Niwki 2013

Opracowała: Irena Juńczyk

Zadania na dowodzenie

w gimnazjum

O dowodzeniu twierdzeń we

współczesnej szkole

Matematyka była i jest przedstawiana w szkole jako

domena absolutnych prawd i niezawodnych
algorytmów, których doskonałość zawdzięczamy
żelaznej logice dowodów. Toteż śledzenie i uczenie
się gotowych dowodów oraz rozwiązywanie zadań
"na

dowodzenie"

stanowiły

istotny

składnik

programu nauczania.

Tak było mniej więcej do roku 1980. Czasy teraz

mamy inne. Dowody pojawiają się na lekcjach
rzadko (jeżeli w ogóle), bo i czasu na matematykę o
wiele mniej,

i nauka rozumowania dedukcyjnego zeszła w celach

kształcenia nieomal poza horyzont.

Dlaczego należy wrócić do

analizowania zadań „na dowodzenie”?

Wymagania stawiane przez podstawę

programową



cele kształcenia – wymagania ogólne,



zalecane warunki i sposób realizacji.

Wyniki badań związanych z

przeprowadzanymi egzaminami
zewnętrznymi: sprawdzianem po szkole
podstawowej, egzaminem gimnazjalnym

i maturalnym.

Cele kształcenia – wymagania
ogólne

1.

Wykorzystanie i tworzenie informacji

2.

Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji

3.

Modelowanie matematyczne.

4.

Użycie i wykorzystanie strategii

5.

Rozumowanie i argumentacja

Uczeń prowadzi proste

rozumowania, podaje argumenty
uzasadniające poprawność
rozumowania

Zalecane warunki i sposób
realizacji

Podsumowanie informacji zawartych w

tekście:



W nauczaniu matematyki ważne jest
rozwijanie różnych aktywności umysłu.
Ma temu służyć min. rozwiązywanie
jednego zadania czy dowodzenie jednego
twierdzenia wieloma sposobami.



Tworzenie dowodów poprzedźmy
tłumaczeniem dostrzeżonej własności i
stopniowym ulepszaniem tłumaczenia.

Informacje z CKE Warszawa

M ATEMATYKA
Matematyka występuje jako przedmiot egzaminacyjny

na sprawdzianie w szkole podstawowej, na
egzaminie gimnazjalnym i na maturze.

W gimnazjum sprawdza się, w jakim stopniu

gimnazjalista

spełnia

wymagania

z

zakresu

matematyki określone w podstawie programowej
kształcenia ogólnego dla III etapu edukacyjnego.

Poszczególne zadania zestawu egzaminacyjnego

mogą też –w myśl zasady kumulatywności przyjętej
w podstawie –odnosić się do wymagań przypisanych
do etapów wcześniejszych (I i II)

Zadania z matematyki mogą mieć, formę zamkniętą

lub otwartą.

W porównaniu z dotychczasowym egzaminem

gimnazjalnym w nowym zestawie egzaminacyjnym z
matematyki mniej jest zadań sprawdzających
znajomość algorytmów

i umiejętność posługiwania się nimi w typowych

zastosowaniach, więcej natomiast –zadań
sprawdzających rozumienie pojęć matematycznych
oraz umiejętności dobierania własnych strategii
matematycznych do nietypowych warunków.

Przykładowe zadanie CKE
2012

Uzasadnij, że oba kąty przy podstawie AB trójkąta ABC są równe. rys. zał.
Wymagania ogólne
V. Rozumowanie i argumentacja. Uczeń prowadzi proste rozumowania,

podaje argumenty uzasadniające poprawność rozumowania.

Wymagania szczegółowe
8.6. (szkoła podstawowa) Uczeń rozpoznaje kąty wierzchołkowe i kąty

przyległe oraz korzysta z ich własności.

9.3. (szkoła podstawowa) Uczeń stosuje twierdzenie o sumie kątów trójkąta.
8.5. (szkoła podstawowa) Uczeń porównuje kąty.
6.1. Uczeń opisuje za pomocą wyrażeń algebraicznych związki między

różnymi wielkościami.

Rozwiązanie
Korzystając z własności kątów przyległych, mamy: | ACB| = 180–2
Korzystając z twierdzenia o sumie kątów trójkąta, mamy:| CAB| =180(+

180–2) = .

Zatem| CAB| = | ABC|, czyli kąty przy podstawie AB trójkąta ABC są równe

Nauczyciele gimnazjum z reguły nie

rozwiązują zadań na dowodzenie.
Niektórzy z nich zapowiadają, że nie będą
rozwiązywać takich zadań w słabych
klasach. Szkoda im czasu na dowody
(chyba że na zajęciach kółka
matematycznego), bo i tak nie będzie
efektu. Tłumaczą, że za wcześnie na
dowód, że to może zniechęcić do
matematyki. Na lekcjach z całą klasą
koncentrują się na ćwiczeniu narzędzi
matematycznych i utrwalaniu schematów.

Są przekonani, że bez tego wyniki egzaminu

będą słabsze. Czy rzeczywiście mają rację?

Argumentowanie matematyczne należy

dopasować do wieku uczniów i ich
umiejętności matematycznych. Aby
kształtować umiejętność dowodzenia,
trzeba przejść przez kolejne etapy takie jak
wizualizacja, sprawdzanie, argumentacja i
dowód.

Do rozwiązywania zadań na dowodzenie

warto zacząć przygotowywać uczniów jak
najwcześniej. Ważne, by już przy
pierwszych doświadczeniach dzieci z
matematyką, pomóc im zrozumieć, że
każde matematyczne stwierdzenie można
uzasadnić.

Osiągnięcie przez większość uczniów etapu

rozumienia matematycznej dedukcji w obecnych
warunkach szkoły ogólnokształcącej jest możliwe,
wymaga jednak systematycznej, wieloletniej pracy
nauczycieli wszystkich trzech etapów kształcenia.

Śledzenie, uczenie się i tworzenie dowodów

wspomóżmy tłumaczeniem dostrzeżonej
własności i stopniowym ulepszaniem
tłumaczenia. Taki kierunek umożliwia stały aktywny
udział wszystkich uczniów: każdy może próbować
lepiej wyjaśnić, każdy może wskazywać dostrzeżone
wady w wyjaśnieniu kolegi czy nauczyciela a różne
wyjaśnienia porównywać i wartościować.

Opracowała na podstawie:
- Podstawy programowej
- Informatora CKE.
- biuletynu dla nauczyciela GWO

Irena Juńczyk