©M

Liczby

rzeczywiste

©M

Wszystkie liczby, które
odpowiadają punktom na
osi liczbowej, nazywamy
liczbami rzeczywistymi.

Podzbiory liczb rzeczywistych

Zbiór liczb
naturalnych

Zbiór liczb

całkowitych

Zbiór liczb

wymiernych

Zbiór liczb

niewymiernyc
h

©M

Liczby naturalne

N = { 0,1,2,3,……,n-1, n, n+1,....}



Jeżeli różne od zera liczby naturalne n,

m i k spełniają równość n = m·k, to liczba
n jest podzielna przez m i przez k. Liczby
m i k to

dzielniki

liczby n, a liczba n to

wielokrotność

liczby m i k.



Liczba pierwsza

to liczba naturalna k,

która ma dwa różne dzielniki: samą
siebie oraz 1.

©M



Liczba złożona

to liczba naturalna

mająca więcej niż dwa dzielniki.



Rozkład na czynniki pierwsze

to

przedstawienie liczby naturalnej w
postaci iloczynu liczb pierwszych.

przykła
d

420

210

105

35

7

1

2

2

3

5

7

420 = 2

2

·3·5·7



Liczby względnie pierwsze

to dwie

liczby naturalne których jedynym
dzielnikiem jest liczba 1.

©M

Zasadnicze twierdzenie

arytmetyki

Każda liczba złożona jest iloczynem liczb

pierwszych. Rozkład ten jest dla danej liczby

jednoznaczny z dokładnością do porządku

czynników.

NWD(m,n)

–

największy wspólny dzielnik

liczb naturalnych m, n to największy
ze wszystkich dzielników tych liczb.

NWW(m,n)

-

najmniejsza wspólna

wielokrotność

liczb naturalnych m, n

jest to najmniejsza ze wszystkich
wspólnych wielokrotności tych liczb.

©M

Działania

a + b = c

składni
ki

sum
a

a ·b = c

czynnik
i

iloczy
n

a – b = c

a  b = c

odjem
na

odjemni
k

różnica

dzieln
a

dzielni
k

ilora
z

©M

Cechy podzielności

dzielni
k

cechy podzielności

2

cyfrą jedności jest 0, 2,4,6 albo 8

3

suma cyfr liczby jest podzielna przez
3

4

liczba utworzona przez dwie ostatnie
cyfry dzieli się przez 4

5

ostatnią cyfrą liczby jest 5 albo 0

6

liczba jest podzielna przez 2 i przez 3

8

liczba utworzona przez trzy ostatnie
cyfry tej liczby dzieli się przez 8

9

suma cyfr liczby dzieli się przez 9

©M

Liczby całkowite

C = {…...-3, -2, -1, 0,1, 2, 3,…...}

Liczby parzyste

- to liczby, które są

podzielne przez 2; postać tej liczby
a=2k, gdzie kC.

Liczby nieparzyste

- to liczby, które nie

są podzielne przez 2; postać a = 2k +1
gdzie k C

to liczby naturalne i do nich
przeciwne.

©M

Liczby wymierne

to liczby postaci ,gdzie m, n C i n0

n

m

Liczbę wymierną możemy zapisać w postaci
ułamka dziesiętnego. Rozwinięcie
dziesiętne liczby otrzymujemy,
wykonując dzielenie p przez q.

q

p

Np.

12

,

0

25

3



75

,

0

4

3



)

18

(

,

0

....

18181818

,

0

11

2





)

6

(

1

,

0

....

1666

,

0

6

1





okres
rozwinięcia
dziesiętnego

Długość okresu 1 – liczba
cyfr, z których składa się
okres.

©M



Każdą liczbę wymierną można

przedstawić w postaci rozwinięcia

dziesiętnego skończonego i

nieskończonego okresowego.



Jeżeli liczba rzeczywista ma

rozwinięcie dziesiętne skończone lub
nieskończone okresowe, to liczba
jest wymierna.

Zamienić na ułamek liczbę 0,(23)

Oznaczamy przez a=0,23232323…….
·100
100a = 23,232323…….

czyli 100a = 23 +a

a więc po odjęciu mamy 99a = 23

Stąd

99

23

a

©M

Reguły działań na liczbach

wymiernych

bd

bc

ad

d

c

b

a







bd

bc

ad

d

c

b

a







bd

ac

d

c

b

a





bc

ad

c

d

b

a

d

c

b

a









b

c

a

b

c

b

a







c

b

a

c

b

a







©M

Liczby niewymierne

to liczby, które nie możemy

przedstawić w postaci ułamka.

2

Przykład
y:

3

5

6

3

4



Każda liczba niewymierna ma

rozwinięcie dziesiętne nieskończone i
nieokresowe.

©M

Konstrukcja odcinków o

długościach niewymiernych

©M

Zależności



N

N





C

C





W

W





R

R



W

W





IW = R

IW = R



N

N





C

C





W =

W =

W

W



W

W





IW =

IW =





R



N  C =

C



W  C =

C



N  C =

N



W  N =

N

Każda liczba rzeczywista jest liczbą
wymierną albo niewymierną.

©M