Redukcje 
grawimetryczne

Przyspieszenie  siły  ciężkości  g  mierzone  jest  na 
powierzchni Ziemi. Aby wyznaczyć przebieg geoidy 
lub odchylenie linii pionu wymagane jest:

• znajomość g na geoidzie,

• usunięcie mas z ponad geoidy (z zachowaniem 

masy 

Ziemi 

oraz 

możliwie 

małym 

zniekształceniem pola grawitacyjnego Ziemi).

Pomierzone  g  należy  w  tym  celu  zredukować
z powierzchni Ziemi na geoidę (wzdłuż linii pionu).

Redukcja grawimetryczna polega na:
1) usunięciu mas z ponad geoidy,
2) przeniesieniu (zredukowaniu) obserwacji g z 
powierzchni Ziemi na geoidę.

Masy 

wystające 

ponad 

geoidę 

najczęściej 

modelowane  są  walcem.  Przyspieszenie  siły 
ciężkości g

w

 w punkcie P masą walca otrzymuje się 

jako  gradient  pionowy  potencjału  grawitacyjnego 
tego walca:

jako:





walca

V

w

dv

l

ρ

G

U

c

U

g

δ

w

w









Wyróżnia się trzy przypadki:

1) punkt P leży nad walcem:

3) punkt P leży wewnątrz walca:

2) punkt P leży na wierzchu walca:





























2

2

2

2

2

c

a

b

c

a

b

ρ

G

π

g

δ

w





2

2

2

b

a

b

a

ρ

G

π

g

δ

w









(walec podzielono na walec 1 
i  2,  P  leży  na  wierzchu  1-go 
walca  oraz  na  spodzie  2-go 
walca)

2

1

w

w

w

g

δ

g

δ

g

δ



































2

2

2

2

2

2

c

a

c

b

a

b

c

ρ

G

π

g

δ

w

stąd:

Redukcja Bouguer’a

Przy  redukcji  Bouguer’a  wychodzi  się  z  założenia 
braku mas topograficznych ponad geoidą.

Dla płyty Bouguer’a przyjmuje się:

•  powierzchnia  wokół  stacji  P  (punkt  na 
powierzchni  Ziemi,  w  którym  pomierzono  g)  jest 
płaszczyzną poziomą,
•  masy  topograficzne  pomiędzy  geoidą  i 
powierzchnią Ziemi mają stałą gęstość .

Przyspieszenie 

grawitacyjne 

wywołane 

płytą 

Bouguer’a
(b = H – grubość płyty) wynosi:

Przyjmując  standardową  średnią  gęstość  skorupy 
ziemskiej    =  2,67  gcm

-3

  dla  H  wyrażonego  w 

metrach otrzymuje się:

przy 

czym 

g

B

 

wyrażone 

jest 

w 

miligalach.





2

2

2

H

a

H

a

ρ

G

π

lim

g

δ

a

B













co daje:

H

ρ

G

π

g

δ

B

2



H

,

g

δ

B

1119

0



Usunięcie  płyty  Bouguer’a  jest  jednoznaczne  z 
odjęciem 

wywołanego 

nią 

przyspieszenia 

grawitacyjnego  od  pomierzonego  przyspieszenia 
siły ciężkości.

Redukcja wolnopowietrzna

Kolejną  czynnością  jest  opuszczenie  stacji  P  na 
geoidę. 
W  tym  celu  stosuje  się  redukcję  wolnopowietrzną 
(po  usunięciu  płyty  Bouguer’a  stacja  P  jest 
„zawieszona 
w powietrzu”)

W  praktyce,  zamiast stosować gradient pionowy g, 
który  jest  wielkością  zmienną  (wraz  z  położeniem  i 
wysokością) stosuje się normalny gradient pionowy: 

gdzie:

H

g

δ

h

g

F









H

g

δ

h

γ

F













φ

sin

f

m

f

H

γ

a

γ

2

2

0

2

1

0



























GM

b

a

ω

m

2

2



po  uwzględnieniu  stałych  a,  f,  m  dla  przeciętnej 
szerokości  daje dla H wyrażonego w metrach:

Przez redukcję Bouguer’a często rozumie się 

usunięcie płyty Bouguer’a wraz z redukcją 

wolnopowietrzną!

przy 

czym 

g

F

 

wyrażone 

jest 

w 

miligalach.

F

B

B

g

δ

g

δ

g

g







H

,

g

δ

F

3086

0



W  wyniku  zastosowania  redukcji  Bouguer’a 
otrzymuje  się  przyspieszenie  Bouguer’a  g

B

  na 

geoidzie:

H

,

H

,

g

g

B

3086

0

1119

0







H

,

g

g

B

1967

0





Anomalia 

grawimetryczna 

Bouguer’a 

zdefiniowana jest jako:

0

γ

g

g

B

B







gdzie: 



0

 

– 

przyspieszenie 
normalne 

na 

elipsoidzie.

co daje:

Redukcja terenowa

Płyta 

Bouguer’a 

stanowi 

uproszczone 

przedstawienie  topografii  terenu.  Uwzględnienie 
właściwej topografii wiąże się z redukcją terenową.

Usunięcie  efektu  masy  m

+

  w  miejscu  A  wiąże  się 

ze zwiększeniem przyspieszenia g w punkcie P, tzn. 
dodaniem poprawki.

Masa  m

+

  w  miejscu 

A 

nie 

została 

usunięta 

redukcją 

Bouguer’a:  masa  ta 
przyciąga  punkt  P  do 
góry,  tym  samym 
zmniejszając 
przyspie-szenie  g  na 
płycie  Bouguer’a  w 
punkcie P.

Redukcja  Bouguer’a  zakłada  istnienie  masy  w 
miejscu  B.  Należy  zatem  umieścić  masę  m

-

  w 

miejscu  B,  aby  zastosować  redukcję  Bouguer’a. 
Dodanie  tej  masy  zwiększy  przyspieszenie  g  w 
punkcie P, co wiąże się z dodaniem poprawki.

Tradycyjna  metoda  obliczania  poprawki  terenowej 
wykorzystuje  modelowanie  topografii  terenu  za 
pomocą  segmentów  walców  koncentrycznych  o 
środku w punkcie P.

Poprawka terenowa zawsze jest dodatnia!

Przyjmijmy,  że  g

T,k

  oznacza  poprawkę  terenową 

wywołaną  topografią  w  sektorze  k.  Wówczas 
poprawka terenowa w punkcie P wynosi:





k

k

,

T

T

g

δ

g

δ

Wielkość g

T,k

 uzyskuje się jako:

 

 





1

2

1

a

g

δ

a

g

δ

n

g

δ

w

w

k

,

T





co sprowadza się do:





































2

2

1

2

2

2

1

2

2

P

P

k

,

T

h

h

a

h

h

a

a

a

ρ

G

n

π

g

δ

gdzie  W

B

  jest  potencjałem  płyty  Bouguer’a  i 

topografii. 

F

T

B

B

g

δ

g

δ

g

δ

g

g









Przyspieszenie  Bouguer’a  g

B

  na  geoidzie  z 

uwzględnieniem topografii terenu ma postać: 

Usunięcie mas sponad geoidy zmienia 

zewnętrzne pole siły ciężkości – w 

szczególności jego potencjał W:

B

B

W

δ

W

W





Potencjał  zakłócający  T  obliczony  w  oparciu  o 
anomalie Bouguer’a obarczony jest błędem W

B

.

Undulacja  geoidy  N  =  T/,  jest  z  kolei  obarczona 
błędem W

B

/.

Duży 

błąd 

W

B

 

pociąga 

za 

sobą 

duże 

zniekształcenie  undulacji  geoidy  W

B

/,  które  może 

nawet przekraczać wielkość N.

Anomalie  Bouguer’a  nie  są  stosowane  do 
wyznaczenia  geoidy!  Są  one  wykorzystywane  do 
geofizycznej  interpretacji  pola  grawitacyjnego 
Ziemi.

Uboczne  działanie  redukcji  grawimetrycznych 
powoduje  zniekształcenie  potencjału  siły  ciężkości 
Ziemi i w konsekwencji geoidy zwane jest efektem 
pośrednim.

W 

praktyce 

poszukuje  się 

takich  redukcji 

grawimetrycznych,  dla  których  efekt  pośredni  jest 
możliwie najmniejszy.

Redukcja izostatyczna

Załóżmy, że masy topograficzne są w prosty sposób 
nałożone  na  zasadniczo  jednorodną  skorupę 
ziemską.  Wówczas  redukcja  Bouguer’a  usuwałaby 
głównie  nieregularności  pola  grawitacyjnego  w 
wyniku  czego  anomalie  Bouguer’a  byłyby  bardzo 
małe i oscylowałyby wokół zera.
Wyniki  pomiarów  wykazują,  że  założenie  to 
odpowiada rzeczywistości:

•  w  rejonach  górskich  występują  bardzo  duże 
anomalie  Bouguer’a  (ok..  100  mgal  na  1000  m 
przewyższenia),
•  obserwowane  odchylenia  pionu  są  znacznie 
mniejsze  od  obliczonych  w  oparciu  o  model 
przyciągania  widocznych  mas  (Pratt  obliczył  w 
Himalajach 28”, zaś zaobserwował 5”).

Wniosek:

 

masy 

topograficzne 

są 

częściowo 

skompensowane

Koncepcja izostacji.

Na pewnej głębokości istnieje powierzchnia równego 
ciśnienia  (powierzchnia  izostatyczna,  powierzchnia 
kompensacji),  na  którą  masy  skorupy  ziemskiej 
wywierają  jednakowe  ciśnienie.  Skorupa  ziemska  o 
mniejszej  gęstości  unosi  się  na  powierzchni  magmy 
„płaszcza”  o  większej  gęstości  pozostając  w 
równowadze.

Redukcja 

izostatyczna 

powoduje 

pionowe 

przesunięcie  mas  górskich  do  ich  „korzeni”,  co  z 
kolei prowadzi do regularyzacji skorupy ziemskiej.

W  modelach  izostatycznych  skorupę  ziemską 
przedstawia się w postaci pionowych boków.

Model Pratta-Hayforda:

- głębokość kompensacji – stała,

- gęstość bloków – zmienna,

Model Airy-Heiskanena:

- głębokość kompensacji – zmienna,

- gęstość bloków –stała,
(skorupa  ziemska  wciska  się  w  płaszcz  głębiej  tam, 
gdzie masy są większe, np. pod górami)

Oznaczając 

przez 

g

i

 

redukcję 

izostatyczną, 

przyspieszenie  izostatyczne  g

i

  na  geoidzie  ma 

postać:

Anomalia izostatyczna zdefiniowana jest jako:

Anomalie 

izostatyczne 

można 

stosować 

w 

rozwiązaniach zagadnień Stokesa i Vening-Meinesza. 
Nie znajdują jednak szerszego zastosowania z uwagi 
na znaczny efekt pośredni (w górach >10 m).

F

T

i

i

g

δ

g

δ

g

δ

g

g









0

γ

g

g

i

i







Redukcja kondensacyjna Helmerta

Redukcja 
Bouguer’a wynosi:

i  usuwa  masy  topograficzne,  co  wyrażone  jest 
wyrazem: 
-  g

B

  +  g

T

.  Redukcja  kondensacyjna  Helmerta  g

C

 

przywraca 

usunięte 

masy 

w 

postaci 

kompensacyjnej warstwy na geoidzie dając:

F

T

B

B

g

δ

g

δ

g

δ

g

g









C

F

T

B

H

g

δ

g

δ

g

δ

g

δ

g

g











Kondensacją  Helmerta  można  interpretować  jako 
przypadek  redukcji  izostatycznej  przy  głębokości 
kompensacji zdążającej do 0.

Podobnie jak redukcję Bouguer’a uzyskuje się:

Skompensowanie mas w ogromnym stopniu niweluje 

efekt usunięcia mas. Wyniku czego otrzymuje się:

0

γ

g

g

F

F







B

C

g

δ

h

ρ

G

π

g

δ



2

F

T

F

g

δ

g

δ

g

g







Redukcja ta znana jest jako REDUKCJA FAYE’A
Anomalia Faye’a ma postać:

Redukcja  Faye’a  zachowuje  masę  Ziemi.  Anomalie 

Faye’a  najlepiej  nadają  się  do  zastosowania  w 

rozwiązaniu  zadań  Stokesa  i  Vening-Meinesza.  Efekt 

pośredni jest rzędu 1 m dla obszarów o wysokości 3 

000 m.

Geoida  wyznaczona  przy  użyciu  anomalii  Faye’a 

nazywana jest geoidą wolnopowietrzną