WEiP (5 Prognozowanie na podstawie modeli ekonometrycznych 2010)

background image

Wprowadzenie

do ekonometrii

i prognozowania

(5)

Prognozowanie na podstawie

modeli ekonometrycznych

background image

GK (WEiP(05) - 2010)

2

Prognozowanie na podstawie

modelu ekonometrycznego

(prognozowanie ekonometryczne)

polega na budowaniu prognozy,

dotyczącej przyszłej wartości zmiennej

objaśnianej (zmiennej prognozowanej)

na podstawie modelu

ekonometrycznego, opisującego w

sposób formalny kształtowanie się

zmiennej prognozowanej w zależności

od zmiennych objaśniających to

kształtowanie się.

background image

GK (WEiP(05) - 2010)

3

Podstawowa reguła prognozowania
ekonometrycznego

to

ekstrapolacja

modelu

ekonometrycznego na okres prognozowania poza
zakres obserwacji (danych empirycznych)
wykorzystanych do oszacowania parametrów
strukturalnych modelu. Prognoza według reguły
podstawowej określana jest zależnością:

gdzie:

y

p

- wartość zmiennej objaśnianej w okresie prognozy

(prognoza),

x

*

- wektor znanych wartości zmiennych objaśniających w

okresie prognozy,

f

– postać analityczna modelu ekonometrycznego,

a

– oszacowania parametrów strukturalnych modelu

ekonometrycznego.

(

)

p

*

y

f x ,a

=

background image

GK (WEiP(05) - 2010)

4

Różnica pomiędzy

estymacją

parametrów

strukturalnych modelu a

prognozowaniem

wartości zmiennej objaśnianej polega na tym,
że estymowanie tych parametrów odbywa się na
podstawie znanych wartości zmiennej
objaśnianej i zmiennych objaśniających (dane
empiryczne), natomiast prognozowanie odbywa
się przy braku możliwości zaobserwowania
rzeczywistych wartości zmiennej objaśnianej i
niekiedy zmiennych objaśniających w okresie,
którego dotyczy prognoza, a wynik
prognozowania (prognoza) jest zawsze
weryfikowany rozwojem wydarzeń.

background image

GK (WEiP(05) - 2010)

5

Warunki predykcji

Dokonywanie predykcji jest możliwe wtedy, gdy:

jest znany model ekonometryczny wyjaśniający kształtowanie

się zmiennej objaśnianej,

model ekonometryczny został wszechstronnie i pozytywnie

zweryfikowany,

relacje między zmiennymi uwzględnionymi w modelu są

stabilne, co oznacza:

stałość postaci analitycznej modelu ekonometrycznego,

stabilność wartości parametrów strukturalnych
(parametry strukturalne nie zmieniają swoich wartości
przy zmianie wartości zmiennych objaśniających),

spełnienie założeń dotyczących składnika losowego
modelu dla okresu prognozy,

zasadna

i dopuszczalna jest ekstrapolacja wartości zmiennej

objaśnianej i zmiennych objaśniających poza zakres obserwacji
wykorzystanych do oszacowania parametrów strukturalnych
modelu,

są dostępne wartości zmiennych objaśniających w okresie

prognozy, tj. w okresie, dla którego jest budowana prognoza
(wielkości założone, planowane lub kreowane w scenariuszach
rozwoju zjawiska opisywanego modelem ekonometrycznym).

background image

GK (WEiP(05) - 2010)

6

Model ekonometryczny stanowiący podstawę

prognozowania musi cechować się stabilnością postaci
analitycznej (poprawnością specyfikacji postaci funkcyjnej) i
stabilnością parametrów. Stabilność postaci analitycznej
modelu zwykle jest rozpatrywana na etapie weryfikacji modelu

(test RESET, test Walda

)

.

Do weryfikacji hipotezy o stabilności parametrów

strukturalnych modelu ekonometrycznego jest najczęściej
wykorzystany

test Chowa

, tzw.

I test Chowa

. Stabilność parametrów strukturalnych modelu

oznacza stałość w czasie (także poza obszarem objętym danymi
empirycznymi) relacji, na których opiera się weryfikowany
model liniowy. Niezmienność (dopuszczalna w praktyce)
parametrów strukturalnych modelu jest warunkiem trafności
uzyskiwanych prognoz na jego podstawie.

I test Chowa

wymaga przeprowadzenia trzech estymacji

parametrów strukturalnych za pomocą KMNK: dla całej próby,
tj. dla wszystkich danych empirycznych

(y, X)

oraz dla dwóch

rozłącznych podprób

(y

1

, X

1

)

i

(y

2

, X

2

)

. Pierwsza estymacja jest

estymacją warunkową przy założeniu, że wartości parametrów
strukturalnych są stałe dla całej próby, co oznacza, że wartości
odpowiadających sobie parametrów strukturalnych uzyskane z
estymacji dla podprób są sobie równe.

Warunki predykcji

background image

GK (WEiP(05) - 2010)

7

Niech I, II i III oznaczają odpowiednio modele dla

całej próby, dla podpróby pierwszej i dla podpróby
drugiej:

Niech wektory oznaczają odpowiednio
oszacowania parametrów strukturalnych modeli I, II i III
uzyskane za pomocą KMNK, a wektory

– reszty tych modeli.

k

1

i

t

it

I

i

I

t

,n

1,2,

t

,

ε

x

α

α

y

I

...

)

(

0

k

1

i

t

it

II

i

II

0

t

,m

1,2,

t

,

ε

x

α

α

y

(II)

...

k

III

III

t

0

i

it

t

i 1

(III)

α x

ε ,

t m 1,m 2,...,n.

=

=

+

+

= +

+

III

II

I

a

a

a

,

,

III

II

I

e

e

e

,

,

Warunki predykcji

background image

GK (WEiP(05) - 2010)

8

Wartość

m

, oznaczająca numer obserwacji

dzielącej próbę na podpróby jest wybierana ze względu na
zachowanie reszt modelu I i:

może być przyjęta w sposób arbitralny,

przyjmuje się , jeżeli wartości bezwzględne reszt

są monotoniczne,

jeżeli wartości reszt wykazują początkowo tendencję

rosnącą, a następnie malejącą (lub odwrotnie), za
wartość m przyjmuje się numer (największej
(najmniejszej) co do wartości bezwzględnej reszty,

jeżeli jest bark jakiejkolwiek prawidłowości wartości

bezwzględnej reszt, przyjmuje się .

Wybrana wartość

m

musi spełniać następujące

nierówności:

m > k+1

oraz

n-m > k+1

.

2

n

m

2

n

m

Warunki predykcji

background image

GK (WEiP(05) - 2010)

9

Weryfikowaną hipotezą (zerową) jest hipoteza postaci:

wobec hipotezy alternatywnej

Sprawdzianem prawdziwości hipotezy zerowej jest
statystyka postaci:

W przypadku prawdziwości hipotezy zerowej statystyka

F

ma rozkład
F-Snedecora o

ν

1

=k+1

i

ν

2

=n-2(k+1)

stopniach swobody.

1

k

1)

2(k

n

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

F

III

T

III

II

T

II

III

T

III

II

T

II

I

T

I

1

I

II

III

H :

a

a

a .

� =

=

III

II

I

0

a

a

a

H

:

Warunki predykcji

background image

GK (WEiP(05) - 2010)

10

Jeżeli wartość statystyki

F

obliczona z próby jest nie

większa od wartości krytycznej

F

*

, odczytanej z tablic

rozkładu F-Snedekora dla przyjętego poziomu istotności

γ

i stopni swobody

ν

1

i

ν

2

(

F

F

*

)

, to nie ma podstaw do

odrzucenia hipotezy zerowej, co oznacza, że parametry
strukturalne weryfikowanego modelu są stabilne i co
oznacza dalej, że model może być wykorzystywany w
procesie prognozowania. W przeciwnym przypadku, tj. gdy

F

>

F

*

, hipoteza zerowa jest odrzucana.

Rozpatrywany

test Chowa

może być stosowany tylko

w przypadku homoskedastyczności reszt modeli

,

wyrażającej się równością wariancji reszt modeli I,II i III.
W przypadku niespełnienia tego warunku może być
zastosowany albo

test Walda

, albo nadal

test Chowa

, ale

dla skorygowanych danych empirycznych w jednej z
podprób.

Warunki predykcji

background image

GK (WEiP(05) - 2010)

11

Korekcja danych empirycznych przed ponownym

zastosowaniem

testu Chowa

polega na następującej

transformacji danych np. dla modelu III:

gdzie

oraz

,n

1,

m

t

ε

x

x

,

ε

,

,

y

y

t

*

t

it

*

it

t

*
t

...

III

II

S

S

m

1

t

2

II

2

II

e

S

1

k

m

1

n

1

m

t

2

III

2

III

e

S

1

k

m)

(n

1

i

.

Warunki predykcji

background image

GK (WEiP(05) - 2010)

12

W wyniku estymacji parametrów strukturalnych

modelu III dla tak skorygowanych danych uzyskuje się
wektor oszacowań parametrów

strukturalnych oraz reszt .

W rozpatrywanym przypadku weryfikowaną hipotezą

jest hipoteza zerowa postaci

wobec

alternatywnej

.

Teraz sprawdzianem prawdziwości hipotezy zerowej jest
statystyka postaci:

która w przypadku prawdziwości hipotezy zerowej
statystyka

F

ma rozkład

F-Snedecora o

ν

1

=k+1

i

ν

2

=n-2(k+1)

stopniach swobody.

*

III

a

*

III

e

*

III

II

I

0

a

a

a

:

H

*

III

II

I

1

a

a

a

:

H

1

k

1)

2(k

n

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

F

III

T

III

II

T
II

III

T

III

II

T
II

I

T
I

*

*

*

*

Warunki predykcji

background image

GK (WEiP(05) - 2010)

13

Wartości zmiennej prognozowanej, tj. zmiennej

objaśnianej w okresie prognozowania (prognozy) mogą być
określane za pomocą jednej liczby lub za pomocą
przedziału liczbowego, który z określonym
prawdopodobieństwem zawiera rzeczywistą wartość
zmiennej prognozowanej. W pierwszym przypadku mówi
się o

prognozie punktowej

, a w drugim – o

prognozie

przedziałowej

.

Niech oszacowany model ekonometryczny, który

będzie wykorzystywany do prognozowania ma postać:

oraz niech wektor oznacza wektor
wartości zmiennych objaśniających w okresie
prognozowanym, tj. w okresie, dla którego będzie
wyznaczana prognoza.

k

1

i

it

i

0

t

,n

1,2,

t

,

x

a

a

y

...

ˆ

*
k

*
2

*
1

T

*

x

,

,

x

,

x

1,

x

...

Prognoza punktowa

background image

GK (WEiP(05) - 2010)

14

Prognoza punktowa

Prognozę punktową

y

p

wyznacza się jako:

a w zapisie wektorowym

W przypadku występowania

autokorelacji składnika

losowego

parametry strukturalne modelu muszą być

estymowane z zastosowaniem jednej z dostępnych metod,
najlepiej za pomocą Uogólnionej Metody Najmniejszych
Kwadratów Aitkena. Niech

a

oznacza wektor oszacowań

parametrów strukturalnych modelu uzyskany metodą
odpowiednią dla przypadku występowania autokorelacji
składnika losowego. Ze względu na autokorelację, między
składnikami losowymi zachodzi relacja:

gdzie

oznacza rząd autokorelacji, a

t

– proces czysto losowy.

k

1

i

i

i

0

p

,n

1,2,

t

,

x

a

a

y

.

...

*

p

T

*

y

x a.

=

t

0

s

t s

t

s 1

t

1,

2,...,n.

,

t

t

t

e

b

b e

x

-

=

= +

+

=

+

� +

background image

GK (WEiP(05) - 2010)

15

Prognoza punktowa

Parametry

i

,

(

i=0,1,2,…,

) można oszacować za pomocą

KMNK, używając zamiast nieznanych wielkości

t

, reszt

modelu

e

t

.

Prognozę wartości składnika losowego w okresie

prognozy

T

otrzymuje się z zależności:

gdzie

b

i

są ocenami parametrów strukturalnych

i

.

Prognoza zmiennej prognozowanej

y

T

p

w okresie

prognozy

T

jest wyznaczana z zależności:

Jak wynika z powyższego, do wyznaczenia prognozy
zmiennej prognozowanej została zastosowana reguła
prognozy prostej z poprawką, która została wyznaczona z
wykorzystaniem reguły prostej.

p

T

0

s

T s

s 1

T n,

b

b e ,

t

e

-

=

>

= +

k

p

*

p

T

0

i it

T

i 1

T n

y

a

a x

,

.

e

=

>

= +

+

background image

GK (WEiP(05) - 2010)

16

Prognoza punktowa

Średniokwadratowy błąd prognozy ex ante

dla

rozpatrywanego przypadku wyznacza się z zależności:

gdzie:

x

*

- wektor wartości zmiennych objaśniających w okresie

prognozowania,

- estymator wariancji składnika losowego modelu.

Średni względny błąd

predykcji (prognozy) ex ante

wyraża się zależnością:

Błędy ex post

(np. ME, MAE, Thiela) wyznacza się ze

znanych zależności.

(

)

(

)

1

2

T

T

p

e

*

*

S

S 1 x X X

x ,

-

=

+

2

e

S

p

p

p

S

v

.

y

=

background image

GK (WEiP(05) - 2010)

17

Zbyt wielkie różnice pomiędzy prognozami a

rzeczywistymi wartościami (zaobserwowanymi) zmiennej
objaśnianej, stwierdzone na podstawie analiz miar

ex

post

błędów prognozowania poddają w wątpliwość

przydatność modelu do prognozowania ze względu na
niestabilność parametrów strukturalnych w odniesieniu
do okresów prognozowania. Do zweryfikowania tej oceny
może być zastosowany rozpatrywany wcześniej

test

Chowa

.

Przyjmuje się, że parametry strukturalne modelu

wykorzystywanego do prognozowania zostały oszacowane
na podstawie

n

danych empirycznych oraz dla niego

zostały obliczone reszty

e

n

(wektor). Na podstawie tego

modelu wykonano prognozy dla

m

,

(m > 1

) okresów

prognozowania, a po zaobserwowaniu ich realizacji,
jeszcze raz zostały oszacowane parametry strukturalne
tego modelu, teraz już na podstawie

n+m

danych

empirycznych oraz obliczane reszty

e

n+m

(wektor).

Prognoza punktowa

background image

GK (WEiP(05) - 2010)

18

Weryfikowaną hipotezą (zerową) jest hipoteza postaci:

przy hipotezie alternatywnej postaci:

.

Sprawdzianem prawdziwości hipotezy zerowej jest statystyka
postaci:

W przypadku prawdziwości hipotezy zerowej statystyka

F

ma

rozkład
F-Snedecora o

ν

1

=m

i

ν

2

=n-(k+1)

stopniach swobody. Jeżeli

zachodzi nierówność

F

F*

(

F*

wartość krytyczna, odczytana

z tablic rozkładu
F-Snedekora dla przyjętego poziomu istotności

γ

i stopni

swobody

ν

1

i

ν

2

), to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy

zerowej, co oznacza, że różnice pomiędzy prognozami a
rzeczywistymi realizacjami zmiennej objaśnianej nie
wynikają z niestabilności parametrów strukturalnych
modelu.

n

m

n

0

a

a

H

:

n

m

n

1

a

a

:

H

m

1)

(k

n

e

e

e

e

e

e

F

n

T

n

n

T

n

m

n

T

m

n

Prognoza punktowa

background image

GK (WEiP(05) - 2010)

19

Prognoza przedziałowa

może być wyznaczana na

podstawie modelu ekonometrycznego, dla którego została
pozytywnie zweryfikowana hipoteza o rozkładzie
normalnym składnika losowego. Do wyznaczania prognozy
przedziałowej jest wykorzystywany

średni błąd predykcji

ex ante

, a

przedział predykcji

dla nieznanej wartości

y

*

na

poziomie ufności

1-γ

(wiarygodność prognozy) wyraża się

zależnością:

gdzie

t

γ,n-k-1

jest kwantylem rzędu

γ

o

ν=n-k-1

stopniach

swobody rozkładu
t-Studenta.

W praktyce często jest również wykorzystywana

prognoza

przedziałowa dla wartości oczekiwanej prognozy

E(y

*

)

, która wyraża się zależnością:

gdzie

.

p

1

k

γ,n

p

p

1

k

γ,n

p

S

t

y

,

S

t

y

*

1

T

T

*

e

y

x

X

X

x

S

S

p

p

p

y

1

k

γ,n

1

p

y

1

k

γ,n

1

p

S

t

y

,

S

t

y

Prognoza przedziałowa

background image

Należy sporządzić prognozę zmiennej

y

na okres

T = 13

(T=n+2) z wykorzystaniem prostej (podstawowej) reguły
prognozowania

przyjmując, że zmienna prognozowana zależy

od dwóch zmiennych objaśniających

x

1

oraz

x

2

i zależność ta jest

modelowana za pomocą jednorównaniowego liniowego modelu
ekonometrycznego, estymowanego za pomocą KMNK.
Oszacować błąd prognozy:

ex ante

,

jako średnią z modułów błędów prognoz wygasłych (błędów

ex

post

).

Dane empiryczne charakteryzujące tę zależność są podane w
poniższej tabeli:

GK (WEiP(05) - 2010)

20

t

y

x

1

x

2

1

64

22

9,2

2

73

19

10,5

3

76

18

11,0

4

81

16

11,7

5

90

14

13,4

6

98

13

14,5

7

105

11

15,3

8

110

11

17,8

9

116

10

18,5

10

127

9

20,5

11

135

6

21,7

Przykład

background image

Rozwiązanie.

Spełnienie powyższej zasady wymaga, aby prognozy wygasłe
były sporządzane w okresie równym 2 (zgodnie z założeniami
zadania).

1.Estymacja modelu liniowego

na podstawie wszystkich danych empirycznych:

GK (WEiP(05) - 2010)

21

Przykład

Zasada:

Prognozy wygasłe używane do oszacowania

błędu prognozy (autentycznej, tj. poszukiwanej w
zadaniu) muszą być sporządzane według takiej samej
reguły i na taką samą odległość jak prognoza
autentyczna.

t

0

1 1t

2 2t

t

t=1,2,...,11

y

x

x

,

a

a

a

e

= +

+

+

t

1t

2t

t=1,2,...,11

ˆy 65,890136 1,645323x

3,662131x ,

=

-

+

background image

2. Prognoza jest obliczana jako zwykła ekstrapolacja zmiennej

prognozowanej na okres

T=13 (n+2)

. Ze względu na brak

informacji o wartościach zmiennych objaśnianych w okresie
prognozowania, ustalono je na drodze liniowej ekstrapolacji
na okres prognozowania i otrzymano:

Stąd prognoza:

3. Średniokwadratowy błąd prognozy

ex ante

:

GK (WEiP(05) - 2010)

22

Przykład

*

*

1T

2T

T n 2 11 2 13

x

4,0, x

23,8,

= + =

+ =

=

=

p

T

T

T=13.

ˆ

y

y

65,890136 1,645323 4,0 3,662131 23,8 146,4676,

׻+�-==

(

)

[

]

1

2

T

T

S

S

1 x

X X

x

p

e

*

*

60,826099

1,986105

2,226719

1

1 1 4,0 23,8

1,986105 0,0663063 0,0715544

4,0

2,226719 0,0715544 0,0828094 23,8

1,9325297

1,7234.

-

=

+

=

-

-

=

� +

-

-

��

��

��

��

��

background image

4. Prognozy wygasłe i ich błędy.

W celu uzyskania możliwie największej liczby ocen błędów
prognoz wygasłych o okresie prognozowania podanym w
treści zadania

(T=n+2)

przy zachowaniu warunków KMNK,

przyjmuje się, że pod uwagę będą brane kolejne
„początkowe” podzbiory danych empirycznych. Przyjmuje
się także, iż pierwszy taki podzbiór będzie liczył

5

obserwacji, drugi –

6

itd., a ostatni

9

obserwacji.

Poszczególne podzbiory danych empirycznych,
wyestymowane na ich podstawie kolejne modele oraz
odpowiadające im prognozy zostały zestawione poniżej:

GK (WEiP(05) - 2010)

23

Przykład

t

y

x

1

x

2

1

64

22

9,2

2

73

19

10,5

3

76

18

11,0

4

81

16

11,7

5

90

14

13,4

t

1t

2t

p

7

7

t=1,2,...,5,

ˆy

51,5376 1,16209x

4,15466x ,

ˆ

y

y

102,0885

=

-

+

=

=

background image

GK (WEiP(05) - 2010)

24

Przykład

t

y

x

1

x

2

1

64

22

9,2

2

73

19

10,5

3

76

18

11,0

4

81

16

11,7

5

90

14

13,4

6

98

13

14,5

t

y

x

1

x

2

1

64

22

9,2

2

73

19

10,5

3

76

18

11,0

4

81

16

11,7

5

90

14

13,4

6

98

13

14,5

7

105

11

15,3

2t

t

1t

p

8

8

t=1,2,...,6,

ˆy

39,13688 0,88026x

4,81579x ,

ˆy

115,1750

y

=

-

+

= =

2t

t

1t

p

9

9

t=1,2,...,7,

ˆy

41,9332 1,01771x

4,79562x ,

ˆy 120,0679

y

=

=

-

+

=

background image

GK (WEiP(05) - 2010)

25

Przykład

t

y

x

1

x

2

1

64

22

9,2

2

73

19

10,5

3

76

18

11,0

4

81

16

11,7

5

90

14

13,4

6

98

13

14,5

7

105

11

15,3

8

110

11

17,8

t

y

x

1

x

2

1

64

22

9,2

2

73

19

10,5

3

76

18

11,0

4

81

16

11,7

5

90

14

13,4

6

98

13

14,5

7

105

11

15,3

8

110

11

17,8

9

116

10

18,5

t

1t

2t

p

10

10

t=1,2,...,8,

ˆy

90,96074 2,31996x

2,53026x ,

ˆ

y

y

121,2554

=

=

-

+

=

1t

t

2t

p

11

11

t=1,2,...,9,

ˆy

80,7798 2,04876x

2,99781x ,

ˆ

y

y

132,1056

=

-

+

=

=

background image

5. Zestawienie błędów prognozy

ex post

dla prognoz

wygasłych:

6. Zestawienie błędów

ex ante

i

ex post

:

Błąd

ex ante

:

1,7234

,

Błąd

ex post

na podstawie prognoz wygasłych

:

4,1587

.

GK (WEiP(05) - 2010)

26

Przykład

t

y

x

1

x

2

Prognoz

a

Błąd

prognozy

Moduł błędu

7

105 11,2 15,3

102,088

5

2,9115

2,9115

8

110 11,0 17,8

115,175

0

-5,1750

5,1750

9

116 10,4 18,5

120,067

9

-4,0679

4,0679

10

127

9,3

20,5

121,255

4

5,7446

5,7446

11

135

6,7

21,7

132,105

6

2,8944

2,8944

Błąd ex post

(MAE)

4,1587

background image

27

GK (WEiP(05) - 2010)


Document Outline


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
WEiP (4 Prognozowanie na podstawie modeli ekonometrycznych 2011)
Prognozowanie na podstawie modeli autoregresji
MP Wykład 7A Prognozowanie na podstawie modelu ekonometrycznego
3. Prognozowanie na podstawie modeli autoregresyjnych
Prognozowanie na podstawie modeli autoregresji
J Ossowski Prognozowanie Na Podstawie Modeli Multiplikatywnych Względne Błędy Prognoz
Prognozowanie na podstawie modelu ekonometrycznego
5 Prognozowanie na podstawie modelu ekonometrycznego zadaniaid 26868
8 wnioskowanie na podstawie modelu ekonometrycznego prognozowanie ekonometryczne
podstawowe pojęcia prognozowania i symulacji na podstawie mo, Ekonometria
8 wnioskowanie na podstawie modelu ekonometrycznego prognozowanie ekonometryczne
2 Prognozowanie na podstawie s Nieznany (2)
Prognozowanie na Podstawie Łancuchów Markowa p10x2 scan!!
Wyklad 4 - Prognozowanie na podstawie szeregow czasowych, PROGNOZOWANIE GOSPODARCZE
2 Prognozowanie na podstawie s Nieznany (2)
PROGNOZOWANIE NA CWICZENIA DLA STUDENTOW 2010 11 (2)

więcej podobnych podstron