Redukcje
grawimetryczne

Przyspieszenie siły ciężkości g mierzone jest na
powierzchni Ziemi. Aby wyznaczyć przebieg geoidy
lub odchylenie linii pionu wymagane jest:

• znajomość g na geoidzie,

• usunięcie mas z ponad geoidy (z zachowaniem

masy

Ziemi

oraz

możliwie

małym

zniekształceniem pola grawitacyjnego Ziemi).

Pomierzone g należy w tym celu zredukować
z powierzchni Ziemi na geoidę (wzdłuż linii pionu).

Redukcja grawimetryczna polega na:
1) usunięciu mas z ponad geoidy,
2) przeniesieniu (zredukowaniu) obserwacji g z
powierzchni Ziemi na geoidę.

Masy

wystające

ponad

geoidę

najczęściej

modelowane są walcem. Przyspieszenie siły
ciężkości g

w

w punkcie P masą walca otrzymuje się

jako gradient pionowy potencjału grawitacyjnego
tego walca:

jako:





walca

V

w

dv

l

ρ

G

U

c

U

g

δ

w

w









Wyróżnia się trzy przypadki:

1) punkt P leży nad walcem:

3) punkt P leży wewnątrz walca:

2) punkt P leży na wierzchu walca:





























2

2

2

2

2

c

a

b

c

a

b

ρ

G

π

g

δ

w





2

2

2

b

a

b

a

ρ

G

π

g

δ

w









(walec podzielono na walec 1
i 2, P leży na wierzchu 1-go
walca oraz na spodzie 2-go
walca)

2

1

w

w

w

g

δ

g

δ

g

δ



































2

2

2

2

2

2

c

a

c

b

a

b

c

ρ

G

π

g

δ

w

stąd:

Redukcja Bouguer’a

Przy redukcji Bouguer’a wychodzi się z założenia
braku mas topograficznych ponad geoidą.

Dla płyty Bouguer’a przyjmuje się:

• powierzchnia wokół stacji P (punkt na
powierzchni Ziemi, w którym pomierzono g) jest
płaszczyzną poziomą,
• masy topograficzne pomiędzy geoidą i
powierzchnią Ziemi mają stałą gęstość .

Przyspieszenie

grawitacyjne

wywołane

płytą

Bouguer’a
(b = H – grubość płyty) wynosi:

Przyjmując standardową średnią gęstość skorupy
ziemskiej  = 2,67 gcm

-3

dla H wyrażonego w

metrach otrzymuje się:

przy

czym

g

B

wyrażone

jest

w

miligalach.





2

2

2

H

a

H

a

ρ

G

π

lim

g

δ

a

B













co daje:

H

ρ

G

π

g

δ

B

2



H

,

g

δ

B

1119

0



Usunięcie płyty Bouguer’a jest jednoznaczne z
odjęciem

wywołanego

nią

przyspieszenia

grawitacyjnego od pomierzonego przyspieszenia
siły ciężkości.

Redukcja wolnopowietrzna

Kolejną czynnością jest opuszczenie stacji P na
geoidę.
W tym celu stosuje się redukcję wolnopowietrzną
(po usunięciu płyty Bouguer’a stacja P jest
„zawieszona
w powietrzu”)

W praktyce, zamiast stosować gradient pionowy g,
który jest wielkością zmienną (wraz z położeniem i
wysokością) stosuje się normalny gradient pionowy:

gdzie:

H

g

δ

h

g

F









H

g

δ

h

γ

F













φ

sin

f

m

f

H

γ

a

γ

2

2

0

2

1

0



























GM

b

a

ω

m

2

2



po uwzględnieniu stałych a, f, m dla przeciętnej
szerokości  daje dla H wyrażonego w metrach:

Przez redukcję Bouguer’a często rozumie się

usunięcie płyty Bouguer’a wraz z redukcją

wolnopowietrzną!

przy

czym

g

F

wyrażone

jest

w

miligalach.

F

B

B

g

δ

g

δ

g

g







H

,

g

δ

F

3086

0



W wyniku zastosowania redukcji Bouguer’a
otrzymuje się przyspieszenie Bouguer’a g

B

na

geoidzie:

H

,

H

,

g

g

B

3086

0

1119

0







H

,

g

g

B

1967

0





Anomalia

grawimetryczna

Bouguer’a

zdefiniowana jest jako:

0

γ

g

g

B

B







gdzie:



0

–

przyspieszenie
normalne

na

elipsoidzie.

co daje:

Redukcja terenowa

Płyta

Bouguer’a

stanowi

uproszczone

przedstawienie topografii terenu. Uwzględnienie
właściwej topografii wiąże się z redukcją terenową.

Usunięcie efektu masy m

+

w miejscu A wiąże się

ze zwiększeniem przyspieszenia g w punkcie P, tzn.
dodaniem poprawki.

Masa m

+

w miejscu

A

nie

została

usunięta

redukcją

Bouguer’a: masa ta
przyciąga punkt P do
góry, tym samym
zmniejszając
przyspie-szenie g na
płycie Bouguer’a w
punkcie P.

Redukcja Bouguer’a zakłada istnienie masy w
miejscu B. Należy zatem umieścić masę m

-

w

miejscu B, aby zastosować redukcję Bouguer’a.
Dodanie tej masy zwiększy przyspieszenie g w
punkcie P, co wiąże się z dodaniem poprawki.

Tradycyjna metoda obliczania poprawki terenowej
wykorzystuje modelowanie topografii terenu za
pomocą segmentów walców koncentrycznych o
środku w punkcie P.

Poprawka terenowa zawsze jest dodatnia!

Przyjmijmy, że g

T,k

oznacza poprawkę terenową

wywołaną topografią w sektorze k. Wówczas
poprawka terenowa w punkcie P wynosi:





k

k

,

T

T

g

δ

g

δ

Wielkość g

T,k

uzyskuje się jako:

 

 





1

2

1

a

g

δ

a

g

δ

n

g

δ

w

w

k

,

T





co sprowadza się do:





































2

2

1

2

2

2

1

2

2

P

P

k

,

T

h

h

a

h

h

a

a

a

ρ

G

n

π

g

δ

gdzie W

B

jest potencjałem płyty Bouguer’a i

topografii.

F

T

B

B

g

δ

g

δ

g

δ

g

g









Przyspieszenie Bouguer’a g

B

na geoidzie z

uwzględnieniem topografii terenu ma postać:

Usunięcie mas sponad geoidy zmienia

zewnętrzne pole siły ciężkości – w

szczególności jego potencjał W:

B

B

W

δ

W

W





Potencjał zakłócający T obliczony w oparciu o
anomalie Bouguer’a obarczony jest błędem W

B

.

Undulacja geoidy N = T/, jest z kolei obarczona
błędem W

B

/.

Duży

błąd

W

B

pociąga

za

sobą

duże

zniekształcenie undulacji geoidy W

B

/, które może

nawet przekraczać wielkość N.

Anomalie Bouguer’a nie są stosowane do
wyznaczenia geoidy! Są one wykorzystywane do
geofizycznej interpretacji pola grawitacyjnego
Ziemi.

Uboczne działanie redukcji grawimetrycznych
powoduje zniekształcenie potencjału siły ciężkości
Ziemi i w konsekwencji geoidy zwane jest efektem
pośrednim.

W

praktyce

poszukuje się

takich redukcji

grawimetrycznych, dla których efekt pośredni jest
możliwie najmniejszy.

Redukcja izostatyczna

Załóżmy, że masy topograficzne są w prosty sposób
nałożone na zasadniczo jednorodną skorupę
ziemską. Wówczas redukcja Bouguer’a usuwałaby
głównie nieregularności pola grawitacyjnego w
wyniku czego anomalie Bouguer’a byłyby bardzo
małe i oscylowałyby wokół zera.
Wyniki pomiarów wykazują, że założenie to
odpowiada rzeczywistości:

• w rejonach górskich występują bardzo duże
anomalie Bouguer’a (ok.. 100 mgal na 1000 m
przewyższenia),
• obserwowane odchylenia pionu są znacznie
mniejsze od obliczonych w oparciu o model
przyciągania widocznych mas (Pratt obliczył w
Himalajach 28”, zaś zaobserwował 5”).

Wniosek:

masy

topograficzne

są

częściowo

skompensowane

Koncepcja izostacji.

Na pewnej głębokości istnieje powierzchnia równego
ciśnienia (powierzchnia izostatyczna, powierzchnia
kompensacji), na którą masy skorupy ziemskiej
wywierają jednakowe ciśnienie. Skorupa ziemska o
mniejszej gęstości unosi się na powierzchni magmy
„płaszcza” o większej gęstości pozostając w
równowadze.

Redukcja

izostatyczna

powoduje

pionowe

przesunięcie mas górskich do ich „korzeni”, co z
kolei prowadzi do regularyzacji skorupy ziemskiej.

W modelach izostatycznych skorupę ziemską
przedstawia się w postaci pionowych boków.

Model Pratta-Hayforda:

- głębokość kompensacji – stała,

- gęstość bloków – zmienna,

Model Airy-Heiskanena:

- głębokość kompensacji – zmienna,

- gęstość bloków –stała,
(skorupa ziemska wciska się w płaszcz głębiej tam,
gdzie masy są większe, np. pod górami)

Oznaczając

przez

g

i

redukcję

izostatyczną,

przyspieszenie izostatyczne g

i

na geoidzie ma

postać:

Anomalia izostatyczna zdefiniowana jest jako:

Anomalie

izostatyczne

można

stosować

w

rozwiązaniach zagadnień Stokesa i Vening-Meinesza.
Nie znajdują jednak szerszego zastosowania z uwagi
na znaczny efekt pośredni (w górach >10 m).

F

T

i

i

g

δ

g

δ

g

δ

g

g









0

γ

g

g

i

i







Redukcja kondensacyjna Helmerta

Redukcja
Bouguer’a wynosi:

i usuwa masy topograficzne, co wyrażone jest
wyrazem:
- g

B

+ g

T

. Redukcja kondensacyjna Helmerta g

C

przywraca

usunięte

masy

w

postaci

kompensacyjnej warstwy na geoidzie dając:

F

T

B

B

g

δ

g

δ

g

δ

g

g









C

F

T

B

H

g

δ

g

δ

g

δ

g

δ

g

g











Kondensacją Helmerta można interpretować jako
przypadek redukcji izostatycznej przy głębokości
kompensacji zdążającej do 0.

Podobnie jak redukcję Bouguer’a uzyskuje się:

Skompensowanie mas w ogromnym stopniu niweluje

efekt usunięcia mas. Wyniku czego otrzymuje się:

0

γ

g

g

F

F







B

C

g

δ

h

ρ

G

π

g

δ



2

F

T

F

g

δ

g

δ

g

g







Redukcja ta znana jest jako REDUKCJA FAYE’A
Anomalia Faye’a ma postać:

Redukcja Faye’a zachowuje masę Ziemi. Anomalie

Faye’a najlepiej nadają się do zastosowania w

rozwiązaniu zadań Stokesa i Vening-Meinesza. Efekt

pośredni jest rzędu 1 m dla obszarów o wysokości 3

000 m.

Geoida wyznaczona przy użyciu anomalii Faye’a

nazywana jest geoidą wolnopowietrzną