Liczby całkowite

nieujemne.

Liczby, cyfry, system

dziesiętny i rzymski

Co to są liczby 1,2,3, ...

... Dziecko posługując się liczbami
wie, ile ciastek jest na talerzu, ile
dzieci liczy grupa starszaków w jego
przedszkolu i ile lat ma siostra. Nie
znaczy to, że w pełni umie
posługiwać się nimi i ma dobrą
orientację w relacjach mię dzy nimi.
Nie znaczy to także, że umie liczyć.
Rozumie jednak znaczenie małych
liczb. Wie, że lepiej mieć 3 złote niż 2
złote, a jeszcze lepiej mieć 10 zł.
Kwota 200 czy 1000 zł może być dla
małego dziecka
niewyobra żalna.

11.12.2021

2

Dziecko stopniowo rozszerza swój
zakres liczbowy i umiejętność
liczenia, przy czym najintensywniej
dzieje się to podczas nauczania po
czątkowego (klasy I-III).

11.12.2021

3

W nauczaniu początkowym
pojawia się także liczba zero. Na
co dzień nie jest ona potrzebna.

Zamiast mówić:

„Zbiór ma zero elementów.”

Mówimy:

„Zbiór nie ma żadnych

elementów.”

11.12.2021

4

Liczba zero jest potrzebna w
matematyce i odgrywa bardzo
ważną rolę. Stopniowo
przyzwyczajamy do niej uczniów,
uczymy się nią po sługiwać.

Tłumaczymy, że zero jest
matematycznym odpowiednikiem
określenia „nic", uczymy
formalnego zapisu działań.

Zero → „nic”

11.12.2021

5

Ilustrując działa nia czynnościami
zrozumiałymi dla ucznia,
przechodzimy do symboli. Dziecko
doskonale wie, że jeżeli z koszyka
zawierającego 5 jabłek odej miemy
(zabierzemy) 5 jabłek, to nic nie
zostanie.

─ =

Symbolicznie piszemy:

5 — 5 = 0

11.12.2021

6

Rola zera w dodawaniu i
odejmowaniu jest dla uczniów
jasna, równości typu :

5 + 0 = 5

oraz

5 ─ 0 = 5

są oczywiste, ponieważ jeżeli do
dajemy lub odejmujemy „nic", to
nie zmieniamy stanu wyjścio wego.

11.12.2021

7

Liczby naturalne

to liczby

używane powszechnie do
liczenia i ustalania kolejności.
Pojęcie liczby jest jednym z
najstarszych i najbardziej
abstrakcyjnych pojęć, jednak
niewiedza na temat czym
liczby są, nie przeszkadza nam
sprawnie się nimi posługiwać.

11.12.2021

8

Zbiór liczb naturalnych

oznaczamy symbolem N.

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, ...}

Ile jest liczb naturalnych? 

Liczb naturalnych jest
nieskończenie wiele.

11.12.2021

9

Czy zero jest liczbą
naturalną?

Czasem matematycy przyjmują, że zero
jest liczbą naturalną, a czasem zaczynają
od jedynki. Przy określaniu kolejności jest
obojętne, czy liczby naturalne będą się
zaczynać od 0, 1, czy od jakiejkolwiek
innej z liczb. Przy określaniu liczebności
sensowne jest, żeby liczby naturalne
zaczynały się od zera, czyli od zbioru
pustego. Natomiast jako przedmiot badań
teorii liczb, zero okazuje się wyjątkiem i do
większości twierdzeń i definicji trzeba
dodać zastrzeżenia, że coś jest różne albo
większe od zera.

11.12.2021

10

Cyfra 

jest znakiem graficznym. Cyfr
arabskich jest dziesięć: 0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8 i 9, a dziś używanych
rzymskich sześć: I, V, X, L, C, M.

Liczba 

oznacza "stan liczebny" albo pojęcie,
którego treścią jest wynik liczenia
wyrażony zwykle cyframi. Liczba
odnosi się więc do rzeczy
"policzalnych", przedmiotów (żywych
i martwych), które można kolejno
policzyć.

11.12.2021

11

Przykład:

Pisząc

3

4

8

,

mamy na myśli liczbę, która jest
sumą

trzech

setek,

czterech

dziesią tek i

ośmiu

jedności.

3

4

8 =

300

+

40

+

8

Zapisaliśmy ją za pomocą trzech
cyfr,

3

,

4

i

8

.

Cyfry grają więc w zapisy waniu
liczb taką rolę, jak litery w
tworzeniu słów.

11.12.2021

12

Przypadku użycia jednej cyfry
może pojawić się pe wien kłopot z
rozróżnianiem liczb i cyfr. Na
przykład napis „3" może oznaczać
zarówno cyfrę, jak i liczbę -
znaczenie wynika dopiero z kon
tekstu.

11.12.2021

13

System dziesiętny (także

dziesiątkowy):

Podstawą układu dziesiętnego jest
liczba 10, a wszystkie liczby
można zapisywać dziesięcioma
cyframi: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Jednostka każdego następnego
rzędu jest dziesięć razy większa od
jednostki rzędu poprzedniego.

11.12.2021

14

Przypominając zasady zapisywania
liczb w systemie dziesiętnym, pa
miętajmy o tym, że uczeń nie zna
jeszcze potęgowania.
Nie możemy zatem posłużyć się
równością

100 = 10

2

.

Zamiast tego możemy wpraw dzie
napisać 100 = 10 ∙ 10, ale na
początku lepiej określać
100 jako 10 dziesiątek,
1000 jako 10 setek,
10000 jako 10 tysięcy, itd.

11.12.2021

15

Uczymy zapisywać cyframi liczby
określone słownie, uczymy odczyty
wać i zapisywać słownie liczby
dane za pomocą cyfr. Słowne
zapisywanie liczb wielu uczniom
sprawia kło poty, robią błędy
ortograficzne. Aby im ułatwić,
podkreślmy, że piszemy:



Pięć

dziesiąt

→

pięć

dziesiątek

,



Pięć

set

→

pięć

setek

.

11.12.2021

16

W czwartej klasie koncentrujmy
się na liczbach mniejszych duże
liczby na razie nie są potrzebne,
uczniowie nie zdają sobie i tak
sprawy z ich wielkości. Jeżeli uczeń
dobrze się z nimi zaznajomi, to w
przyszłości poradzi sobie z
milionami, jeżeli będzie miał ku
temu okazję.

11.12.2021

17

Bardzo kształcące są zadania
rodzaju:

Podaj liczbę trzycyfrową, której

cyfra dziesiątek jest większa
(mniejsza) niż suma dwóch
pozostałych cyfr.

Z danych czterech cyfr utwórz

największą (najmniejszą) liczbę
czterocyfrową.

Rozwiązywanie takich zadań nie tylko
ugruntowuje pojęcia liczby i cy fry, ale
także uczy myślenia i uzasadniania.

11.12.2021

18

Zapytajmy także:

Ile jest liczb dwucyfrowych,

których pierwszą (drugą) cyfrą jest
9?

Ile liczb można utworzyć z danych

trzech cyfr, używając każdej
dokładnie raz?

Kiedy uczniowie będą
bardziej dojrzali, war to
zapytać:

Ile samochodów można

zarejestrować, umieszczając na ich
ta blicach cztery cyfry (bez liter, z
literami)?

11.12.2021

19

Wraz z doskonaleniem
umiejętności naszych uczniów
w posłu giwaniu się systemem
dziesiętnym informujemy ich o
rzymskim spo sobie
zapisywania liczb. Każdy
powinien usłyszeć o cyfrach
rzymskich, wystarczy ogólna
orientacja.

11.12.2021

20

System rzymski:

Rzymski system zapisywania liczb
powstał ponad dwa tysiące lat
temu. Używano go powszechnie
jeszcze w piętnastym wieku.
Obecnie cyfry rzymskie stosuje się
rzadko. Służą one do zapisywania
dat, oznaczania numerów pięter,
rzędów w kinie, itp.

11.12.2021

21

W systemie rzymskim

wyróżniamy 7 podstawowych

znaków:

I to 1
V to 5
X to 10
L to 50
C to 100
D to 500
M to
1000

11.12.2021

22

Nie żądajmy, aby uczniowie
zapamiętali od razu wszystkie
używane symbole. Lepiej
wprowadzać je stopniowo, na
przykład najpierw I, V, X,
potem L
i C, a na końcu D i M. Łatwiej
poznawać zasady systemu
rzym skiego na mniejszych
liczbach.

11.12.2021

23

Lekcja będzie ciekawsza, jeżeli
pozwoli my odkrywać zasady
zapisywania liczb. Podając
odpowiednie przykła dy, możemy
sprawić, że uczniowie zauważą, jak
zmienia się liczba, jeżeli do jej
rzymskiej postaci dopiszemy - na
początku lub na końcu - cyfrę I:

V = 5, VI = 6, IV = 4,

X = 10, XI = ?, IX = ?

11.12.2021

24

Analogiczne przykłady pomogą
odkryć reguły tworzenia liczb o 10
i 100 większych lub mniejszych od
danej. Im więcej uczniowie sami
odkryją, tym więcej zapamiętają.

11.12.2021

25

Podczas zapisywania liczb w
systemie rzymskim należy
pamiętać o kilku zasadach:

 Obok siebie mogą stać co najwyżej

trzy znaki spośród: I, X, C lub M;

 Obok siebie nie mogą stać dwa znaki:

V, L, D;

 Nie może być dwóch znaków

oznaczających liczby mniejsze
bezpośrednio przed znakiem
oznaczającym liczbę większą;

 Znakami poprzedzającymi znak

oznaczający większą liczbę mogą być
tylko znaki: I, X, C.

11.12.2021

26

ZAPAMIĘTAJ !!!

VV

LL
DD
IIII
XXXX
CCCC
MMMM

Nie stosujemy

zapisów!

11.12.2021

27

Jeżeli w zapisie liczby ,,mniejsza cyfra”
stoi przed ,,większą”, to wartości cyfr
odejmujemy

I

V

=

5

-

1

= 4

I

X

=

10

-

1

=

9

X

C

=

100

-

10

= 90

X

L

=

50

-

10

= 40

C

D

=

500

-

100

= 400

C

M

=

1000

-

100

= 900

11.12.2021

28

Jeżeli w zapisie liczby ,,większa cyfra” stoi
przed ,,mniejszą”, to wartości cyfr
dodajemy

X

V

=

10

+

5

= 15

L

X

=

50

+

10

= 60

D

C

=

500

+

100

= 600

M

C

=

1000

+

100

= 1100

C

L

=

100

+

50

= 150

11.12.2021

29

Przykłady zapisu liczb w
systemie rzymskim

4

9

40

+

9

=

XL

IX

6

9

7

600

+

90

+

7

=

DC

XC

VII

11.12.2021

30

Ciekawostki

Wartość liczby zapisanej można

zwiększyć:



Stukrotnie

, zapisując znak liczby

w kreskach pionowych:

C = 100 C = 10000
LXII = 62 LXII = 6200


Tysiąckrotnie

, podkreślając ją u

góry:

XX = 20 XX = 20000
DLXV = 565 DLXV = 565000

11.12.2021

31

OŚ LICZBOWA

11.12.2021

32

W nauczaniu początkowym

oś

liczbowa

jest półprostą,

zaczynającą się od zera. Tak może
pozostać do momentu
wprowadzenia liczb ujem nych,
aczkolwiek nie zaszkodzi już teraz
rozszerzyć półprostej do całej
prostej, nie interesując się na razie
tym, co jest po ujemnej stronie
zera. Uczniów można
poinformować, że są tam liczby,
które poznają za jakiś czas.

11.12.2021

33

Oś liczbowa może
wyglądać:

60

70

80

90

10

0

11

0

12

0

50

40

30

20

10

0

0

15

10

5

3

4

5

2

1

0

tak

lub tak

albo tak

11.12.2021

34

To też są osie

liczbowe

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

0 50 100 150 200 250

11.12.2021

35

Oś liczbowa

0

1

2

3

4

5

6

-1

-2

-3

-4

-5

-6

jednostka

zwrot

linia prosta

11.12.2021

36

Definicje!!!
!!!!!!!!!!!!!

11.12.2021

37

DODAWANIE

11.12.2021

38

Dodawanie

Określenia „dodawanie" używamy
na co dzień, oznacza ono
dołączanie (czegoś do czegoś),
łączenie (czegoś z czymś). Do
takiej interpretacji do dawania
nawiązujemy, wprowadzając
dodawanie liczb.

11.12.2021

39

Dodawanie jest najbardziej

podstawowym działaniem

matematycznym obecnym niemal we

wszystkich dziedzinach matematyki.

Obiekty dodawane to składniki, wynik

nazywa się sumą. Oznaczane jest

zwyczajowo plusem (+). Zwykle

określenie to jest używane do

określenia dodawania liczb,

wielomianów czy figur. Gdy rozważa się

struktury algebraiczne (pierścienie,

ciała, przestrzenie liniowe) to jest ono

dowolnym, abstrakcyjnym działaniem

spełniającym tylko pewne założenia,

takie jak łączność czy istnienie

elementu neutralnego.

11.12.2021

40

Porozumiewając się z uczniami,
będziemy używać terminów skład
nik i suma. Przy okazji zwróćmy
uwagę na dwuznaczność nazwy
„suma„:
może ona oznaczać wynik

dodawania,

ale także samo doda wanie.
Na przykład przez sumę liczb 2 i 3
rozumiemy czasem liczbę 5, a
czasem wyrażenie 2 + 3.
Znaczenie na ogół wynika z
kontekstu.

11.12.2021

41

Dodawanie

2 + 3 =

5

składnik składnik

suma

11.12.2021

42

Warto, aby uczniowie wiedzieli, jak
zmienia się suma, jeżeli składniki
zwiększają się lub zmniejszają o
pewną liczbę. Pytajmy więc, jak
zmieni się suma dwóch liczb,
jeżeli:
jeden składnik zwiększymy o 2, a

drugi o 3,

każdy składnik zmniejszymy o 1,
jeden składnik zwiększymy o 5, a

drugi zmniejszymy o 3?

11.12.2021

43

Tabelki:
+ 3

Grafy:

5

6

7

8

9

12

+ 7

Ważnym sposobem uniknięcia wielu
trudności jest zastosowanie innej formy
symbolicznego zapisu operacji
dodawania i jej wyniku np.: strzałki i
drzewa.

11.12.2021

44

Drzewka:

11.12.2021

45

5

3

7

+

+

Własności dodawania:

1. Przemienność dodawania

jest dla ucznia oczywista, bo
wynika ona z czyn nościowej
interpretacji tego działania.
Wszystko jedno, czy dołączymy
a cukierków do b cukierków, czy
na odwrót - otrzymamy ten sam
zbiór cukierków.

a

+

b

=

b

+

a

11.12.2021

46

2. Łączność dodawania
to własność, która daje rozmaite
możliwości ułatwiania rachunków, a
także pozwala szerzej rozumieć
samo dodawanie, dlatego stopniowe
uświadomienie jej dzieciom powinno
być ważnym elementem nauki
arytmetyki.
Własność ta mówi, że dowolną
grupę składników zapisanych obok
siebie możemy zastąpić ich sumą, a
wynik dodawania nie ulegnie
zmianie.

11.12.2021

47

W zapisie literowym własność ta ma
postać:

(

a

+

b

) +

c

=

a

+ (

b

+

c

)

Można też napisać:

a

+

b

+

c

=(

a

+

b

) +

c

=

a

+

(

b

+

c

)

11.12.2021

48

Z tych dwóch praw wynika, że wynik
dodawania

(... ((a

1

+ a

2

) + a

3

) + ... + a

n-1

)

+ a

n

nie zmieni się, jeżeli w dowolny
sposób poprzestawiamy liczby a

k

i w

do wolny sposób rozmieścimy
nawiasy. Dzięki tej własności pisanie
nawia sów nie jest w ogóle potrzebne.
Możemy zatem mówić o sumie
dowolnej (skończonej) liczby
składników.

11.12.2021

49

Dziecko powinno wiedzieć, że
dzięki własnościom dodawania
może sobie uprościć
skomplikowane rachunki
sprowadzając je do łatwiejszych
przypadków. Na przykład
dodawanie
7 + 8 + 3 może wykonać tak:

7 + 8 + 3 = 7 + 3 + 8 = 10 + 8 =

18

lub

7 + 8 + 3 = 8 + (7 + 3) = 8 + 10

= 18

11.12.2021

50

ODEJMOWANIE

11.12.2021

51

Odejmowanie

Odejmowanie to pewna operacja (mówiąc

bardziej formalnie, funkcja

dwuargumentowa) na dwóch obiektach,

która zwraca ich różnicę. Obiektami tymi

mogą być liczby, ale też wektory, macierze

i inne twory matematyczne.
Odejmowanie oznacza się znakiem „ -”,

na przykład:

3 − 2 = 1

Co czyta się: "trzy minus dwa równa się

jeden" albo "trzy odjąć dwa równa się

jeden".
Odejmowane liczby to odjemna i

odjemnik, wynik to różnica.

11.12.2021

52

Dla ułatwienia zapamiętywania,
która z dwóch liczb występują cych
w odejmowaniu jest odjemnikiem,
a która odjemną, zauważmy, że
odjemna jest rodzaju żeńskiego.
Ponieważ, jak wiadomo, kobiety
ma ją pierwszeństwo, więc
odjemna występuje przed
odjemnikiem. Takie żartobliwe
podejście jest bardzo skuteczne -
pod warunkiem, że ucznio wie nie
mylą kolejności liczb w zapisie
odejmowania.

11.12.2021

53

Odejmowanie

7 - 2 =

5

odjemna odjemnik

różnica

11.12.2021

54

Określając różnicę jako wynik
odejmowania, poinformujmy uczniów,
że ma ona jeszcze inne znaczenie:
może oznaczać także samo
odejmowanie. Analogicznie do sumy.

Warto zbadać, jak zmienia się różnica,
jeżeli odjemnik lub odjemną
zwiększamy lub zmniejszamy o pewną
liczbę. Jest to oczywiście znacz nie
trudniejsze niż badanie analogicznego
problemu dla dodawania, przy czym
szczególnie trudny jest przypadek
zmiany odjemnika.

11.12.2021

55

Podobnie jak dodawanie,
odejmowanie ma również
znaczenie potoczne i kojarzy się z
czynnością zabierania, ujmowania
(czegoś od czegoś). To ułatwia
rozumienie odejmowania w sensie
działania i pozwala intuicyj nie
dostrzegać jego własności. Staje
się też jasny związek odejmowania
z dodawaniem:

jeżeli a — b = c,

to c + b = a.

11.12.2021

56

Związek ten można łatwo

zobrazować grafem:

- b

+ b

11.12.2021

57

c

a

Zgodnie z zaleceniem programu
dodawanie pewnej liczby i odejmowanie
tej samej liczby powinni uczniowie
rozumieć jako działanie wzajemnie
odwrotne. Na przykład
3 + 5 = 8
Oznacza to równocześnie, że:
8 – 3 = 5
8 – 5 = 3.
Odejmowanie wprowadzamy na drugiej
lub trzeciej lekcji po zaznajomieniu
uczniów z dodawaniem.

Własności odejmowania:

Różnica dwóch jednakowych liczb

jest zawsze równa zero: 

a - a = 0

Jeżeli od dowolnej liczby

odejmiemy zero, to liczba ta nie
zmieni się: 

a - 0 = a

11.12.2021

59

Odejmowanie to dodanie liczby

przeciwnej: 

a - b = a + (-b)

Odejmowanie jest działaniem

odwrotnym do dodawania:  

a - b = c ⇔ a = b + c

Uwaga! Odejmowanie nie

jest przemienne

11.12.2021

60

KOLEJNOŚĆ DODAWANIA I

ODEJMOWANIA

11.12.2021

61

W dowolnym wyrażeniu można
przestawiać liczby wraz z
poprzedzającymi je symbolami
+ lub —.

np. 943 - 789 + 73 + 789 – 72

W klasach 4 i 5 trzeba zwracać
uwagę, aby nie pojawiło się
odejmowanie liczby większej od
mniejszej, bo jest ono wtedy
niewykonalne. W klasach
starszych, po wprowadze niu
działań z liczbami ujemnymi,
ograniczenie to zniknie.

11.12.2021

62

W wyrażeniu przytoczonym na
poprzedniej stronie warto
przestawić operacje „dodać 789" i
„dodać 73":

943 - 789 + 73 + 789 - 72 = 943 -

789 + 789 + 73 - 72.

Intuicja podpowiada nam, że
operacje „odjąć 789" i „dodać 789"
wza jemnie się kasują i wobec tego
można je w ogóle skreślić, a
koniunkcja operacji „dodać 73" i
„odjąć 72" jest równoważna
pojedynczej operacji „dodać 1".

11.12.2021

63

Z formalnego punktu widzenia dla
każdego ustalonego a rozważamy funkcje
f

a

i g

a

, określone dla liczb rzeczywistych

(nie tylko naturalnych) wzorami:

f

a

(x) = x + a, g

a

(x) = x - a.

Nietrudno spostrzec, że funkcje te można
składać, składanie jest przemien ne i
łączne, przy czym zachodzą równości:

f

a

f

b

=f

(a+b)

, g

a

g

b

=g

(a+b)

, f

a

g

b

=f

(a-b)

=g

(b-a)

Stąd wynika, że funkcja f

a

g

a

jest

identycznością, co zresztą jest od razu
widoczne.

11.12.2021

64

Wszystkie te własności uczeń

rozumie intuicyjnie:

dodanie (odjęcie) liczby a, a

potem dodanie (odjęcie) liczby b
spro wadza się do dodania
(odjęcia) liczby a + b,

dodanie liczby a i odjęcie liczby b

oznacza dodanie a — b lub
odjęcie
b — a, w zależności od tego,
czy a ≥ b, czy b ≥ a,

dodanie i odjęcie tej samej liczby

nie zmienia stanu początkowego.

11.12.2021

65

DODAWANIE I

ODEJMOWANIE PISEMNE

11.12.2021

66

Algorytmy dodawania i
odejmowania pisemnego poznają
uczniowie już w nauczaniu
początkowym. W klasie czwartej
sprawdzamy, jak je opa nowali. Z
dodawaniem nie ma na ogół
kłopotów. Uczniowie są wyćwi czeni
w takim podpisywaniu składników
jeden pod drugim, aby cyfry tego
samego rzędu były w tej samej
kolumnie. To bardzo ułatwia do
dawanie i wszyscy tak piszemy.

11.12.2021

67

Dodawanie sposobem
pisemnym.

ZAPAMIĘTAJ !

Jedności podpisujemy pod jednościami,
dziesiątki pod dziesiątkami, itd.

354
+ 25
379



5272
395
+
47
5714



11.12.2021

68

Algorytm dodawania
pisemnego:

Mam obliczyć sumę liczb: 256 i 178
Liczby zapiszę w tabeli:

S D J

2

5

6

+

1

7

8

Najpierw dodam jedności:

1

4

Teraz dziesiątki:

1

2

Na końcu setki:

+

3

Suma:

4

3

4

11.12.2021

69

Jak wiadomo, algorytm
odejmowania pisemnego jest
znacznie trud niejszy od algorytmu
dodawania i trzeba liczyć się z
tym, że niektórzy uczniowie
jeszcze nie zdołali go w pełni
opanować. Trudności mogą po
wstać w przypadku, kiedy cyfra
odjemnika jest większa od
odpowiada jącej jej cyfry odjemnej.

11.12.2021

70

Odejmowanie sposobem
pisemnym.

ZAPAMIĘTAJ !

Jedności podpisujemy pod jednościami,
dziesiątki pod dziesiątkami, itd.

1234
- 325
909



3585
- 453
3132





39007
- 9238
29769

11.12.2021

71

Algorytm odejmowania
pisemnego:

Liczby zapiszę w tabeli:

S

D

J

4

3

4

-

1

7

8

z rzędu dziesiątek pożyczam 1 dziesiątkę
i otrzymam:

1

4

odejmuję -

8

6

z rzędu setek pożyczam 1 setkę
i otrzymam:

1

2

odejmuję

-

7

5

w rzędzie setek pozostało:

3

odejmuję

-

1

różnica

2

5

6

11.12.2021

Ćwicząc algorytmy dodawania i
odejmowania pisemnego warto
stosować przykłady z życia, np.

Mamy 3 setki, 2 dziesiątki i 4 złotówki, a

chcemy komuś dać 43 zł. Jak to zrobić -

jak rozmienić pieniądze? Ile nam

zostanie?

W ten sposób uczniowie szybciej
zrozumieją zasadę wykonywania
działań.

11.12.2021

73

MNOŻENIE

11.12.2021

74

Mnożenie

Mnożenie oznacza się na ogół symbolem

"·„

(kropka): 2 · 2 = 4, czasami w miejsce

kropki

używa się znaku "×": 3×4 = 12, a w

zapisach

związanych z informatyką przyjęło się

używanie

symbolu „*" (gwiazdka): a:=b*c.
Jeśli nie prowadzi to do nieporozumień,

symbol

mnożenia w ogóle się pomija, pisząc w

miejsce

a ·b po prostu ab .

11.12.2021

75

Mnożenie przez liczbę naturalną
jest szczególnym przypadkiem
doda wania, jest dodawaniem
jednakowych składników. Tyle
mamy składni ków, przez ile
mnożymy. Iloczyn n - a określamy
jako pomnożenie liczby a przez n,
czyli

n∙a = a + a + ...+a

n razy

11.12.2021

76

Wprowadzając nazwy iloczyn i
czynniki, pamiętajmy, że nie są
łatwe do zapamiętania. Nie
żądajmy, aby uczniowie szybko je
przyswoili. Bez nich też można
mnożyć.

Nazwa iloczyn jest dwuznaczna
(podobnie jak suma czy różnica).
Nie kiedy oznacza samo
mnożenie, a innym razem jego
wynik.

11.12.2021

77

Mnożeni
e

3 · 5 = 15

czynnik czynnik

iloczyn

11.12.2021

78

Własności mnożenia:

Przemienność

mnożenia, oznacza to, że
kolejność czynników nie ma
wpływu na iloczyn.

a

∙

b

=

b

∙

a

Łączność mnożenia, oznacza

to, że łączenie czynników w
dowolny sposób z zachowaniem
kolejności nie wpływa na iloczyn.

(

a

∙

b

) ∙

c

=

a

∙ (

b

∙

c

)

11.12.2021

79



1

 jest elementem obojętnym

(neutralnym) mnożenia

a ∙

1

=

1

∙ a = a

Jeżeli chociaż jeden z

czynników jest równy zero, to
iloczyn jest równy zero.

a ∙

0

=

0

∙ a =

0

11.12.2021

80

Mnożenie jest działaniem
dwuargumentowym. Jak wiadomo, jest ono
nie tylko przemienne, ale także łączne. Z tych
dwóch własności wynika, że wynik mnożenia

(... ((a

1

∙ a

2

) ∙ a

3

) ∙ ...)∙ a

n

nie zmieni się po dowolnym przestawieniu
czynników i dowolnym prze mieszczeniu
nawiasów. Dzięki temu można mówić o
iloczynie dowolnie wielu czynników:

a

1

∙ a

2

∙ ... ∙ a

n

Jest to analogiczne do dodawania - z tą
różnicą, że niezależność iloczynu od
kolejności wykonywania mnożenia jest
zupełnie nieintuicyjna i trze ba ucznia o niej
przekonać.

81

Zwracając uwagę na kolejność
wykonywania mno żenia, nie
żądajmy, aby uczeń formalnie
zapisywał przekształcenia.
Wy starczy, że wie, co z czym
połączyć. Może to ewentualnie
zaznaczyć w ja kiś prosty
sposób, na przykład
podkreślając łączone czynniki:

25 ∙ 13 ∙ 4

11.12.2021

82

Sporo czasu trzeba poświęcić na
ćwiczenia rachunkowe, także na
mno żenie w pamięci. Trzeba
zadbać, aby nasi uczniowie
opanowali tabliczkę mnożenia -
odwieczny problem wielu
uczniów. W wykonaniu szybko
działań może nam też pomóc
mnożenie na palcach.

11.12.2021

83

Tabliczka mnożenia

x

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

3

0

3

6

9

12

15

18

21

24

27

30

33

36

4

0

4

8

12

16

20

24

28

32

36

40

44

48

5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

6

0

6

12

18

24

30

36

42

48

54

60

66

72

7

0

7

14

21

28

35

42

49

56

63

70

77

84

8

0

8

16

24

32

40

48

56

64

72

80

88

96

9

0

9

18

27

36

45

54

63

72

81

90

99

108

10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

11

0

11

22

33

44

55

66

77

88

99

110

121

132

12

0

12

24

36

48

60

72

84

96

108

120

132

144

Metoda mnożenia przez
9

Otwórz obydwie dłonie.
Odlicz na palcach lewej ręki

liczbę,
przez którą chcesz pomnożyć
dziewięć.

Zegnij palec, na którym

zakończyłeś liczenie. Policz palce
na lewo od zgiętego palca.

Będzie to liczba dziesiątek.

Teraz policz palce po stronie

prawej.

To będzie liczba jedności.

11.12.2021

85

Zgięty drugi palec.
Na lewo od zgiętego palca 1 dziesiątka.
Na prawo od niego 8 jedności

2 * 9
=18

Mnożenie przez 9

11.12.2021

86

Mnożenie na palcach liczb

większych od 5

Odliczmy na palcach lewej stopy

i lewej ręki oraz na palcach

prawej stopy i prawej ręki liczby,

które chcesz pomnożyć.

Pozostałe palce dłoni zegnij.

Sumę palców wyprostowanych

oznaczających dziesiątki dodaj

do iloczynu palców zgiętych.

Otrzymany wynik jest

poszukiwanym rozwiązaniem

zadania.

11.12.2021

87

Postępowanie przy mnożeniu (7×8):

Na lewej dłoni wyprostowane są dwa palce, a
trzy pozostałe są zgięte. Na prawej dłoni trzy
palce są wyprostowane, a dwa zgięte.

• 7 = 5 + 2 (2 palce wyprostowane - dłoń

lewa)

• 8 = 5 + 3 (3 palce wyprostowane - dłoń

prawa)

Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni, do
sumy palców wyprostowanych, pomnożonej
przez 10, dodajemy iloczyn palców zgiętych,
tzn.:

• (2 + 3)×10 +3×2 = 50 + 6 = 56

11.12.2021

88

Kolejny przykład (6×8):

Na lewej dłoni wyprostowany jest jeden palec, a
cztery pozostałe są zgięte. Na prawej dłoni trzy palce
są wyprostowane, a dwa zgięte.

• 6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń lewa)

• 8 = 5 + 3 (3 palce - dłoń prawa).

Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni, dodajemy do
sumy palców wyprostowanych, pomnożonej przez
10, iloczyn palców zgiętych, tzn.:

(1 + 3)×10 + 4×2 = 40 + 8 = 48.

11.12.2021

89

10 *7 =70

10 *7 =70

9 * 7 =63

9 * 7 =63

=

=

7 * 9 = 63

7 * 9 =

63

8 * 6 = 48

8 * 6 = 48

Przykłady:

11.12.2021

90

Wprowadzając operację
zwiększania liczby ileś razy,
bądźmy przygoto wani na to, że
uczniowie będą ją mylić z operacją
zwiększania o ileś. Musimy ćwiczyć
rozróżnianie tych działań.

Starajmy się więc usprawiedliwić
uczniów, tłumacząc im
jednocześnie, że zamiast
„zwiększyć o 2 razy" prościej jest
„zwiększyć 3 razy" - i tak właśnie
mówimy.

11.12.2021

91