Dywergencja, rozbieznosc

Mnożenie skalarne nabla przez wektor daje wartosc liczbowa zwana dywergencja lub rozbieznoscia pola wektorowego :
. Dywergencja oznacza prędkość zmiany objetosci elementu plynu odniesiona do objetosci tego elementu, czyli moze byc rozna od zera tylko w plynie scisliwym. Obliczanie rozbieznosci pola:

div(c) = 0

div(v1 + v2) = div(v1) + div(v2)

div(cV) = c*div(v)

Mnozenie wektorowe nabla przez wektor daje wielkosc wektorowa zwana rotacja pola wektorowego:
. Jeżeli pole wektorowe V opisuje pole prędkosci przeplywu, to ziezerowa warotisc rotacji tego pola wskazuje na ruch wirowy elementow plynu. pole gdzie rotV=0 nazywamy bezwirowym. Obliczanie wirowosci pola:

rot(v1 + v2) = rot(v1) + rot(v2)

rot(cV) = c*rot(v)

Operator Nabla (Hamiltona)

Jednym z kilku mozliwych iloczynow podwojnych jest dywergencja gradientu skalara S lub laplasjan skalara S:
,
. Laplasjan jest główną czescia wielu rownan mechaniki plynow, m.in. rownania Laplace'a, ktore rzadzi tzw. przeplywami potencjalnymi

Siły

Siły wewnętrzne - wzajemne oddzialywania elementow mas wydzielonego obszaru plynu, sily o charakterze powierzchniowym, znoszace sie parami.

Sily zewnetrzne - wynik oddzialywania mas nie nalezacych do wydzielonego obszaru plynu - dzielimy je na sily masowe i sily powierzchniowe

Sily masowe obejmuja kazdy element plynu i sa proporcjonalne do jego masy.

F = 1/ρ * (dF' / dτ) ; F-jednostkowa sila masowa (np. przyspieszenie g) ρ - gestosc

Równowaga plynu

W plynie bedacym w rownowadze cisnienie w dowolnym punkcie ma wartosc stala i niezalezna od orientacji elementu powierzchniowego przechodzacego przez ten punkt

pxdSx - pdScos(p,x) = 0

pydSy - pdScos(p,y) = 0

pzdSz - pdScos(p,z) = 0

Jednostkowa sila masowa

F = iX + jY + kZ = F(x,y,z)

X=1/ρ * dp/dx

Y=1/ρ * dp/dy

Z=1/ρ * dp/dz

Co prowadzi do prawa Eulera

F = 1/ρ * grad p

Xdx + Ydy + Zdz = dp/ρ

Jezeli pole sil masowych jest potencjalne, to

F = -gradU

dU = -dp/ρ

p= -ρU + C

np. w polu grawitacyjnym

p = -ρgz + C

Powierzchnie ekwipotencjalne - powierzchnie stalego potencjalu (ρ i p nie zmieniaja sie wzdluz takiej powierzchni), np. swobodna powierzchnia plynu czy powierzchnia rozdzialu dwoch niemieszajacych sie cieczy o roznych gestosciach

Wniosek: w polu grawitacyjnym Ziemi powierzchnie stalego cisnienia hydrostatyczne sa poziome.

Wniosek ogolny: powierzchnie izobaryczne i powierzchnie ekwipotencjalne sa prostopadle do wektora sil masowych

Jezeli przez pa oznaczymy cisnienie na swobodnej powierzchni cieczy na wysokosci H, to otrzymamy

p=pa + ρgh

Cisnienie hydrostatyczne w gazach

Gazy cechuje scisliwosc.

dp/dz = -ρg = -p/RT * g

Atmosfera izotermiczna, gdzie t=t0

p2 = p1 * exp [- g(z1-z1)/RT0 ]

Pomiar cisnienia

Rodzaje cisnieniomierzy:

-absolutne-do pomiaru cisnienia absolutnego

-roznicowe-do roznicy cisnienia

-manometry-do pomiaru nadcisnienia

-wakuometry - do pomiaru podcisnienia

-manowakuometry - do pomiaru nadcisnienia i podcisnienia

barometry - do pomiaru cisnienia atmosferycznego

Prawo Pascala

Przyrost cisnienia w dowolnym punkcie jednorodnego plynu niescisliwego znajdujacego sie w stanie rownowagi w potencjalnym polu sil masowych wywoluje zmiane cisnienia o taka sama wielkosc w kazdym innym punkcie plynu.

p-p0 = ρ(U-U0)

p+ϭp - (p0 + ϭp0) = ρ(U-U0)

ϭp - ϭp0 = 0

ϭp = ϭp0

Prasa hydrauliczna

Wynalazl Bramah, stad prasa bramaha

-silowniki hydrauliczne

-narzedzia maszynowe

-maszyny do badan wytrzymalosciowych

F1=p*A1 F2=p*A2

Obrot wokol osi pionowej

Nadowolny element plynu dziala jednostkowa sila masowa, ktora jest suma wektorowa przyspieszenia ziemskiego i odsrodkowego.

X=ω^2 * x

Y= ω^2 * y

Z= -g

(ω^2*r^2) / 2 - gz = C

Równanie powierzchni swobodnej

z=z0 + (ω^2*r^2)/(2*g)

z0=h - (ω^2*R^2)/(4g)

Natomiast cisnienie okresla sie wzorem

p=p0 + (ρ* ω^2 * r^2)/2 + ρg(z0-z)

Napor plynu na scianki naczynia

Calkowita sila hydrostatyczna dzialajaca na obiekt jest opisana wzorem

F=p*A + γ ∫h dA

gdzie h = ξ sin θ

a odleglosc srodka ciezkosci od powierzchni plynu wynosi

ξ = 1/A ∫ ξ dA

F = (p + γh)A = p(cg)A

Napor cieczy na scianke plaska

F = (p + γh)A = p(cg)A

Napor hydrostatyczny na sciane plaska o dowolnym konturze i dowolnie nachylona do plaszczyzny poziomej ma bezwzgledna wartosc rowna ciezarowi slupa cieczy, ktorego podstawa jest dana sciana, a wysokoscia glebokosc jej srodka geometrycznego pod zwierciadlem cieczy. Polozenie srodka naporu w ukladzie zwiazanym ze sciana nie zalezy od kata nachylenia sciany. Na scianach pionowych i nachylonych srodek naporu lezy nizej od srodka geometrycznego sciany. Wielkosc naporu nie zalezy od ksztaltu naczynia.

Momenty bezwladnosci

Aby uniknac wyginania powierzchni, sila F nie dziala w srodku ciezkosci, ale w srodku naporu. W celu znalezienia jego polozenia nalezy zsumowac momenty

Fy(cp) = -γ * sinθ * I(xx)

Fx(cp) = -γ * sinθ * I(xy)

Napor hydrostatyczny na sciany zakrzywione

Napor na powierzchnie zakrzywione najlatwiej jest przedstawic w formie sumy naporow na elementarne powierzchnie w plaszczyznach pionowej i poziomej

dNx = ρgz *dA*cosα

dNy = ρgz*dA*sinα

Nz = ρgV

Ciala zanurzone w cieczy

Na ciala zanurzone w cieczy dzialaja te same sily jak w przypadku powierzchni i prowadza one do prawa sformulowanego przez Archimedesa.

Prawo Archimedesa

wektor naporu hydrostatycznego dzialajacego na cialo zanurzone w plynie jest sila, ktorej modul jest rowny ciezarowi cieczy wypartej przez to cialo. Sila wyporu hydrostatycznego dzialajaca na cialo zanurzone w plynie jest rowna ciezarowi plynu wypartego prze to cialo. Linia dzialania sily wyporu przechodzi przez srodek masy plynu wypartego przez cialo, zwany srodkiem wyporu.

Oprocz wyporu dziala na cialo jego ciezar, ktorego punktem zaczepienia jest srodek ciezkosci. Sila wypadkowa dzialajaca na cialo zanurzone w cieczy moze byc wyznaczona z rownania G(I) = Fb + G i nazywana jest ciezarem pozornym ciala. Wzor ten wyraza zasade Archimedesa: cialo zanurzone w plynie traci pozornie tyle na ciezarze, ile wazy plyn wyparty przez to cialo.

Rownowaga cial zanurzonych

Na podstawie prawa Archimedesa mozna wyprowadzic warunki opadania i unoszenia sie cial swobodnych zanurzonych w plynie. W zaleznosci od wartosci sily G w porownianiu z przeciwdzialajacym wyporem Fb mozna rozwazyc trzy przypadki:

1. Wypor Fb= - ρgv = G = ρ(c)*g*V(c), wtedy ρ/ρ(c) = V(c)/V

-jezeli ρ(c) = ρ, to V(c) = V, a zatem cialo jest calkowicie zanurzone

-jezli ρ(c)< ρ, to V(c)>V, a zatem cialo plywa, wynurzajac sie czesciowo ponad powierzchnia swobodna cieczy.

2. Jezeli G<Fb to sila wypadkowa Fb + G wypiera cialo w gore do osiagniecia stanu rownowagi, tj. gdy wypor zanurzonej czesci ciala bedzie rowny jego ciezarowi.

3. Jezeli G>Fb to cialo tonie.

Mowi sie, ze cialo plywa w cieczy, gdy pozostawione swobodnie wynurza sie czesciowo nad jej swobodna powierzchnie lub gdy zanurzone calkowicie utrzymuje okreslone polozenie.

Statecznosc

Pojecie statecznosci plywania obejmuje zdolnosc powrotu ciala plywajacego, wychylonego ze stanu rownowagi, do polozenia pierwotnego. Przy analizowaniu statecznosci cial plywajacych wprowadzamy nastepujace pojecia:

-osia plywania nazywamy prosta przechodzaca przez srodek masy S i srodek wyporu

-linia plywania nazywamy linie przeciecia zwierciadla cieczy z powierzchnia ciala w niej czesciowo zanurzonego

-polem plywania nazywamy plaskie pole ograniczone linia plywania

Wniosek: w przypadku ciala calkowicie zanurzonego dla zapewnienia rownowagi trwalej konieczne jest umieszczenie srodka wyporu powyzej srodka ciezkosci.

Kroki analizy:

-wyznaczenia srodka ciezkosci G oraz srodka wyporu B

-wychylenie ciala masy o maly kat ∆θ, wyznaczenie nowego srodka wyporu B' oraz punktu metacentrycznego M

-jezeli punkt M znajduje sie powyzej punktu G to uklad jest stabilny. Gdy odleglosc MG jest ujemna, to uklad jest niestabilny.

Statecznosc ciala czesciowo zanurzonego - zalozenie: kat przechylu jest maly.

W przypadku ciala czesciowo zanurzonego przy przechyle srodek wyporu zmienia swoje polozenie. Analiza statecznosci polega na okresleniu polozenia srodka wyporu po przechyleniu ciala o kat θ.

Kinematyka - zajmuje sie analitycznym opisem przeplywow niezaleznie od przyczyn (sil), ktore ten przeplyw wywoluja. Opis ruchu jest wiec czysto geometrzyczny.

Metody badan ruchu

Zmiany wielkosci charakteryzujacych ruch elementow plynu (np. v, a, ρ) moga zachodzic z biegiem czasu i wraz ze zmiana polozenia danego elementu w przestrzeni.

Metoda Lagrange'a -polega na opisywaniu ruchu w przestrzeni pewnej wydzielonej masy plynu skladajacej sie zawsze z tych samych molekul. Jezeli w chwili t0 element plynu zajmuje polozenie okreslone promieniem - wektorem r0 (x0,y0,z0), to z czasem polozenie to bedzie ulegalo zmianie. Podobnie beda sie zmienialy inne parametry zwiazane z wybranym elementem plynu: H = H(r0, t) gdzie H jest rozpatrywana wielkoscia, natomiast (r0, t) sa wspolrzednymi albo zmiennymi Lagrange'a. Wspolrzedne danego elementu:

x=x(x0, y0, z0, t); y=y(x0, y0, z0, t); z=z(x0, y0, z0, t)

Znajac rownania toru danego elementu, mozna wyznaczyc jego predkosci i przyspieszenia.

v= dr(x0, y0, z0, t)/dt; a=dv/dt

Metoda Eulera

Polega na wybraniu w przestrzeni nieruchomej objetosci kontrolnej V ograniczonej powierzchnia kontrolna S. Przez te objetosc przeplywaja kolejno rozne elementy plynu z roznymi wartosciami v, p, ρ itd. Przedmiotem opisu sa wartosci tych wielkosci w wybranych punktach objetosci kontrolnej. W metodzide tej rozpatruje sie zmiane wielkosci charakteryzujacych rzeplyw w zaleznosci od czasu t i polozenia punktu.

v(x) = dx/dt

v(y) = dy/dt

v(z) = dz/dt

v(r, t) = dr/dt

Pochodna substancja

Jest szczegolna interpretacja pochodnej funkcji wielu zmiennych, zwiazana z eulerowskim sposobem opisu ruchu plynu. Pokazuje on w jaki sposob zmienia sie w czasie dowolny parametr charakteryzujacy element plynu poruszajacy sie w polu tego parametru. Jezeli H jest funkcja zmiennych Eulera H = H(t, x(t), y(t), z(t))

Zgodnie z def rozniczki zupelnej

DH/Dt = dH/dt + dH/dx *v(x) + dH/dy * v(y) + dH/dz * v(z)

Podkreslenie to pochodna unoszenia i jest rowne (v*
) * H

Pochodna lokalna pokazuje zmiane parametru H w czasie w punkcie (x, y, z) wynikajaca z niestacjonarnosci pola H)

Pochodna unoszenia pokazuje zmane parametru H w czasie, na skutek przemieszczenia sie elementu plynu z pewna predkoscia z punktu o jednej wartosci H do punktu o innej wartosci H. Pochodna materialna = pochodna lokalna + pochodna unoszenia

Pochodna substancjalna

Pochodna zupelna nazywa sie pochodna materialna lub substancjalna. Operator pochodnej ma postac:
i jest zwany takze operatorem Stokesa. Zastosowanie operatora pochodnej materialnej do skladowych pola predkosci pozwala obliczyc przyspieszenie materialne, czyli przyspieszenie elementu plynu poruszajacego sie w niestacjonarnym i niejednorodnym polu predkosci. W zapisie wektorowym Dv/Dt = dv/dt + (v*
)v

Tor elementu plynu

Torem elementu plynu nazywa sie krzywa opisywana przez poruszajaca sie czastke. Tor elementu plynu lub trajektoria to miejsce geometryczne punktow w polu przeplywu, przez ktore przechodzi element w kolejnych chwilach czasu. Po oznaczeniu elementu toru przez dr
(dx,dy,dz), a czasu potrzebnego na przebycie drogi dr przez dt otrzyma sie rownanie toru przez scalkowanie nastepujacego rownania rozniczkowego dr/dt = v(x,y,z,t)

Rozwiazanie wymaga jednak uwzglednienia warunkow poczatkowych dla t=t0.

Linia pradu

Linia pradu nazywa sie linie wektorowego pola predkosci, a zatem linie, ktora w kazdym swym punkcie jet styczna do wektora predkosci odpowiadajacego temu punktowi. Linia pradu jest wiec pojeciem czysto geometrycznym, a ponadto odnosi sie do danej chwili, w tym sensie, ze linie pradu wykreslone dla dwoch roznych chwil na ogol nie beda sie pokrywac. Rownanie linii ma postac
= 0

W ogolnym przypadku ruchu tory i linie toru nie pokrywaja sie. Kazdy tor jest zwiazany z jednym elementem plynu, natomiast linia pradu wskazuje predkosci roznych czastek w tej samej chwili. Jedynie w przypadku przeplywu stacjonarnego linie pradu i tory elementow plynu sa identychne. Rowniez w ruchu po liniach prostych rownoleglych tor elementu pokrywa sie z linia pradu. Linie pradu nie powinny sie przecinac, w punkcie przeciecia bowiem predkosc nie jest okreslona jednoznacznie. Moze sie zdarzyc, ze jeden punkt przechodzi kilka linii pradu. Jest to tzw. punkt osobliwy. Punkt na linii pradu, w ktorym czastka ma predkosc rowna zeru, nazywa sie punktem stagnacji pola predkosci.

Rurka pradu

Jezeli przez zamkniety kontur poprowadzi sie linie pradu, to w rezultacie otrzyma sie powierzchnie pradu zwana rurka pradu. Jezeli przekroj tej rurki jest nieskonczenie maly, to uzyska sie wlokno pradu. Zbior linii pradu wypelniajacych w sposob ciagly rurke pradu nazywa sie struga. Rurka pradu jest dobrym modelem rurociagu, dla ktorego mozna wyznaczyc:

Objetosciowe natezenie przeplywu:

Objetosciowa predkosc srednia:

Masowe natezenie przeplywu

Masowa predkosc srednia

Ruch ogolny elementu plynu

Ruch ogolny elementu plynu mozna traktowac jako superpozycje przemieszczenia liniowego, obrotu wzgledem chwiloego bieguna oraz odksztalcenia, ktore z kolei mozna podzielic na liniowe i katowe.

Odksztalcenie w ruchu dwuwymiarowym

Predkosc ruchu zapisujemy jakos u = iu + jv

Do odksztalcenia liniowego elementu plynu dochodzi, gdy skladowa predkosci u zmienia sie w kierunku x i/lub skladowa predkosci v zmienia sie w kierunku y. Prowadzi to do przyrostu objetosci elementu w czasie dt o wartosc (du/dx + dv/dy)dxdydt.

εxx = du/dx εyy = dv/dy

Do odksztalcenia postaciowego elementu plynu dochodzi gdy skladowa predkosci u zmienia sie w kierunku y i/lub skladowa predkosci v zmienia sie w kierunku x. Prowadzi to do obrotu scianek elementu plynu o katy:

dα = (dv/dx)dt dβ=(du/dy)dt

Miara predkosci lacznego odksztalcenia postaciowego jest wyrazenie

εxy = ½ (du/dy + dv/dx)

Sztywny obrot elementu plynu mozna traktowac jako sume dwoch oksztalcen postaciowych tak dobranych, ze katy pomiedzy bokami elementu pozostaja proste. Predkosc katowa takiego obrotu mozna zapisac jako:

Ωz = ½ (dv/dx - du/dy)

Odksztalcenie w ruchu trojwymiarowym

Element plynu wykonuje ruch ogolny zlozony z translacji z predkoscia u0 oraz obrotu wzgledem bieguna O i deformacji. Na skutek obrotu i deformacji ulega zmianie wektor δr laczacy punkt A z biegunem. W ogolnym przypadku wektor ten doznaje obrotu i zmiany dlugosci. Mozna zapisac: d(dr) = (u(A) - u(0)) dt. Przy zalozeniu malej odleglosci pomiedzy punktami 0 i A mozna roznice ich predkosci rozwinac w szereg Taylora i wziac pod uwage tylko pierwszy wyraz.

du= u(a) - u(0) =
*u(0) * dr

Wektor predkosci ma postac u=iu + jv + kw

Tensor predkosci wzglednej moze byc przedstawiony jako suma dwoch tensorow: antysymetrycznego i symetrycznego. Tensor antysymetryczny opisuje obrot elementu plynu jakos ciala sztywnego. Jego wyrazy sa skladowymi predkosci katowej obrotu ω. ω = ½ * rotu.

Predkosc deformacji

Tensor symetryczny opisuje deformacje elementu plynu i nosi nazwe tensora predkosci deformacji.

[D] =

Ruch elementu plynu mozna zapisac u(A) = u(0) + ω(0)
dr + u(d)

Pierwsze twierdzenie Helmholtza

Predkosc dowolnego punktu elementu plynu sklada sie z:

-predkosci postepowej punktu obranego za biegun

-predkosci obrotowej wokol osi przechodzacej przez biegun

-predkosci deformacji elementu plynu

Jest to najwazniejsze twierdzenie kinematyki plynow. W porownaniu z analogicznym ruchem ciala sztywnego mozna stwierdzic nastepujace roznice:

-wzor dla plynu jest wazny tylko w bliskim otoczeniu bieguna

-w plynie dodatkowo wystepuje predkosc deformacji

Opis matematyczny

Wirowym nazywamy przeplyw, w ktorym wszedzie lub prawie wszedzie rotacja pola predkosci jest rozna od zera. Wtedy kazdemu lub prawie kazdemu punktowi przestrzeni mozna przypisac wektor wirowosci: Ω = rotu = 2ω. Predkosc katowa elementu poruszajacego sie jakos cialo sztywne jest rowna polowie rotacji predkosci.

Linie wirowe

Przez analogie do linii pradu mozna okreslic linie wirowe jako linie pola wektorowego wirowosci, czyli linie styczne w kazdym punkcie pola do wektorow wirowosci. Rownanie linii wirowej:

dx/Ωx = dy/Ωy = dz/Ωz

Cyrkulacja wektora predkosci

W poruszajacym sie plynie rozpatrywany jest odcinek krzywej C, nie bedacej linia pradu. Kazdy element plynu znajdujacy sie na nim ma predkosc v. Cyrkulacja wektora predkosci wzdluz luku AB krywej C nazywa sie calke
, w ktorej ds oznacza skierowany element luku AB, przy czym α jest katem zawartym miedzy wektorem predkosci v, a styczna do odcinka AB w rozpatrywanym punkcie. W przypadku calki krzywoliniowej po krzywej zamknietej C:
. Gdy wartosc cyrkulacji jest dodatnia, elementy plynu znajdujace sie na konturze C wykazuje tendencje do ruchu zgodnego z kierunkiem calkowania, a gdy jest ujemna to tendencja jest przeciwna.

Twierdzenie Stokesa

Cyrkulacja predkosci wzdluz dowolnego konturu C jest rowna strumieniowi wirowosci przez dowolna powierzchnie objeta tym konturem.
. Prawa strona wzoru okresla natezenia strumienia wirowosci przechdzacego przez powierzchnie S, ktorej brzegiem jest krzywa C, stad mozna sformulowac nastepujace twierdzenie: Cyrkulacja predkosci wzdluz zewnetrznej linii konturowej rowna sie sumie cyrkulacji wzdluz zewnetrznych bokow konturow skladowych. Suma cyrkulacji elementarnych rowna sie zatem cyrkulacji wzdluz konturu C, ograniczajacego poletka brzegowe.

Przeplyw potencjalny

Jezeli podczas przeplywu elementy plynu doznaja tylko przesuniecia i odksztalcenia, nie doznaja natomiast obrotw tzn. jezeli w kazdym punkcie obszaru zajetego przez plyn spelniony jest warunek: rotv = W = 2ω = 0, to przeplyw taki jest niewirowy - potencjalny.

dw/dy = dv/dz; du/dz=dw/dx; dv/dx = du/dy

Potencjał predkosci

Warunki przeplywu potencjalnego powoduja istnienie w obszarze bezwirowego przeplywu pewnej funckji Φ(x,y,z) lub Φ(x,y,z,t) dla przeplywow nieustalonych, takiej, ze

u=d Φ/dx; v=d Φ/y; w=d Φ/dz; v=grad Φ , gdzie Φ jest potencjalem predkosci.

Jezeli analizowane pole jest polem bezzrodlowym to potencjal predkosci spelnia rownanie Laplace'a: ∆^2 * Φ =
Φ = 0

Powierzchnia ekwipotencjalna

W kazdym punkcie pola potencjal predkosci ma zazwyczaj inna wartosc. Calkowita zmiana potencjalu dwoch sasiednich czastek jest okreslona rozniczka zupelna dΦ

d Φ= ∂Φ/∂x *dx + ∂Φ/ ∂y * dy + ∂ Φ/ ∂z dz = 0

udx + vdy + wdz = 0

Pole potencjalne

Cyrkulacja predkosci w polu potencjalnym Γ =
= 0

W ruchu potencjalnym cyrulacja predkosci nie istnieje.

Ruch plasko-rownolegly

u=v0; v=0; w=0; Φ = v0 * x

Powierzchnie jednakowego potencjalu sa plaszczyznami prostopadlymi do osi Ox. Linie pradu sa liniami rownoleglymi do tej osi.

Zrodlo/upust

Tak nazywa sie punkt w przestrzeni, z ktorego stale wyplywa lub do ktorego stale wplywa plyn. Dla zrodla przyjmuje sie strumien objetosci q(v), a dla upustu (-q(v)).Predkosc czastek na powierzchni kuli o promieniu r

v = q(v)/4*pi*r^2

C= q(v)/4pi

Φ = -C * 1/r

Para zrodlo-upust

Analizowany bedzie ruch spowodowany jednoczesnie zrodlem i upustem o jednakowych strumieniach objetosci. Z powodu symetrii wzgledem osi Ox, wystarczy wyjasnic to zagadnienie w plaszczyznie Oxy. Jezeli a jest odlegloscia zrodla i upustu od poczatku ukladu,, to dla zrodla
i upustu
.

Plaski ruch potencjalny

Ruch nieskonczenie cienkiej warstwy plynu po stalej plaszczyznie. Warunkiem ruchu potencjalnego jest znikanie wektora wiru. Potencjalem predkosci ruchu plaskiego nazywa sie skalarna funkcje spelniajaca zaleznosci

∂ Φ/ ∂ x = u; ∂ Φ/∂ y = v

Miejsce geometryczne punktow, w ktorym potencjal jest jednakowy, nazywa sie linia jednakowego potencjalu.

Funkcja pradu

Dla przeplywu plaskiego rownanie linii pradu przyjmuje postac: dx/u = dy/v; -vdx +udy = 0. Lewa strona rownania przedstawia rozniczke zupelna pewnej funkcji Ψ(x,y) spelniajacej zaleznosci

-v = ∂ Ψ/∂ x; u = ∂ Ψ/∂ y

Funkcje Ψ(x,y) charakteryzujaca linie pradu nazywa sie funkcja pradu. Roznica wartosci funkcji pradu w dwoch dowolnych punktach pola predkosci jest wiec rowna jednostkowemu strumieniowi objetosci plynu miedzy dwiema liniami pradu przechodzacymi przez obrane punkty,

q(v) = C2 - C1

Przeplyw jednorodny

Przeplyw okreslony jest potencjalem predkosci w funkcji liniowej Φ = ax + by (u = a, v = b). Rownanie linii pradu przyjmuje postac dΨ = udy - vdx = ady - bdx.

Rurka wirowa

Jezeli przez kazdy punkt krzywej zamknietej poprowadzi sie linie wirowe, to linie te utworza rurke wirowa. W przypadku nieskonczenie malego pola przekroju rurki wirowej nazywa sie ja elementarna ruruka wirowa lub wloknem wirowym.

Struga wirowa

Rurke wirowa wraz z liniami wirowymi znajdujacymi sie wewnatrz niej nazywa sie struga wirowa. Jezeli krzywa jest zamknieta nieskonczenie malym konturem, linie wirowe przechodzace przez ten kontur tworza elementarna struge wirowa.

Strumien wirowosci

Strumieniem wirowosci nazywa sie strumien wektora wirowosci przechodzacy przez powierzchnie A. Elementarny strumien wirowosci:

Twierdzenie Thompsona

W przeplywie idealnego plynu barotropowego znajdujacego sie pod dzialaniem potencjalnego pola sil masowych cyrkulacja predkosci wzdluz dowolnej zamknietej linii nie zmienia sie w czasie.

II Twierdzenie Helmholtza

Strumien wirowosci w cieczy doskonalej zachowuje niezmienna wasrtosc wzdluz calej dlugosci strugi wirowej. W przeplywie idealnego plynu barotropowego znajdujacego sie pod dzialaniem potencjalnego pola sil masowych natezenie wlokna wirowego nie zmienia sie wzdluz jego dlugosci i jest stale w czasie: div(rotv) = 0.

Wnioski

-wlokno wirowe nie moze zanikac ani powstawac w plynie, - wlokno wirowe moze tworzyc krzywa zamknieta, - wlokno wirowe moze sie konczyc na swobodnej powierzchni lub na scianach sztywncyh, - w ruchu wirowym biora udzial caly czas te same elementy plynu.

Wzor Biota - Savarta

W praktycznym modelowaniu przeplyw mozna podzielic na obszar o ruchu wirowym i obszar o ruchu bezwirowym. Oba te obszary sa wzajemnie wspolzalezne. Obszar o ruchu wirowym moze byc modelowany wloknami wirowymi. Istotne staje sie wtedy wyznaczanie pola predkosci, czyli operacja odrotna do obliczania rotacji pola predkosci.

Podejscie (do wyznaczania)

1.Objetosc kontrolna - analiza makroskopowa

2.Rozniczkowe - analiza mikroskopowa

3.Eksperymentalne - analiza wymiarowa

ad. 1. Objetosc kontrolna - uklad a objetosc kontrolna

-Termodynamika - uklad + otoczenie

-Objetosc kontrolna - obszar, ktory moze byc zajmowany przez jeden uklad w danej chwili, a nastepnie przez nastepny

Do analizy objetosci kontrolnej potrzebna jest znajomosc pola predkosci oraz pewne zalozenia.

Jednowymiarowa objetosc kontrolna

Jezeli przez B oznaczymy dowolna wlasnosc plynu (energei, ped, itp.), a przez β = dB/dm - wartosc wlasciwa w odniesieniu do jednostki masy, to calkowita wielkosc B w odniesieniu do objetosci kontrolnej wynosi:

Wzor okreslajacy zmiane wielkosci B w ukladzie w odniesieniu do objetosci kontrolnej zawierajacej dany uklad:

Jednowymiarowe twierdzenie Reynoldsa

Jezeli objetosc kontrolna porusza sie z pewna predkoscia v(s), to obserwator, ktory znajduje sie w niej bedzie widzial predkosc plynu wplywajacego do objetosci jako v(r) : v(r) = v-v(s)

Zasada zachowania masy

Calkowa postac zasady zachowania masy dla stalej objetosci kontrolnej i pewnej liczby wlotow i wylotow jednowymiarowych, to mozna zapisac

Przeplyw ustalony

ZZM - plyn niescisliwy

, Q - strumien objetosciowy plynu

Zasada zachowania pedu

Predkosc v odnosi sie do nieruchomego ukladu odniesienia. ΣF oznacza sume wektorowa wszystkich sil dzialajacych na objetosc kontrolna.

Jednowymiarowy strumien pedu

Jezeli okreslimy ped jako M, to

okresla strumien pedu. W przypadku, gdy predkosc i gestosc sa wielkosciami stalymi:

2.c.d Rozniczkowe - Zasada zachowania energii

Pomijajac radiecje i uwzgledniajac tylko przewodzenie przez scianki elementu, spelniajac prawo Fouriera, uzyskuje sie czlon opisujacy strumien ciepla doprowadzony do analizowanego obszaru
. Człon zwiazany z praca sil lepkosciowych moze zostac przedstawiony w nastepujacy sposob obszaru
.

Strumienie pracy moga byc wyznaczone w dokladnie taki sam sposob, jak strumienie ciepla. Bilans pracy wyznacza sie wzorem:
. Rownanie energii przyjmuje postac: e = e(wew) + ½ v^2 + gz. Jezeli czlon pracy lepkosciowej zostanie podzielony, to mozna wylonic funkcje dyssypacyjna:

Rownanie zachowania energii przyjmuje postac ρc(v) * dT/dt = k*
* T + Φ, przyjmujac, ze e(wew) ≈ c(v) dT. Najbardziej znanym rownaniem jest rownanie przewodnictwa (bez radiacji, zrodel ciepla) w postaci ρc(v) ∂T/∂t = k*
* T.

Warunki brzegowe

Ten uklad posiada rozwiazania, ale musza byc podane warunki brzegowe (graniczne). Dla przeplywu nieustalonego:

-musi istniec warunek poczatkowy lub poczatkowy rozklad przestrzenny danej wielkosci:

dla t=0; ρ, v, p, e(wew), T = znane f(x, y, z)

-dla kazdej chwili musza istniec warunki zadane na granicach ukladu (warunki brzegowe)

Najbardziej skomplikowany opis jest wymagany dla powierzchni miedzyfazowej (gaz-ciecz, lub powierzchnia swobodna)

-musi istniec rownosc skladowych pionowych predkosci (war. kinematyczny): w(hq)=w(gaz)

-musi istniec rownowaga mechaniczna na powierzchni granicznej: (τzy)hq = (τzy)gaz ; (τzx)hq = (τzx)gaz

-cisnienie musi sie rownowazyc p(hq) = p(gaz)

-wymiana ciepla musi byc taka sama po obu stronach powierzchni rozdzielajacej fazy: (qz)hq = (qz) gaz

3. Eksperymentalne

---