JOANNA KONIECZNA-

SAŁAMATIN

Statystyka dla
socjologów

Collegium

Civitas

Zależność liniowa

(regresja II rodzaju dla dwóch

zmiennych)

podręcznik, str. 261 (Rozdział 10)

JOANNA KONIECZNA-

SAŁAMATIN

Statystyka dla
socjologów

Collegium

Civitas

Przykład

Niech zmienna X oznacza staż pracy (w latach), a zmienna Y – wiek
(również w latach).
Mamy 5 – osobową populację, dla której wartości zmiennych X i Y
przedstawia tabela:

Lp.

X

Y

1

12

30

2

2

25

3

4

20

4

10

40

5

15

35

E(X|

Y)

12

2
4

10
15

Regresja średnich ma tyle
wartości, ile zmienna Y.

W tym przypadku – jest tyle
wartości, ile osób w populacji.
MODEL NICZEGO NIE
UPRASZCZA, więc nie
wiadomo, po co go stosować

JOANNA KONIECZNA-

SAŁAMATIN

Statystyka dla
socjologów

Collegium

Civitas

Przykład

X - staż pracy (w latach), a zmienna Y – wiek (również w latach).

Lp.

X

Y

1

12

30

2

2

25

3

4

20

4

10

40

5

15

35

15

20

25

30

35

40

45

0

2

4

6

8

10

12

14

16

Rozwiązaniem jest zastosowanie modelu liniowego

JOANNA KONIECZNA-

SAŁAMATIN

Statystyka dla
socjologów

Collegium

Civitas

Przykład

X - staż pracy (w latach), a zmienna Y – wiek (również w latach).

Lp.

X

Y

1

12

30

2

2

25

3

4

20

4

10

40

5

15

35

15

20

25

30

35

40

45

0

2

4

6

8

10

12

14

16

f(x) = 0,5x − 6,4

Prosta ma spełniać warunek minimalizacji średniego kwadratu błędu

JOANNA KONIECZNA-

SAŁAMATIN

Statystyka dla
socjologów

Collegium

Civitas

Regresja liniowa (najmniejszych
kwadratów)

Linear regression (least square regression)

Y

b

a

X

Y

X

Y

X

Y

|

|

ˆ





Y

b

a

Y

X

Y

X

Y

X

|

|

ˆ





X

X

Y

,

ˆ

Y

Y

X

,

ˆ

)

(

)

,

(

2

|

Y

D

Y

X

c

b

Y

X



)

(

)

,

(

2

|

X

D

Y

X

c

b

X

Y



)

(

)

(

|

|

Y

E

b

X

E

a

Y

X

Y

X





)

(

)

(

|

|

X

E

b

Y

E

a

X

Y

X

Y





JOANNA KONIECZNA-

SAŁAMATIN

Statystyka dla
socjologów

Collegium

Civitas

Przykład

X - staż pracy (w latach), a zmienna Y – wiek (również w latach).

Lp.

X

Y

1

12

30

2

2

25

3

4

20

4

10

40

5

15

35

Wyznaczmy regresję liniową X od Y

Interpretacja współczynników równania:

0,5 – jeśli porównamy 2 osoby różniące się wiekiem o 1 rok, to

przewidujemy, że osoba starsza będzie miała staż pracy dłuższy o
0,5 roku;

-6,4 – hipotetyczny przewidywany staż pracy osoby, której wiek

wynosiłby 0 lat.

Y

b

a

X

Y

X

Y

X

Y

|

|

ˆ





Y

X

Y

5

,

0

4

,

6

ˆ







JOANNA KONIECZNA-

SAŁAMATIN

Statystyka dla
socjologów

Collegium

Civitas

Przykład

X - staż pracy (w latach), a zmienna Y – wiek (również w latach).

Lp.

X

Y

1

12

30

2

2

25

3

4

20

4

10

40

5

15

35

Każda zmienna zostaje poddana standaryzacji, a dopiero potem
wyznaczane jest równanie regresji. Równanie regresji w wersji
standaryzowanej ma wyraz wolny równy 0. Dlaczego?

Ze względu na to, że „wyraz wolny” w
równaniu regresji stwarza niekiedy
trudności interpretacyjne, stosuje się
często
standaryzowaną postać równania
regresji

Y

X

Y

5

,

0

4

,

6

ˆ







JOANNA KONIECZNA-

SAŁAMATIN

Statystyka dla
socjologów

Collegium

Civitas

Standaryzowana postać równania
regresji

U – standaryzowana zmienna X (staż pracy)
W – standaryzowana zmienna Y (wiek)

Lp.

X

Y

U

W

1

12

30

0,69634

7

0

2

2

25

-1,35173 -0,70711

3

4

20

-0,94212 -1,41421

4

10

40

0,28673

1

1,41421

4

5

15

35

1,31077

1

0,70710

7

Interpretacja równania w wersji standaryzowanej:

Współczynnik stojący przy zmiennej zależnej, to współczynnik korelacji
(Pearsona)

Jeśli porównamy 2 osoby różniące się wiekiem o 1 odchylenie standardowe, to
przewidujemy, że osoba starsza będzie się miała staż pracy dłuższy o 0,72
odchylenia standardowego.

Y

X

Y

5

,

0

4

,

6

ˆ







W

U

W

72

,

0

ˆ 

JOANNA KONIECZNA-

SAŁAMATIN

Statystyka dla
socjologów

Collegium

Civitas

Miernik siły zależności przy regresji
liniowej

(Kwadrat współczynnika korelacji liniowej)

Lp.

X

Y

1

12

30

2

2

25

3

4

20

4

10

40

5

15

35

Miernik ten pokazuje, jaką część zróżnicowania zmiennej X udało się
odtworzyć za pomocą modelu liniowego.
A zatem mierzy on:

• liniowość zależności

• siłę zależności liniowej

)

(

)

ˆ

(

)

(

)

ˆ

(

)

(

2

2

2

2

2

2

,

X

D

X

D

X

D

X

X

E

X

D

Y

Y

Y

X











)

(

)

(

)

,

(

2

2

2

2

,

Y

D

X

D

Y

X

c

Y

X



