1

Podstawowe charakterystyki

• Miary tendencji centralnej
 Średnie
 Modalna
 Mediana

ZAGADNIENIA OMAWIANE NA
ĆWICZENIACH

2

• Miary zróżnicowania (dyspersji)
Wariancja
Odchylenie standardowe
Współczynnik zmienności
• Miary asymetrii
Skośność
•Miary skupienia
Kurtoza
• Błąd standardowy
Zadania do wykonania

3

Główne działy statystyki opisowej

1.

Kompleksowa analiza struktury zbiorowości,

2.

Analiza korelacji i regresji,

3.

Analiza dynamiki zjawisk (badanie szeregów czasowych,
tendencji rozwojowej).

Kompleksowa

analiza

struktury

zbiorowości

powinna

doprowadzić

do

zwięzłego

przedstawienia

ogólnej

charakterystyki istotnych właściwości badanej zbiorowości.
Parametry tak charakteryzują zbiorowość, że porównanie
różnych zbiorowości statystycznych można sprowadzić do ich
porównań. Podstawowe zadania tych parametrów opisowych to :

•

określenie przeciętnego rozmiaru i rozmieszczenia wartości
zmiennej. Dokonujemy tego przez obliczenie miar położenia.

•

określenie granic obszaru zmienności wartości zmiennej.
Dokonujemy tego przez obliczenie miar zmienności.

•

określenie skupienia i spłaszczenia (w stosunku do kształtu
krzywej normalnej) oraz stopnia zmiany od idealnej symetrii.
Dokonujemy tego przez obliczenie miar asymetrii i koncentracji.

STATYSTYKA OPISOWA

4

Kompleksowa analiza struktury

zbiorowości c.d.

Wszystkie miary (parametry), którymi się posługujemy w kompleksowej analizie

struktury zbiorowości można podzielić na dwie zasadnicze grupy:

• miary klasyczne,
• miary pozycyjne.

Miary klasyczne są wypadkową ze wszystkich wartości cechy badanej (pomiarów).
Budowa ich jest oparta na momentach statystycznych (zwykłych i centralnych).

Miary pozycyjne są wyznaczone na podstawie pozycji w szeregu statystycznym

niektórych

jednostek lub grup jednostek. Miary te z jednej strony stanowią uzupełnienie miar
klasycznych a z drugiej – umożliwiają przeprowadzenia analizy struktury w sytuacji,

gdy nie

jest możliwe obliczenie średniej arytmetycznej lub gdy nie ma ona wartości

poznawczej

(otwarte przedziały klasowe, silna lub skrajna asymetria, silne zróżnicowanie i
niejednorodność zbiorowości).

5

Miary tendencji centralnej

Miary średnie

Średnia arytmetyczna jest najlepszą miarą charakteryzującą rozkład cechy i
dlatego jest miarą najczęściej używaną. Obliczanie jej opiera się na
wszystkich obserwacjach i ma ogromne znaczenie teoretyczne i praktyczne.
Jedyną poważniejszą jej wadą jest to, że duży wpływ na nią wywierają
najmniejsza i największa wartość badanego szeregu, czyli tzw. skrajne
wartości cechy.

 

dla szeregów prostych, gdy dane nie są uporządkowane, wyraża się wzorem

Wzór:

Dodać wszystkie wartości danych (x) i podzielić przez ich liczbę

x

i

– wartość badanej cechy i-tej jednostki statystycznej,

N – liczba badanych jednostek statystycznych.

PRZYKŁAD 1:

Obliczyć średni wzrost mężczyzn (10 elementów)

x1 = 168 x2 = 178

x3 = 171

x4 = 185

x5 =180

x6 = 171 x7 = 179

x8 =183

x9 =180

x10 =175

168+178+171+185+180+171+179+183+180+175 = 1770
1770 10 = 177

___

1

n

i

i

N

x

x







6

• dla szeregu rozdzielczego – jeżeli w wyniku odpowiedniego grupowania

danych nieuporządkowanych w szereg rozdzielczy w postaci:

Wzór:

n

i

– liczebność i-tego przedziału klasowego (suma ni równa się N)

– środek i-tego przedziału klasowego

Średnią oblicza się jako sumę iloczynów liczności (n

i

) klas mnożonych przez

środki klas x

i

(średnia cząstkowa podzielona przez liczność wyrazów (N) w całym szeregu.

PRZYKŁAD 2

Średnia arytmetyczna jest miarą prawidłową tylko dla zbiorowości

jednorodnych, tj. o

Umiarkowanym zróżnicowaniu wartości cechy zmiennej. W rozkładach

asymetrycznych,

silnie zróżnicowanych, bimodalnych i wielomodalnych średnia arytmetyczna

traci wartość

poznawczą. Średniej arytmetycznej nie można obliczyć dla szeregu o otwartych
przedziałach klasowych. Średnia arytmetyczna jest momentem zwykłym rzędu

pierwszego.









n

i

i

i

x

n

N

x

1

1

x

i

7

Średnia arytmetyczna ważona

• Gdy liczebność w obrębie dwóch (lub więcej) prób jest jednakowa, to

średnia obliczona z prób, tzw. średnia ogólna równa się sumie
średnich prób podzielonej przez liczbę grup, czyli równa się średniej
arytmetycznej średnich grupowych.

W przypadku gdy liczebność w obrębie prób nie jest jednakowa, to

wówczas średnia ogólna

jest średnią arytmetyczną ważoną, którą obliczamy w następujący

sposób. Średnią dla

każdej grupy (tzw. średnią próby, cząstkową) mnożymy przez liczebność,

zwaną również

„wagą”. Iloczyny należy dodać i sumę podzielić przez liczebność

zbiorowości (N).

8

Średnią geometryczną oblicza się wówczas, gdy wyniki w trakcie badań

zmieniają się w

postępie geometrycznym i gdy zjawiska ujmowane są dynamicznie (np. średnie

tempo

zmian). Średniej tej nie stosuje się, gdy mamy wartości ujemne lub równe zeru.

Wzór:

gdzie x

i

>0

(∏ oznacza iloczyn x

1

, x

2

, x

3

… x

n

)

Średnia geometryczna:
•

obliczana na podstawie wszystkich danych szeregu,

•

wartości skrajne mają na nią mniejszy wpływ niż na średnią

arytmetyczną,

•

jest mniejsza lub równa średniej arytmetycznej,

•

istnieje dla xi > 0,

•

jest pomocna przy obliczaniu średnich wskaźników

•

ma szerokie zastosowanie w badaniach serologicznych, gdzie

wprowadzono pojęcie „miana” .

i

n

n

i

x

G







1

9

Średnia harmoniczna jest odwrotnością średniej arytmetycznej –

stosujemy gdy dane są

podane jako odwrotność np. zużycie paliwa na jednostkę, wydajność na

godzinę.

Wzór:

gdzie x

i

0

Średnia harmoniczna:
•

obliczana na podstawie wszystkich danych szeregu,

•

nadaje się do przekształceń algebraicznych,

•

jest mniejsze lub równe średniej arytmetycznej, przy czym równość
zachodzi tylko dla identycznych wszystkich wartości.







n

i

i

x

N

H

1

1

10

Modalna (moda, dominanta, typowa)

To taka wartość badanej cechy statystycznej, której odpowiada największa

liczebność.

Oznaczona jest symbolem M

o

.  Należy do pozycyjnych miar średnich.

Sposób wyznaczania dominanty dla szeregu prostego

1.

uporządkować szereg rosnąco (czasami malejąco),

2.

podsumować jednostki, które maja tę samą wartość.

3.

Dominantą będzie wartość występująca najczęściej.

 

Liczebność (% lub

liczby
rzeczywist
e

Wartość badanej cechy

(cecha
mierzalna

Dominanta

wartość

11

W szeregach szczegółowych i

rozdzielczych jest to wartość cechy, której

odpowiada największa liczebność. Można, więc łatwo określić przedział,

w którym modalna występuje.

Wzór:

gdzie x

o

– dolna granica przedziału, w którym występuje modalna,

n

m

– liczebność przedziału modalnej,

n

m-1

– liczebność klasy poprzedzającej przedział modalnej,

n

m+1

– liczebność klasy następującej po przedziale modalnej,

k

m

– rozpiętość przedziału klasowego modalnej.

 



 



1

1

1

*

m

m

o

o

m

m

m

m

m

n n

x

k

M

n n

n n



















12

Dominantę z szeregu rozdzielczego można w przybliżeniu wyznaczyć

także w sposób graficzny.

Dominanta

x

n

13

Znalezienie klasy o największej liczebności nie jest sprawą trudną, określona
jest przez wyraźny punkt – szczyt reprezentujący największą liczbę
obserwacji. Jeśli histogram ma 2, 3 lub więcej szczytów, to mówimy, że jest
bimodalny, trimodalny lub wielomodalny itd. To świadczy o niejednorodności
badanej zbiorowości.

Przykład 3

W tabeli umieszczono liczbę pacjentów pogrupowanych według czasu
działania pewnego leku.

Liczymy modalną. Jak wynika z tabeli – modalna znajduje się w czwartym
przedziale.

Arkusz programu

Microsoft Excel

Arkusz programu

Microsoft Excel



 



81 39

23

*5 25,386

81 39

81 35

o

M



 









14

Mediana (symbole: Me, M, me)

Wartość środkowa – mediana (jeśli uporządkujemy posiadane wartości
rosnąco lub malejąco i wybierzemy wartość środkową)

 Mediana dzieli uporządkowany szereg liczbowy na połowę, jest więc to

wartość środkowa szeregu (kwartyl drugi) Jest to taka liczba, od której
połowa jednostek szeregu statystycznego jest mniejsza a druga większa.

 Wyznaczenie Me musi poprzedzić ustalenie jej pozycji. Jest to przedział,

dla którego liczebność skumulowana jest mniejsza lub równa liczbie n/2
(gdzie n to liczebność zbiorowości.

Wzór:

 

 

 

gdzie: m – numer klasy, w której występuje Me,

x

m

– dolna granica tej klasy,

n

m

– liczebność tej klasy,

k

m

– rozpiętość tej klasy

– liczebność skumulowana do przedziału poprzedzającego klasę, w

której występuje Me.

1

1

2

m

m

e

m

i

i

m

n

k

x

n

M

n

























1

1

m

i

i

n







15

Mediana obok średniej arytmetycznej jest najczęściej stosowanym
parametrem statystycznym. Wartość mediany nie zależy od wartości
krańcowych. Możemy ją wyznaczać nawet wtedy, gdy nie wszystkie
obserwacje są dokładnie znane, np. z szeregów, w których występują nie
zamknięte przedziały klasowe. Mediana wysuwa się na czoło w zastosowaniu
do wszystkich wzrokowo uchwytnych, a trudno mierzalnych wielkości.
Mediany używamy również do analizy cech jakościowych.

 Przykład

Wykorzystując dane z poprzedniego przykładu obliczyć medianę.

Me = 23 + 5/81 * [201/2-72] = 24,759

Oznacza to, że dla połowy pacjentów czas działania leku nie przekracza 24,75

minut i dla takiej samej liczby pacjentów nie mniejszy od tej wartości.

Sposób wyznaczania mediany dla szeregu prostego

•

uporządkować dane w sposób rosnący,

•

zauważyć (przeliczyć) czy liczba obserwacji jest parzysta czy nieparzysta

Jeżeli szereg jest nieparzysty wartość mediany stanowi wartość cechy wyrazu środkowego

168, 178, 171, 185, 180, 171, 179, 183, 180, 175, 186

168, 171, 171, 175, 178, 179, 180, 180, 183, 185, 186

Me = 179

Jeżeli szereg jest parzysty są dwa wyrazy środkowe a medianę stanowi średnia arytmetyczna

wartości badanej cechy wyznaczona z obu wyrazów środkowych

159, 168, 171, 171, 175, 178, 179, 180, 180, 183, 185, 186

Me = (178+179)  2 = 178,5  179

16

Wzajemne położenie średniej, dominanty i mediany

w rozkładzie

b

a

c

x

n

i

D

D

Me

średnia

średnia

Me

17

Do pozycyjnych miar średnich zalicza się kwantyle i dominantę.

Kwantylami nazywamy wartości cechy badanej zbiorowości, które

dzielą uporządkowaną (według rosnących wartości cechy

statystycznej) zbiorowość na określone części pod względem liczby

jednostek. Wśród kwantyli wyróżnia się:

• kwartyle (dzielą zbiorowość na 4 części),

• kwintyle (dzielą zbiorowość na 5 części),

• decyle (dzielą zbiorowość na 10 części),

• centyle lub percentyle (dzielą zbiorowość na 100 części).

• Najpowszechniej stosowanymi kwantylami są kwartyle:

• Pierwszy kwartyl – Q1 to taka wartość badanej cechy, która dzieli

populację na dwie części w sposób następujący – 25% jednostek

statystycznych jeszcze tej wartości nie osiągnęło a pozostałe 75%

tę wartość przekroczyło.

• Drugi kwartyl – Q2 – Me (mediana) to taka wartość badanej

cechy, która dzieli populację na połowy, inaczej mówiąc jest to

wartość środkowa. W medianie połowa populacji jeszcze nie

osiągnęła wartości badanej cechy a druga połowa już tę wartość

przekroczyła.

• Trzeci kwartyl – Q3 to taka wartość badanej cechy, której 75%

liczebności jeszcze nie osiągnęło tej wielkości a 25% ją

przekroczyło.

18

Miary rozproszenia (zmienności)

Najprostszą miarą jest odchylenie średnie (przeciętne) do jego wyliczenia
dodajemy do siebie wartości bezwzględne różnic między kolejnymi pomiarami
i średnią a następnie dzielimy sumę tych różnic przez liczbę pomiarów.

Najpowszechniej

używaną

miarą

rozproszenia

jest

odchylenie

standardowe, jest ono większe od odchylenia przeciętnego, gdyż na nie mają
większy wpływ wartości skrajne, tzn. bardzo odbiegające od średniej; dlatego
odchylenie średnie bywa lepsza miarą rozproszenia niż odchylenie
standardowe.

Teoretycznie miarą odchylenia jest wariancja, a odchylenie standardowe jest
jej pierwiastkiem. Do obliczania odchylenia wykorzystujemy wszystkie dane,
to znaczy wszystkie wartości zarejestrowane w trakcie pomiarów.

Wariancją zmiennej X nazywamy średnią arytmetyczną kwadratów odchyleń
poszczególnych wartości zmiennej od średniej arytmetycznej całej
zbiorowości:

Wzór:

 

 

Wariancja jest momentem centralnym rzędu drugiego. Miara ta nie ma
interpretacji, ponieważ jej miano nie jest zgodne z mianem badanej cechy. W
związku z tym do oceny wykorzystuje się odchylenie standardowe.

2

__

2

1

1

n

i

i

N

x x

s























19

Pierwiastek

kwadratowy

z

wariancji

zwany

jest

odchyleniem

standardowym i określony jest wzorem:

 

  

Gdzie:

       

- suma kwadratów odchyleń

       

- suma kwadratów tych pomiarów

       

- kwadrat sumy pomiarów

  N

- elementy zbioru

ODCHYLENIE

STANDARDOWE

jest

miarą

bezwzględną,

czyli

mianowaną, wyrażoną w takich samych jednostkach jak badana cecha (np.
zarobki w zł, waga w kg).

2

1

x

s

N











2

2

2

X

x

X

N











2

x



2

X







2

X



20

Współczynnik zmienności

Za pomocą tego współczynnika można porównywać zmienność

pomiarów różniących się średnią, na przykład zmienność

osobników z gatunków różniących się wymiarami.

 

Wzór:

jeżeli:
• Vx  35%

to średnia jest „bardzo dobra” (bardzo dobrze opisuje badaną

rzeczywistość),

• 35%  Vx  68%

to średnia jest „dobra”,

• 68%  Vx  75%

to średnia jest „do przyjęcia”,

• Vx > 75%

to średnia traci swój sens poznawczy.

Współczynnik zmienności służy do porównywania różnych cech jednej zbiorowości
lub jednej cechy w różnych zbiorowościach. Określa on siłę zróżnicowania
(dyspersji). Im większe wartości tego współczynnika, tym zbiorowość statystyczna
jest mniej jednorodna z punktu widzenia danej cechy i jednocześnie tym jest
większe uzasadnienie dla stosowania pozycyjnych miar dyspersji oraz pozycyjnych
miar średnich.

100





x

V

x

x



__

s

CV

X



21

Jeśli rozkład danej cechy jest jednomodalny i symetryczny, to średnia i
odchylenia są w zasadzie wystarczającymi charakterystykami tego
rozkładu. Jeśli natomiast nie jest on symetryczny, czyli średnia nie
pokrywa się z medianą, to nazywamy go asymetrycznym:

     Lewostronnie, jeśli mediana jest większa od średniej
     Prawostronnie, jeśli mediana jest mniejsza od średniej

• Miary asymetrii

Są sytuacje, w których badanie średniego poziomu zmiennej i
rozproszenia jej wartości nie wskazuje na istnienie różnic między
badanymi zbiorowościami. Obserwacja zaś rozkładów tych cech wyklucza
podobieństwo rozważanych zbiorowości.

 

Przykład 5

Badano czas reakcji na lek w trzech grupach 100-osobowych. W tabeli są
umieszczone dane.

Oblicz średnią arytmetyczną i wariancje.

22

Wynik: oba te parametry są jednakowe dla wszystkich grup i wynoszą:

X = 35, s

2

= 120

Mimo to występują różnice – widać to wyraźnie na histogramach.

Wnioski: w grupie 2 u większości osób czas reakcji na lek jest niższy od
przeciętnego, natomiast w grupie trzeciej u większości osób czas reakcji na
lek jest wyższy od przeciętnego. Związane jest to oczywiście z asymetrią
rozkładu.

Asymetrię można określić porównując średnią arytmetyczną z medianą i
modalną.

Można wyróżnić trzy przypadki:

X = Me = Mo – dla rozkładu symetrycznego

X > Me > Mo – dla rozkładu o asymetrii prawostronnej

X < Me < Mo – dla rozkładu o asymetrii lewostronnej

23

Dla określenia odchylenia od symetrii rozkładu stosuje się mierniki
asymetrii. Typowym przykładem jest parametr nazywany skośnością
rozkładu. Przyjmuje on wartości ujemne dla rozkładu asymetrycznego
lewostronnie, dodatnie dla rozkładu asymetrycznego prawostronnie,
natomiast dla rozkładów symetrycznych jest równa zero. Jeśli s (skośność)
< 0,3 to uważamy asymetrię za nieznaczną.

b – rozkład symetryczny (osią symetrii byłaby rzędna)

a, c – rozkłady asymetryczne; a – ma asymetrię lewostronną, c – asymetrię prawostronną

Kiedy stosować średnią a kiedy inne wskaźniki?

Istnieje prosta reguła.

     Jeśli rozkład jest jednomodalny i względnie symetryczny – stosujemy

średnią;

     Jeśli rozkład jest jednomodalny, ale niesymetryczny – stosujemy

medianę;

     Jeśli rozkład jest wielomodalny– stosujemy modalną;

b

a

c

cecha

liczebnoś

ć

24

Miary spłaszczenia

(koncentracji wokół średniej)

a

b

c

Największa

koncentr

acja

Im bardziej układ wysmukły, tym

mniejsze rozproszenie

25

Opis struktury zjawisk może być dokonany z punktu

widzenia skupienia, które jest rozumiane jako skupienie

jednostek zbiorowości wokół wartości średniej. Tak

określona koncentrację nazywa się kurtozą.

Koncentracja (kurtoza) wartości zmiennej odnosi się tylko do
rozkładów symetrycznych lub co najwyżej słabo
asymetrycznych.

Za taki typowy punkt odniesienia przyjęto rozkład normalny.
Jeżeli dla pewnego rozkładu skupienie wartości zmiennej
wokół średniej jest większe niż w rozkładzie normalnym, to
taki rozkład nazywamy wysmukłym (leptokurtycznym).
Natomiast gdy skupienie wartości zmiennej wokół średniej
jest mniejsze niż w rozkładzie normalnym, to taki rozkład
nazywamy spłaszczonym (platokurtycznym).

26

    Błąd standardowy [standard error of the mean]

Określony jest wzorem:

Błąd standardowy (SEM) wskazuje na prawdopodobną odległość uzyskanej
średniej od rzeczywistej średniej populacyjnej.

Wielkość SEM jest zależna od liczebności badanej grupy, dlatego w dużych
grupach SEM jest zwykle mniejsze.

SEM jako taki jest trudny do interpetacji. Ze względu na mniejszą wartość od
odchylenia standardowego często jest wykorzystywany do prezentacji
wyników, które "stają się" przez to ładniejsze. Poprawia to samopoczucie
badacza i ma "wywierać" dobre wrażenie na pozostałych.

Uważa się, że jeśli obok średniej podano SEM wówczas powinna znaleźć się
również liczba przypadków, np. średnia wielkość lewej komory w rozkurczu 47
mm, SEM ± 7 mm, liczba przebadanych 9. SEM odpowiada ilorazowi SD i
pierwiastka z liczby przypadków.

Wynik W opisanym przykładzie SD jest więc równy 21 mm. O ileż mniej
"atrakcyjny" jest wynik 47 ± 21 mm (średnia±SD) niż 47±7 mm
(średnia±SEM).

Zadania do wykonania

 

*

N





