Opracował: Romuald

Redzicki

MECHANIKA

MECHANIKA

Wykład Nr 6

DYNAMIKA UKŁADU

PUNKTÓW

MATERIALNYCH

Prof. dr hab. inż.
Kazimierz Wójs

DYNAMICZNE RÓWNANIA

RUCHU UKŁADU PUNKTÓW

MATERIALNYCH

Dynamiczne równania ruchu układu punktów

materialnych

Układem punktów materialnych nazwiemy zbiór
punktów w sensie geometrycznym, którym przypisane
są pewne masy. Układ taki nazwiemy

swobodnym

, gdy

nie istnieją żadne ograniczenia, które krępowałyby
ruchy punktów, lub też określimy go jako

układ

nieswobodny

,

jeżeli

wystąpią

jakiekolwiek

ograniczenia ruchów.
W układzie nieswobodnym występują tzw.

więzy

ograniczające

swobodę

ruchów

poszczególnych

punktów.

Szczególnym

modelem

układu

nieswobodnego punktów materialnych jest ciało
sztywne (bryła materialna), którego więzy polegają na
tym, że wzajemne odległości dwu dowolnych punktów
bryły nie ulegają zmianie w czasie ruchu.

Siły działające na układ (rys. 1) dzielimy na

zewnętrzne i

wewnętrzne.

Siły wewnętrzne

- oddziaływania punktów układu

na siebie,

siły zewnętrznych

– działania innych ciał

Dynamiczne równania ruchu układu punktów

materialnych

Ta

sama

siła

może

być

zewnętrzna

dla

jednego,

wewnętrzna zaś dla drugiego
układu. I tak na przykład siła
ciężkości

jest

dla

punktu

materialnego siłą zewnętrzną,
natomiast będzie ona siłą
wewnętrzną

dla

układu

złożonego z Ziemi i danego
punktu.

Rys. 1

Dynamiczne równania ruchu układu punktów

materialnych

Zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona napiszemy dla
dowolnego punktu układu dynamiczne równanie ruchu
pod

działaniem

wypadkowej

sił

zewnętrznych

działających na badany punkt oraz sił wewnętrznych
układu:









n

i

i

i

m

1

W

F

a

k

ik







(1)

i

m

i

a



i

F



ki

ik

W

–

W







gdzi

e:

– masa

punktowa,

– wektor przyspieszenia masy

m

i

,

– wypadkowa sił

zewnętrznych

– siła oddziaływania masy m

k

na masę m

i

,,

k,i = 1,...,n.

Układ równań (1) w postaci wektorowej można
przedstawić w równoważnej postaci analitycznej
np. we współrzędnych ortokartezjańskich

Dynamiczne równania ruchu układu punktów

materialnych





















































n

i

W

F

z

m

W

F

m

W

F

x

m

n

1

k

ikz

iz

i

i

n

1

k

iky

iy

i

i

n

1

k

ikx

ix

i

i

, ...,

1

y







(2)

Wektory nazywamy siłami bezwładności, siłami
d'Alemberta, punktów materialnych

W przypadku występowania więzów ograniczających
ruch układu, obok wzajemnego oddziaływania
punktów

materialnych

na

siebie,

należałoby

wprowadzić po prawej stronie siły reakcji więzów.
Równania (1) możemy zapisać w postaci

Dynamiczne równania ruchu układu punktów

materialnych





0

a

W

F

1













i

i

n

i

m







k

ik

(3)

przedstawiającej zasadę bezwładności d'Alemberta w
odniesieniu do układu punktów materialnych.
Wypowiadamy ją, jak następuje:

Siły działające na poszczególne punkty materialne
poruszającego się układu równoważą się w każdej
chwili z pomyślanymi siłami bezwładności.

i

i

m

–

a



i

m

.

W pierwszej części, poświęconej statyce, podaliśmy
równania,

za

pomocą

których

można

określić

współrzędne środka masy układu punktów materialnych:

Ruch środka masy układu punktów

Ruch środka masy układu punktów

materialnych

materialnych

a) w postaci wektorowej







n

i

i

S

m

m

1

r

r

i





(4)

b) lub jej równoważnej postaci analitycznej (np. w układzie
ortokartezjańskim)







n

i

i

S

x

m

mx

1

i







n

i

i

S

y

m

my

1

i







n

i

i

S

z

m

mz

1

i

(5)

gdzie

– masa całkowita,







n

m

m

1

k

i

S

S

S

z

y

x

,

,

– współrzędne środka masy układu punktów materialnych

Różniczkując

równanie

(4)

względem

czasu

otrzymujemy

Ruch środka masy układu punktów

Ruch środka masy układu punktów

materialnych

materialnych









n

i

i

S

m

m

1

v

v

p

i







(6)

gdzie wektor

i

i

i

i

i

m

m

v

r

p













przedstawia pęd masy punktu

i

m

S

S

m

m

v

r

p













wektor pędu ogólnego układu punktów materialnych.

Tak więc stwierdzamy,

że pęd ogólny układu punktów

materialnych równa się pędowi całej masy układu,
skupionej w jego środku masy.

Różniczkując po raz drugi równanie (4)
napiszemy

Ruch środka masy układu punktów

Ruch środka masy układu punktów

materialnych

materialnych







n

i

i

S

m

m

1

r

r

i









(7)

lub







n

i

i

S

m

m

1

a

a

i





(8)

Wynika stąd, że suma sił bezwładności punktów

materialnych równa się sile bezwładności masy

całkowitej, skupionej w środku masy tego układu.

Wstawiając wzór do równania (8) otrzymujemy









n

i

i

i

m

1

W

F

a

k

ik





















n

i

n

n

i

i

S

m

1

1

1

W

F

a

k

ik







(9)

Zauważmy jednak, że wektor główny sił wewnętrznych
układu, występujących tzw. dwójkami zerowymi

, jest równy zeru, czyli

Ruch środka masy układu punktów

Ruch środka masy układu punktów

materialnych

materialnych

ki

ik

W

–

W







0

W

1

1









n

i

n

k

ik



(10)

a więc







n

i

i

S

m

1

F

a





(11)

Równanie (11) przedstawia tzw. zasadę ruchu środka
masy układu punktów materialnych:

Środek masy układu punktów materialnych

porusza się jak punkt, w którym skupiona jest

cala masa układu i na który działa suma

wszystkich sił zewnętrznych.

Zasadę

ruchu

środka

masy

układu

punktów

materialnych, przedstawioną w postaci wektorowej
wzorem (11), możemy też opisać analitycznie

Ruch środka masy układu punktów

Ruch środka masy układu punktów

materialnych

materialnych







n

i

ix

S

x

m

1

F











n

i

iy

S

y

m

1

F











n

i

iz

S

z

m

1

F





(12)

Uwzględniając wzory oraz
możemy napisać:

Zasada pędu układu punktów materialnych

Zasada pędu układu punktów materialnych

lub też zgodnie z oznaczeniem
pędu







n

i

i

S

m

m

1

a

a

i











n

i

i

S

m

1

F

a





F

F

v

a

1

1

1



























n

i

i

n

i

i

i

n

i

i

i

m

dt

d

m













n

i

i

n

i

i

i

m

1

1

p

v

p







(13)

(14)

Pochodna względem czasu wektora ogólnego pędu
układu punktów materialnych jest równa wektorowi
głównemu sił zewnętrznych, działających na dany
układ.

Zauważmy, że w przypadku gdy wektor główny sił
zewnętrznych będzie równy zeru, wówczas pęd układu
będzie wektorem stałym (co do modułu i co do
kierunku). Jest to tzw.

zasada zachowania pędu układu

punktów materialnych.

Wzór (15), przedstawiający tzw. zasadę pędu układu
punktów materialnych:

Zasada pędu układu punktów materialnych

Zasada pędu układu punktów materialnych

F

p

p

1















dt

d

dt

d

n

i

i

pęd układu punktów materialnych
napiszemy

(15)

Zasada pędu układu punktów materialnych

Zasada pędu układu punktów materialnych

Wzór

możemy przedstawić za pomocą równoważnych trzech
równań

F

p

p

1















dt

d

dt

d

n

i

i

x

x

F

dt

dp



y

y

F

dt

dp



z

z

F

dt

dp



(16)

Z zasady zachowania pędu wynika ważny wniosek, że
jeżeli np. część układu punktów materialnych
zmienia w pewnej chwili swój pęd pod wpływem
tylko sił wewnętrznych, wówczas pęd pozostałej
części układu ulega odpowiedniej zmianie, zgodnie z
warunkami

0

p

p

2

1









gdyż

0

F

F

1













n

i

i

Zasada równoważności pędu i

Zasada równoważności pędu i

impulsu układu punktów

impulsu układu punktów

materialnych

materialnych

lub

Zasada równoważności pędu i impulsu układu

Zasada równoważności pędu i impulsu układu

punktów materialnych

punktów materialnych

F

p

p

1















dt

d

dt

d

n

i

i

1

t

2

t

Całkując równanie w przedziale czasu od

do

, otrzymamy













2

1

1

2

1

2

1

F

F

p

t

t

n

i

i

t

t

t

t

dt

dt

dt

dt

d







 











n

i

t

t

i

t

t

dt

dt

1

2

1

2

1

1

2

F

F

p

p









Zasada równoważności pędu i impulsu układu

Zasada równoważności pędu i impulsu układu

punktów materialnych

punktów materialnych

Równanie (20) przedstawia następującą zasadę pędu i
impulsu w odniesieniu do układu punktów materialnych:

Jak już wiemy z dynamiki punktu, wektor

i

i

d

dt









F

przedstawia elementarny impuls siły

i

F



w
czasie

dt

możemy przedstawić również w postaci

 











n

i

t

t

i

t

t

dt

dt

1

2

1

2

1

1

2

F

F

p

p









a więc równanie

2

–

1

1

2

–

1

1

2

p

p















n

i

i





(20)

przyrost wektora pędu układu punktów materialnych w

określonym przedziale czasu jest równy sumie impulsów

sił zewnętrznych, działających na ten układ.

Zderzenie proste

Zderzenie proste

ś

ś

rodkowe

rodkowe

Rys. 2

Zderzenie proste środkowe oraz ukośne środkowe

Zderzenie proste środkowe oraz ukośne środkowe

Zderzenie zachodzi w przypadku działania na siebie
dwu ciał siłą o skończonej wartości w bardzo krótkim
przedziale czasu.

Zderzenie środkowe charakteryzuje się tym, że
normalna do płaszczyzny styku w punkcie styku obu
ciał przechodzi przez środki masy tych ciał.

W procesie zderzenia rozróżniamy dwa
charakterystyczne okresy:

a)        - pierwszy okres: od chwili zetknięcia się ciał
aż do chwili
największego zbliżenia ich środków mas,
przy równoczesnym
odkształcaniu się obu ciał,

b)       - drugi okres: od chwili rozpoczęcia oddzielania
się obu mas.

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE ŚRODKOWE

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE ŚRODKOWE

Rys. 2

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE ŚRODKOWE

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE ŚRODKOWE

Zgodnie ze wzorem napiszemy dla
pierwszego okresu

Rozpatrzymy najpierw zderzenie proste środkowe (rys:
2).

0

p

p

2

1









Rys. 2





c

m

m

m

m

2

1

2

2

1

1











c

– wspólna prędkość obu mas przy końcu pierwszego
okresu.

Stąd

2

1

2

2

1

1

m

m

m

m

c











ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE ŚRODKOWE

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE ŚRODKOWE

W wyniku odkształcania się ciał przy zderzeniu występuje
zmiana energii kinetycznej układu w pewnej jej części na
pracę odkształcenia. Strata ta może być pozorna lub
rzeczywista, w zależności od tego, czy zostanie zwrócona
w drugim okresie zderzenia. Oznaczmy ją przez









2

2

1

2
2

2

2

1

1

1

2

1

c

m

m

m

m

E















2

1

2

2

1

1

m

m

m

m

c











Uwzględniając wzór
napiszemy





2

2

1

2

1

2

1

1

2

1











–

m

m

m

m

E

(23)

(23a)

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE ŚRODKOWE

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE ŚRODKOWE

Przechodząc do drugiego okresu zauważamy, że
obowiązuje nadal zasada zachowania pędu badanego
układu, czyli że

Rys. 2

2

2

1

1

2

2

1

1

w

m

w

m

m

m











(24
)

Przy czym oraz przedstawiają prędkości obu mas
po zderzeniu. Do wyznaczenia ich wykorzystamy ponadto
równanie wynikające z rozważań energetycznych.
Prędkości oraz zależeć będą od tego, czy strata
energii kinetycznej została:

1

w

2

w

1

w

2

w

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE ŚRODKOWE

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE ŚRODKOWE

a) zwrócona w 100% (zderzenie ciał doskonale
sprężystych),
b) pochłonięta w 100% (zderzenie ciał idealnie
plastycznych),
c)

pochłonięta

częściowo

(zderzenie

ciał

rzeczywistych).

Dla określenia tych strat energii wprowadzimy tzw.
współczynnik zderzenia , określając go wzorem

przy czym
oczywiście

2

1

1

2

–







–

w

w

k

1

0



k

Wartości graniczne współczynnika

odpowiadają:

k

1



k

0



k

dla ciała idealnie
sprężystego,

dla ciała idealnie plastycznego.

(25
)

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE ŚRODKOWE

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE ŚRODKOWE

w przypadku ciała idealnie plastycznego

Uwzględniając równania (24) i (25) otrzymamy po
odpowiednich podstawieniach i przekształceniach




















































.

,

2

1

1

2

1

2

2

1

1

2

2

1

2

1

2

2

2

1

1

1

m

m

k

–

m

m

m

w

m

m

k

–

m

m

m

w

Dla przypadków granicznych zaś, tj. w przypadku ciała
idealnie sprężystego





1



k












































.

2

,

2

2

1

1

1

2

1

2

2

2

1

2

2

1

2

1

1

m

m

m

m

m

w

m

m

m

m

m

w





0



k

2

1

2

2

1

1

2

1

m

m

m

m

c

w

w















(26
)

(27
)

(28
)

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE ŚRODKOWE

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE ŚRODKOWE

Rzeczywista strata energii
kinetycznej wynosi





2

2

2

2

1

1

2
2

2

2

1

1

1

2

1

w

m

w

m

m

m

E















po podstawieniu równań (26) na i

1

w

2

w

otrzyma
my









2

2

2

1

2

1

2

1

1

k

–

1

–

m

m

m

m

2

1

E











Przeanalizujmy kilka charakterystycznych przypadków
zderzenia prostego środkowego.

Po zderzeniu nastąpiła więc
wymiana prędkości pomiędzy
obiema masami

.

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE ŚRODKOWE

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE ŚRODKOWE

1. (ciało doskonale sprężyste).

1



k

2

1

m

m 

2

1





w

1

2





w

,
zaś

Ze wzorów
otrzymujemy:












































.

2

,

2

2

1

1

1

2

1

2

2

2

1

2

2

1

2

1

1

m

m

m

m

m

w

m

m

m

m

m

w

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE ŚRODKOWE

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE ŚRODKOWE

2. , (nieruchoma ściana), .

0

1









1

m

1



k

W tym przypadku z
otrzymamy












































.

2

,

2

2

1

1

1

2

1

2

2

2

1

2

2

1

2

1

1

m

m

m

m

m

w

m

m

m

m

m

w

, zaś .

0

1



w

2

2

– 



w

czyli masa odbija się z tą samą prędkością.

2

m

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE ŚRODKOWE

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE ŚRODKOWE

czyli masa odbije się z odpowiednio zmniejszoną
prędkością.

3. , (nieruchoma ściana),
(ciało rzeczywiste).

0

1









1

m

0



k

Wykorzystując wzory
napiszemy




















































.

,

2

1

1

2

1

2

2

1

1

2

2

1

2

1

2

2

2

1

1

1

m

m

k

–

m

m

m

w

m

m

k

–

m

m

m

w

, zaś .

0

1



w

2

2

k

– 



w

2

m

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE ŚRODKOWE

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE ŚRODKOWE

Przypadek ten podaje zarazem prosty sposób
wyznaczania współczynnika zderzenia . Jak wiadomo
bowiem z kinematyki, ciało spadające z wysokości
na stałą podstawę ma w początkowej chwili zderzenia
prędkość . Po odbiciu wznosi się na wysokość
, czyli przy końcu drugiego okresu zderzenia miało
ono prędkość . Ponieważ
(pomijając znak minus, gdyż interesuje nas tylko
moduł), zatem

k

H

gH

2

2





h

gh

w

2

2



2

2

k

– 



w

H

h

w

k







2

2

ZDERZENIE UKOŚNE
ŚRODKOWE

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE ŚRODKOWE

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE ŚRODKOWE

Przejdźmy teraz do omówienia zderzenia ukośnego
środkowego (rys. 3). Rozkładamy wektory prędkości
na składowe normalne i styczne do płaszczyzny styku

1

1

1

cos







n

1

1

1

sin







t

2

2

2

cos







n

2

2

2

sin







t

Rys. 3

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE ŚRODKOWE

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ UKOŚNE ŚRODKOWE

Jeżeli pominiemy straty tarcia przy zderzeniu i
możliwości, ewentualnych obrotów mas (przyjęto je
jako punkty materialne) w wyniku na ogół różnych
wartości składowych stycznych oraz
(przyjmując idealnie gładkie powierzchnie styku
mas), to w wyniku zderzenia zmienią się tylko
składowe normalne.
Do

oceny

zmian

składowych

normalnych

wykorzystamy wzory (26), wprowadzając jedynie
odpowiednie wskaźniki , składowe zaś styczne
pozostaną bez zmiany, czyli:

t

1



t

2



n

t

t

1

1

w

v







t

t

2

2

w

v







oraz

Ostatecznie składając wektorowo otrzymamy po zderzeniu























t

n

t

n

t

n

t

n

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

v

w

w

w

w

,

v

w

w

w

w





















Oddziaływanie strumienia

Oddziaływanie strumienia

padającego na przegrodę

padającego na przegrodę

Oddziaływanie strumienia padającego na

Oddziaływanie strumienia padającego na

przegrodę

przegrodę

Do wyznaczenia reakcji przegrody na działanie
strumienia, padającego pod kątem (rys. 4),
wykorzystamy zasadę pędu i impulsu według wzoru

R



Załóżmy, że dane są ponadto przekrój strumienia ,
gęstość (niezmienna w czasie) oraz średnia w kroju
prędkość strumienia

 











n

i

t

t

i

t

t

dt

dt

1

2

1

2

1

1

2

F

F

p

p









A





Rys. 4

Oddziaływanie strumienia padającego na

Oddziaływanie strumienia padającego na

przegrodę

przegrodę

Rys. 4

W czasie wystąpi przemieszczenie przekroju ab w
położenie a'b' (rys. 4) o od

.

Równocześnie strumień

rozdzielając się na przegrodzie przemieści się w swych
strugach z położeń ef w e'f' oraz z położeń cd w c'd'
(rys. 4). Zauważmy, że kierunki wektorów prędkości
tych rozdzielonych na przegrodzie strug są przeciwne i
styczne do przegrody.

dt

dt



Zgodnie więc z zasadą pędu
i impulsu (19) napiszemy
rzutując

wektory

pędów

pulsu na oś

,

prostopadłą

do przegrody

x





 

,

dt

R

p

p

p

p

–

p

t

p

dt

t

p

x

b

b

a

a

x

d

d

c

c

x

f

f

e

e

x

abcdef

x

f

e

d

c

b

a

x

x

x











































Oddziaływanie strumienia padającego na

Oddziaływanie strumienia padającego na

przegrodę

przegrodę

a ponieważ

0





 f

f

e

e

x

p

0





 d

d

c

c

x

p

oraz

gdyż, jak już wspomnieliśmy, wektory pędów tych strug
częściowych są prostopadłe do osi

(styczne do

przegrody), więc

x





,

sin

dt

R

dtAρ

dm

p

x

x

b

b

a

a

x



















Stąd ostatecznie
otrzymujemy reakcję
przegrody w kierunku osi

x







sin

2

Aρ

Rx

Rys. 4

Kręt ogólny

Kręt ogólny

układu punktów

układu punktów

materialnych

materialnych

Kręt ogólny układu punktów

Kręt ogólny układu punktów

materialnych

materialnych

Rozszerzymy tu zasadę krętu, poznaną w dynamice
punktu, na układ punktów materialnych. Obierzmy
dowolny biegun O i określmy zgodnie z definicją wektory
krętów, czyli momenty wektorów pędów poszczególnych
punktów materialnych układu względem tego bieguna
(rys. 5):

,

v

r

K

,

v

r

K

,

v

r

K

2

2

2

2

1

1

1

1

n

n

n

O

n

O

O

m

m

m











































Rys. 5

Kręt ogólny układu punktów

Kręt ogólny układu punktów

materialnych

materialnych

Krętem ogólnym układu punktów materialnych
względem przyjętego bieguna nazywamy sumę
geometryczną poszczególnych wektorów krętów, czyli

,

v

r

K

K

1

1















n

i

i

i

i

n

i

O

i

O

m









Po odpowiednich przekształceniach otrzymamy

O

n

i

O

i

n

i

i

i

O

dt

d

M

M

F

r

K

1

1





























Jest to postać wektorowa zasady krętu układu punktów
materialnych, którą wypowiemy:

Pochodna wektora krętu ogólnego układu względem
czasu względem dowolnego bieguna jest równa
wektorowi

momentu

głównego

sił

zewnętrznych,

działających na ten układ względem tego samego
bieguna.

Kręt ogólny układu punktów

Kręt ogólny układu punktów

materialnych

materialnych

Odpowiednia postać analityczna tej zasady w
układzie

współrzędnych

ortokartezjańskich

przedstawi się następująco

O

x

O

x

M

dt

dK



O

y

O

y

M

dt

dK



O

z

O

z

M

dt

dK



,

,

(38)

W przypadku gdy suma momentów sił zewnętrznych
działających na układ jest zeru, czyli

0

M

M

1









O

n

i

O

i





wówczas kręt ogólny jest wektorem stałym

0

K



dt

d

O



const

K 

O



, zaś

Jest to tzw.

zasada zachowania krętu układu

punktów materialnych.

Przy okazji warto podkreślić,

że ani siły wewnętrzne, ani ich momenty nie mogą
zmienić krętu ogólnego układu.

Kręt ogólny układu punktów

Kręt ogólny układu punktów

materialnych

materialnych





wi

i

n

i

i

i

n

i

i

i

A

i

n

i

i

A

O

m

m

m

v

ρ

ρ

ρ

v

ρ

p

r

K

1

1

1





















































Określmy poszczególne wyrazy sumy wektorowej

p

r







A





i

n

i

i

i

m

ρ

ρ

1

















wi

i

n

i

i

m

v

ρ

1











A

S

A

S

A

n

i

i

i

A

i

n

i

i

m

m

m

m

v

ρ

v

ρ

v

ρ

v

ρ

1

1







































-

moment

wektora

pędu

ogólnego

układu,

umieszczonego w środku
układu ruchomego, względem środka układu stałego,

– wektor krętu ruchu obrotowego układu
unoszonego
(ruchomego),

– wektor krętu ruchu względnego układu
punktów
materialnych (biegunem środek układu
ruchomego),

jego środku masy, poruszającej się z prędkością środka
układu ruchomego, względem tego środka.

– moment wektora
pędu całej masy
układu,
skupionej w

Kręt ogólny układu punktów

Kręt ogólny układu punktów

materialnych

materialnych

Omówimy tu dwa charakterystyczne przypadki:
a) Środek układu ruchomego pokrywa się ze środkiem
masy układu punktów materialnych; układ ruchomy
wykonuje ruch postępowy. Wówczas

wi

i

n

i

i

S

O

m

v

ρ

p

r

K

1























kręt ogólny jest sumą dwu krętów. Pierwszy jest
momentem względem bieguna stałego pędu ogólnego
układu punktów, skupionego w środku masy układu
(tu w środku układu ruchomego), drugi zaś
przedstawia kręt ogólny względem środka masy
układu w wyniku ruchu względnego punktów
materialnych.

Kręt ogólny układu punktów

Kręt ogólny układu punktów

materialnych

materialnych

b) Środek układu ruchomego jest ustalony i pokrywa
się ze środkiem układu stałego czyli
oraz

z

y

x

O

,

,

,

0

r 

A



0

v 

A



wówczas wzór

sprowadza się do postaci





wi

i

n

i

i

i

n

i

i

i

A

i

n

i

i

A

O

m

m

m

v

ρ

ρ

ρ

v

ρ

p

r

K

1

1

1

























































wi

i

n

i

i

i

n

i

i

i

O

m

m

v

ρ

ρ

ρ

K

1

1

































I w tym przypadku kręt ogólny jest sumą dwu krętów:
-ruchu obrotowego układ ruchomego
-ruchu względnego układu punktów materialnych.

Zakładając w szczególnym przypadku, że punkty
materialne połączone są sztywno z układem ruchomym,
czyli

Kręt ogólny układu punktów

Kręt ogólny układu punktów

materialnych

materialnych

0

v 

wi



otrzymamy





i

n

i

i

i

O

m

ρ

ρ

K

1





















Przy takim założeniu powyższy wzór dotyczy już

krętu ciała sztywnego

.

Ruch układu

o zmiennej masie

Ruch układu o zmiennej masie

Ruch układu o zmiennej masie

Jako podstawę przyjmiemy tu drugą zasadę dynamiki
Newtona dla układu materialnych – zasadę pędu





F

v

v

1

S















n

i

i

i

m

dt

d

dt

m

d

Zakładając, że od układu odrywa się z prędkością
bezwzględną masa , określimy elementarną
zmianę wektora pędu układu

b

v



dm















b

S

S

S

dm

d

dm

m

m

m

d

v

v

–

v

–

–

v

v

S















przy czym

S

mv



– wektor pędu układu przed oderwaniem się masy

dm







b

S

dm

d

dm

m

v

v

–

v

–

S









– pęd układu po oderwaniu się masy

dm

Ruch układu o zmiennej masie

Ruch układu o zmiennej masie

Uwzględniając wzór

napiszemy, po pominięciu iloczynu różniczek,





F

v

v

1

S















n

i

i

i

m

dt

d

dt

m

d





R

F

v

–

v

d

F

v





















S

b

S

dt

m

dt

d

m





S

b

dt

m

v

–

v

d

R









gdzie

nazwiemy siłą

reakcji cząstki oddzielającej się

.

Ruch układu o zmiennej masie

Ruch układu o zmiennej masie

W przypadku gdy równocześnie oddziela się lub
przyczepia więcej mas
równanie

j

dm





R

F

v

–

v

d

F

v





















S

b

S

dt

m

dt

d

m

napiszemy w ogólniejszej postaci









k

j

j

S

dt

d

m

1

R

F

v







gdzie





S

bj

j

j

dt

m

v

–

v

d

R









zaś

j

S

bj

u

v

–

v









– wektor prędkości względnej
oddzielającej się lub dołączającej się
masy

j

dm

(50)

Wzór (50) przedstawia tzw. równanie

Mieszczerskiego, charakteryzujące ruch układu o

zmiennej masie.