Zakres egzaminu z

Mechaniki I (sem. II)

Zasady
egzaminu

1. Egzamin jest egzaminem pisemnym (potrzebne będzie

ok. 6 stron formatu A-4) i polega na rozwiązaniu trzech
zadań.

2. Warunkiem dopuszczenia do egzaminu jest zaliczenie

ćwiczeń.

3. Treść zadań obejmuje działy: statyka, wytrzymałość

materiałów, kinematyka i dynamika.

4. Egzamin trwa 4 godziny lekcyjne.
5. Każde z zadań jest osobno oceniane.
6. Do zaliczenia egzaminu trzeba zaliczyć każde z zadań,

tzn. uzyskać za każde zadanie ocenę co najmniej 3.

7. Końcowa ocena z egzaminu jest średnią z ocen za

poszczególne zadania.

Jednorodna

belka

o

przekroju

prostokątnym

jest

zamocowana z lewej strony za pomocą przegubu
walcowego, z prawej strony jest podparta tocznie. Belka
obciążona jest siłami skupionymi, obciążeniem rozłożonym i
momentem skupionym w sposób pokazany na rysunku.
Przeprowadzić obliczenia wytrzymałościowe dla belki, w
szczególności:
a) sporządzić szkic (układ współrzędnych, reakcje)
b) ułożyć równania równowagi sił i momentów,
c) wyznaczyć wartości liczbowe reakcji podpór,
d) zapisać w sposób analityczny wzory na moment
zginający,
e) sporządzić wykres momentu zginającego,
f) zapisać w sposób analityczny wzory na siłę tnącą,
g) sporządzić wykres siły tnącej,
h) dobrać wymiary poprzeczne belki z warunku
wytrzymałości.

Zadanie 1 z działów statyka i wytrzymałość
materiałów

Zadanie 1 z działów statyka i wytrzymałość
materiałów

Dane liczbowe: F = 500N, q = 1500N/m, M = 500Nm,
l=5m,
a

1

= 1m, a

2

= 2m, a

3

= 3m, a

4

= 4m, k

g

= 200 MPa.

Ciężar własny belki pominąć. Wskaźnik wytrzymałości
na zginanie belki o przekroju prostokątnym wyraża się
wzorem: W

z

= hb

2

/6 (b,h – boki prostokąta, przy czym h

= 3b).

q

A

B

a

1

l

a

2

F

M

a

3

a

4

Zadanie 1 z działów statyka i wytrzymałość
materiałów

q

A

B

a

1

l

a

2

F

M

a

3

a

4

R

A

R

B

x

y

a)

sporządzić szkic (układ współrzędnych,

reakcje)

Q

b) ułożyć równania równowagi sił i momentów,
c) wyznaczyć wartości liczbowe reakcji podpór

Równania równowagi

Q = q (a

3

– a

2

)

R

A

– F – Q + R

B

= 0

M

A

: - Fa

1

– Q (a

3

+ a

2

)/2 + M + R

B

l = 0

Zadanie 1 z działów statyka i wytrzymałość
materiałów

Rozwiązanie równań równowagi

R

B

= (Fa

1

+ Q (a

3

+ a

2

)/2 - M )/ l

R

A

= F + Q – R

B

R

B

= [500*1 + 1500 *(2+3)/2 – 500]/5 = 750 N

R

A

= 500 + 1500 -750 = 1250 N

Zadanie z działów statyka i wytrzymałość
materiałów

q

A

B

a

1

l

a

2

F

M

a

3

a

4

R

A

R

B

x

y

d)

zapisać w sposób analityczny wzory na moment

zginający,

x = 0 : M

g

= 0

x = a

1

: M

g

= R

A

a

1

= 1250*1 = 1250 Nm

x = a

2

: M

g

= R

A

a

2

– F

(a

2

- a

1

) = 1250*2 – 500*(2-1) = 2000

Nm

Zadanie z działów statyka i wytrzymałość
materiałów

q

A

B

a

1

l

a

2

F

M

a

3

a

4

R

A

R

B

x

y

x = Є [a

2

, a

3

]

: M

g

= R

A

x – F

(x

- a

1

) – q(x

– a

2

) (x

– a

2

) /2=

= 1250 x – 500 (x-1) - 750 *(x-2)

2

x = a

3

: M

g

= 1250*3-500*2-750 = 2000 Nm

2

max

1250 500 1500(

2) 0

2,5

1250*2,5 500*1,5 750(2,5 2)

2187,5

g

g

dM

x

x

m

dx

M

Nm

=

-

-

-

=

�

=

=

-

-

-

=

Zadanie 1 z działów statyka i wytrzymałość
materiałów

q

A

B

a

1

l

a

2

F

M

a

3

a

4

R

A

R

B

x

y

x = a

4

-

: M

g

= R

A

a

4

– F

(a

4

- a

1

) – Q [a

4

– (a

2

+a

3

)/2]

=
= 1250*4 – 500*3 – 1500*1,5 = 1250 Nm
x = a

4

+

: M

g

= M

g

(a

4

-

) – M = 1250 – 500 = 750 Nm

x = l : M

g

= 0

Q

e) sporządzić wykres momentu zginającego,

M

g

[Nm]

x

+

Zadanie 1 z działów statyka i wytrzymałość
materiałów

100
0

200
0

1

2

3

4

5

0

Zadanie 1 z działów statyka i wytrzymałość
materiałów

q

A

B

a

1

l

a

2

F

M

a

3

a

4

R

A

R

B

x

y

f)

zapisać w sposób analityczny wzory na siłę tnącą

x = 0 : T

= R

A

= 1250 N

x = a

1

: T = R

A

– F

= 1250 - 500 = 750 N

Zadanie z działów statyka i wytrzymałość
materiałów

q

A

B

a

1

l

a

2

F

M

a

3

a

4

R

A

R

B

x

y

x = Є [a

2

, a

3

]

: T = R

A

– F – q(x

– a

2

) = 1250 – 500 - 1500

*(x-2) =
= 750 -1500*(x-2)
x = a

3

: T

= 750 - 1500*1 = - 750 N

T [N]

x

+

-

Zadanie 1 z działów statyka i wytrzymałość
materiałów

g) sporządzić wykres siły tnącej,

100
0

1

2

3

4

5

-
1000

Zadanie 1 z działów statyka i wytrzymałość
materiałów

h) dobrać wymiary poprzeczne belki z warunku
wytrzymałości,

max

g

g

z

M

k

W

<

max

g

z

g

M

W

k

<

6

6

2

6

3

3

2187,5

2187,5

20010

20010

11 10

11

z

z

Nm

Nm

W

Pa

Nm

W

m

cm

-

-

>

=

>

=

g

g

g

3

3

3

11

66 4 ,

12

6

z

b

W

cm

b

cm h

cm

=

>

>

�

=

Zadanie 2 z działów statyka i wytrzymałość
materiałów

Dana jest kratownica jak na rysunku. Wszystkie pręty są jednakowej
długości a = 1 m i mają przekrój kołowy. W obliczeniach nie
uwzględniać ciężaru kratownicy. Przeprowadzić obliczenia
wytrzymałościowe dla kratownicy dla zadanego obciążenia, w
szczególności:
a) sprawdzić warunek sztywności kratownicy,
b) ułożyć równania równowagi sił i momentów,
c) wyznaczyć wartości liczbowe reakcji więzów w węzłach A i C,
d) wyznaczyć siły w prętach korzystając z metody równowagi węzłów,
e) wyznaczyć z warunku wytrzymałości poprzeczny wymiar b pręta
„1”.

120 3N,

200MPa

r

P

k

=

=

a)

sprawdzić warunek sztywności kratownicy

p=2w-3 7=2*5-3 spełniony

Zadanie 2 z działów statyka i wytrzymałość
materiałów

b)

ułożyć równania równowagi sił i momentów,

c)

wyznaczyć wartości liczbowe reakcji więzów w węzłach A i C

R

A

R

C

Zadanie 2 z działów statyka i wytrzymałość
materiałów

R

A

– P + R

C

= 0, - P*1,5 a + R

C

*2a =

0

0,75

0,75120 3=90 3 N,

120 3 90 3 30 3 N

C

A

C

R

P

R

P R

=

=

= -

=

-

=

g

S

1

S

1

S

2

S

2

S

3

S

3

S

4

S

4

S

5

S

5

S

6

S

6

S

7

S

7

d)

wyznaczyć siły w prętach korzystając z metody

równowagi węzłów

Zadanie 2 z działów statyka i wytrzymałość
materiałów

Pręty 1 i 2

R

C

S

1

S

2

30

o

60

o

C

Zadanie 2 z działów statyka i wytrzymałość
materiałów

0

0

1

2

2

cos60

0

cos30

0

C

S S

S

R

-

+

=

-

+

=

2

0

0

1

2

90 3

180

cos30

3

2

1

cos60

180

90

2

C

R

kN

S

kN

S S

kN

kN

=

=

=

=

=

=

Pręty 6 i 7

R

A

S

7

S

6

30

o

60

o

Zadanie 2 z działów statyka i wytrzymałość
materiałów

0

0

7

6

6

cos60

0

cos30

0

A

S S

S

R

-

=

-

+

=

6

0

0

7

6

30 3

60

cos30

3

2

1

cos60

60

30

2

A

R

kN

S

kN

S

S

kN

kN

=

=

=

=

=

=

Pręty 5 i 3

S

1

S

5

60

o

S

7

S

3

60

o

30

o

30

o

Zadanie 2 z działów statyka i wytrzymałość
materiałów

0

0

7

5

1

3

0

0

5

3

cos60

cos60

0

cos30

cos30

0

S

S

S S

S

S

-

+

+ -

=

-

-

=

0

0

5

3

7

3

1

3

1

7

3

5

0

,

cos60

cos60

0

90 30

60

,

60

1

2cos60

2

2

S

S

S S

S S

S S

S

kN S

kN

=-

-

-

+ -

=

-

-

=

=

=

=-

�

Pręt 4

S

6

S

5

S

4

60

o

60

o

Zadanie 2 z działów statyka i wytrzymałość
materiałów

0

0

6

5

4

cos60

cos60

0

S

S

S

-

+ =

(

)

0

4

5

6

1

cos60

( 60 60)

60

2

S

S S

kN

=

-

= -

-

=-

e)

wyznaczyć z warunku wytrzymałości poprzeczny wymiar b

pręta „1”.

Zadanie 2 z działów statyka i wytrzymałość
materiałów

1

2

1

r

S

k

r

p

<

2

1

1

1

1

r

r

S

S

r

r

k

k

p

p

<

�

>

3

2

1

6

2

3

90 10

3

0,015

1,5

120 10

4 10

N

m

r

m

cm

Nm

p

p

-

�

>

=

=

=

�

�

Zadanie z działów kinematyka i
dynamika

Ciało o masie m porusza się ruchem płaskim pod
wpływem działania siły F

1

skierowanej poziomo w

prawo i siły F

2

skierowanej pionowo do góry. Zmiany

w czasie wartości sił w czasie określają funkcje: F

1

=

bt, F

2

= ct, gdzie b,c = const . Przyjąć , że początkowo

ciało znajdowało się w początku układu
współrzędnych x, y. Początkowa prędkość ciała była
równa zeru.
Dokonać analizy ruchu ciała, w szczególności:
a) sporządzić szkic, z zaznaczeniem przyjętego

układu odniesienia, położenia ciała w chwili czasu
t, sił czynnych oraz siły bezwładności,

b) zapisać równania równowagi z zastosowaniem

zasady d’Alemberta,

c) przekształcić równania równowagi do postaci

równań różniczkowych zwyczajnych dla
wyznaczenia nieznanych składowych prędkości,

Zadanie z działów kinematyka i
dynamika

d) zapisać różniczkowe równania trajektorii,
e) zapisać warunki początkowe dla równań ruchu i
równań trajektorii,
f) rozwiązać równania ruchu określając zależność od
czasu składowych prędkości,
g) rozwiązać równania trajektorii.

Zadanie z działów kinematyka i
dynamika

a)

sporządzić szkic, z zaznaczeniem przyjętego układu

odniesienia, położenia ciała w chwili czasu t, sił czynnych
oraz siły bezwładności,

x

y

F

1

F

2

F

B

Zadanie z działów kinematyka i
dynamika

b)

zapisać równania równowagi z zastosowaniem zasady

d’Alemberta,

c)

przekształcić równania równowagi do postaci równań

różniczkowych zwyczajnych dla wyznaczenia nieznanych
składowych prędkości

1

2

0

B

F F F

+ +

=

r

r

r

1

2

0

F F ma

+ -

=

r

r

r

1

2

0,

0

x

y

F ma

F ma

-

=

-

=

1

2

0,

0

y

x

du

du

F m

F m

dt

dt

-

=

-

=

1

2

,

y

x

du

du

F

F

dt

m

dt

m

=

=

Zadanie z działów kinematyka i
dynamika

d)

zapisać różniczkowe równania trajektorii,

e)

zapisać warunki początkowe dla równań ruchu i równań

trajektorii

f)

rozwiązać równania ruchu określając zależność od czasu

składowych prędkości

,

,

x

y

dx

dy

u

u

dt

dt

=

=

(0) 0,

(0) 0,

(0) 0,

(0) 0

x

y

u

u

x

y

=

=

=

=

1

2

,

y

x

du

du

F

F

dt

m

dt

m

=

=

2

2

0

0

2

2

0

0

,

( )

(0)

(

0),

( )

2

2

,

( )

(0)

(

0),

( )

2

2

t

t

x

x

x

x

t

t

y

y

y

y

du

bt

b

bt

dt

dt u t u

t

u t

dt

m

m

m

du

ct

c

ct

dt

dt u t u

t

u t

dt

m

m

m

=

-

=

-

=

=

-

=

-

=

�

�

�

�

Zadanie z działów kinematyka i
dynamika

g)

rozwiązać równania trajektorii,

,

,

x

y

dx

dy

u

u

dt

dt

=

=

2

3

3

0

0

0

2

3

3

0

0

0

,

( )

(0)

,

( )

2

6

6

,

( )

(0)

,

( )

2

6

6

t

t

t

x

t

t

t

y

dx

bt

bt

bt

dt

u dt x t

x

dt

x t

dt

m

m

m

dy

ct

ct

ct

dt

u dt

y t

y

dt

y t

dt

m

m

m

=

-

=

=

=

=

-

=

=

=

�

�

�

�

�

�

Dziękuję za uwagę