziaływanie strumienia padającego na 

Oddziaływanie strumienia padającego na 

przegrodę

przegrodę

Do  wyznaczenia  reakcji        przegrody  na  działanie 
strumienia,  padającego  pod  kątem        (rys.  4), 
wykorzystamy zasadę pędu i impulsu według wzoru

R



Załóżmy,  że  dane  są  ponadto  przekrój  strumienia      , 
gęstość  (niezmienna w czasie)     oraz średnia w kroju 
prędkość strumienia 

 











n

i

t

t

i

t

t

dt

dt

1

2

1

2

1

1

2

F

F

p

p









A





Rys. 4

 

 

Oddziaływanie strumienia padającego na 

Oddziaływanie strumienia padającego na 

przegrodę

przegrodę

Rys. 4

W  czasie          wystąpi  przemieszczenie  przekroju  ab  w 
położenie a'b' (rys. 4) o od

    . 

Równocześnie strumień 

rozdzielając się na przegrodzie przemieści się w swych 
strugach  z  położeń  ef  w  e'f'  oraz  z  położeń  cd  w  c'd' 
(rys.  4).  Zauważmy,  że  kierunki  wektorów  prędkości 
tych rozdzielonych na przegrodzie strug są przeciwne i 
styczne do przegrody.

dt

dt



Zgodnie  więc  z  zasadą  pędu 
i  impulsu  (19)  napiszemy 
rzutując 

wektory 

pędów 

pulsu  na  oś     

, 

prostopadłą 

do przegrody 

x





 

,

dt

R

p

p

p

p

–

p

t

p

dt

t

p

x

b

b

a

a

x

d

d

c

c

x

f

f

e

e

x

abcdef

x

f

e

d

c

b

a

x

x

x











































 

 

Oddziaływanie strumienia padającego na 

Oddziaływanie strumienia padającego na 

przegrodę

przegrodę

a ponieważ

0





 f

f

e

e

x

p

0





 d

d

c

c

x

p

oraz 

gdyż, jak już wspomnieliśmy, wektory pędów tych strug 
częściowych są prostopadłe do osi        

 

(styczne do 

przegrody), więc 

x





,

sin

dt

R

dtAρ

dm

p

x

x

b

b

a

a

x



















Stąd ostatecznie 
otrzymujemy reakcję 
przegrody w kierunku osi

 

x







sin

2

Aρ

Rx

Rys. 4

 

 

Kręt ogólny 

Kręt ogólny 

układu punktów 

układu punktów 

materialnych

materialnych

 

 

Kręt ogólny układu punktów 

Kręt ogólny układu punktów 

materialnych

materialnych

Rozszerzymy  tu  zasadę  krętu,  poznaną  w  dynamice 
punktu,  na  układ  punktów  materialnych.  Obierzmy 
dowolny biegun O i określmy zgodnie z definicją wektory 
krętów,  czyli  momenty  wektorów  pędów  poszczególnych 
punktów  materialnych  układu  względem  tego  bieguna 
(rys. 5):

,

v

r

K

,

v

r

K

,

v

r

K

2

2

2

2

1

1

1

1

n

n

n

O

n

O

O

m

m

m











































Rys. 5

 

 

Kręt ogólny układu punktów 

Kręt ogólny układu punktów 

materialnych

materialnych

Krętem  ogólnym  układu  punktów  materialnych 
względem  przyjętego  bieguna  nazywamy  sumę 
geometryczną poszczególnych wektorów krętów, czyli

,

v

r

K

K

1

1















n

i

i

i

i

n

i

O

i

O

m









Po odpowiednich przekształceniach otrzymamy

O

n

i

O

i

n

i

i

i

O

dt

d

M

M

F

r

K

1

1





























Jest  to  postać  wektorowa  zasady  krętu  układu  punktów 
materialnych, którą wypowiemy:

Pochodna  wektora  krętu  ogólnego  układu  względem 
czasu  względem  dowolnego  bieguna  jest  równa 
wektorowi 

momentu 

głównego 

sił 

zewnętrznych, 

działających  na  ten  układ  względem  tego  samego 
bieguna.

 

 

Kręt ogólny układu punktów 

Kręt ogólny układu punktów 

materialnych

materialnych

Odpowiednia  postać  analityczna  tej  zasady  w 
układzie 

współrzędnych 

ortokartezjańskich 

przedstawi się następująco

O

x

O

x

M

dt

dK



O

y

O

y

M

dt

dK



O

z

O

z

M

dt

dK



, 

, 

(38)

W  przypadku  gdy  suma  momentów  sił  zewnętrznych 
działających na układ jest zeru, czyli

0

M

M

1









O

n

i

O

i





wówczas kręt ogólny jest wektorem stałym

0

K



dt

d

O



const

K 

O



, zaś

 

Jest  to  tzw. 

zasada  zachowania  krętu  układu 

punktów materialnych.

 Przy okazji warto podkreślić, 

że  ani  siły  wewnętrzne,  ani  ich  momenty  nie  mogą 
zmienić krętu ogólnego układu.

 

 

Kręt ogólny układu punktów 

Kręt ogólny układu punktów 

materialnych

materialnych





wi

i

n

i

i

i

n

i

i

i

A

i

n

i

i

A

O

m

 

 

m

m

 

v

ρ

ρ

ρ

v

ρ

p

r

K

1

1

1





















































Określmy poszczególne wyrazy sumy wektorowej

p

r







A





i

n

i

i

i

 

m

ρ

ρ

1

















wi

i

n

i

i

m

  v

ρ

1











A

S

A

S

A

n

i

i

i

A

i

n

i

i

m

m

 

m

m

 

v

ρ

v

ρ

v

ρ

v

ρ

1

1







































  - 

moment 

wektora 

pędu 

ogólnego 

układu, 

umieszczonego w środku
     układu ruchomego, względem środka układu stałego,

–  wektor  krętu  ruchu  obrotowego  układu 
unoszonego
    (ruchomego),

–  wektor  krętu  ruchu  względnego  układu 
punktów 
        materialnych  (biegunem  środek  układu 
ruchomego),

jego środku masy, poruszającej się z prędkością środka 
układu ruchomego, względem tego środka.

– moment wektora 
    pędu całej masy 
    układu, 
skupionej w

 

 

Kręt ogólny układu punktów 

Kręt ogólny układu punktów 

materialnych

materialnych

Omówimy tu dwa charakterystyczne przypadki:
a) Środek układu ruchomego pokrywa się ze środkiem 
masy  układu  punktów  materialnych;  układ  ruchomy 
wykonuje ruch postępowy. Wówczas

wi

i

n

i

i

S

O

m

  v

ρ

p

r

K

1























kręt  ogólny  jest  sumą  dwu  krętów.  Pierwszy  jest 
momentem względem bieguna stałego pędu ogólnego 
układu  punktów,  skupionego  w  środku  masy  układu 
(tu  w  środku  układu  ruchomego),  drugi  zaś 
przedstawia  kręt  ogólny  względem  środka  masy 
układu  w  wyniku  ruchu  względnego  punktów 
materialnych.

 

 

Kręt ogólny układu punktów 

Kręt ogólny układu punktów 

materialnych

materialnych

b) Środek układu ruchomego jest ustalony i pokrywa 
się ze środkiem układu stałego                   czyli            
  oraz

 

z

y

x

O

,

,

,

0

r 

A



0

v 

A



wówczas wzór

sprowadza się do postaci





wi

i

n

i

i

i

n

i

i

i

A

i

n

i

i

A

O

m

 

 

m

m

 

v

ρ

ρ

ρ

v

ρ

p

r

K

1

1

1

























































wi

i

n

i

i

i

n

i

i

i

O

m

 

 

m

v

ρ

ρ

ρ

K

1

1

































I w tym przypadku kręt ogólny jest sumą dwu krętów: 
-ruchu obrotowego układ ruchomego
-ruchu względnego układu punktów materialnych.

 

 

Zakładając w szczególnym przypadku, że punkty 
materialne połączone są sztywno z układem ruchomym, 
czyli 

Kręt ogólny układu punktów 

Kręt ogólny układu punktów 

materialnych

materialnych

0

v 

wi



otrzymamy 





i

n

i

i

i

O

 

m

ρ

ρ

K

1





















Przy takim założeniu powyższy wzór dotyczy już 

krętu ciała sztywnego

.

 

 

Ruch układu 

o zmiennej masie

 

 

Ruch układu o zmiennej masie

Ruch układu o zmiennej masie

Jako  podstawę  przyjmiemy  tu  drugą  zasadę  dynamiki 
Newtona dla układu materialnych – zasadę pędu





F

v

v

1

S















n

i

i

i

m

dt

d

dt

m

d

Zakładając, że od układu odrywa się z prędkością 
bezwzględną        masa        , określimy elementarną 
zmianę wektora pędu układu  

b

v



dm















b

S

S

S

dm

d

dm

m

m

m

d

v

v

–

v

–

–

v

v

S















przy czym

S

mv



– wektor pędu układu przed oderwaniem się masy

 

dm







b

S

dm

d

dm

m

v

v

–

v

–

S









– pęd układu po oderwaniu się masy 

dm

 

 

Ruch układu o zmiennej masie

Ruch układu o zmiennej masie

Uwzględniając wzór

napiszemy, po pominięciu iloczynu różniczek,





F

v

v

1

S















n

i

i

i

m

dt

d

dt

m

d





R

F

v

–

v

d

F

v





















S

b

S

dt

m

dt

d

m





S

b

dt

m

v

–

v

d

R









gdzie

nazwiemy siłą 

reakcji cząstki oddzielającej się

.

 

 

Ruch układu o zmiennej masie

Ruch układu o zmiennej masie

W przypadku gdy równocześnie oddziela się lub 
przyczepia więcej mas
           równanie 

j

dm





R

F

v

–

v

d

F

v





















S

b

S

dt

m

dt

d

m

napiszemy w ogólniejszej postaci

 









k

j

j

S

dt

d

m

1

R

F

v







gdzie





S

bj

j

j

dt

m

v

–

v

d

R









zaś 

j

S

bj

u

v

–

v









– wektor prędkości względnej 
oddzielającej się lub dołączającej się 
masy

 

j

dm

(50) 

Wzór (50) przedstawia tzw. równanie 

Mieszczerskiego, charakteryzujące ruch układu o 

zmiennej masie.