Mechanika płynów

II rok

Inżynieria Środowiska

Wykład nr 4

Marcin Widomski

dr inż.

p. 309

tel. wew. 4183 – z portierni

tel. 0-8153844183

M.Widomski@wis.pol.lublin.pl

KINEMATYKA PŁYNÓW

Kinematyka płynów

Kinematyka płynów
• Opis i analiza ruchu płynów bez wnikania w

przyczyny powodujące ruch, tzn. bez wnikania w istotę
działania sił.

• Wszystkie rozważania są związane z elementem

płynu.

• Ruch płynu określony jest wtedy, gdy znane są

prędkości wszystkich elementów płynu, tzn. znane jest
w pełni pole prędkości.

Znane są dwie metody badania ruchu płynów:
• Metoda Lagrange’a
• Metoda Eulera

Kinematyka płynów

Metoda Lagrange’a

Metoda Lagrange’a, inaczej analiza wędrowna,

polega na badaniu ruchu wybranego elementu
płynu po jego torze.

Metoda Lagrange’a opisuje zatem zmianę różnych

wielkości hydrodynamicznych zachodzącą podczas
przepływu indywidualnie dla każdego elementu
płynu; w metodzie tej bada się ich historię.

Jeżeli w chwili t

element płynu zajmuje położenie

określone promieniem – wektorem r

, y

, z

), to

z czasem położenie to będzie ulegało zmianie.
Podobnie będą się zmieniały inne parametry
związane z wybranym elementem płynu.

Kinematyka płynów

Metoda Lagrange’a

W dowolnej chwili t współrzędne wybranego elementu płynu w

układzie kartezjańskim będą zależne od lokalizacji
początkowej oraz upływającego czasu.

W takim przypadku wektor prędkości można opisać jako:

Kinematyka płynów

Metoda Lagrange’a

Przyspieszenie zaś wyznaczymy różniczkując równanie

prędkości względem czasu.

Z metodą Lagrange’a jest związane pojęcie powierzchni płynnej, czyli
dowolnej
(otwartej lub zamkniętej) powierzchni ruchomej, utworzonej z tych samych
poruszających się elementów płynu, traktowanych jako punkty materialne.

Obszar ograniczony zamkniętą powierzchnią płynną jest nazywany obszarem
płynnym.

Kinematyka płynów

Metoda Eulera

Metoda Eulera, inaczej analiza lokalna, polega na

badaniu ruchu kolejnych elementów płynu
przepływających przez nieruchomy, zlokalizowany,
określony współrzędnymi x, y, z punkt.

Czyli w stałym układzie współrzędnych wydziela się

pewien obszar wypełniony płynem i bada się
zmianę wielkości charakteryzujących przepływ w
zadanym punkcie. W metodzie tej rozpatruje się
więc

zmianę

wielkości

charakteryzujących

przepływ w zależności od czasu t i od położenia
punktu.

Np.

Kinematyka płynów

Metoda Eulera

Pole prędkości opisuje następująca funkcja:

Analogicznie wyznaczamy przyspieszenie.

Kinematyka płynów

Metoda Eulera

Zmianę prędkości elementów przepływających w

czasie przez punkt M z prędkością v (x, y, z, t)
określają

pochodne

cząstkowe

prędkości

względem czasu t:

Są to zmiany lokalne prędkości w
czasie i dlatego te pochodne nazywa
się pochodnymi lokalnymi lub
miejscowymi.

Kinematyka płynów

Metoda Eulera

Zmianę prędkości elementów przepływających w

czasie przez punkt M po czasie dt opiszemy więc
jako:

Zaś przyspieszenie:

Kinematyka płynów

Metoda Eulera

Powyższe

można

przedstawić

postaci

operatorowej:

Gdzie: ∇ - operator różniczkowy Hamiltona.

Finalnie, współrzędne wektora przyspieszenia a

można przedstawić jako:

Przyśpieszenie a jest pochodną zupełną prędkości względem
czasu
dv/dt. Pochodna ta jest nazywana pochodną substancjalną i jest
sumą pochodnej konwekcyjnej i lokalnej.

W przypadku zmiennych skalarnych pochodna substancjalna
przyjmie postać:

Kinematyka płynów

Metoda Eulera

Z metodą Eulera jest związane pojęcie powierzchni kontrolnej,
czyli otwartej lub zamkniętej nieruchomej powierzchni, utworzonej
przez te same nieruchome punkty przestrzeni. Obszar ograniczony
zamkniętą powierzchnią kontrolną nazywamy obszarem kontrolnym.

PODSTAWOWE POJĘCIA
KINEMATYKI PŁYNÓW

Podstawowe pojęcia kinematyki płynów

Pole fizyczne – obszar, w którym każdemu punktowi i w każdej
chwili czasu jest jednoznacznie przyporządkowana określona
wartość jakiejś wielkości fizycznej (parametru) – prędkość,
ciśnienie, gęstość itp.

Pole fizyczne może być:
• Ustalone i nieustalone,
• Jednorodne i niejednorodne,
• Ciągłe i nieciągłe,
• Źródłowe i bezźródłowe,
• Wirowe i bezwirowe,
• Jedno, dwu i trójwymiarowe.

Podstawowe pojęcia kinematyki płynów

Linia prądu – linia pola wektorowego prędkości, czyli linia styczna
do wektorów prędkości różnych elementów płynu poruszających
się ruchem ustalonym.

Linia prądu i równanie
linii prądu.

Podstawowe pojęcia kinematyki płynów

Tor elementu płynu – linia po której porusza się element płynu
czyli krzywa opisywana przez poruszający się element płynu.
W przepływach ustalonych tor elementu płynu pokrywa się z linią
prądu.

Rurka prądu – powierzchnia utworzona z linii prądu.

Struga - poruszający się płyn wypełniający rurkę prądu,
Inaczej, struga tobiór linii prądu wypełniających w sposób
ciągły rurkę prądu.

Struga elementarna - struga, której pole
przekroju poprzecznego jest nieskończenie małe.

STRUMIEŃ OBJĘTOŚCI
I STRUMIEŃ MASY

Strumień objętości i strumień masy

Strumień objętości q

(nazywany także objętościowym natężeniem

przepływu, oznaczany jako Q) jest to strumień wektora prędkości v
przechodzący przez powierzchnię A.
Jest to więc całka z iloczynu skalarnego wektora v i wektora
zorientowanego wycinka pola przekroju dA.

Inna definicja to: miara ilości płynu, substancji, mieszaniny,
przepływającego przez wyodrębnioną przestrzeń, obszar lub
poprzeczny przekrój w jednostce czasu



dV – elementarna objętość [m

], dt –

jednostkowy czas [s]

Strumień objętości i strumień masy

Strumień masy q

(nazywany także masowym natężeniem przepływu,

oznaczany jako G lub ) jest to strumień uwzględniający gęstość
przepływającej cieczy.

Inna definicja to: miara masy płynu, substancji, mieszaniny,
przepływającego przez wyodrębnioną przestrzeń, obszar lub
poprzeczny przekrój w jednostce czasu



dm – elementarna masa [m

], dt –

jednostkowy czas [s]

RÓWNANIE CIĄGŁOŚCI
PRZEPŁYWU

Równanie ciągłości przepływu

Równanie ciągłości przepływu wyraża prawo zachowania masy
(niezniszczlności materii).
Zgodnie z zasadą zachowania masy, w żadnym punkcie pola masa nie
może się
tworzyć ani znikać.

W płynie nieściśliwym ( ρ = const) tylko takie pole prędkości będzie
spełniało tę zasadę, w którym w każdej chwili do obszaru ograniczonego
powierzchnią kontrolną będzie wpływało tyle płynu, ile w tej samej chwili
wypływa.

Równanie ciągłości przepływu

W przestrzeni wypełnionej poruszającym się płynem wyodrębnijmy
obszar o objętości V ograniczony powierzchnią kontrolną A o normalnej
zewnętrznej n w punkcie M.

Zmiana masy w
objętości V może być
wywołana:

• dopływem poprzez

ścianę powierzchni
kontrolnej,

• lokalną zmianą

gęstości.

W czasie dt przez powierzchnię A
przepłynie następujący strumień:

Przyrost masy wywołany zmianą
gęstości można opisać jako:

Równanie ciągłości przepływu

Zgodnie z prawem zachowania masy, masa nie może powstawać
ani zanikać w obszarze kontrolnym, dlatego bilans dopływu i
przyrostu masy musi być równy zeru.

Całkowa postać równania ciągłości
(zachowania masy).

Drugi składnik sumy można zapisać jako:

div - dywergencja (albo rozbieżność, źródłowość) pola wektorowego - operator różniczkowy
przyporządkowujący trójwymiarowemu polu wektorowemu pole skalarne będące formalnym
iloczynem skalarnym operatora nabla z polem.

Równanie ciągłości przepływu

Podstawiając otrzymamy:

Ponieważ funkcja podcałkowa musi być równa zeru więc:

Otrzymaliśmy w ten sposób różniczkowe równanie ciągłości
przepływu.

RÓWNANIE CIĄGŁOŚCI PRZEPŁYWU
W RUCHU JEDNOWYMIAROWYM

Równanie ciągłości przepływu w ruchu

jednorodnym

Przeanalizujemy prawo zachowania masy dla objętości kontrolnej
strugi zamkniętej pomiędzy dwoma przekrojami.

W obrębie założonego elementu
płynu
o podstawie A i wysokości ds
prędkości podczas przejścia od
przekroju A do przekroju sąsiedniego
zmieniają się tylko w kierunku ds.
Oznacza to, że prędkość v zależy
tylko od jednego wymiaru, a ruch taki
nazywa
się przepływem
jednowymiarowym.

Musimy teraz porównać masy przepływające przez przekroje A i